MỘT SÔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ CHÍNH PHƯƠNG - SỐ LẬP PHƯƠNG

MỘT SÔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A − B số phương Bài Chứng minh số N = 111 11.1000 00 + số phương n −1 c/s n c/s Bài Cho A = 111 11; B = 111 11; C = 666 với m số nguyên dương m +1 c/s 2m c/s m c/s Chứng minh A + B + C + số phương Bài Chứng minh A = 244 999 91000 số phương n − c/s ( n c/s )( ) Bài Cho A = 10n + 10n −1 ++ 10 + 10n +1 + + với n số nguyên dương Chứng minh số phương lập phương Bài Chứng minh số A = 11 + 44 + số phương 2n c/s n c/s Bài Chứng minh C = 444 44 + 222 22 + 888 88 + số phương 2n c/s n +1 n c/s Bài Cho dãy số 16;1156;111556; Chứng minh dãy số số phương Bài Chứng minh với số nguyên n  a n = + 2.6.10 ( 4n − ) ( n + )( n + ) ( 2n ) số phương Bài 10 Chứng minh A = 13 +23 +33 +43 + + 20163 số phương Bài 11 Cho hai số a = 111 11 (có 2020 chữ số 1) b = 100 05 (có 2019 chữ số 0) Chứng minh ab + số tự nhiên Bài 12 Cho A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y với x, y số nguyên Chứng minh A số phương Bài 13 Chứng minh p tích n số nguyên tố p − p + khơng thể số phương Bài 14 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng ( )( )( minh A = + a + b2 + c ) số phương Bài 15 Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh M = 1 bình phương số hữu tỉ + + a b2 c Bài 16 Cho hai số phương có tổng số chia hết cho Chứng minh hai số phương chia hết cho Bài 17 Cho n số tự nhiên Chứng minh a) A = 2n2 + 2n + số tự nhiên b) B = 3n + 2019 số phương Bài 18 Ta ký hiệu n! tích n số ngun dương Tìm số tự nhiên n cho S = 1!+ 2!+ 3!+ + n! số phương Bài 19 Chứng minh với n số tự nhiên số sau khơng số phương a) n2 + 7n + 10 b) 4n2 + 5n + Bài 20 Chứng minh số S = 20162016 + 20161000 + 2016999 + + 20162 + 2016 không số phương Bài 21 Chứng minh A = 20182018 + 20181000 + 2018999 + + 20182 + 2018 + khơng số phương Bài 22 Chứng minh tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Bài 23 Chứng minh với số tự nhiên n số sau khơng phải số phương a) A = n2 + 2n + b) B = 9n2 + 8n + 10 Bài 24 Cho N tổng hai số phương a) Chứng minh 2N tổng hai số phương b) Chứng minh N2 tổng hai số phương Bài 25 Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn abc = n2 − cba = ( n − ) với n số tự nhiên Bài 26 Tìm số tự nhiên m, n cho 2m + 5n số phương Bài 27 Tìm số tự nhiên n cho 13n + số phương Bài 28 Tìm tất các số nguyên n để n + 2n + 2n + n + số phương Bài 29 Tìm số tự nhiên có A = a1a 2a b1b2 b3a1a 2a a  thỏa mãn đồng thời điều kiện b1 b2 b3 = 2.a1a 2a số A viết dạng A = p12 p22 p32 p42 với p1 , p2 , p3 , p4 bốn số nguyên tố Bài 30 Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Bài 31 Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Bài 32 Tìm số số nguyên n cho B = n2 − n + 13 số phương Bài 33 Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn (a ) + b − ( a + b ) + ( − ab ) = −4ab 2 Chứng minh + ab bình phương số hữu tỷ Bài 34 Tìm số nguyên dương n lớn để A = 27 + 2016 + n số phương Bài 35 Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương khác Bài 36 Cho dãy gồm 2018 số 1 1 Người ta biến đổi dãy nói ; ; ; ; ; 2017 2018 cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u + v + uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2017 lần biến đổi, dãy cuối lại số Vậy số cuối số phương khơng ( ) Bài 37 Cho dãy số tự nhiên xác định công thức u n = n + n + với n = 1; 2; 3; Chứng minh dãy số số lập phương Bài 38 Tìm x nguyên dương để 4x3 + 14x2 + 9x − số phương Bài 39 Cho dãy số n; n + 2; n + 4; ; 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có số phương Bài 40 Chứng minh với số tự nhiên n  ( n + )( n + 1)( n + ) lập phương số tự nhiên Bài 41 Cho số nguyên tố p lớn hai số nguyên dương a, b thỏa mãn p2 + a2 = b2 Chứng minh ( p + a + 1) số phương Bài 42 Cho p số nguyên tố thỏa mãn p = a3 − b3 