Toán lớp 8 các bài toán về chia hết trong số nguyên

Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN I.LÝ THUYẾT - Để chứng minh A  n  chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đơi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số - Chú ý : + Với k số nguyên liên tiếp tích chia hết cho k +Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m II.BÀI TẬP ĐỀ BÀI TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10 Bài Cho a, b, c số hữu tỷ khác thỏa mãn a  b  c  1 Chứng minh rằng: M    bình phương số hữu tỷ a b c Bài Cho x, y hai số dương x2010  y 2010  x2011  y 2011  x2012  y 2012 Tính giá trị biểu thức S  x 2020  y 2020 Bài a b c x y z       x y z a b c x2 y z Chứng minh rằng:    a b c Cho Bài 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Tìm số nguyên a b để đa thức A x   x  3x3  ax  b chia hết cho đa thức B  x   x  3x  Bài a b c x2 y z x y z Cho       Chứng minh rằng:    a b c x y z a b c Bài 1   0 x y z yz xz xy   Tính giá trị biểu thức: A  x  yz y  xz z  xy Bài Cho x, y, z đôi khác 10 Chứng minh 11  chia hết cho 100 Bài Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x) chia cho x  dư 24, f ( x) chia cho x  thương 5x dư Bài Cho x  1  Tính giá trị biểu thức A  x3  x x Bài 10 Cho a2  b2  c2  a3  b3  c3  Tính S  a  b2012  c2013 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10 Bài Ta có: 2 1 1 1 1  1 1 abc 1 1                        a b2 c  a b c  abc  ab bc ac   a b c  a b c Vậy M bình phương số hữu tỉ 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 2 x    x    0;8  x  x  x3    x   x    x  M xác định  x  2; x   x2  x  x2  x  2x2  M     x2  4   x   x2  4  x2   x    2x    x   4x2 2  x   x  4  x  x2  4   x   x2  4  x  1 x   x2  x  1 x    x  x2 2x Bài a b c ayz  bxz  cxy   0   ayz  bxz  cxy  x y z xyz Ta có: x y z x y z   1     1 a b c a b c Từ x2 y z  xy xz yz      2.    1 a b c  ab ac bc  x2 y z cxy  bxz  ayz     1 a b c abc x2 y z    1 (dpcm) a b c Bài Ta có: A( x)  B  x . x  1   a  3 x  b  11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com a   a   Để A( x) B( x)  b   b  4 Bài Từ: a b c ayz  bxz  cxy   0   ayz  bxz  cxy  x y z xyz Ta có: x y z x y z   1     1 a b c a b c x2 y z  xy xz yz      2.    1 a b c  ab ac bc  x2 y z cxy  bxz  ayz     1 a b c abc x2 y z     1 dfcm  a b c Bài 1 xy  yz  xz   0   xy  yz  xz   yz   xy  xz x y z xyz x  yz  x  yz  xy  xz  x  x  y   z  x  y    x  y  x  z  Tương tự: y  xz   y  x  y  z  ; z  xy   z  x  z  y  yz xz xy   Do đó: A   x  y  x  z   y  x  y  z   z  x  z  y  Tính A  Bài 1110   11  1 119  118   11  1  10.119  118   11  1 Vì 10 10 Và 119  118   11  1 có chữ số tận (hàng đơn vị ) 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Nên : 119  118   11  1 chia hết cho 10 10 Vậy : 11  chia hết cho 10 Bài Giả sử f ( x) chia cho x  thương 5x dư ax  b 1) Khi đó: f ( x)   x  . 5 x   ax  b x  Xét giá trị riêng x cho x     x   x       x  2 Với x   f (2)  2a  b Với x  2  f (2)  2a  b   f (2)  24 2a  b  24 a    Theo đề bài, ta có:   f (2)  10 2a  b  10 b  17  Do đó: f ( x)   x    5 x   x  17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x  47 x  17 Bài  1 1  A  x    x    3. x    33  3.3  18 x  x x  Bài 10 a) a  b2  c  a3  b3  c3   a; b; c  1;1  a3  b3  c3   a  b2  c   a  a  1  b2  b  1  c  c  1   a3  b3  c3   a; b; c nhận hai giá trị  b2012  b2 ; c2013  c ;  S  a  b2012  c 2013  ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 11 Cho x  1  Tính giá trị biểu thức A  x3  x x Bài 12 a) Cho a  b  a  b2  20 Tính giá trị biểu thức M  a3  b3 b) Cho a  b  c  a  b2  c2  14 Tính giá trị biểu thức N  a  b4  c Bài 13 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3  x    36 x b) Dựa vào kết chứng minh : A  n3  