Tính chất chia hết trong số nguyên

Biên soạn: Nhóm toán –Trường THCS phong Vân- Lục ngạn- Bắc giangChuyên đề: Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên I.. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a.. Do đó

Biên soạn: Nhóm toán –Trường THCS phong Vân- Lục ngạn- Bắc giang

Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên

I Kiến thức cơ bản

1 Quan hệ chia hết trên tập số nguyên

Cho hai số nguyên a, b Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a

chia hết cho b(kí hiệu a bM ) , hay b chia hết a (kí hiệu b|a) Khi đó người ta cũng

gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước)

của b.

Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là

ước của 15

Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số

nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó Chính từ đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số

tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số

Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n Số nguyên tố thì không có ước số không tầm thường 1, -1, n, -n là các ước tầm

thường của n.

2 Định lí về phép chia có dư

Cho a, b là hai số nguyên (b ≠ 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao

cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b| Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là

số dư Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2; ; |b|-1 (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)

Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.

Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư

3 Tính chất

Với a,b,c,d ∈Z :

-Nếu a≠0 thì a Ma ; 0Ma

-Nếu a Mb và bMc thì aMc

-Nếu aMb và bMa thì a=±b

-Nếu aMb thì a.cMb

-Nếu aMb, aMc thì aM BCNN(b;c)

Hệ quả: Nếu aMb ; aMc và (b,c)=1 thì aMbc

-Nếu abMc và (b,c)=1 thì aMc

-Nếu aMc ; bMc thỡ a±bMc

-Nếu aMc ; bMc thỡ a±bMc

-Nếu a Mc , bMd thỡ ab Mcd

Hệ quả : Nếu a Mb thỡ an Mbn (n∈N ; n≠0)

-Nếu aMc hoặc b Mc thỡ abMc

4 Dấu hiệu chia hết

- Cỏc số cú chữ số tận cựng bằng chữ số chẵn thỡ chia hết cho 2

-Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0 và 5 thỡ chia hết cho 5

-Cỏc số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 3

- Cỏc số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 thỡ chia hết cho 9

-Cỏc số cú hai chữ số tận cựng tạo thành chia hết cho 4 thỡ số đú chia hết cho 4 -Cỏc số cú 3 chữ số tận cựng tạo thành chia hết cho 8 thỡ số đú chia hết cho 8

- Cỏc số cú tổng cỏc chữ số hàng chẵn trừ đi tổng cỏc chữ số hàng lẻ mà chia hết cho 11 thỡ số đú chia hết cho 11

5 Các phơng pháp chứng minh chia hết

*PP1: Sử dụng cỏc dấu hiệu chia hết

*PP 2: Để chứng minh A M b (b ≠ 0) Ta biểu diễn A = b k trong đó k ∈ N

*PP 3 Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng

Nếu a±bMm và a M m thì b M m

*PP 4 Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b khác 0) ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b

*PP 5 Để chứng minh AM b Ta biểu diễn b dới dạng b = m.n Khi đó

+ Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh AMm và A Mn suy ra AMm.n hay A M b + Nếu (m,n) ≠ 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 M m; a2 Mn thì tích a1.a2 M m.n suy ra AMb

*PP 6 Để chứng minh AM b ta biểu diễn A A= + 1 A2 + A n và chứng minh các

( 1, )

i

A i= n bM

II Cỏc vớ dụ giải toỏn

Bài tập 1 : khụng làm phộp tớnh hóy cho biết cỏc số sau cú chia hết cho 2 khụng?

a A=2001+2002 b B= 20022001-20012000

Giải:

a Số 2001 khụng chia hết cho 2 , cũn 2002 chia hết cho 2 , do đú tổng A khụng chia hết cho 2

b Ta cú 20022001=2002 20022000=2.1001.20022000 M2

Trước hết ta chứng minh tớch của hai số lẻ là một số lẻ Giả sử 2 số lẻ là:

a a = k m+ k m∈N N

∈ +

=

, 1 2

, 1 2

2

1

=

2

1.a

Ta thấy 2k(2m+1) M 2 ; 2mM 2 , 1 khụng chia hết cho 2

Do đú a1.a2là một số lẻ

Vỡ 20012000 là tớch của 2000 số lẻ cũng là một số lẻ

Suy ra B khụng chia hết cho 2

Bài tập 2: Dựng 4 chữ số 0;1;2;5 cú tạo thành bao nhiờu số cú 4 chữ số, mỗi chữ

số đó cho chỉ dựng 1 lần sao cho:

a, Cỏc số đú chia hết cho 2

b,Cỏc số đú chia hết cho 5

c.Cỏc số chia hết cho 3

Giải:

a Cỏc số cú chữ số 0 là tận cựng gồm cỏc số: 1520; 1250; 2150; 1250; 5120; 5210

Cỏc số cú chữ số 2 tận cựng gồm cỏc số:5102; 5012; 1502; 1052

Vậy cỏc số được tạo thành thỏa món điều kiện đề bài chia hết cho 2 là 10 số

b Cỏc số tận cựng là 5 cú 4 số và cỏc số tận cựng là 0 cú 6 số Vậy cỏc số tạo thành chia hết cho 5 là 10 số

b Cỏc số chia hết cho 3 gồm cỏc số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 , khụng

cú số nào

B i t à ập 3 : Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x ∈N.

Tìm điều kiện của x để A M 3, A M 3

Giải:

- Trờng hợp A M 3

Vì 12 M3 ; 15 M3 ; 21M3 nên A M3 thì x M3

- Trờng hợp A M3

Vì 12 M3 ; 15 M3 ; 21M3 nên A M3 thì x s M3

B i à tập 4 : :Khi chia số tự nhiờn a cho 24 đợc số d là 10 Hỏi số a có chia hết

cho 2 không, có chia hết cho 4 không?

Giải:

Số a có thể đợc biểu diễn là: a = 24.k + 10

Ta cã: 24.k M2 , 10 M2 ⇒ a M2.

24 k M4 , 10 M4

⇒ a M4

Bài tập 5: Chøng tá r»ng:

a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ mét sè chia hÕt cho 3

b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 4

Gi¶i:

a/ Tæng ba STN liªn tiÕp lµ:

a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hÕt cho 3

b/ Tæng bèn STN liªn tiÕp lµ:

a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6

kh«ng chia hÕt cho 4

Bài tập 6: Cho n=134ab Hãy thay a, b bởi các chữ số thích hợp để n M5 v n à M9

Giải

Để n chia hết cho 5 thì b=0 hoặc b=5

Nếu b=0 thì 134 Ma0 9

Khi a=1, ta có số phải tìm là 13410

Nếu b=5 thì n=134 Ma5 9 khi a=6 Khi đó số phải tìm là 13465

KL: Ta có các số 13410 và 13465

III> Bài tập áp dụng

Bài 1:Trong các số: 4827; 5670; 6915; 2007.

a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?

b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?

Bài 2: Trong các số: 825; 9180; 21780.

a) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?

b) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?

Bài 3:

a) Cho A = 963 + 2493 + 351 + x với x ∈ N Tìm điều kiện của x để A chia hết cho 9, để A không chia hết cho 9.

b) Cho B = 10 + 25 + x + 45 với x ∈ N Tìm điều kiện của x để B chia hết cho 5, B không chia hết cho 5.

Bài 4 Không cần làm phép tính, hãy cho biết các số sau có chia hết cho 5

không?

a A=1999-1975 b B= 20002001 +20012002

Bài 5:

a) Thay * bằng các chữ số nào để được số 73* chia hết cho cả 2 và 9

b) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 5

c) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9

d) Thay * bằng các chữ số nào để được số 589* chia hết cho cả 2 và 3

e) Thay * bằng các chữ số nào để được số 792* chia hết cho cả 3 và 5

f) Thay * bằng các chữ số nào để được số 25*3 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9

g) Thay * bằng các chữ số nào để được số 79* chia hết cho cả 2 và 5

h) Thay * bằng các chữ số nào để được số 12* chia hết cho cả 3 và 5

i) Thay * bằng các chữ số nào để được số 67* chia hết cho cả 3 và 5

j) Thay * bằng các chữ số nào để được số 277* chia hết cho cả 2 và 3

k) Thay * bằng các chữ số nào để được số 5*38 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

l) Thay * bằng các chữ số nào để được số 548* chia hết cho cả 3 và 5

m) Thay * bằng các chữ số nào để được số 787* chia hết cho cả 9 và 5

n) Thay * bằng các chữ số nào để được số 124* chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

o) Thay * bằng các chữ số nào để được số *714 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

Bài 6: Tìm các chữ số a, b để:

a) Số 4a12b chia hết cho cả 2; 5 và 9

b) Số 5a43b chia hết cho cả 2; 5 và 9

c) Số 735a2b chia hết cho cả 5 và 9 nhưng không chia hết cho 2

d) Số 5a27b chia hết cho cả 2; 5 và 9

e) Số 2a19b chia hết cho cả 2; 5 và 9

f) Số 7a142b chia hết cho cả 2; 5 và 9

g) Số 2a41b chia hết cho cả 2; 5 và 9

h) Số 40ab chia hết cho cả 2; 3 và 5

Bài 7: Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và

953 < n < 984.