với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh lấy 4p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Bài 43 Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Chứng minh số đối bóng tham gia giải số phương ( ) Bài 44 Cho a số tự nhiên Biết A = a n + lập phương số tự nhiên với số tự nhiên n Chứng minh a = Bài 45 a) Tìm số nguyên số p để 2p + lập phương số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p để 13p + lập phương số tự nhiên Bài 46 Tìm số nguyên tố p cho số A = 1010n2 + 2010 ( n + p) + 1010 1954 với n số tự nhiên viết dạng hiệu hai số phương Bài 47 Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước số nguyên tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương Bài 48 Cho p số nguyên tố Giả sử a1 ; a ; ; a m số nguyên đương đôi khác thỏa mãn 1 + + + = Biết số nguyên dương lớn a1 a an số a1 ; a ; ; a m 2p Chứng minh a1 a a m số chinha phương Bài 49 Tìm tất số nguyên tố p1 ; p2 ; p3 ; p4 ; p5 ; p6 ; p7 có tổng bình phương bảy số ngun tố bình phương số nguyên tố Bài 50 Số nguyên dương n gọi số điều hòa tổng bình phương ước dương (kể n) ( n + ) a) Chứng minh số 287 số điều hòa b) Chứng minh số n = p3 (với p số nguyên tố) số điều hòa c) Chứng minh số n = p.q (với p q số ngun tố khác nhau) số điều hịa n + số phương Bài 51 Tìm tam giác vng có độ dài cạnh ngun dương diện tích tam giác vng số phương Bài 52 Gọi T tập hợp tam giác mà đỉnh tam giác có tọa độ nguyên cạnh tam giác số nguyên Chứng minh tam giác cân thuộc tập hợp T chia thành hai tam giác vuông thuộc tập hợp T 2  1  1 27 Bài 53 Cho số thực x, y âm thỏa mãn  x −  +  y −   Chứng minh 2  2  giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P =  x  x   +  y  y   số phương Bài 54 Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Bài 55 Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh ( a − 1)( b − 1) chia hết cho 192 Bài 56 Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn số M = ( 9a + 11b )( 5b + 11a ) chia hết cho 17 Chứng minh M chia hết cho số phương Bài 57 Cho hai số tự nhiên a b thỏa mãn M = ( 16a + 17b )( 17a + 16b ) bội số 11 Chứng minh M chia hết cho số phương Bài 58 Tìm số phương có chữ số biết hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống Bài 59 Xét hai số an = 22n+1 + 2n+1 + bn = 22n+1 − 2n+1 + với n số tự nhiên Chứng minh tích a n b n khơng thể số phương Bài 60 Tìm số nguyên dương a, b thoả mãn điều kiện a3 + b2 lập phương số nguyên dương Trong a số nguyên tố ( b; ) = ( a; b ) = Bài 61 Tìm tất nguyên x để x ( x + 1) + 2x + lập phương số nguyên Bài 62 Tìm số nguyên k để k4 − 8k3 + 23k2 − 26k + 10 số phương Bài 63 Tìm số nguyên dương n cho số S n = 1.2.3 + n ( n + 1) ( n + ) viết dạng tổng hai số phương Bài 64 Chứng minh A = n + 2n + 2n + 2n + khơng phải số phương với số tự nhiên n Bài 65 Cho hai số hữu tỷ a, b thỏa mãn a3 b + ab3 + 2a2 b2 + 2a + 2b + = Chứng minh − ab bình phương số hữu tỷ Bài 66 Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện abc = ( a + b ) 4c Bài 67 Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P = x3 + 3x2 + x + lũy thừa số nguyên tố Bài 68 Tìm cặp số nguyên dương ( m; n ) thỏa mãn 2m.m2 = 9n2 − 12n + 19 ( ) Bài 69 Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn số x2 + y − 3x + 2y − ( ) x2 + y + 4x + 2y + số phương Bài 70 Tìm giá trị nguyên x để M = x4 + ( x + 1) − 2x − 2x số phương Bài 71 Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n cho n2 + 2018 số phương Bài 72 Cho x, y, z số hữu tỉ thỏa mãn niểu thức 1 + = Chứng minh giá trị x y z x2 + y2 + z2 số hữu tỉ Bài 73 Đặt A = ( a + b ) − 2a B = ( a + b ) − 2b2 với a, b số nguyên 2 dương Chứng minh A B khơng thể đồng thời số phương Bài 74 Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2 + a = 4b2 − b Chứng minh a + b số phương Bài 75 Cho A = m n − 4m − 2n với m n số nguyên dương a) Tìm tất giá trị m để