Giải pháp giúp học sinh tư duy logic và có hệ thống của các bài toán về chia hết trong tập hợp số nguyên

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong vài thập kỉ gần đây, phát triển nhanh chóng khoa học, kĩ thuật cơng nghệ, đặc biệt cách mạng công nghiệp 4.0 trình hội nhập quốc tế dẫn đến kinh tế nước ta trở thành nên kinh tế - tri thức Trong kinh tế - tri thức, kiến thức kĩ người nhân tố định phát triển xã hội Nhiệm vụ quan trọng đặt cho giáo dục việc trang bị cho học sinh kiến thức tối thiểu, cần thiết, môn học cần tạo cho học sinh lực phẩm chất định để vào sống em thích ứng với thực tiễn sống Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em Trong q trình dạy học tốn nói chung, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải tốn, dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết Tìm rồi, lại tiếp tục tìm tìm mối liên hệ vấn đề, tìm kết thú vị Việc tư duy, khai thác tốn khơng xa lạ với người dạy học toán Tuy nhiên, khai thác toán chia hết tập hợp số ngun lớp cịn đưa hệ thống, chuỗi tập cho học sinh tham khảo nhiều Từ khó khăn vướng mắc q trình hướng dẫn giải tập dạng tơi tìm tịi, nghiên cứu tìm ngun nhân tìm giải pháp giúp học sinh giải tốt dạng tập Để có cách giải dạng tập phép chia hết tập hợp số nguyên hiệu nhất, giúp học sinh dễ hiểu, giải vấn đề nhanh, xác, đầy đủ gọn gàng hơn, đồng thời rèn khả tư độc lập trình học tập cho học sinh tơi xin trình bày đề tài “Giải pháp giúp học sinh tư logic có hệ thống toán chia hết tập hợp số nguyên” hi vọng giúp em có kinh nghiệm việc giải tập dạng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp giáo viên không phụ thuộc vào loại sách tham khảo, chủ động linh hoạt sáng tạo xây dựng hệ thống tập để giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh khác - Giúp học sinh có nhìn tổng qt, thấu đáo nhiều chiều kiến thức đề cập, từ tạo niềm tin, hứng thú say mê học tập, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học trò học tập nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng tác động giáo viên đến việc hình thành đơn vị kiến thức nâng cao phép chia hết tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6, đồng thời phân tích hướng dẫn học sinh giải số dạng tập phép chia hết tập hợp số nguyên Sáng kiến áp dụng việc đổi phương pháp dạy học môn Toán cấp THCS 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu, thu thập xử lí tập tài liệu, tập mạng - Phương pháp điều tra: Tiến hành dạy thử nghiệm theo phương pháp đề tài học sinh lớp thành hai, lớp áp dụng đề tài lớp không thực hiện, khái quát thành học kinh nghiệm - Tổng hợp nhận dạng thể loại tập - Phỏng vấn 1.5.Những điểm sáng kiến: - Xây dựng hệ thống tập Số học phần "Phép chia hết tập hợp Z" phong phú cách có hệ thống, có tính logic với phù hợp với nhiều đối tượng học sinh sở tập thuộc chương số nguyên lớp - Xây dựng cách tư phần tập có liên quan Từ xây dựng tập nâng cao - Phân tích số tập điển hình phép chia hết tập hợp số nguyên: + Từ học sinh rèn luyện lực, kĩ nhận dạng tập, hình thành cách giải Giúp học sinh tự nghiên cứu, tìm tịi đưa cách giải cho toán tương tự + Việc phát triển nhiều dạng toán dựa toán giúp