n2    36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài 14 Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 15 Cho a, b dương a2000  b2000  a2001  b2001  a 2002  b2002 Tính : a 2011  b2011 Bài 16 Tìm a nguyên để a3  2a  7a  chia hết cho a  Bài 17 Tìm số dư phép chia biểu thức  x  2 x   x   x  8  2008 cho đa thức x2  10 x  21 Bài 18 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com a) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x) chia cho x  dư 22, f ( x) chia cho x  thương 5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a3  5a chia hết cho Bài 19 Tìm a, b cho f ( x)  ax3  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x)  x  x  2 Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố Bài 20 a) Chứng minh rằng: Nếu x2  y  z  xy  yz  zx x  y  z ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11  1 1  A  x    x    3. x    33  3.3  18 x  x x  Bài 12 a) Từ a  b2  20   a  b   2ab  20  ab  8 M  a3  b3   a  b   3ab  a  b   23  3. 8.2  56 b) Từ a  b2  c  14   a  b2  c   196  a  b4  c  196   a 2b2  b2c  c 2a  Ta lại có: a  b  c    a  b  c    a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  7   ab  bc  ca   49  a 2b  b 2c  c a  2abc  a  b  c   49  a 2b  b 2c  c a  49 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Tốn Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Do đó: N  a  b4  c  196   a 2b2  b2c  c 2a   196  2.49  98 Bài 13 2 a) x3  x    36 x  x  x3  x   36     x  x3  x   x3  x    x  x  x  x   x  x  x    x  x  1 x  1 x  3 x   x   x  3 b) Theo phần a ta có: A  n3  n2    36n   n  3 n   n  1 n  n  1 n   n  3 Đây tích số ngun liên tiếp nên có 2, bội 3, bội 5, bội Mà  2,3,5,7   nên A  2.3.5.7   A 210 Bài 14 Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy   x  y  z 1 x  y  z (2) Từ (2) suy z   x  y   xy, thay (1) vào ta có: z2   x  y   4 x  y  z  z2  4z   x  y   4 x  y  z2  4z    x  y   4 x  y    z  2   x  y  2 Suy z   x  y   z  x  y  4; thay vào 1 ta được: xy   x  y  x  y   xy  x  y  8  x   y    1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z là:  x; y; z  5;12;13; 12;5;13;  6;8;10; 8;6;10 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 15 a 2001  b 2001   a  b    a 2000  b 2000  ab  a 2002  b 2002   a  1  ab  a    a  1 b  1    b  b  1(tm) 2000  b2001   Vì a   b b  0(ktm)  a  1(tm) b   a 2000  a 2001    a  0(ktm) 2011  b2011  Vậy a  1; b   a Vì Bài 16 x 1  x 1   x2 b)   12      (*)  x2 x4  x4 x 1 x2 x 1  a  b  ab  Đặt x2 x4 x4 2 Phương trình (*) trở thành: a  ab  12b2   a  3b   a  3b  a  4b      a  4b x 1 x2    x  1 x    3 x   (VN ) +Nếu a  3b x2 x4 +Nếu Vậy a  4b  x  3(tm) x 1 x2  4   x  1 x    4  x      x  (tm) x2 x4   4 S  3;   5 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 10 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com  a  2a    a  1(tm) Vậy a  số nguyên tố   a  a    a  1(tm)  Bài 20 a) Ta có: x2  y  z  xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx   x  xy  y    y  yz  z    z  zx  x     x  y   y  z    z  x  2 (1) Ta có:  x  y   0,  y  z   0,  z  x   2 x  y   Do 1   y  z   x  y  z z  x   ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 a) Cho a  a   Tính giá trị biểu thức P  a 2013  a 2013 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x  x y  y  x3  y  y   Tính giá trị biểu thức Q  x  y Bài 22 Cho x  y  M   x  1   y  1  x y 2 Chứng minh giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến số x, y Bài 23 a) Chứng minh n3  28n chia hết cho 48 với n số nguyên chẵn Bài 24 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 12 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Tìm số dư phép chia biểu thức  x  2 x   x   x  8  2008 cho đa thức x2  10 x  21 Bài 25 Đa thức P( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)  0; P(3)  0; P(5)  Hãy tính giá trị biểu thức Q  P  2   P   Bài 26 1) Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ab  bc  ca   a  b  b  c  c  a  A Tính giá trị biểu thức 2 1  a 1  b 1  c  2 x  y  a  b 2) Cho  2 2 x  y  a  b Chứng minh với số nguyên dương n ta có: x n  y n  a n  bn Bài 27 a) Số tự nhiên A   23 số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích b) Tìm giá trị nhỏ B  x2  y  xy  8x  2028 c) Tìm x, y, z biết: 10 x2  y  z  x  y  xz   Bài 28 2012 a) Cho x  by  cz; y  ax  cz; z  ax  by x  y  z  0; xyz  1   2 CMR: 1 a 1 b 1 c 1 yz xz xy b) Cho    0, tính giá trị biểu thức P    x y z x y z Bài 29 a) Chứng minh n3  17n chia hết cho với n x  a  1  a   a x   b) Rút gọn biểu thức:  x2  a  1  a   a x2  11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 13 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 30 Chứng minh rằng: a) 85  211 chia hết cho 17 b) 1919  6919 chia hết cho 44 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 a) Từ a  a   với a  ta có:  a  1  a  a  1   a3    a3  Ta lại có a 2013   a3  Do đó: P  a 2013  671 a 2013   a3  2 2 b) Từ x  x y  y   x  671  a  671 11  2y   1  x  y2  (1) x3  y  y    x3  1   y  1  1  x  1 (2) Từ (1) (2)  x  1  x2  x2   y  y    y   y  Vậy Q  x2  y    Bài 22 M   x  1   y  1  x y 2  x4  2x2   y  y   2x2 y   x4  2x2 y  y    x2  y     x2  y    x2  y   2  22  2.2   Bài 23 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 14 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com a) n  2k , với k số nguyên; n3  28n   2k   28  2k   8k  56k  8k  k    8k  k     8k  k  1  48k  8k  k  1 k  1  48k k  k  1 k  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết 8k  k  1 k  1  48k chia hết cho 48 Bài 24 Ta có: P( x)   x   x   x   x    2008   x  10 x  16  x  10 x  24   2008 Đặt t  x  10 x  21 t  3; t  7  , Biểu thức P( x) viết lại P( x)   t  5 t  3  2008  t  2t  1993 Do chia t  2t  1993 cho t ta có số dư 1993 Bài 25 Ta có: P( x) ( x  1),  x  3 ,  x  5 Nên P  x  có dạng P  x    x  1 x  3 x  5 x  a  Khi đó: P(2)  7.P(6)   3. 5. 7 . 2  a   7.5.3.1.  a   105. 2  a   105.  a   105.  a   a   840 Bài 27 a) 32012 nên viết 32012  3n    13  23n  13   2n   1  2n  1  2n   2n    A hợp số   b) B  x  y  xy  x  2028  A   23 2012  x  xy  y  x  x  16  2012   x  y    x    2012  2012 2 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 15 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com x  y  x   Đẳng thức xảy   x     y  4 x  Giá trị nhỏ B 2012    y  4 c)10 x  y  z  x  y  xz     x  x  1   y  y     z  xz  x     3x  1   y     z  x   2  x    3x      y    y  2 z  x   1  z   Bài 28 a) Từ giả thiết  2cz  z  x  y  2cz  x  y  z x yz x yz 2z c  c 1   2z 2z c 1 x  y  z 2x 2y 1  ;    2 Tương tự: Khi đó: 1 a x  y  z 1 b x  y  z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 b) Từ        x y z x y z xyz Khi đó: 1 yz xz xy xyz xyz xyz 1 P        xyz.     xyz 3 x y z x y z x y z xyz   Bài 29 a) n3  17n  n3  n  18n  n  n  1 n  1  18n Vì n  n  1 n  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,  2,3  nên chia hết cho 18n , suy điều phải chứng minh 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 16 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com b)  x2  a  1  a   a x  x  x 2a  a  a  a x    x2  a  1  a   a x  x2  x2a  a  a  a x  2 x  x a  a x   a  a x 1  a  a   1  a  a    x  x a  a x   a  a x 1  a  a   1  a  a  x  x 2  11  a  a   11  a  a    a  a2  a  a2 Bài 30 a) Ta có: 85  211   23   211  215  211  211. 