Bài giảng Cơ học giải tích

Bài giảng Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích. Trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài giảng sở học giải tích CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH - Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân chuyển động hệ không tự theo di chuyển lượng dạng giải tích Nội dung học giải tích trình bày nguyên lý tổng quát học, từ rút phương trình vi phân chuyển động, nghiên cứu phương trình đề phương pháp tích phân chúng Bài Phân loại hệ, liên kết đặt vào hệ Xét hệ N chất điểm M k chuyển động hệ qui chiếu Oxyz Vị trí hệ xác định 3N thành phần xác định vị trí xi , yi ,zi ; i = 1,N Vận tốc điểm thuộc hệ xác định 3N thành phần vận tốc xi , yi ,zi ; i = 1,N I Khái niệm hệ Cơ hệ tự Cơ hệ tự hệ mà thành phần xác định vị trí vận tốc lấy giá trị không gian qui chiều Ví dụ: Hệ mặt trời, hành tinh coi chất điểm Cơ hệ không tự Nếu thành phần xác định vị trí hay vận tốc hệ chịu số điều kiện ràng buộc vật thể khác gây nên hệ gọi hệ không tự Liên kết đặt vào hệ Những điều kiện ràng buộc vị trí hay vận tốc thuộc hệ thành phần khác gây nên gọi liên kết đặt vào hệ Về mặt toán học, liên kết biểu thị đẳng thức hay bất đẳng thức gọi phương trình liên kết hay bất phương trình liên kết fα ( x1 , y1 ,z1 , ,xN , y N ,z N ) ≥ gα ( x1 , y1 ,z1 , ,xN , y N ,z N ,x1 , y1 ,z1 , ,xN , y N ,z N ) ≥ α = 1,m , m số liên kết Ví dụ: Khi mơ tả chất điểm A nằm mặt đường nằm ngang dùng pt y A = Khi chất điểm M nằm mặt phẳng Oxy, treo dây OM=l dây căng, không giãn, biểu diễn phương trình xM2 + yM2 = l 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Hình Hệ mơ tả hình chịu liên kết mơ tả phương trình x A + yB + yC = l , với l chiều dài dây nối vật II Phân loại liên kết đặt vào hệ Liên kết giữ, khơng giữ • Liên kết giữ liên kết mô tả đẳng thức chúng gọi liên kết giữ fα = hay gα = • Liên kết không giữ liên kết viết dạng bất đẳng thức fα ≥ hay gα ≥ Liên kết không giữ tùy trường hợp gọi liên kết giữ xảy dấu “=” coi liên kết không giữ xảy dấu bất đẳng thức Liên kết dừng, không dừng • Liên kết dừng phương trình liên kết không chứa rõ hiển thời gian t (Sclêônôm) Nghĩa ∂fα ∂gα = = 0, ∀α ∂t ∂t • Liên kết khơng dừng phương trình liên kết có chứa thời gian t (Rêônôm) Nghĩa ∂fα ∂gα = ≠ 0, ∀α ∂t ∂t Liên kết Hôlônôm, phi Hôlônôm • Liên kết Hơlơnơm (liên kết hình học) phương trình liên kết chứa thành phần vị trí Phương trình liên kết fα ≥ ,α = 1,m • Liên kết phi Hơlơnơm phương trình liên kết chứa thành phần vị trí vận tốc Phương trình liên kết gα ≥ ,α = 1,m 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Khái niệm bậc tự do, Tọa độ suy rộng hệ Bậc tự hệ Mỗi hệ thời điểm có vơ số di chuyễn Vì hệ chịu liên kết nên di chuyễn không độc lập với Bậc tự hệ số di chuyển độc lập hệ Xét trường hợp hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng m liên kết Số bậc tự hệ xác định sau: • Nếu hệ chuyển động khơng gian Oxyz n = 3N − m (1.a) • Nếu hệ chuyển động