MỘT sô bài tập tự LUYỆN số CHÍNH PHƯƠNG số lập PHƯƠNG

MỘT SÔ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A − B số phương Bài Chứng minh số N = 111 11.1000 00 + số phương n −1 c/s n c/s Bài Cho A = 111 11; B = 111 11; C = 666 với m số nguyên dương m +1 c/s 2m c/s m c/s Chứng minh A + B + C + số phương Bài Chứng minh A = 244 999 91000 số phương n − c/s ( n c/s )( ) Bài Cho A = 10n + 10n −1 ++ 10 + 10n +1 + + với n số nguyên dương Chứng minh số phương lập phương Bài Chứng minh số A = 11 + 44 + số phương 2n c/s n c/s Bài Chứng minh C = 444 44 + 222 22 + 888 88 + số phương 2n c/s n +1 n c/s Bài Cho dãy số 16;1156;111556; Chứng minh dãy số số phương Bài Chứng minh với số nguyên n  a n = + 2.6.10 ( 4n − ) ( n + )( n + ) ( 2n ) số phương Bài 10 Chứng minh A = 13 +23 +33 +43 + + 20163 số phương Bài 11 Cho hai số a = 111 11 (có 2020 chữ số 1) b = 100 05 (có 2019 chữ số 0) Chứng minh ab + số tự nhiên Bài 12 Cho A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y với x, y số nguyên Chứng minh A số phương Bài 13 Chứng minh p tích n số nguyên tố p − p + khơng thể số phương Bài 14 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng ( )( )( minh A = + a + b2 + c ) số phương Bài 15 Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh M = 1 bình phương số hữu tỉ + + a b2 c Bài 16 Cho hai số phương có tổng số chia hết cho Chứng minh hai số phương chia hết cho Bài 17 Cho n số tự nhiên Chứng minh a) A = 2n2 + 2n + số tự nhiên b) B = 3n + 2019 số phương Bài 18 Ta ký hiệu n! tích n số ngun dương Tìm số tự nhiên n cho S = 1!+ 2!+ 3!+ + n! số phương Bài 19 Chứng minh với n số tự nhiên số sau khơng số phương a) n2 + 7n + 10 b) 4n2 + 5n + Bài 20 Chứng minh số S = 20162016 + 20161000 + 2016999 + + 20162 + 2016 không số phương Bài 21 Chứng minh A = 20182018 + 20181000 + 2018999 + + 20182 + 2018 + khơng số phương Bài 22 Chứng minh tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Bài 23 Chứng minh với số tự nhiên n số sau khơng phải số phương a) A = n2 + 2n + b) B = 9n2 + 8n + 10 Bài 24 Cho N tổng hai số phương a) Chứng minh 2N tổng hai số phương b) Chứng minh N2 tổng hai số phương Bài 25 Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số abc thỏa mãn abc = n2 − cba = ( n − ) với n số tự nhiên Bài 26 Tìm số tự nhiên m, n cho 2m + 5n số phương Bài 27 Tìm số tự nhiên n cho 13n + số phương Bài 28 Tìm tất các số nguyên n để n + 2n + 2n + n + số phương Bài 29 Tìm số tự nhiên có A = a1a 2a b1b2 b3a1a 2a a  thỏa mãn đồng thời điều kiện b1 b2 b3 = 2.a1a 2a số A viết dạng A = p12 p22 p32 p42 với p1 , p2 , p3 , p4 bốn số nguyên tố Bài 30 Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Bài 31 Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Bài 32 Tìm số số nguyên n cho B = n2 − n + 13 số phương Bài 33 Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn (a ) + b − ( a + b ) + ( − ab ) = −4ab 2 Chứng minh + ab bình phương số hữu tỷ Bài 34 Tìm số nguyên dương n lớn để A = 27 + 2016 + n số phương Bài 35 Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương khác Bài 36 Cho dãy gồm 2018 số 1 1 Người ta biến đổi dãy nói ; ; ; ; ; 2017 2018 cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u + v + uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2017 lần biến đổi, dãy cuối lại số Vậy số cuối số phương khơng ( ) Bài 37 Cho dãy số tự nhiên xác định công thức u n = n + n + với n = 1; 2; 3; Chứng minh dãy số số lập phương Bài 38 Tìm x nguyên dương để 4x3 + 14x2 + 9x − số phương