học sinh tiếp cận toán cách chủ động + Học sinh khơng phải học thuộc dạng tốn cách thụ động khơng phải nhớ dạng tốn cách máy móc + Tùy theo đối tượng học sinh nhiệm vụ cụ thể (Ôn tập đại trà, Bồi dưỡng HSG, …) giáo viên triển khai xây dựng dạng toán cách phù hợp, học sinh tiếp cận nhẹ nhàng + Rèn luyện tư logic giải toán, tránh việc học tập thụ động dựa dẫm, qua kích thích đam mê, tính tị mị từ tạo cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi, sáng tạo NỘI DUNG 2.1.Cơ s lớ lun: ầu chơng trình toán cấp II học sinh bắt đầu lm quen vi s nguyờn Đây môn học có tính hệ thống logic cao, yêu cầu việc học phải nắm thật kiến thức bản, mối liên quan kiến thức đồng thời luyện tập vận dụng chúng để giải tập giải toán Đối với học sinh lớp đợc học số kiến thức đơn giản v s nguyờn Lên lớp trờn với nhiều kiến thức đặc biệt cách chứng minh mét tốn chia hết tập Z, phương trình nghim nguyờn Đây việc thật chẳng dễ i vi hc sinh lp buc hc sinh phi tìm tòi, giá trị cần tìm cha biết, để xác định phải dự đoán, tìm mối liên hệ với s đà biết, chứng minh dự đoán xác định đợc số nguyờn cần tìm, loại khó em Nguyên nhân học sinh học, nghiên cứu, phần lín häc sinh cha say sa häc chương số nguyên Trong ®ã kiến thức phần chia hết khó cần học sinh phải có t duy, học sinh phải biết suy luận từ kiến thức đến kiến thức khác cách lôgic, kể toán chứng minh hay tính toán nên hầu hết em học sinh ngại Bởi nghĩ, thân giáo viên cần phải làm để nâng cao chất lợng cho học sinh, đặc biệt học sinh i tr, tạo hứng thú cho học sinh đợc học phn chia ht hợp số nguyên Trong trình dạy người giáo viên cần xây dựng lại kiến thức có hệ thống, phân dạng tập, tập có liên quan học sinh suy luận có tính logic vấn đề 2.2 Thực trạng: a Đối với học sinh: - Học sinh gặp nhiều khó khăn việc lựa chọn tài liệu tham khảo thị trường sách - Học sinh lĩnh hội kiến thức cách rời rạc, thiếu tính hệ thống, thiếu tính logic - Gặp tốn khó thường học sinh phải nhớ lời giải không liên hệ với dạng đơn giản; phải dùng kiến thức hàn lâm khó hiểu giải - Học sinh thường nản lòng e ngại giải tập Số học Do niềm tin, niềm say mê hứng thú mơn Tốn em bị giảm sút - Tuy nhiên học sinh có khả làm tập vận dụng, tập tổng hợp, tập phát triển nâng cao giáo viên gợi ý, hướng dẫn b Đối với giáo viên: - Thuận lợi: Giáo viên chủ động thiết lập dạng toán cách chủ quan thông qua tần xuất xuất dạng toán đề thi thuận lợi Thời gian nghiên cứu không nhiều, không nặng tư hệ thống áp đặt cách máy móc Học sinh dễ dàng tiếp cận dạng toán thực lời giải dạng toán cho Hầu hết học sinh có lực học từ trung bình trở lên thực lời giải theo mẫu Cả giáo viên học sinh thời gian phải nghiên cứu, giáo viên chủ động kiến thức sử dụng phương pháp thuyết trình chủ yếu - Khó khăn: Trong cơng tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thầy cô thường đưa nhóm tập khó số dạng đơn lẻ rời rạc hướng dẫn em giải theo phương pháp giáo viên định hình sẵn, phương pháp giải tập số học thường gắn với kiểu cụ thể tính hệ thống logic - Giáo viên phụ thuộc nhiều vào loại sách tham khảo, không sáng tạo việc đưa tập cho học sinh c Kết thực trạng: Qua khảo sát chưa áp dụng đề tài, điều