mặt phẳng n = 2N − m (1.b) • Nếu hệ chuyển động đường thẳng n= N −m (1.c) Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng tập hợp tất thông số cần thiết, độc lập đủ để xác định vị trí hệ khơng gian Tọa độ suy rộng tọa độ Descartes chất điểm thuộc hệ, góc quay, tọa độ cong… Tùy trường hợp ta chọn tọa độ để tốn xác định vị trí hệ đơn giản Ký hiệu tọa độ suy rộng q1 ,q2 ,q3 Bản chất vật lý tọa độ suy rộng bất kỳ, thứ ngun khơng phải độ dài tọa độ Descartes Đạo hàm theo thời gian tọa độ suy rộng qi gọi vận tốc suy rộng Số tọa độ suy rộng q j , j = 1,n với số bậc tự hệ Vị trí hệ xác định nhờ tọa độ suy rộng, nên tọa độ Descartes chất điểm tọa độ suy rộng có liên hệ với nhau: xk = xk t,q j , yk = yk t,q j , zk = zk t,q j , j =1,n (2.a) ( ) ( ) ( ) dạng vector rk = rk ( t ,q j ) , j = 1,n (2.b) Ví dụ Bánh xe đống chất bán kính R, chuyển động lăn không trượt đường thẳng 0x nằm ngang (như hình vẽ) 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Xét chuyển động bánh xe, Bánh xe chuyển động song phẳng, xác định tham số ( x0 , y0 ,ϕ ) , bánh xe hệ khơng tự do, chịu liên kết mơ tả phương trình  y0 = R   x0 − Rϕ = α y O A x Vậy số bậc tự hệ là: n = – =1 Cơ cấu tay quay truyền 0AB xem hai chất điểm chuyển động mặt phẳng xy, chịu liên kết cho phương trình  x A2 + y A2 = r  2 ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = l  y = −h  B y A r O ϕ ψ l x h F B Vậy số bậc tự hệ: n=2.2-3=1 Ta chọn tọa độ suy rộng góc quay ϕ OA 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Di chuyển thực, di chuyển Xét hệ N chất điểm chuyển động không gian Oxyz chịu m liên kết hôlônôm, giữ fα ( t;rk ) = , α = 1,m (1) Di chuyển thực Tại thời điểm t, giả sử chất điểm vị trí xác định rk thỏa mãn phương trình liên kết (1) Trong khoảng thời gian ( t,t + dt ) , tác dụng lực ngoài, chất điểm thực dịch chuyển drk = rk dt gọi di chuyển thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) Lấy vi phân (1) theo thời gian, ta N ∂fα ∂f (2) dt + ∑ α drk = ∂t k =1 ∂r k Nghĩa là, di chuyển thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) phải thỏa mãn phương dfα = trình (2) Di chuyển (di chuyển ảo) Tại thời điểm t cố định, chất điểm vơ số vị trí thỏa mãn phương trình liên kết, mà vị trí thực số chúng Gọi rk vị trí vơ gần với vị trí thực rk Ký hiệu δ rk (δ x,δ y,δ z ) = rk − rk (gọi biến phân rk ), ta có ( ) ∂fα δ rk = k =1 ∂rk N fα t;r − fα ( t;r ) = ∑ (3) Các gia số δ rk gọi di chuyển hệ thỏa mãn công thức (3) Vậy, di chuyển hệ tập di chuyển vô bé mà chất điểm hệ thực từ vị trí khảo sát sang vị trí lân cận mà thỏa mãn liên kết vị trí xét Note: • Khái niệm chuyển hoàn toàn khác với khái niệm di chuyển thực Di chuyển thực di chuyển mà chất điểm thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) , di chuyển đơn gia số δ rk vô bé thỏa mãn phương trình (3), tính thời điểm cố định t • Khi liên kết dừng ta có di chuyển thực vô bé trùng với di chuyển 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Lực