24  1  211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) Áp dụng đẳng thức a n  bn   a  b   a n1  a n2b  a n3b2   abn2  bn1  với n lẻ Ta có: 1919  6919  19  69  1918  1917.69   6918   88.1918  1917.69   6918  chia hết cho 44 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40 Bài 31 Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ab  a  b  chia hết cho 192 Bài 32 a) Cho a + b + c = 0, chứng minh a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) D = 232 Bài 33 a) Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x  y  z chia hết cho 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 17 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Chứng minh M   x  y  y  z  x  z   2xyz chia hết cho b) Cho a, b, c số khác thỏa mãn: a3b3  b3c3  c3a3  3a 2b2c2 /  a  b  c  Tính giá trị biểu thức P  1  1  1    b  c  a  Bài 34 Cho S 1 1 Chứng minh S      12 101 102 103 200 Bài 35 Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x) chia cho x  dư 24, f ( x) chia cho x  thương 5x dư Chứng minh rằng: 2 a  b  c  b  c  a   c  a  b  a  b  c   b  a  c  a  c  b  Bài 36 Chứng minh rằng: a) 85  211 chia hết cho 17 b) 1919  6919 chia hết cho 44 Bài 37 Đa thức bậc có hệ số cao thỏa mãn f (1)  5; f (2)  11; f (3)  21 Tính f (1)  f (5) Bài 38 a) Chứng minh rằng: Nếu a  N, a > A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số b) Cho 10a2 = 10b2 – c2 Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 Bài 39 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 18 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com a) Tìm đa thức f ( x), biết f ( x) chia cho x  dư 10, chia cho x  dư 24, chia cho x  thương 5x dư b) Cho p p  1là số nguyên tố lớn Chứng minh p  1là hợp số Bài 40 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40 Bài 31 Vì a, b hai số phương liên tiếp nên giả sử a  b, ta có: a   2k  1 ; b   2k  1 với k  , k  2 ab  a  b    a  1 b  1  16k  k  1 k  1 Vì k  k  1 k  1 chia hết cho 3, với k  Và k  k  1 k  1 chia hết cho 4, với k  Kết hợp với  3,4   Nên ab  a  b  1chia hết cho 16.12  192 (dfcm) Bài 32 a b Ta có: a + b + c = suy a + b = - c Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Suy (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm) C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1) C = (28-1) (28+1)(216+1) C = (216-1)(216+1) C = 232-1 Vì 232 - < 232 nên C < D Bài 33 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 19 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com a) Ta có: M   x  y  x  z  y  z   xyz Học sinh biến đổi được: M   x  y  z  xy  yz  zx   3xyz Vì x, y, z số nguyên thỏa mãn x  y  z chia hết  x  y  z  xy  yz  xz  chia hết cho Trong số x, y, z tồn số chia hết cho Suy 3xyz Do đó,  x  y  z  xy  yz  xz   3xyz chia hết cho Vậy M b) Đặt ab  x; bc  y; ca  z Ta có: x3  y3  z  3xyz Học sinh chứng minh : x  y  z  x2  y  z  xy  yz  xz  TH1: x  y  z  Sử dụng đẳng thức :  x  y  z   x3  y  z  3 x  y   z  x  z    xyz   x  y  y  z  x  z  Ta có: a 2b2c2   ab  bc  bc  ca  ca  ab  abc   a  b  b  c  c  a   a  b  c   P  1  1  1    1  b  c  a  TH : x  y  z  xy  yz  xz    x  y   y  z   z  x  2  x  y  z  ab  bc  ca a bc P 8 Bài 34 1   1 1   Ta có: A            +  150   151 152 153 200   101 102 103 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta 1 1   50        150  150  101 102 103 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 20 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com 1 1   50        200  200  151 152 153 1   1 1  1   A         +      150   151 152 153 200  12  101 102 103 1   1 1    A          +   12 101 102 103 150 151 152 153 200     Bài 35 3.1 Giả sử f ( x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi : f ( x)   x  . 5 x   ax  b Theo đề bài, ta có:   f (2)  24 2a  b  24 a      f (2)  10 2a  b  10 b  17  Do : f ( x)   x  .