Bài 39 Cho dãy số n; n + 2; n + 4; ; 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có số phương Bài 40 Chứng minh với số tự nhiên n  ( n + )( n + 1)( n + ) lập phương số tự nhiên Bài 41 Cho số nguyên tố p lớn hai số nguyên dương a, b thỏa mãn p2 + a2 = b2 Chứng minh ( p + a + 1) số phương Bài 42 Cho p số nguyên tố thỏa mãn p = a3 − b3 với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh lấy 4p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Bài 43 Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Chứng minh số đối bóng tham gia giải số phương ( ) Bài 44 Cho a số tự nhiên Biết A = a n + lập phương số tự nhiên với số tự nhiên n Chứng minh a = Bài 45 a) Tìm số nguyên số p để 2p + lập phương số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p để 13p + lập phương số tự nhiên Bài 46 Tìm số nguyên tố p cho số A = 1010n2 + 2010 ( n + p) + 1010 1954 với n số tự nhiên viết dạng hiệu hai số phương Bài 47 Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước số nguyên tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương Bài 48 Cho p số nguyên tố Giả sử a1 ; a ; ; a m số nguyên đương đôi khác thỏa mãn 1 + + + = Biết số nguyên dương lớn a1 a an số a1 ; a ; ; a m 2p Chứng minh a1 a a m số chinha phương Bài 49 Tìm tất số nguyên tố p1 ; p2 ; p3 ; p4 ; p5 ; p6 ; p7 có tổng bình phương bảy số ngun tố bình phương số nguyên tố Bài 50 Số nguyên dương n gọi số điều hòa tổng bình phương ước dương (kể n) ( n + ) a) Chứng minh số 287 số điều hòa b) Chứng minh số n = p3 (với p số nguyên tố) số điều hòa c) Chứng minh số n = p.q (với p q số ngun tố khác nhau) số điều hịa n + số phương Bài 51 Tìm tam giác vng có độ dài cạnh ngun dương diện tích tam giác vng số phương Bài 52 Gọi T tập hợp tam giác mà đỉnh tam giác có tọa độ nguyên cạnh tam giác số nguyên Chứng minh tam giác cân thuộc tập hợp T chia thành hai tam giác vuông thuộc tập hợp T 2  1  1 27 Bài 53 Cho số thực x, y âm thỏa mãn  x −  +  y −   Chứng minh 2  2  giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P =  x  x   +  y  y   số phương Bài 54 Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Bài 55 Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh ( a − 1)( b − 1) chia hết cho 192 Bài 56 Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn số M = ( 9a + 11b )( 5b + 11a ) chia hết cho 17 Chứng minh M chia hết cho số phương Bài 57 Cho hai số tự nhiên a b thỏa mãn M = ( 16a + 17b )( 17a + 16b ) bội số 11 Chứng minh M chia hết cho số phương Bài 58 Tìm số phương có chữ số biết hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống Bài 59 Xét hai số an = 22n+1 + 2n+1 + bn = 22n+1 − 2n+1 + với n số tự nhiên Chứng minh tích a n b n khơng thể số phương Bài 60 Tìm số nguyên dương a, b thoả mãn điều kiện a3 + b2 lập phương số nguyên dương Trong a số nguyên tố ( b; ) = ( a; b ) = Bài 61 Tìm tất nguyên x để x ( x + 1) + 2x + lập phương số nguyên Bài 62 Tìm số nguyên k để k4 − 8k3 + 23k2 − 26k + 10 số phương Bài 63 Tìm số nguyên dương n cho số S n = 1.2.3 + n ( n + 1) ( n + ) viết dạng tổng hai số phương Bài 64 Chứng minh A = n + 2n + 2n + 2n + khơng phải số phương với số tự nhiên n Bài 65 Cho hai số hữu tỷ a, b thỏa mãn a3 b + ab3 + 2a2 b2 + 2a + 2b + = Chứng minh − ab bình phương số hữu tỷ Bài 66 Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện abc = ( a + b ) 4c Bài 67 Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P = x3 + 3x2 + x + lũy thừa số nguyên tố Bài 68 Tìm cặp số nguyên dương ( m; n ) thỏa mãn 2m.m2 = 9n2 − 12n + 19 ( ) Bài 69 Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn số x2 + y − 3x + 2y − ( ) x2 + y + 4x + 2y + số phương Bài 70 Tìm giá trị nguyên x để M = x4 + ( x + 1) − 2x − 2x số phương Bài 71 Chứng minh khơng tồn số tự nhiên n cho n2 + 2018 số phương Bài 72 Cho x, y, z số hữu tỉ thỏa mãn niểu thức 1 + = Chứng minh giá trị x y z x2 + y2 + z2 số hữu tỉ Bài 73 Đặt A = ( a + b ) − 2a B = ( a + b ) − 2b2 với a, b số nguyên 2 dương Chứng minh A B khơng thể đồng thời số phương Bài 74 Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2 + a = 4b2 − b Chứng minh a + b số phương Bài 75 Cho A = m n − 4m − 2n với m n số nguyên dương a) Tìm tất giá trị m để với n = A số phương b) Chứng minh n  A khơng thể số phương Bài 76 Tìm tất số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x2 + 3y y2 + 3x số phương Bài 77 Tìm tất số có ba chữ số chia hết cho 11 cho thương số phép chia số cho 11 tổng bình phương chữ số số Bài 78 Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên n để A = n + 4n p−1 số phương Bài 79 Tìm số nguyên m cho m + 12 số phương Bài 80 Chứng minh a b số tự nhiên lẻ a2 + b2 khơng phải Bài 81 Cho a, b, c số nguyên dương nguyên nguyên tố thỏa mãn 1 + = Chứng minh a + b số phương a b c Bài 82 Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: a) n + số phương b) n − số phương c) n chia hết cho Bài 83 Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab + = ( a + b ) Bài 84 Cho p số nguyên tố lớn n số tự nhiên khác Chứng minh pn tổng hai lập phương hai số nguyên dương khác Bài 85 Cho ba số tự nhiên x, y, z thoả mãn x2 + y2 = z2 Chứng minh xy chia hết cho 12 Bài 86 Tìm tất cặp số nguyên x thỏa mãn ( x + 1) − ( x − 1) lập phương số nguyên Bài 87 Cho x y số hữu tỉ thoả mãn ( x + y ) = xy ( 3x + 3y + ) Chứng minh − xy số hữu tỉ Bài 88 Chứng minh hiệu lập phương số nguyên liên tiếp bình phương số tự nhiên n n tổng số phương liên tiếp Bài 89 Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo thành số phương có bốn chữ số Bài 90 Chứng minh N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n số phương với n số nguyên dương Bài 91 Cho x, y số nguyên lớn cho 4x2 y2 − 7x + 7y số phương Chứng minh x = y Bài 92 Cho số nguyên a, b thỏa mãn a + b + = ( ab + a + b ) Chứng minh a b hai số phương liên tiếp Bài 93 Giả sử m n số nguyên dương với n  Đặt S = m2 n2 − 4m + 4n Chứng minh rằng: ( a) Nếu m  n mn − )  n2S  m2 n4 b) Nếu S số phương m = n Bài 94 Chứng minh x2 + 2y số phương với x y số nguyên dương x2 + y tổng hai số phương Bài 95 Tìm tất số nguyên dương a b cho a b − ( a + b ) số phương Bài 96 Tìm số tự nhiên bé n  cho phương + 2 + 32 + + n số n a + b2 số nguyên p Bài 97 Cho số nguyên a, b số nguyên tố p thỏa mãn Cho biết p tổng hai số phương Chứng minh a + b2 p tổng hai số phương Bài 99 Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức a + b2 + c = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 2 Chứng minh số ab; bc; ca ab + bc + ca số phương Bài 100 Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn điều kiện a − b số nguyên tố 3c = c ( a + b ) + ab Chứng minh 8c + số phương Bài 101 Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn c ( ac + 1) = ( 5c + 2b )( 2c + b ) Chứng minh c số phương lẻ Bài 102 Cho số nguyên dương a1 Ta lập số nguyên dương a ; a ; a ; ; a 2015 thỏa mãn điều kiện an+1 = an3 + 2013 , với n = 1; 2; 3; ; 2014 Hỏi 2015 số nguyên dương a1 ; a ; a ; ; a 2015 có số phương Bài 103 Giả sử K tích