Cđ4 các bài toán về chia hết

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b , b 0 Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a a  bq Khi ta cịn nói: a bội b , b ước Các tính chất chung: 1) Bất số khác chia hết cho 2) Tính chất bắc cầu: a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c 3) Số chia hết cho số b khác 4) Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng hiệu 5) Nếu a b chia hết cho m a  b chia hết cho m , a  b chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m 6) Nếu hai số a a  b không chia hết cho m , a  b b chia hết cho m , số khơng chia hết cho m khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích 7) Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m 8) Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết cho m.n Hệ quả: Nếu a chia hết cho b a n chia hết cho b n Một số dấu hiệu chia hết Đặt A a n a n  a 2a 1a , với a n ; a n  ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau:  A2  a0 2  a0   0; 2; 4;6;8  A3   a0  a1   an   an  3  A4  a1 a0 4 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  A5  a0 5  a0   0;5  A8  a2 a1a0 8  A9   a0  a1   an   an  9  A11    a0  a2     a1  a3    11  A25  a1 a0 25  A125  a2 a1a0 125 Dạng 1: Chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: a, ab  ba 11 c, abcabc7,11,13 b, ab  ba 9 (a > b) Hướng dẫn giải a, Ta có : ab  ba 10a  b  10b  11b  11b 11 b, Ta có : ab  ba (10a  b)  (10b  a ) 9a  9b 9 c, Ta có : abcabc abc.1001 abc.7.11.137,11,13 Bài 2: Chứng minh rằng: a, (n 10)( n 15) 2 b, n(n  1)(n  2)2,3 Hướng dẫn giải a, Ta có: Nếu n số lẻ n  152 c, n  n  không 4,2,5 Nếu n số chẵn n  102 , Như với n số tự nhiên :  n 10   n 15 2 n  n  1  n   b, Ta có: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho c, Ta có : n(n  1)  số lẻ nên khơng chia hết cho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: a, (n  3)(n  6)2 b, n  n  không  c, aaabbb37 Hướng dẫn giải a, Ta có: Nếu n số chẵn n  62  n  3  n   2 Nếu n lẻ n  32 , Như với n số tự nhiên b, Ta có : n  n  n  n  1  , Vì n  n  1 có chữ số tận : 0, 2, 6, : tích hai số tự nhiên liên tiếp nên n  n  1  có tận 6, 8, nên khơng  c, Ta có : aaabbb aaa 000  bbb a.11100  b.111 a.300.37  b.3.37 chia hết cho 37 Bài 4: Chứng minh rằng: a, aaa a ,37 b, ab(a  b)2 File word: Zalo_0946 513 000 c, abc  cba 99 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải a, Ta có : aaa a.111 a.3.37 chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ (a + b) số chẵn nhưu a + b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho c, Ta có: abc  cba 100a  10b  c   100c  10b  a  99a  99c 99  a  c  99 Bài 5: Chứng minh : ab  8.ba 9 Hướng dẫn giải Ta có: Bài 6:Cho Ta có : ab  8.ba 10a  b   10b  a  18a  18b 18  a  b  9 a, b   Chứng minh rằng: (4a  b)5  (a  4b)5 Hướng dẫn giải  4a  b  5   4a  b  5   16a  4b  5  15a   a  4b  5   a  4b  5  dpcm  Bài 7: Chứng minh số có dạng : abcabc chia hết cho 11 Hướng dẫn giải Ta có : abcabc a.105  b.104  c.103  b.10  c a.102 103   b.10 103   c 103         103  1  a.10  b.10  c  1001  a.10  b.10  c  11.91.abc 11 Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: A  n  5  n   6n Hướng dẫn giải A 12 n  n  n  1  30 A6n  n  n  1  306n Ta có: , Để n  n  1 n  30n  n  U  30   1;2;3;5;6;10;15;30 Ta có: n  n  1 6  n  n  1 3  n   1;3;6;10;15;30 Và n   1;3;10;30 Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu 10a  b 17  a, b   Bài 9: Chứng minh rằng: 3a  2b17 và ngược lại có không? Hướng dẫn giải * 3a  2b17  10a  b17  9.