tra sau: Năm học Tổng số Khảo sát trước áp dụng đề tài học sinh Làm tập Không làm tập Số HS Tỷ lệ Số HS Tỷ lệ 12,9% 27 87,1% 23,3% 23 76,7% 22,9% 29 77,15% nhược điểm trên, đưa giải pháp để giải vấn đề 2018-2019 31 2019-2020 30 2020-2021 35 Để khắc phục sau: 2.3 Giải pháp : 2.3.1 Các giải pháp: Xuất phát từ kiến thức mức độ theo chuẩn kiến thức kỹ mà học sinh cần phải đạt SGK Số học phần chia hết Z: Kiến thức bản: Nếu có số nguyên q cho a = bq (a, b số ngun, b ≠ 0) ta nói a chia hết cho b.Ta cịn nói a bội b b ước a Tôi phát triển kiến thức theo hướng chuyển thành dạng tập khác theo mức độ nhận thức học sinh *Dạng 1: Xây dựng tốn tìm số ngun n thỏa mãn A(n) MB(n), A(n) B(n) biểu thức nguyên *Dạng 2: Xây dựng toán chứng minh phân số tối giản *Dang 3: Xây dựng cách giải cho tốn có dạng giải phương trình nghiệm nguyên *Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 2.3.2 Tổ chức thực hiện: Dạng Tìm ẩn số toán chia hết Z Xuất phát từ quan hệ chia hết ta thay đổi số chia để có tốn dạng khác: - Mức độ 1: Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện: a ) M(n − 1) b) 12M2n − d )n + 2M3 e)27n + 5M8 c)20Mn + * Nhận xét: Cũng toán chia hết kết thoả mãn với số nguyên n ta có tốn dạng khác sau: - Mức độ 2: Chứng minh với số nguyên dương n giá trị biểu thức sau số nguyên a) P = n n n3 + + b) Q = n n3 11n n + + + 24 24 * Nhận xét: Các tốn có dạng: “Tìm số nguyên n để a MA(n) với a ∈ Z , n ∈ Z ” Ta thay a biểu thức nguyên để dạng toán khác mức độ cao hơn: - Mức độ Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện: a ) 2n + 5M( n + 1); b) n − 2n + 5M(n − 2); c) ( n + 5)( n + 6) M6n * Nhận xét: Ta biết phân số có tử chia hết cho mẫu phân số số ngun, từ ta có tốn dạng khác : - Mức độ 4: Tìm n ∈ Z để biểu thức sau có giá trị nguyên: a) 3n + n −1 b) n2 + n −1 Dạng 2: Xây dựng toán chứng minh phân số tối giản Từ tính chất chia hết tổng tính chất chia hết tích, ta kết hợp để có tốn dạng sau: - Mức độ 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện với số nguyên n thì: 2n + 6n + chia hết cho x *Nhận xét: Khi tồn – để ước chung hai biểu thức ta phát triển toán dạng khác, cụ thể - Mức độ 2: Chứng minh phân số sau phân số tối giản: a) n+2 ; 2n + a) 21n + ; 14n + * Nhận xét: Sử dụng tính chất chia hết , ta có tốn mức độ cao - Mức độ 3: Chứng minh với số nguyên dương n phân số sau phân số tối giản + 8n + 15n a) P = ; 13 + 21n + 30n + n2 + n7 b)Q = + n + n8 *Nhận xét: Đảo lại tốn ta đưa dạng tốn việc tìm điều kiện để phân số tối giản - Mức độ 4: Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản a) 7n + 13 2n + b) 8n + 193 4n + *Nhận xét: Kết hợp tính chất chia hết kĩ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, ta có tốn mức độ cao Dạng Xây dựng cách giải cho tốn có dạng giải phương trình nghiệm ngun - Mức độ 1: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện: a )2 x + y = 14 b)3 x + 17 y = 159 c ) xy − x = *Nhận xét: Đưa tập mức độ dạng tập mức độ dạng kết hợp tính chất chia hết tổng - Mức độ 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn điều kiện: a )(2 x + 1)( y − 5) = 12 b)( x − 2)(2 y + 1) = c)(8 − x)(4 y + 1) = 20 *Nhận xét: Đưa