tám số tự nhiên liên tiếp Q là số phương nhỏ thỏa mãn điều kiện Q  K Chứng minh Q − K số phương Bài 104 Cho x, y, z số nguyên dương nguyên tố theo đôi thỏa mãn điều kiện ( x − z )( y − z ) = z Chứng minh tích xyz số phương Bài 105 Tìm số tự nhiên lẻ nhỏ cho n biểu diễn thành tổng số lẻ số phương liên tiếp Bài 106 Tìm số nguyên dương n để ( 5n + )( 4n + ) số phương Bài 107 Tìm số nguyên dương x để 3x − 32 số phương b = n10 − 2n9 + 4n8 − 8n7 + 16n6 − 32n5 + 64n4 − 128n3 + 256n2 − 512n + 210 Do b chia 43 dư Điều vơ lí b chia hết cho 43 Do n + khơng chia hết cho 43 Ta có m + 432 = ( n + ) b 43 nên m chia hết cho 43, từ ta m2 + 432 432 suy ( n + ) b 432 Mà ta có n + khơng chia hết cho 43 Nên b 432 hay b = 432 a với a số tự nhiên ( 2; a ) = Hơn m chia hết cho 43 nên m = 43q với q số tự nhiên Do ta ( n + 2) b = m ( ) ( ) + 432 = 432 q +  ( n + ) 432 a = 432 q +  q + = ( n + ) a Mà ta có ( 1; q ) = nên theo nhận xét thứ hai q2 + khơng có ước ngun tố dạng 4k + Nhưng n chia dư nên n + chia dư hay n + có dạng 4k + Điều mâu thuận Vậy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn u cầu tốn Bài 110 • Xét trường hợp p = q Khi 22p + 22q = 2.22p = 22p+1 khơng phải số phương • Xét trường hợp p  q Khi khơng tính tổng qt ta giả sử p  q  ( ) ( ) Suy 22p + 22q = 4p + 4q = 4q 4p−q + Dễ thấy 4q = 2q số phương Ta cần chứng minh p−q + khơng phải số phương Thật vậy, giả sử p−q + số phương Do p  q nên p−q + số lẻ lại có p−q +  , ta đặt 4p−q + = ( 2n + 1) , với n số nguyên dương Khi ta p−q + = 4n ( n + 1) + hay p−q −1 = 4n ( n + 1) Từ suy p−q −1 chia hết cho n n + Do n số nguyên dương nên n ( n + 1)  , hai số n n + số lẻ Do p−q −1 chia hết cho số lẻ, ta p−q −1 = nên suy n ( n + 1) , điều vơ lí Từ suy p−q + khơng thể số phương Vậy 2p + 2q khơng thể số phương Bài 111 Do ab số chẵn nên hai số a b số chẵn Ta xét trường hợp sau • Trường hợp Cả hai số a b số chẵn Khi a b2 chia hết cho Đặt a2 + b2 = 4k với k số tự nhiên Khi ta chọn c = k − Thế a + b2 + c = 4k + ( k − 1) = ( k + 1) hay a2 + b2 + c2 số 2 phương • Trường hợp Trong hai số a b có số chẵn số lẻ Suy hai số a b2 có số chia hết cho số chia có số dư Do ta a2 + b2 = 4k + với k số tự nhiên Khi ta chọn c = 2k Thế a + b2 + c = 4k + + ( 2k ) = ( 2k + 1) hay a2 + b2 + c2 số 2 phương Như hai trường hợp ta chọn số nguyên c để a2 + b2 + c2 số phương Bài 112 Từ giả thiết ( p − 1) n với n  số nguyên tố p ta p−1  n  p  n ( ) ( ) ( ) Lại có n − p suy ( n − 1) n + n + p , ta n + n + p Đăt n2 + n + = kp với k số nguyên dương Ta có ( p − 1) n nên p chia n có số dư 1, kp chia n có số dư k Từ ta n + n + k chia cho n có số dư với nhau, k chia cho n có số dư Đặt p = an + k = bn + với a, b số nguyên a  0; b  / Khi ta có n + n + = ( an + 1)( bn + 1)  n + n + = abn + ( a + b ) n + Hay ta abn + a + b = n + Nếu b  ta abn + a + b  n +  n + 1, trái với abn + a + b = n + Do ta b = , k = nên suy n2 + n + = p ( ) Từ ta 4p − = n + n + − = 4p2 + 4p + = ( 2p + 1) Vậy 4p − số phương Bài 113 Ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử n2 + 3n + lập phương Khi n lập phương ( ) nên ta n n + 3n + lập phương ( ) Để ý n n + 3n + = n + 3n + 3n ( ) Mà ta có n  n + 3n + 3n  ( n + 1) nên ta n  n n + 3n +  ( n + 1) ( ) Do n n + 3n + lập phương Điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai hay n2 + 3n + lập phương Bài 114 Giả sử số nguyên tố p thỏa mãn p2 − p + lập phương số tự nhiên Khi ta đặt p2 − p + = a với a số tự nhiên ( ) Từ ta p ( p − 1) = ( a − 1) a + a + Từ ta suy a  Do p số nguyên tố nên ta a − p a + a + p • Trường hợp Nếu a − p nên ta a − = kp,k  N , a = kp + Khi từ p2 − p + = a ta p2 − p + = ( kp + 1)  p2 − p + = k p3 + 3k p2 + 3kp + Nhận thấy với k  hiển nhiên p2 − p +  k3p3 + 3k2 p2 + 3kp + k  + Với k = , ta p2 − p + =  p ( p − 1) = , điều vơ lí p số nguyên tố + Với k = , ta p3 − 2p2 + 4p =  p2 − 2p + = , không tồn p thỏa mãn Vậy với a − p khơng tồn tai số ngun tố p thỏa mãn u cầu tốn • Trường hợp Nếu a + a + p , ( p; a − 1) = có p ( p − 1) ( a − 1) nên suy p − a − Đặt p = ( a − 1) b + với b  N , từ a + a + p ta suy a2 + a + số nguyên dương hay ta ( a − 1) b + a b + ab + b 3b − a − =a+2+ số nguyên dương Từ ta phải có ab − b + ab − b + 3b − a −  ab − b + Ta xét trường hợp sau + Nếu 3b − a −  ab − b + , ta b ( − a )  a + Từ a  ta b ( − a )  a + , điều mâu thuẫn,  a nên a = a = Khi a = từ p2 − p + = a ta p ( p − 1) = , phương trình vơ nghiệm Khi a = từ p2 − p + = a ta p ( p − 1) = 26 , phương trình vơ nghiệm + Nếu 3b − a −  − ( ab − b + 1)  + a − 3b  ab − b +  b ( a + )  a + , diều vơ lí a +  a + + Nếu 3b − a − =  a = 3b − , từ p = ( a − 1) b + ta p = 3b ( b − 1) + = 3b − 3b + a + a + = ( 3b − ) + ( 3b − ) + = 9b2 − 9b + Từ suy a + a + 9a − 9a + = = p 3a − 3a + ( ) Do từ p ( p − 1) = ( a − 1) a + a + ta p − = ( a − 1) nên ( b − 1)( b − ) = Từ ta b = b = ( ) Với b = p = a , ta p2 − p + = p3  p p2 − p + = , điều vơ lí Với b = p = 3a − , ta 9a − 15a + = a  ( a − 1)( a − ) = nên a = a = Thử trực tiếp ta a = thỏa mãn yêu cầu tốn Khi ta p = 19 Vậy p = 19 số nguyên tố uy thỏa mãn yêu cầu toán Bài 115 Trước hết, ta có nhận xét Nếu số n = 2s t với t lẻ, có số ước lẻ số lẻ t số phương Thật vậy, ta phân tích t = p1a1 pa22 pa33 pakk số ước lẻ n số ước t ( a1 + 1)( a + ) ( a k + 1) Do số lượng lẻ nên tất đại lượng a i + 1,i = 1; 2; 3; ; k lẻ hay a i chẵn, suy t số phương, điều phải chứng minh Trở lại tốn Ta xét hai trường hợp: • Trường hợp Nếu k số chẵn ta p1 + p2 + + d k = 2n + − k lẻ Do đó, số lượng ước lẻ n lẻ Ta viết n = 2s.u2 với u số lẻ Giả sử số ước u m lẻ Ta cần chứng minh s lẻ Do k chẵn số lượng ước lẻ n lẻ nên số lượng ước chẵn n lẻ Các ước chẵn s 2; 21 ; 22 ; ; 2s có tất s ước Mỗi ước kèm với m ước u tạo thành thêm ước chẵn n ms Do ms lẻ, mà số lượng ước chẵn lẻ nên buộc s lẻ Từ suy n số phương • Trường hợp Nếu k lẻ lập luận tương tự ta số lượng ước lẻ chẵn số lượng ước chẵn lẻ Đến dễ thấy điều vơ lí nên trường hợp khơng thể xảy Vậy ta ln có n số phương Bài 116 Ta xét trường hợp sau + Với p = , ta có 2n = m + ( m + 1) với m số nguyên dương Dễ thấy n số chẵn m + ( m + 1) số lẻ nên 2n = m + ( m + 1) vô 3 nghiệm + Với p = , với n = ta có p2 = 32 = 13 + (1 + 1) + Với p  , giả sử tồn số nguyên dương n thỏa mãn pn = m + ( m + 1) ( ) với m số nguyên dương Ta có pn = m + ( m + 1) = ( 2m + 1) m + m + Do m số nguyên dương nên 2m +  1; m2 + m +  Từ ta 2m + = pr ; m2 + m + = ps , với r, s số nguyên dương ( ) Dễ thấy m + m +  2m + nên ps  pr , suy 2m + 1, m + m + = pr  Mặt khác ( d = 2m + 1, m + m + gọi ) ta có m ( 2m + 1) d 2m + d   2 m + m + d 2 m + m + d ( ) ( ) Do suy m + m + − m ( 2m + 1) d nên m + d Nên ta ( m + 1) − ( 2m + 1) d nên chia hết cho d, suy d = d = ( ) Điều mâu thuẫn với 2m + 1, m + m + = pr  Do với p  pn khơng thể tổng lập phương hai số nguyên dương liên tiếp Bài 117 Từ 2x + x = 3y + y  2x – 2y + x – y = y  ( x − y )( 2x + 2y + 1) = y Mặt khác từ từ 2x2 + x = 3y2 + y ta 3x – 3y + x – y = x  ( x – y )( 3x + 3y + 1) = x Do ta ( x – y ) ( 2x + 2y + 1)( 3x + 3y + 1) = x y 2 Suy ( 2x + 2y + 1)( 3x + 3y + 1) số phương Gọi ( 2x + 2y + 1; 3x + 3y + 1) = d , ta 2x + 2y + d; 3x + 3y + d Từ suy ( 3x + 3y + 1) − ( 2x + 2y + 1) = ( x + y ) d Từ ta lại có ( x + y ) d nên ( 2x + 2y + 1) − ( x + y ) = d nên d = Suy ( 2x + 2y + 1, 3x + 3y + 1) = Do 2x + 2y + 3x + 3y + số phương Lại có ( x − y )( 2x + 2y + 1) = y nên suy x − y số phương Vậy x – y; 2x + 2y + 1; 3x + 3y + số phương Bài 118 Giả sử x số nguyên dương thỏa mãn tốn Khi ta đặt x + 25 = y2 với y số tự nhiên Theo giả thiết ta biểu diễn x = 2a.5b = y2 − 24 với a, b số tự nhiên Từ ta ( y − )( y + ) = 2a.5 b • Nếu b = từ phương trình ta ( y − )( y + ) = 2a Suy y − = 2u ; y + = 2v với u, v số tự nhiên thỏa mãn u  v u+v =a Do ta − = 10  v u u (2 v −u 2 u = 2 u = − = 10   v − u   v −u , trường hợp 2 − 2 = ) loại • Nếu b  , ta ( y − )( y + ) Mà ta có ( y + ) − ( y − ) nên ta y Đặt y = 5t , với t  N Khi ta ( t − 1)( t + 1) = 2a.5 b− ( ) Mà ta lai có ( t − 1) + ( t + 1) = 2t số chẵn nên kết hợp với (2) ta ( t − 1) , ( t + 1) số chẵn Đến ta xét trường hợp sau + Trường hợp Khi t − = 2m ; t + = 2n.5b−2 với m, n số tự nhiên m + n = a Suy ta 2n.5b−2 − 2m = Nếu n  m m = 2n.5b−2 = , suy n = b = Khi ta a = Từ ta x = 23.52 = 200 nên x + 25 = 225 = 152 thỏa mãn toán Nếu m  n n = 5b−2 − 2m−1 = Vì  ( mod ) 2, không chia hết 5b−  ( mod ) m −1  ( mod ) , ta b − số lẻ hay b số lẻ Đặt b = 2k + với k số tự nhiên, suy b− = 25k −1.5  ( mod ) Do ta suy m −1  ( mod ) nên m = 3; b = 3;a = Khi x = 24.53 = 2000 nên ta suy x + 25 = 2025 = 452 thỏa mãn yêu cầu toán + Trường hợp Khi t + = 2m ; t − = 2n.5b−2 với m, n số tự nhiên m + n = a Suy 2m − 2n.5b−2 = Nếu n  m m = 2n.5b−2 = , trường hợp loại Nếu m  n n = 2m−1 − 5b−2 = Lập luận hoàn toàn tương tự ta b −  ( mod ) nên b số chẵn Đặt b = 2k với k số tự nhiên Khi ta có b− = 25k −1  ( mod ) nên kết hợp với 2m−1 − 5b−2 = ta m −1  ( mod ) Do ta m = 2; b = 2;a = , x = 23.52 = 200 nên x + 25 = 225 = 152 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy có hai số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán 200 2000 Bài 119 Giả sử 2n = a + b2 với a, b số tự nhiên thỏa mãn a  b  ( Khi ta có 4n = a + b2 ) ( = a + b4 + 2a b2 = a − b2 ) + 4a b2  a − b2   a − b2  2 2 Do ta n =  Khi n + 2n = + ab   + ( ab ) + a + b  ( )     Do a  b  nên suy ( ab ) ; a ; b2 số phương phân biệt lớn 2  a − b2  Như ta cần chứng minh   số phương lớn khác với   ba số phương Thật vậy, 2n = a + b2 số chẵn nên a b2 tính chẵn lẻ a − b2 Lại có a  b  nên suy số nguyên dương 2  a − b2  a − b2 • Nếu  = , suy a = b2 +  b2 + 2b + = ( b + 1)  =   Do b2  a  ( b + 1) , điều vơ lí a số phương 2  a − b2  Từ suy       a − b2  a − b2 • Nếu  = a , suy b2 = a2 − 2a = a    Do a  b  nên a  , suy a2 − 4a +  a2 − 2a Từ ta ( a − )  b2  ( a − 1) , điều vơ lí b2 số phương 2  a − b2  Từ suy   a    a − b2  a − b2 • Nếu  = b , suy a = b2 + 2b  ( b + 1) = b    Từ ta b2  a  ( b + 1) , điều vơ lí b2 số phương 2  a − b2  Từ suy   b    a − b2  a − b2 • Nếu  = ab , suy = ab ( )    a + b2 − 2ab = 2b2  ( a − b ) = 2b Do ta a − b = b , điều vơ lí a − b số nguyên dương b số vô tỷ  a − b2  Từ suy    ( ab )   Từ kết ta suy n + 2n tổng bốn số phương (lớn 1) phân biệt Bài 120 Ta có  a   b,c,d  Từ suy b + d − 2a  16 Mà ta lại có abd = ( b + d − 2a ) nên suy 102  abd  162   Suy ta abd  102 ;112 ;12 ;132 ;14 ;152 ;16 Hay ta abd 100;121;144;169;196; 225; 256 Do abcd + 72 số phương nên ta đặt abcd + 72 = k với