Bài 8:

a) Viết số tự nhiờn nhỏ nhất cú 4 chữ số sao cho số đú chia hết cho 9

b) Viết số tự nhiờn nhỏ nhất cú 5 chữ số sao cho số đú chia hết cho 3

Bài 9: khi chia số tự nhiờn a cho 36 ta được số dư là 12 hỏi a cú chia hết cho 4

khụng? Cú chia hết cho 9 khụng?

Bài 10*:

a) Từ 1 đến 1000 cú bao nhiờu số chia hết cho 5

b) Tổng 1015 + 8 cú chia hết cho 9 và 2 khụng?

c) Tổng 102010 + 8 cú chia hết cho 9 khụng?

d) Tổng 102010 + 14 cú chớ hết cho 3 và 2 khụng

e) Hiệu 102010 – 4 cú chia hết cho 3 khụng?

Bài 11*:

a) Chứng tỏ rằng ab(a + b) chia hết cho 2 (a;b ∈ N).

b) Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11

c) Chứng minh aaa luụn chia hết cho 37

d) Chứng minh aaabbb luụn chia hết cho 37

e) Chứng minh ab – ba chia hết cho 9 với a > b

Bài 12: Tỡm x ∈ N, biết:

Bài 13*:

a) Chứng tỏ rằng trong ba số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 3

b) Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 4

Bài 14

Chứng minh rằng với mọi n ∈N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhng không chia hết

cho 30

Bài 15: Chứng minh rằng: a) ab ba+ M 11 b) ab ba− M 9 với a>b

Hỡng dẫn:

Viết các số ab và ba thành tổng các lũy thừa của 10 sau đó da về dạng 11.Q và 9.Q

Bài 16 : Chứng minh rằng:

a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 + +239 là bội của 15

b, T = 1257 -259 là bội của 124

7 7 + + + + + 7 7 7 M 8

n 1

a a+ + + +a a Ma+ với a,n ∈N

gợi ý :

a, nhóm 4 hạng tử liên tiếp với nhau có tổng các hạng tử có thừa số 15

b, đa về cùng cơ số 5 vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ

c, d tơng tự cách làm câu a

Bài 17: Cho a,b ∈ N và a - b M 7 CMR 4a +3b M 7.

Gợi ý:

a – b M7  4 (a – b) M 7  4a – 4b M 7  4a + 3b -7b M 7 => 4a + 3b M 7 (vì 7b M 7)

Bài 18: Tìm n ∈ N để

a) n + 6 M n ; 4n + 5 M n ; 38 - 3n M n

b) n + 5 M n + 1 ; 3n + 4 M n - 1 ; 2n + 1 M 16 - 3n

gợi ý:

vận dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu

Bài 19 Chứng minh rằng: (5n)100

M 125

Gợi ý:

(5n)100 = 5100 n100 = 53.597.n100

M 125

Bài 20

1 Cho S = 3 +32 +33 + + 31998 CMR

a) S M 12 ; b) S M 39

2 Cho B = 3 +32 +33 + + 31000; CMR B M 120

3.Cho A = 2 + 22 + 23 + + 22004 CMR A chia hết cho 7;15;3

Bài 21 Chứng minh rằng:

a) 3636 - 910 M45 ; b) 810 - 89 - 88 M 55 ; c) 55 - 54 + 53 M 7

d) 7 6 + − 7 5 7 11 4 M e) 10 9 + 10 8 + 10 222 7 M

g) 10 6 − 5 59 7 M h) 3 2n+ 2 n+ 2 + − 3n 2 10nM ∀ ∈n N* i) 81 7 − 27 9 − 9 45 13 M

Bài 22 Tìm n ∈ N để :

a) (3n + 2) M (n – 1) b) (n2 + 2n + 7 )M (n + 2) c) (n2 + 1) M (n – 1) d)( n + 8) M (n + 3) e) (n + 6) M (n – 1) g) (4n – 5) M (2n – 1)

Bài 23 CMR:

a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

(Chú ý: Bài toán trên đợc sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại)

Bài 24 CMR: m + 4n M 13⇔10m + nM13.∀m n N, ∈

Gợi ý:

m + 4n M 13  10(m + 4n) M 13  10m + 40 n M 13  10m + n + 39n M 13

 10m + n M 13 (vì 39n M13)