(3a  2b)17  27 a  18b 17   17a  17b    10a  b  17  10a  b 17 Ta có: 3a  2b17 *10a  b17  3a  2b 17   10a  b  17  20a  2b17  17a  3a  2b17  3a  2b 17 Ta có: 10a  b17 Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu ab  cd 11 abcd 11 File word: Zalo_0946 513 000 b, Cho abc  deg 7 cmr abc deg 7 Hướng dẫn giải File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a, Thật   abcd 100.ab  cd 99.ab  ab  cd , chia hết cho 11 b, Ta có abc deg 1000abc  deg 1001abc  (abc  deg) mà abc  deg 7 10017 nên abc deg 7 Bài 11: Chứng minh rằng: a, Chứng minh ab = 2cd với a, b, c, d chữ số khác abcd chia hết cho 67 b, Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27 Hướng dẫn giải a, Ta có ab = 2cd abcd = ab.100 + cd = 2cd.100 + cd = cd.201 = cd.67.3 Vậy abcd chia hết cho 67 b, Ta có : abc27  abc027  1000a  bc027  999a  a  bc 027  27.37a  bca 27 Do 27.37 a27 nên bca27 Bài 12: Chứng minh rằng: a, abc deg 23, 29 abc 2.deg b, Cmr (ab  cd  eg )11 abc deg 11 Hướng dẫn giải a, Ta có : abc deg 1000abc  deg 1000.2deg  deg 2001deg deg.23.29.3 b, Ta có : abc deg 10000.ab  100cd  eg 9999ab  99cd  (ab  cd  eg ) 11 Bài 13: Chứng minh rằng: a, Cho abc  deg 37 cmr abc deg 37 b, Nếu abcd 99 ab  cd 99 Hướng dẫn giải a, Ta có : abc deg 1000abc  deg 999abc  (abc  deg) 37 b, Ta có :   abcd 100.ab  cd 99.ab  ab  cd 99  ab  cd 9 Bài 14: Chứng minh rằng: Nếu abcd101 ab  cd 101 Hướng dẫn giải Ta có :   abcd 101  100.ab  cd 101.ab  ab  cd 101.ab  ab  cd 101 => ab  cd 101 Bài 15: Chứng minh rằng: a  11b  3c 17 2a  5b  6c 17 (a,b,c  Z) Hướng dẫn giải a  11b  3c 17  2a  22b  6c 17   2a  5b  6c   17b 17  2a  5b  6c 17 Ta có: Bài 16: Chứng minh rằng: a, abcd 29 a  3b  9c  27 d 29 b, abc21 a  2b  4c 21 Hướng dẫn giải a, Ta có : abcd 1000a  100b  10c  d 29  2000a  200b  20c  2d 29 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  2001a  a  203b  3b  29c  9c  29d  27 d 29   2001a  203b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  29  a  3b  9c  27 d 29 abc 21  100a  10b  c 21   100a  10b  c  21 b, Ta có:   a  2b  4c    399a  42b  21   a  2b  4c   21 19 a  2b  21   a  2b  4c  21 Bài 17: Chứng minh ab  cd  eg chia hết cho 11 abc deg chia hết cho 11 Hướng dẫn giải  abc deg 10000.ab 100 cd  eg 9999 ab  99 cd  ab  cd  eg  chia hết cho 11 Bài 18: Với a, b số nguyên, chứng tỏ rằng: a  4b 13 10a  b13 Hướng dẫn giải  10  a  4b  13 Ta có: a  4b 13 (1) Lại có: 10  a  4b  10a  40b 10a  b  39a Mà 39a13 (2) Từ (1) (2)  10a  b 13 Bài 19: a) Cho abc  deg chia hết cho 37 Chứng minh abcdeg chia hết cho 37 b) Cho abc  deg chia hết cho Chứng minh chia hết cho Hướng dẫn giải a)   abcdeg 1000 abc  deg 999 abc  abc  deg 37 b) abcdeg 1000 abc  deg 1001 abc  ( abc  deg ) chia hết cho Bài 20: Tìm chữ số a biết 20a 20a 20a chia hết cho Hướng dẫn giải n 20a 20a 20a 20a 20a.1000  20a (20a.1000  20a).1000  20 a 1001.20a.1000  20a Theo đề n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết 20a chia hết cho Ta có 20a 196  (4  a ) , chia hết  a chia hết cho Vậy a 3 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Bài 21: Cho ba chữ số khác khác Lập tất số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số Chứng minh tổng chúng chia hết cho 37 Hướng dẫn giải Gọi ba chữ số a , b , c Các số tự nhiên có chữ số gồm số là: abc, acb, bca, bac, cba, cab Tổng số theo đề bằng: abc  acb  bca  bac  cba  cab 222  a  b  c  chia hết cho 37 x  y   x  y  1002 Bài 22: Có hai số tự nhiên x y mà  hay không? Hướng dẫn giải Giả sử tồn số tự nhiên x y mà ( x  y )( x  y ) 1002  1 Không thể xảy trường hợp x y có số chẵn, số lẻ xảy x  y x – y lẻ nên tích  x  y   x  y  số lẻ, trái với  1 Vậy x y phải chẵn lẻ Khi x  y x – y chẵn nên tích  x  y  x  y chia hết cho 4, 1002 khơng chia hết cho 4, vơ lí x  y   x  y  1002 Vậy không tồn số tự nhiên x y mà  Bài 23: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết tiếp sau số 1999 ta số chia hết cho 37 Hướng dẫn giải Gọi số phải tìm ab  Ta có:1999ab : 37  199900  ab : 37 Vậy ab   11; 48;85 5402.37  26  ab : 37  26  ab : 37 Bài 24: Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: a) n b) n  n  1  n   c)  10   n  15  n  2n    7n  1 chia hết cho chia hết cho cho chia hết cho File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải n  10   n  15  a) Nếu n số lẻ n + 15 chia hết  chia hết cho b) Nếu n