k số nguyên dương Các số phương có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; nên ta suy d  2; 3; 4; 7; 8; 9 Kết hợp với abd 100;121;144;169;196; 225; 256 ta suy abd = 144 abd = 169 + Với abd = 144 , ta a = 1; b = d = Mà ta lại thấy 144  ( + − 2.1) nên abd = 144 khơng thỏa mãn u cầu tốn + Với abd = 169 , ta a = 1; b = 6;d = Mà ta lại thấy 169 = ( + − 2.1) nên abd = 169 thỏa mãn yêu cầu toán Từ ta 16c9 + 72 = k2 nên k số lẻ, k số lẻ Mặt khác 1609 + 72  16c9 + 72  1699 + 72 nên 412  k2  432 Từ suy k2 = 412 hay 16c9 + 72 = 412  16c9 = 1609  c = Vậy số cần tìm abcd = 1609 Bài 211 Gọi số tự nhiên có bốn chữ số cần tìm abcd với a, b, c, d số tự nhiên thỏa mãn  a  9;  b,c,d  Theo ta có abcd = ( a + b + c + d ) Ta có nhận xét Một số tự nhiên tổng chữ số chia cho có số dư ( ) Đặt m = a + b + c + d m  N* , abcd m có số dư chia cho ( ) Từ ta abcd − m hay ta abcd − m = 9k k  N* Mà ta có abcd = ( a + b + c + d ) nên ta m − m = 9k  ( m − 1) m ( m + 1) = 9k Do ( m − 1) m ( m + 1) Ta biết ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho mà tích chúng chia hết ba số có số chia hết cho Ta có 1000  abcd  9999  1000  m3  9999  10  m  21 Do ta  m −  20;11  m +  22 Ta xét trường hợp sau: • Nếu m , m = 18 Do ta abcd = 183 = 5832 Thử lại ta thấy 5832 = ( + + + ) • Nếu m + , m + = 18  m = 17 Do ta abcd = 17 = 4813 Thử lại ta thấy 4913 = ( + + + ) • Nếu m − , m − = 18  m = 19 Do ta abcd = 193 = 6859 Thử lại ta thấy 6859 = ( + + + ) khơng Do trường hợp loại Vậy số thỏa mãn yêu cầu toán 5832 4913 Bài 122 Gọi số thỏa mãn yêu cầu toán N = abc với  a,c  9;  b  Khi theo tốn ta có abc + a + b + c + cba số phương Đặt abc + a + b + c + cba = m , ta 102 ( a + b + c ) − 81b = m Từ ta m2  m  m2 nên suy a + b + c Đặt m = 3k,a + b + c = 3h với k,h  N;1  h  Khi từ 102 ( a + b + c ) − 81b = m ta 34h − 9b = k2 Suy k 34h có số dư chia cho hay k 7h có số dư chia cho Xét k chia cho có số dư 0;1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; k chia cho có số dư 0;1; 4; nên 7h có số dư chia cho 0;1; 4; , từ h chia cho có số dư 1; 4; 7; Vì  h  nên suy h  1; 4; 7; 9 Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp Với h = , ta a + b + c = Do a + c  nên ta b  Từ ta tìm a = b = c = thỏa mãn Do ta N = 111 • Trường hợp Với h = , ta a + b + c = 12 Từ 34h − 9b = k2 ta k2 = 136 − 9b Với  b  ta k  64;100 Từ ta k = k = 10 + Với k = ta 82 = 136 − 9b  b = nên a + c = + Với k = 10 ta 102 = 136 − 9b  b = nên a + c = Từ ta số N 183; 381; 282;147;741; 246; 642; 345; 543; 444 thỏa mãn yêu cầu toán • Trường hợp Với h = , ta a + b + c = 21 Từ 34h − 9b = k2 ta k2 = 238 − 9b Với  b  ta khơng tìm k  64;100 • Trường hợp Với h = , ta a + b + c = 27  a = b = c = Do N = 999 Vậy số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu toán N  111;183; 381; 282;147; 741; 246; 642; 345; 543; 444; 999 Bài 123 Gọi số lần xuất chữ số a, b, c, d đẳng thức n Khi ta xét trường hợp sau • Trường hợp Nếu n = , đẳng thức trở thành abc + = ( d + 1) Vì 101  ( d + 1)  1000 nên ta suy  d  Khi ta cho d nhận giá trị 4; 5; 6; 7; 8; ta số abc tương ứng bảng sau d abc + 125 216 343 512 729 1000 abc 124 215 342 511 728 999 ( ) • Trường hợp Nếu n = , ta có aabbcc + = dd + ( ) 3 Vì 100001  dd +  1000000 nên ta suy  d  Khi ta cho d nhận giá trị 5; 6; 7; 8; ta thấy có d = thỏa mãn Từ a = b = c = • Trường hợp Nếu n  , ta đặt x = 111  9x + = 10 n Từ ta n aa abb bcc c + = a.x.10 2n + b.x.10 n + c.x + = d x + 3d x + 3dx +  ax ( 9x + 1) + bx ( 9x + 