tập mức độ dạng tập mức độ dạng - Mức độ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: a ) xy = x + y b) xy = x − y c) x ( y + 2) + y = 1 1 d) + + = x y xy - Mức độ 4: Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn điều kiện: y a) + = x x b) − = y 18 Dạng 4: Tìm ẩn số để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ - Mức độ 1: Tìm số n ∈ N để biểu thức A = 15 − 12 có giá trị nguyên nhỏ 11 − n * Nhận xét: Đưa toán mức độ dạng tốn mức độ1 dạng 1, tức tìm n ∈ N để 12M11 − n - Mức độ 2: Tìm số n ∈ N để biểu thức có giá trị nguyên lớn a) A = 14 − n 4−n b) B = 10n − 4n − 10 c)C = 6n + 3n + * Nhận xét: Đưa toán mức độ dạng toán mức độ dạng 2.3.3.Một số dạng tập cụ thể: * Dạng Tìm ẩn số toán chia hết Z Mức độ 1: Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện: a )7Mn − b)12M2n + c)20Mn + d )n + 2M3 * Gợi ý trả lời a )7Mn − ⇔ Ư (7) = { ±1; ±7} ⇒ ta có bảng giá trị: n −1 n -1 -7 -6 b) Tương tự c) Tương tự d )n + 2M3 ⇔ n + ∈ B(3) ⇒ n + = 3k (k ∈ Z ) ⇔ n = 3k − Mức độ 2: Chứng minh với số nguyên dương n giá trị biểu thức sau số nguyên: a) P = n n n3 + + b) Q = n n3 11n n + + + 24 24 *Gợi ý trả lời: a) P = n n n3 + + n n n3 + + 2n + 3n + n3 = n( n + 1)( n + 2) = Do n, n + 1, n + số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)(n + 2)M6 ⇒ P số nguyên với n nguyên dương P= b) Tương tự: n(n+1)(n+2)(n+3) 24 Mức độ 3: Tìm số nguyên n thoả mãn điều kiện: a )2n + 5Mn + b)5 + n2 − 2n Mn − c)n − 2n − 22Mn + * Gợi ý trả lời a ) Ta có: 2n + = 2n + + = 2( n + 1) + Ta có : 2(n + 1)M(n + 1) ⇒ 2n + 5Mn + 3Mn + ⇒ n + 1∈ Ư (3) Ta có bảng sau: n+1 -1 n -2 -3 -4 b) Tương tự c) Tương tự: (n+3)(n-5) - n+3 Mức độ 4: Tìm số ngun n để phân số sau có giá trị số nguyên 3n + n−4 6n + b) B = 2n − a) A = * Gợi ý trả lời a ) Ta có 3n + 3n − 12 + 21 21 = = 3+ n−4 n−4 n−4 21 ∈Z Do A ∈ Z ⇒ n−4 n − Ư(21)= { ±1; ±3; ±7; ±21 } A= b) Tương tự : 2n – Ư(8) = { ± ; ± ; ± ; ± 8} Bài tập vận dụng : Bài Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: a )15Mn + b)18M2n + c)55Mn + Bài Tìm số nguyên n cho: a )n + 2Mn − b)n + 1Mn − c)4n − 5M2n − d )3n + 1M2n + f ) n2 − 2Mn + Bài Tìm số nguyên n đề phân số sau có giá trị số nguyên a) n−3 b) n +1 n−2 c) n +1 n −3 d) 12n + 2n + e) 2n + n+3 f) n + 10 2n − g) 3n + n+2 h) n2 + n + n +1 *Dạng 2: Xây dựng toán chứng minh phân số tối giản Mức độ 1: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện với ∀ n∈ Z thì: a )2n + 6n + chia hết cho x b)12n + 30n + chia hết cho x c)2 − 3n − 4n chia hết cho x * Gợi ý trả lời a ) Ta có 2n + 1Mx ⇒ 3(2n + 1)Mx ⇒ 6n + 3Mx 6n + Mx ⇒ [(6n + 7) − (6 n + 3)]Mx ⇒ (6n + − 6n − 3)Mx ⇒ 4Mx ⇒ x Ư (4) ⇒ x ∈ { ± 1; ± 2; ± 4} Mà với ∀n ∈ Z 2n + số lẻ nên x = ±2 x = ±4 / x ⇒ x ≠ ±2 ⇒ x ≠ ±2; x ≠ ±4 2n + M Vậy x = ± b) Tương tự c) Tương tự Mức độ 2: Chứng minh phân số tối giản: n+2 2n + 21n + b) 14n + 10n − c) 10n − a) * Gợi ý trả lời a ) Gọi ƯCLN (n + 2; 2n + 5) = d ta có: n + 2Md 2n + 5Md ⇒ 2(n + 2)Md 2n + 5Md ⇒ 2n + 4Md 2n + 5Md ⇒ [(2n + 5) − (2n + 4)]Md ⇒ 1Md ⇒ d =1 Vậy n+2 phân số tối giản 2n + b) Tương tự c) Tương tự Mức độ : Chứng minh với số nguyên dương n phân số sau phân số tối giản: a) P = + 8n + 15n ; 