số chẵn n + 10 chia hết n c) Trong số n (7n + 1) phải có số chẵn nên Mà (3, 2) = nên ta cần chứng minh  10   n  15  chia hết cho n  2n  1  7n  1 2 n  2n  1  7n  1 3 Xét trường hợp: n  2n  1  7n  1 3k  6k  1  21k  1 3 - Trường hợp 1: n = 3k 2n   6k   3  n  2n    7n  1 3 - Trường hợp 2: n = 3k + - Trường hợp 3: n = 3k + 7n   21k  15  3  n  2n    7n  1 3 Từ trường hợp suy n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho Bài 25: Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Hướng dẫn giải Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Ta có 2019xy chia hết cho  y 0      x   3   12  x  3 Lại có 2019xy 3 nên  x   0; 3; 6; 9 Vậy  x; y     0;0  ;  3;0  ;  6;0  ;  9;0   Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: ab  1 3 Chứng minh rằng:  Hướng dẫn giải a 3 p  r , b 3q  r p, q, r  Z , r 1,   Ta có: ab   p  r   3q  r   3 p  3q  r   r  p  r   9 pq  pr  3qr  r  Nếu r = r  1  03 Nếu r = r  4  33 ab   chia hết cho Vậy  Bài 27: Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số số 97 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải Gọi n số phải tìm, n phải tận n phải chia hết cho Xét n *975 chia hết cho nến * = Thử lại: 6975 không chia hết cho 27 Xét n *970 chia hết * 2 Thử lại: 2970 chia hết cho 27 Số phải tìm 2970 Bài 28: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số hết cho k Chứng minh a chia Hướng dẫn giải Ta biết số tổng chữ số có số dư phép chia cho 9, hiệu chúng chia hết cho Như vậy: a  k 9 Và Suy ra: 2a – k9  2a  k    a  k  9 a 9 Do Bài 29:Cho số tự nhiên ab lần tích chữ số a) Chứng minh b) Giả sử b b chia hết cho a  ka (k  N ), chứng minh k ước 10 c) Tìm số ab nói Hướng dẫn giải a) Theo đề bài: ab = 3ab  10a  b  3ab  10a  ba a  b a (1) b) Do b ka nên k  10 Thay b ka vào (1): 10a  ka 3a.ka  10  k 3ak  10  k (2) c) Do k  10 nên k  {1 ; ; 5} File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Với k 1 , thay vào (2) : 11 3a, loại Với k 2 , thay vào (2) : 12 6a  a 2; b ka 2.2 4 Ta có ab 24 3.2.4 Với k 5 , thay vào (2) : 15 5a  a 1; b ka 5.1 5 Ta có ab 15 3.1.5 Đáp số: 24 15 Chú ý Cách giải câu c không thông qua câu a b ab 3ab  10a  b  3ab  10a  3ab – b  10 a  b  3a – 1 Ta thấy 10a chia hết cho 3a  , mà a 3a  nguyên tố (thật vậy, a 3a  chia hết cho d 3a   3a  1 chia hết cho d , tức d ,vậy d 1 ) nên 10 3 a -1 3a – 1 10 3a 11 a Loại Loại b Đáp số: 15 24 Bài 30:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số chia hết cho tích chữ số Hướng dẫn giải 10a  b  ab (1) Gọi số phải tìm ab , ta có Suy Thay b  a Đặt b ka (2) k  10 (k  N ) b ka vào (1) ta có 10a  ka  akb  10a ka  10 k  k   1, 2, 5 Nếu k 1 b a Thay vào (1) ta 11a a  11a  a 1 Vậy ab = 11 Nếu k 2 b 2a Xét số 12, 24, 36, 48 ta có số 12, 24, 36 thỏa mãn đề Nếu k 5 b 5a  ab 15 thỏa mãn đề Kết luận: Có số thỏa mãn đề 11, 12, 15, 24, 36 Bài 31: Tìm số tự nhiên n cho 18n  chia hết cho Hướng dẫn giải Cách File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 18n  7  14n  4n  7  4n  7  4n   7  4n  7  4 n   Ta lại có Vậy 7  4,  1 nên n  17 n 7k   k   Cách 18n  7  18n   21 7  18n  18 7   18n  Ta lại có Vậy  7  18,7  1 nên n –17 n 7k   k   Nhận xét: Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến biểu thức chia hết cho mà hệ số n Bài 32:Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia dư 5, chia dư 4, chia dư Hướng dẫn giải Gọi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề a Vì a chia dư nên a  49  a   1539  a  157 9 Vì a chia dư nên a  37  a  1547  a 1577 Vì a chia dư nên a  25  a  1555  a 157 5 Suy a 157  BC  9,5,  BCNN  9,5,  315  a  157 315k ví a nhỏ nên k 1  a 158 Vậy số tự nhiên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề : 158 Bài 33: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Hướng dẫn giải Gọi số cho A Theo ta có: A 7 a  17b  12 23c  Mặt khác: A  39 7 a   39 17b  12  39 23c   39 File word: Zalo_0946 513 000 10 File word: Zalo_0946 513 000