1) + cx = d x + 3d x + 3dx ( )  81ax + ( 18a + 9b ) x  − d x + 3d x = 3d − ( a + b + c ) Từ suy 3d − ( a + b + c ) x Mà ta lại có x  111 3d − ( a + b + c )  26 Từ ta 3d − ( a + b + c ) = Lập luận tương tự ta 3d − ( 18a + 9b ) = d3 − 81a = Từ ta d3 81  d = Đến ta suy a = b = c = Vậy số ( a, b,c,d ) thỏa mãn yêu cầu (1, 2, 4, ) ; ( 2,1, 5, ) ; ( 3, 4, 2,6 ) ; ( 5,1,1,7 ) ; (7, 2,8,8 ) chữ số a, b, c, d xuất lần ( 9,9,9,9 ) với chữ số a, b, c, d xuất n nguyên dương lần ( Bài 124 Ta có abcd = ab + cd ) ( )  ab.100 + cd = ab + ca Đặt x = ab; y = cd Ta có 1000  abcd  9999 nên suy 32  ab + cd  99 hay 32  x + y  99 Khi ta 100x + y = ( x + y )  99x = ( x + y ) − ( x + y )  99x = ( x + y )( x + y − 1) 2 Từ suy ( x + y )( x + y − 1) chia hết cho 99 Ta xét trường hợp sau • Trường hợp Trong hai thừa số ( x + y ) ( x + y − 1) có thừa số chia hết cho 99 Do 32  x + y  99 nên 31  x + y −  98 , x + y 99 x + y = 99 Tờ ta abcd = 99 = 9801 = ( 98 + 1) , thỏa mãn u cầu tốn • Trường hợp Cả hai thừa số ( x + y ) ( x + y − 1) khơng có thừa số hết cho 99 Chú ý ( x + y ) ( x + y − 1) nguyên tố ( 9,11) nguyên tố Do ( x + y ) ( x + y − 1) chia hết cho cho 11 Do ta có bảng sau: + Trường hợp Với x + y 11; x + y − Ta có bảng giá trị sau x+y 33 44 55 66 77 88 x + y −1 32 43 54 65 76 87 Đúng Với x + y = 55 , abcd = 552 = 3025 = ( 30 + 25 ) thỏa mãn + Trường hợp Với x + y 9; x + y − 11 Ta có bảng giá trị sau x+y 34 45 56 67 78 89 x + y −1 33 44 55 66 77 88 Đúng Với x + y = 45 , abcd = 452 = 2025 = ( 20 + 25 ) thỏa mãn Vậy số thỏa mãn yêu cầu toán 2025; 3025, 9801 Bài 125 Đặt x = abc; y = deg (100  x  999; y  999 ) Khi ta có 1000x + y = ( x + y ) hay ta 999x = ( x + y )( x + y − 1) Do x  999 nên ( x + y )( x + y − 1)  999 x + y  999 • Nếu x + y = 999 từ 999x = ( x + y )( x + y − 1) ta x = 998 y = Khi số cần tìm abc deg = 998001 • Nếu x + y  999 Ta có 999 = 27.37 ( x + y, x + y − 1) = , để ý 37 số nguyên tố Khi hai số x + y x + y − có số cia hết cho 27 số chia hết cho 37 Ta có trường hợp sau + Trường hợp x + y chia hết cho 27 x + y − chia hết cho 37 Khi ta x + y − = 37m,m  N* , suy x + y = 37m + Từ x + y chia hết cho 27 ta 37m + 27 Do 10m + 27  80m + 27  81m − ( m − ) 27  m − 27 Do ta lại m = 27n + 8,n  N Từ suy x + y − = 37 ( 27n + ) = 999n + 296 Nhưng  x + y −  997 nên ta x + y − = 296 Kết hợp với 999x = ( x + y )( x + y − 1) ta x = 88 , loại + Trường hợp x + y chia hết cho 37 x + y − chia hết cho 27 Khi ta có x + y = 37m,m  N* , suy x + y − = 37m − Từ x + y − chia hết cho 27 ta 37m − 27 Do 10m − 27  80m − 27  81m − ( m + ) 27  m + 27 Do ta lại m = 27n − 8,n  N* Từ suy x + y = 37 ( 27n − ) = 999n − 296 Nhưng  x + y  998 nên ta n = , x + y = 703 Kết hợp với 999x = ( x + y )( x + y − 1) ta x = 494; y = 209 Kho số cần tìm abc deg = 494209 Vậy số có sau chữ số hỏa mãn yêu cầu toán abc deg = 494209; 998001 ... xy số hữu tỉ Bài 88 Chứng minh hiệu lập phương số nguyên liên tiếp bình phương số tự nhiên n n tổng số phương liên tiếp Bài 89 Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo thành số. .. chia số cho 11 tổng bình phương chữ số số Bài 78 Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên n để A = n + 4n p−1 số phương Bài 79 Tìm số nguyên m cho m + 12 số phương Bài 80 Chứng minh a b số tự nhiên... số phương Bài 39 Cho dãy số n; n + 2; n + 4; ; 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có số phương Bài 40 Chứng minh với số tự nhiên n  ( n + )( n + 1)( n + ) lập phương số tự nhiên Bài 41 Cho số