13 + 21n + 30n b)Q = + n + n7 + n + n8 *Gợi ý trả lời a ) Gọi d ước chung lớn + 8n + 15n 13 + 21n + 30n ⇒ + 8n + 15n Md ;13 + 21n + 30n Md Ta có: ⇒ 12 + 16n + 30 n Md mà 13 + 21n + 30n Md ⇒ 5n + 1Md (1) ⇒ 3n(5n + 1)Md ⇒ 15n + 3n Md ⇒ + 8n + 15n − 15n − 3n Md ⇒ 5n + 6M5(2) Từ (1) (2) ⇒ (5n + 6) − (5n + 1)Md ⇒ 5Md Mà 5n + 6Md ⇒ 5n + + 1Md ⇒ 1Md ⇒ d = Vậy phân số P = + 8n + 15n tối giản với số nguyên dương n 13 + 21n + 30n b) Tương tự Mức độ : Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản: a) 7n + 13 2n + b) 8n + 193 4n + *Gợi ý trả lời a ) Giả sử phân số 7n + 13 (n∈N) rút gọn cho số nguyên tố d 2n + ⇒ n + 13Md 2n + 4Md Vì n + 13Md nên 2(7n + 13)Md hay14n + 26Md (1) Và 2n + 4Md nên 7(2n + 4)Md hay 14n + 28Md (2) Từ (1) (2) suy ra: (14n + 28) − (14n + 26) Md ⇒ 2Md Mà d số nguyên tố nên d = ⇒ n + 13M2 ( 2n + 4M2 ) ⇒ n + 13 − 6M2 (vì 6M2 ) 10 ⇒ n + M2 ⇒ 7(n + 1)M2 ⇒ n + 1M2 (vì (7, 2) = ) ⇒ n + = 2k ( k ∈ N * ) ⇒ n = 2k − Với n = 2k − 1(k ∈ N * ) phân số rút gọn cho Vậy với n ≠ 2k − 1(k ∈ N * ) phân số b) Giả sử phân số 7n + 13 phân số tối giản 2n + 8n + 193 (n ∈ N ) rút gọn cho số nguyên tố d 4n + ⇒ 8n + 193Md (1) 4n + 3Md Do 4n + 3Md nên 2(4n + 3)Md hay 8n + 6Md (2) Từ (1) (2) suy ra: (8n + 193) − (8n + 6) Md ⇒ 187 Md Mà d số nguyên tố ⇒ d ∈ { 11;17} - Nếu d = 11 ⇒ 4n + 3M 11 ⇒ 4n + = 11t (t ∈ N * ) ⇒ 4n − 8t = 3t − ⇒ 4(n − 2t ) = 3(t − 1) ⇒ t − 1M4 (4;3) = ⇒ t − = 4t1 (t1 ∈ N * ) ⇒ t = 4t1 + Thay t = 4t1 + vào 4n + = 11t suy : n = 11t1 + (3) - Nếu d = 17 ⇒ 4n + 3M 17 ⇒ 4n + = 17 k ( k ∈ N * ) ⇒ 4n + = 16k + k + ⇒ k + 1M4 ⇒ k + = 4k1 (k1 ∈ N * ) ⇒ k = 4k1 − Thay k = 4k1 − vào 4n + = 17k suy n = 17k1 + 12 (4) Từ (3) (4) suy Với n = 11t1 + 2(t1 ∈ N * ) phân số rút gọn cho 11 với n = 17k1 + 12(k1 ∈ N * ) phân số rút gọn cho 17 11 Vậy với n ≠ 11t1 + 2(t1 ∈ N * ) n ≠ 17k1 + 12(k1 ∈ N * ) phân số cho phân số tối giản Bài tập vận dụng : Bài Chứng minh phân số sau phân số tối giản: a) 6n + 3n + b) 10n + 15n + 14 9n + 17 i) 3n + e) 2n + 4n + f) 3n + 2n + n − 2n − 22 n+3 4n + g) 5n + c) d) 8n + 199 4n + h) n+3 24n + Bài Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản: a) 4n + 5n + b) 9n + 17 3n + * Dạng 3: Phương trình nghiệm nguyên: Mức độ 1: Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: a )2 x + y = 14 b)3 x + 17 y = 159 c ) xy − x = * Gợi ý trả lời a ) Xét x + y = 14 , Ta có: 14M2; x M2 ⇒ y M2 Mà (5; 2) = nên yM2 Ta có: y < 14 ⇒ y < 14 ⇒ y≤2 Mà y số nguyên dương yM2 nên y = ⇒ x + 5.2 = 14 ⇒ 2x = ⇒x=2 ⇒ x = 2; y = b) Tương tự c) Tương tự: x(y – 5) = Mức độ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a )(2 x + 1)( y − 5) = 12 b)( x − 2)(2 y + 1) = c)(8 − x)(4 y + 1) = 20 12 * Gợi ý trả lời a )(2 x + 1)( y − 5) = 12 (2 x + 1) ( y − 5) ước 12, mà x + số lẻ ta có bảng giá trị: 2x+ y-5 x y 12 17 Vậy ( x; y ) ∈ { ( 0;17 ) ; ( 1;9 ) } b) Tương tự c) Tương tự Mức độ 3: Tìm cặp số nguyên (x;y) cho: a ) xy = x + y b) xy = x − y c) x( y + 3) + y = 1 1 d) + + = x y xy * Gợi ý trả lời a ) xy = x + y ⇔ xy − x − y + = ⇔ x ( y − 1) − ( y − 1) = ⇔ ( x − 1)( y − 1) = ( x − 1) ( y − 1) ước ta có bảng giá trị: Vậy ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 2; ) } x-1 y-1 x y -1 -1 0 1 2 b) Tương tự c) Tương tự d ) Tương tự Mức độ 4: Tìm cặp số nguyên x,y biết rằng: y a) + = x x b) − = y 18 * Gợi ý trả lời 13 y y 1− y a) + = ⇔ = − = x x 8 ⇔ x (1 − y ) = 40 ⇒x − y ước 40 mà − y số lẻ ta có bảng giá trị : 1-2y -1 -5 x -40 40 -8 y -1 Vậy ( x; y ) ∈ { ( −40; −1) ; ( 40; ) ; ( −8;3 ) ; ( 8; −2 ) } -2 b) Tương tự Bài tập vận dụng : Bài Tìm cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: a )( x − 1)( y + 2) = b)( x − 7)( xy + 1) = c) x(2 y + 1) = 18 d )(2 x + 1)( y − 5) = 12 Bài Tìm cặp số nguyên x,y cho: a ) xy + x − y = −1 b) x + y + xy = c) xy + x − y = 21 d ) xy + x − y = y + e) x + y = xy + f )x + = y Bài Tìm cặp số nguyên dương x,y thỏa mãn: a )59 x + 46 y = 2004 b)2 x + 13 y = 156 c)10 x + 48 = y d )2 x + 242 = y x 1 e) − = y 10 y f) − = x x 1 g) − = y +3 y h) + = x *Dạng 4: Tìm ẩn số để phân số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Mức độ 1: Tìm số n ∈ N để biểu thức A = 15 − 12 có giá trị nguyên nhỏ nhất: 11 − n 14 * Gợi ý cách giải: 12 ∈ Z ⇒ 11 − n ∈ Ư (12) 11 − n 12 - Để A nhỏ lớn ⇒ 11 − n nhỏ 11 − n Do n ∈ N nên 11 − n ∈ N , < 11 − n ⇒ n < 11 - Để A ∈ Z Vậy A nhỏ 11 − n ước tự nhiên nhỏ 12 ⇒ 11 − n = ⇒ n = 10 Mức độ : Tìm ẩn số để phân số sau đạt giá trị lớn nhất: 10n − 4n − 10 6n + b) B = 3n + 14 − n c )C = 4−n a) A = * Gợi ý trả lời a ) Ta có: 10n − 10n − 25 + 22 2,5(4n − 10) 22 22 = = + = 2,5 + 4n − 10 4n − 10 4n − 10 4n − 10 4n + 10 22 22 Vì n ∈ N nên A = 2,5 + đạt giá trị lớn đạt giá trị lớn 4n + 10 4n + 10 22 Mà đạt giá trị lớn ⇔ 4n − 10 số nguyên dương nhỏ 4n + 10 - Nếu 4n − 10 = n = 2, 75 ∉ N ( loại) A= - Nếu 4n − 10 = n = ∈ N ( thỏa mãn) b) Tương tự c) Tương tự Bài tập vận dụng: Bài Cho biểu thức A = 10n + 5n − a ) Tìm n ∈ Z để A có giá trị nguyên b) Với giá trị n biểu thức A đạt GTLN Tìm GTLN 7n + Bài Tìm số tự nhiên n để phân số có GTLN 8n − x − 19 Bài Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức sau nhỏ nhất: C = x−4 2.4 Hiệu sáng kiến đạt a Bài học kinh nghiệm : 15 - Sáng kiến giúp giáo viên khai thác tìm tịi, sáng tạo tập phong phú hiệu phù hợp với nhiều đối tượng khác Do sáng kiến mang lại lợi ích kinh tế thiết thực: - Giảm thời gian lựa chọn, tìm tịi tài liệu.Tiết kiệm tiền để mua tài liệu giảng dạy học tập cho thầy cô giáo học sinh - Áp dụng giải pháp sáng kiến thầy giáo tự học tập, nghiên cứu, tìm tịi, sáng tạo tập hay để phục vụ cơng tác giảng dạy bồi dưỡng - Sau áp dụng sáng kiến trình giảng dạy, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy đa số học sinh học tự tin, chủ động sáng tạo tìm hiểu kiến thức, vận dụng giải tốt tập từ đơn giản đến phức tạp Từ học sinh u q mơn học hơn, chất lượng giáo dục đại trà, giáo dục mũi nhọn môn nâng lên - Việc áp dụng đề tài vào giảng dạy tổ chuyên môn, đồng nghiệp đánh giá thành công Đúng với quan điểm đổi hướng dẫn dạy học b Kết - Kết thu sau áp dụng đề tài, điều tra sau: Năm học Tổng số Khảo sát trước áp dụng đề tài học sinh Làm tập Không làm tập 2018-2019 2019-2020 2020-2021 31 30 35 Số HS 18 24 25 Tỷ lệ 58,1% 80% 71,4% Số HS 13 10 Tỷ lệ 41,9% 20% 28,6% Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận Giải