với n = A số phương b) Chứng minh n  A khơng thể số phương Bài 76 Tìm tất số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x2 + 3y y2 + 3x số phương Bài 77 Tìm tất số có ba chữ số chia hết cho 11 cho thương số phép chia số cho 11 tổng bình phương chữ số số Bài 78 Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên n để A = n + 4n p−1 số phương Bài 79 Tìm số nguyên m cho m + 12 số phương Bài 80 Chứng minh a b số tự nhiên lẻ a2 + b2 khơng phải Bài 81 Cho a, b, c số nguyên dương nguyên nguyên tố thỏa mãn 1 + = Chứng minh a + b số phương a b c Bài 82 Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: a) n + số phương b) n − số phương c) n chia hết cho Bài 83 Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab + = ( a + b ) Bài 84 Cho p số nguyên tố lớn n số tự nhiên khác Chứng minh pn tổng hai lập phương hai số nguyên dương khác Bài 85 Cho ba số tự nhiên x, y, z thoả mãn x2 + y2 = z2 Chứng minh xy chia hết cho 12 Bài 86 Tìm tất cặp số nguyên x thỏa mãn ( x + 1) − ( x − 1) lập phương số nguyên Bài 87 Cho x y số hữu tỉ thoả mãn ( x + y ) = xy ( 3x + 3y + ) Chứng minh − xy số hữu tỉ Bài 88 Chứng minh hiệu lập phương số nguyên liên tiếp bình phương số tự nhiên n n tổng số phương liên tiếp Bài 89 Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo thành số phương có bốn chữ số Bài 90 Chứng minh N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n số phương với n số nguyên dương Bài 91 Cho x, y số nguyên lớn cho 4x2 y2 − 7x + 7y số phương Chứng minh x = y Bài 92 Cho số nguyên a, b thỏa mãn a + b + = ( ab + a + b ) Chứng minh a b hai số phương liên tiếp Bài 93 Giả sử m n số nguyên dương với n  Đặt S = m2 n2 − 4m + 4n Chứng minh rằng: ( a) Nếu m  n mn − )  n2S  m2 n4 b) Nếu S số phương m = n Bài 94 Chứng minh x2 + 2y số phương với x y số nguyên dương x2 + y tổng hai số phương Bài 95 Tìm tất số nguyên dương a b cho a b − ( a + b ) số phương Bài 96 Tìm số tự nhiên bé n  cho phương + 2 + 32 + + n số n a + b2 số nguyên p Bài 97 Cho số nguyên a, b số nguyên tố p thỏa mãn Cho biết p tổng hai số phương Chứng minh a + b2 p tổng hai số phương Bài 99 Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức a + b2 + c = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 2 Chứng minh số ab; bc; ca ab + bc + ca số phương Bài 100 Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện a − b số nguyên tố 3c = c ( a + b ) + ab Chứng minh 8c + số phương Bài 101 Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn c ( ac + 1) = ( 5c + 2b )( 2c + b ) Chứng minh c số phương lẻ Bài 102 Cho số nguyên dương a1 Ta lập số nguyên dương a ; a ; a ; ; a 2015 thỏa mãn điều kiện an+1 = an3 + 2013 , với n = 1; 2; 3; ; 2014 Hỏi 2015 số nguyên dương a1 ; a ; a ; ; a 2015 có số phương Bài 103 Giả sử K tích tám số tự nhiên liên tiếp Q là số phương nhỏ thỏa mãn điều kiện Q  K Chứng minh Q − K số phương Bài 104 Cho x, y, z số nguyên dương nguyên tố theo đôi thỏa mãn điều kiện ( x − z )( y − z ) = z Chứng minh tích xyz số phương Bài 105 Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ cho n biểu diễn thành tổng số lẻ số phương liên tiếp Bài 106 Tìm số nguyên dương n để ( 5n + )( 4n + ) số phương Bài 107 Tìm số nguyên dương x để 3x − 32 số phương ... xy số hữu tỉ Bài 88 Chứng minh hiệu lập phương số nguyên liên tiếp bình phương số tự nhiên n n tổng số phương liên tiếp Bài 89 Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo thành số. .. chia số cho 11 tổng bình phương chữ số số Bài 78 Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên n để A = n + 4n p−1 số phương Bài 79 Tìm số nguyên m cho m + 12 số phương Bài 80 Chứng minh a b số tự nhiên... số phương Bài 39 Cho dãy số n; n + 2; n + 4; ; 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có số phương Bài 40 Chứng minh với số tự nhiên n  ( n + )( n + 1)( n + ) lập phương số tự nhiên Bài 41 Cho số