(5 x)  x  17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x  47 x  17 3.2 Ta có: a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c   b  a  c   a  c  b   (1) xz  a   a  b  c  x  x y   Đặt b  c  a  y  b  a  c  b  z   yz  c   Khi ta có: 11 Chun Đề Tốn 8_chun đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Tốn Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 21 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com xz x y yz yz xz x y 2      y   x   x  y  x  y  z  2   2  xz xz yz z y 2  y  x   x  y  z 2 2 2 2 2 2 =  x  z  y   z  y  x   x  y .z 4 1   x  y  z   x  y  z   VP (dfcm) 4 VT  Bài 36 a) Ta có: 85  211   23   211  215  211  211. 24  1  211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) Áp dụng đẳng thức a n  bn   a  b   a n1  a n2b  a n3b2   abn2  bn1  với n lẻ Ta có: 1919  6919  19  69  1918  1917.69   6918   88.1918  1917.69   6918  chia hết cho 44 Bài 37 Nhận xét g ( x)  x  thỏa mãn g (1)  5; g (2)  11; g (3)  21 Q( x)  f ( x)  g ( x) đa thức bậc có nghiệm x  1; x  2; x  Vậy Q( x)   x  1 x   x  3 x  a  ; ta có: f (1)  Q(1)  2(1)   29  24a f (5)  Q(5)  2.52   173  24a  f (1)  f (5)  202 Bài 38 a/Đặt a2+ a + = x (1) A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 22 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy A a 1; A a  2; A a  a  Vậy A hợp số b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2 mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2 nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2) = 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP Bài 39 a) Giả sử f  x  chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi f ( x)   x    5x   xa  b   f (2)  24 2a  b  24 a    Theo đề ta có:   f (2)  10 2a  b  10 b  17  Do f ( x)   x    5 x   x  17 47 x  17 Vậy f ( x)  5 x  b) Do p số nguyên tố lớn nên có dạng p  3k  1; p  3k  với k  + Nếu p  3k  p   6k   3 2k  1 Suy p  hợp số (vô lý) +Nếu p  3k  1, k  p   12k   3. 4k  1 Do k  nên 4k   Do p  1là hợp số Bài 40 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 23 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 41 Bài 42 Bài 43 Bài 44 Bài 45 Bài 46 Bài 47 Bài 48 Bài 49 Bài 50 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50 Bài 41 Bài 42 Bài 43 Bài 44 Bài 45 Bài 46 Bài 47 Bài 48 Bài 49 Bài 50 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI 60 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 24 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài 55 Bài 56 Bài 57 Bài 58 Bài 59 Bài 60 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI 60 Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài 55 Bài 56 Bài 57 Bài 58 Bài 59 Bài 60 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 25 Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi Phone,zalo: 03.5352.6757_fb: Hồ K Vũ – Hồ Khải Vũ_mail: Hokhaivuqnam@gmail.com 11 Chuyên Đề Toán 8_chuyên đề 2: Chia Hết – Số Nguyên Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ_Giáo viên Toán Tiểu học – THCS-Tam Kỳ-Quảng Nam_29.06.1994 26 ... Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 41 Bài 42 Bài 43 Bài 44 Bài 45 Bài 46 Bài 47 Bài 48 Bài 49 Bài 50 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50 Bài 41 Bài 42 Bài 43 Bài 44 Bài 45 Bài 46 Bài 47 Bài 48 Bài 49 Bài 50 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI... Hokhaivuqnam@gmail.com Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài 55 Bài 56 Bài 57 Bài 58 Bài 59 Bài 60 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI 60 Bài 51 Bài 52 Bài 53 Bài 54 Bài 55 Bài 56 Bài 57 Bài 58 Bài 59 Bài 60 11 Chuyên Đề Toán 8_ chuyên... k số nguyên; n3  28n   2k   28  2k   8k  56k  8k  k    8k  k     8k  k  1  48k  8k  k  1 k  1  48k k  k  1 k  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết 8k