pháp giúp học sinh tư logic tốn cho trước góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh học mơn Tốn việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân nhận thấy: - Trong q trình học tập tốn, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết tốn quan trọng có ích Nó khơng giúp học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá toán; từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lơgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học u thích mơn tốn 16 Sau thời gian kiên trì, nỗ lực thực hiện, tơi hồn thành đề tài " Giải pháp giúp học sinh tư logic có hệ thống tốn chia hết tập hợp số nguyên " Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, thấy phong phú, thú vị tốn học Các em ham thích với mơn tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên đề tài chắn khiếm khuyết Tôi mong xin chân thành cảm ơn bảo, đóng góp quý vị đề tài - Sáng kiến có tính khả thi, cụ thể từ năm học 2018-2019 thân áp dụng thí điểm sáng kiến q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 6, 7, cho nhiều đối tượng đặc biệt học sinh giỏi, phát huy khả tư logic, tính sáng tạo cho học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 6, 7, đạt nhiều kết tốt - Sáng kiến làm tư liệu để giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Số học lớp 6, 7,8 trường THCS, làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh lớp 6, 7,8 trình học tập, nghiên cứu 3.2 Ý kiến đề xuất: Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn, dạng tốn có u cầu chứng minh Do cần có thời gian phải vận dụng linh hoạt, thường xun, kiên trì cần có nhiều tập tương tự để học sinh tự rèn luyên Muốn dạy học sinh biết cách “tư logic có hệ thống tốn chia hết tập hợp số nguyên”, thân giáo viên phải thường xun thực điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo đặc biệt qua trang Web có liên quan ; Giáo viên cần có chủ động, có kế hoạch ngày, lên lớp Việc tư duy, phát triển từ toán quen thuộc biết, giúp cho học sinh định hướng tìm lời giải tốn vấn đề quan trọng thiếu cơng tác dạy học tốn nói chung dạy học phần chia hết tập hợp số nguyên nói riêng Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trường học phong trào có tác dụng tốt, có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực, hội nhập lĩnh vực cơng tác Vì vậy, tơi mạnh dạn mong muốn Phịng giáo dục đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực, tính khả thi cao; có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên 17 Sáng kiến tích lũy q trình giảng dạy, thân tự làm sai xin hồn tồn chịu trách nhiệm Tơi xin chân thành cảm ơn ! 18 ... đối tư? ??ng học sinh sở tập thuộc chương số nguyên lớp - Xây dựng cách tư phần tập có liên quan Từ xây dựng tập nâng cao - Phân tích số tập điển hình phép chia hết tập hợp số nguyên: + Từ học sinh. .. dạng tập, hình thành cách giải Giúp học sinh tự nghiên cứu, tìm tịi đưa cách giải cho toán tư? ?ng tự + Việc phát triển nhiều dạng toán dựa toán giúp học sinh tiếp cận toán cách chủ động + Học sinh. .. " Giải pháp giúp học sinh tư logic có hệ thống tốn chia hết tập hợp số nguyên " Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có