suy rộng Định nghĩa lực suy rộng Xét hệ N chất điểm chịu tác dụng lực chủ động Fk Giả sử hệ có n bậc tự Công lực chủ động di chuyển δ rk gọi tắt công (công ảo) xác định sau: N N k =1 k =1 δ A = ∑ δ Ak =∑ Fkδ rk (1) với rk = rk ( t,q1 ,q2 , ,qn ) , ta có ∂rk δ qi i =1 ∂qi n δ rk = δ rk ( t,q1 ,q2 , ,qn ) = ∑ (2) Thế (2) vào (1), ta  N n  ∂r  ∂rk δ qi  = ∑∑  Fk k δ qi  k =1  i =1 ∂qi  k =1 i =1  ∂qi  n  N n ∂r  = ∑  ∑ Fk k  δ qi = ∑ Qiδ qi i =1 i =1  k =1 ∂qi  N  n δ A = ∑  Fk ∑ (3) với N Qi = ∑ Fk k =1 ∂rk N  ∂xk ∂y ∂z  =∑  Fkx + Fky k + Fkz k  ∂qi k =1  ∂qi ∂qi ∂qi  (4) gọi lực suy rộng thứ i hệ Phương pháp thực hành xác định lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi Do tất δ q j , j = 1,n độc lập với nhau, để xác định Qi ứng với tọa độ suy rộng qi đó, ta cho độ dời ảo δ qi ≠ tất δ q j = , j ≠ i , sau tính cơng δ Ai tất lực tác dụng di chuyển δ qi Ta được, δ Ai = ∑ δ Ak ( qi ) = Qiδ qi (5) k =1 Hệ số δ qi (5) cho ta lực suy rộng Qi cần tìm Trong trường hợp tất lực tác động lên hệ có thế, nghĩa tồn ∂Π Khi ta có ∂rk N N ∂r ∂Π ∂rk ∂Π Qi = ∑ Fk k = ∑ − =− k =1 ∂qi k =1 ∂rk ∂qi ∂qi hàm Π cho Fk = − 24/11/08 (6) Bài giảng sở học giải tích Ví dụ Cơ cấu tay quay truyền 0AB xem hai chất điểm chuyển động mặt phẳng xy Tác dụng lên tay quay OA ngẫu lực M lực F lên chạy B Xác định lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng ϕ y A Giải M Ta tính cơng ngẫu lực M lực F tác r l dụng lên hệ ϕ Ψ O x Σδ A = M δϕ + Fδ xB h F B xB = r cos ϕ + l cosψ ; r sin ϕ = l sinψ − h ( r sin ϕ + h ) l ⇒ cosψ = l − ( r sin ϕ + h ) l ⇒ sinψ = xB = r cos ϕ + l − ( r sin ϕ + h ) δ xB = −r sin ϕ δϕ − V ậy ( r sin ϕ + h ) r cos ϕ δϕ l − ( r sin ϕ + h )    r cos ϕ ( r sin ϕ + h )     (g) ⇒ ∑ δ A =  M − F r sin ϕ +  δϕ   l r sin ϕ h − +  ( )     cos ϕ ( r sin ϕ + h )  Qϕ = M − Fr sin ϕ +  l − ( r sin ϕ + h )   24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Nguyên lý di chuyển Liên kết lý tưởng Các liên kết gọi lý tưởng tổng công phản lực liên kết di chuyển không, nghĩa N N k =1 k =1 ∑ δ Ak =∑ Rkδ rk = (1) Rk - Phản ản lực liên kết đặt lên chất điểm thứ k δ rk - Di chuyển chất điểm thứ k Trong thực tế, liên kết vật rắn bỏ qua ma sát, tính đàn hồi vật liệu coi liên kết lý tưởng Nguyên lý di chuyển Phát biểu: Điều kiện cần đủ để hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng lý tưởng cân tổng công lực chủ động tác dụng lên hệ di chuyển không N N ∑ δ A =∑ F δ r k k =1 k =1 k k =0 (2) Fk lực hoạt động tác dụng lên chất điểm thứ M k thuộc hệ, δ rk di chuyển chất điểm thứ M k Phương trình (2) cịn gọi phương trình cơng Phương trình cân tọa độ Giải sử hệ có n bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng q1 ,q2 , ,qn Ta có phương trình (2), ngun lý di chuyển khả dĩ, trở thành N N n k =1 k =1 i =1 ∑ δ Ak =∑ Fkδ rk = ∑ Qiδ qi =0 (3) ∂rk lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qi Vì qi độc lập ∂qi k =1 nên ta chọn δ qi độc lập tùy ý Từ (), ta có N với Qi = ∑ Fk Qi = (4) Ta n phương trình cân dạng (), gọi phương trình cân dạng tọa độ suy rộng Nếu lực tác dụng lực có thế, ta có phương trình cần Qi = − Π ∂qi =0 (5) Với Π = Π ( qi ) - Hàm lực tác dụng Note: 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Ưu điểm định luật công giải tốn cân học, ta khơng cần quan tâm đến phản lực liên kết (liên kết lý tưởng) Do thuận lợi cho giải tốn tìm điều kiện cân Khi gặp tốn tìm phản lực, hay liên kết không lý tưởng ta phải áp dụng nguyên lý giải phóng liên kết hay thành phần khơng lý tưởng tương ứng coi phản lực lực tác dụng Ví dụ Xác định quan hệ lực P vaø Q đđể cấu Culit cân vị trí khảo sát Biết OC = R ; OK = l Giải Xét hệ Bỏ qua ma sát ổ trục hệ Holomom, giữ, dừng lý tưởng Hệ có bậc tự Chọn tọa độ suy rộng ϕ y C A O ϕ Q K x B P Các lực tác dụng lên hệ P, Q Áp dụng nguyên lý công hệ cân bằng, ta δ A = Qδ rQ + Pδ rP = ⇒ Qxδ xQ + Qyδ yQ + Pxδ xP + Pyδ yP = Với xQ = OC cos ϕ ⇒ δ xQ = −OC sin ϕδϕ = − R sin ϕδϕ yQ = OC sin ϕ ⇒ δ yQ = OC cos ϕδϕ = R cos ϕδϕ Qx = Q sin ϕ ; Qy = −Q cos ϕ Px = ; Py = P yP = yB = y A + l1 ( l1 = AB = const ) ⇒ δ yP = δ y A ; y A = l tan ϕ ⇒ δ y A = Q sin ϕ ( − R sin ϕδϕ ) − Q cos ϕ R cos ϕδϕ + P ⇒ 24/11/08 l δϕ cos ϕ l δϕ = cos ϕ  Pl   −QR +  δϕ = cos ϕ   Bài giảng sở học giải tích ⇒ Qϕ = −QR + Pl Pl =0⇒Q = cos ϕ R cos ϕ Bài PHƯƠNG TRÌNH TỒNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC (NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE) Phương trình tổng quát động lực học Xét hệ N chất điểm M k có khối lượng mk chuyển động khơng gian Oxyz chịu liên kết Hôlônôm, giữ, lý tưởng Giả sử chất điểm M k chịu tác dụng lực chủ động Fk phản lực liên kết Rk Áp dụng nguyên lý d’Alambert ta có Fk + Rk + Fkqt = (1) Nhân vô hướng hai vế phương trình (1) với δ rk lấy tổng theo k, ta có N N k =1 k =1 ∑ δ Ak =∑ ( Fk + Rk + Fkqt )δ rk = Vì liên kết lý tưởng N ∑R δr k =1 k k (2) = , (2) trở thành N ∑( F k =1 k ) + Fkqt δ rk = hay N ∑( F k =1 k ) − mkWk δ rk = (3) Phương trình (3) gọi phương trình tổng quát động lực học Hoặc viết dạng tọa độ Descarst Oxyz N ∑ ( F k =1 kx − mkWkx ) δ rkx + ( Fky − mkWky ) δ rky + ( Fkz − mkWkz ) δ rkz  = (4) Phát biểu Nếu hệ chuyển động chịu liên kết lý tưởng tổng công tất lực chủ động lực quán tính di chuyển khơng Trường hợp hệ trạng thái cân Wk = , ta có N N k =1 k =1 ∑ δ Ak =∑ Fkδ rk = (5) Phương trình (5) ngun lý di chuyển Ví dụ Một sợi dây khơng dãn, khơng trọng lượng mắc qua hai rịng rọc cố định A, B, dây có rịng rọc di động C (hvẽ) Bỏ qua ma sát khối lượng rịng rọc Tính gia tốc vật 24/11/08 10 Bài giảng sở học giải tích O A Giải Hệ gồm vật m1 ,m2 ,m3 Các vật chuyển động theo phương thẳng đứng, chọn trục tọa độ hình vẽ Các lực chủ động tác dụng lên vật lên hệ trọng lượng vật B x1 C m1 x2 m2 m3 x3 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học ( m1 g − m1 x1 )δ x1 + ( m2 g − m2 x2 )δ x2 + ( m3 g − m3 x3 )δ x3 = (a) Phương trình liên kết (lý tưởng) x1 + x2 + x3 = const (b) Chọn tọa độ suy rộng x1 ,x3 , từ (a) ta có x3 = − 1 ( x1 + x3 ) , δ x3 = − (δ x1 + δ x2 ) 2 Thay vào phương trình (a), ta  ( m1 + m2 ) g − ( 4m1 + m2 ) x1 − m2 x3  δ x1 +  ( m3 + m2 ) g − ( 4m3 + m2 ) x2 − m2 x1  δ x3 = Vì chuyển dịch δ x1 ,δ x3 độc lập bất kỳ, nên ( m1 + m2 ) g − ( 4m1 + m2 ) x1 − m2 x3 = ( m3 + m2 ) g − ( 4m3 + m2 ) x2 − m2 x1 = Giải hệ phương trình trên, ta x1 ,x2 ,x3 Người ta vắt qua ròng rọc cố định O sợi dây mềm nhẹ, chiều dài l, đầu dây treo vật nặng M1 có khối lượng m1, cịn đầu dây treo rịng rọc M2 có khối lượng m2 Vắt qua rịng rọc M2 sợi dây mềm nhẹ chiều dài l2 vật có khối lượng tương ứng m3, m4 Xem liên kết lý tưởng 24/11/08 11 Bài giảng sở học giải tích Giải Đưa vào hệ trục Oy thẳng đứng hướng xuống Lực tác dụng lên hệ trọng lực vật Phương trình tổng quát động lực học N ( Fν − mν aν )δ rν = ∑ ν =1 M2 N m2 g M4 M1 m1 g m4 g M3 ⇒ ∑ ( Fν x − mν xν ) δ xν + ( Fν y − mν yν ) δ yν + ( Fν z − mν zν ) δ zν  = ν =1 ⇔ ( m1 g − m1 y1 ) δ y1 + ( m2 g − m2 y2 ) δ y2 + ( m3 g − m3 y3 ) δ y3 + ( m4 g − m4 y4 ) δ y4 = C ác di chuyển δy1 , δy2 , δy3 , δy4 không độc lập hệ khơng tự với phương trình liên kết tương ứng y  y1 + y2 = l1  ( y3 − y2 ) + ( y4 − y2 ) = l2 ⇒ δ y1 + δ y2 = ; δ y3 + δ y4 − 2δ y2 = Ta chọn hai di chuyển độc lập δ y2 ,δ y4 Vậy δ y1 = −δ y2 ; δ y3 = 2δ y2 − δ y4 m3 g Thế vào ta m1 ( g − y1 )( −δ y2 ) + m2 ( g − y2 ) δ y2 + m3 ( g − y3 ) ( 2δ y2 − δ y4 ) + m4 ( g − y4 ) δ y4 = ⇒  − m1 ( g − y1 ) + m2 ( g − y2 ) + 2m3 ( g − y3 )  δ y2 + +  m4 ( g − y4 ) − m3 ( g − y3 )  δ y4 = Vì δy3 , δy4 tùy ý nên −  m1 ( g − y1 ) + m2 ( g − y2 ) + 2m3 ( g − y3 ) =  m4 ( g − y4 ) − m3 ( g − y3 ) =  y1 + y2 = Hơn   y3 + y4 − y2 = 24/11/08 12 Bài giảng sở học giải tích ⇒ ( m − m4 ) + ( m3 + m4 )( m1 − m2 − m3 − m4 ) g y1 = − y2 = 2m4 ( m4 − m3 ) − ( 2m4 + m1 + m2 ) ( m3 + m4 )  m3 − m4 ) + ( m3 + m4 )( m1 − m2 − m3 − m4 )  ( y3 =  m3 − m4 + 2m4 g m3 + m4  2m4 ( m4 − m3 ) − ( 2m4 + m1 + m2 ) ( m3 + m4 )  y4 = y2 − y3 Bài PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II Ta xét hệ chịu liên kết Hơ lơ nơm, giữ, lý tưởng có n bậc tự Phương trình Lagrange loại II • Trường hợp tổng quát d  ∂T  ∂T = Q j , j = 1,n  − dt  ∂q j  ∂q j • Trong trường hợp lực d  ∂L  dt  ∂q j  ∂L = , j = 1,n  − ∂ q j  L = T − V gọi hàm Lagrange (là hiệu động T V hệ) • Chú ý Phương trình Lagrange loại II ứng dụng phổ biến để nghiên cứu chuyển động hệ hôlônôm, lý tưởng Quy trình thiết lập phương trình Lagrange loại II o Bước Xét tính chất liên kết o Bước Xác định số bậc tự n hệ (bằng số tọa độ suy rộng) chọn tọa độ suy rộng o Bước Xác định biểu thức động o Bước Tính lực suy rộng Qi V o Bước Tính ∂T ∂T d ∂L ∂L , , tính L = T − V , ∂q j ∂q j dt ∂q j ∂q j o Bước Viết phương trình Lagrange II, giải chúng (nếu cần) Ví dụ 24/11/08 13 Bài giảng sở học giải tích Thiết lập phương trình vi phân chuyển động lắc eliptic gồm vật A chuyển động mặt phẳng ngang nhẵn, treo vào A lắc toán học B có khối lượng A, độ dài l Bánh xe xem đĩa tròn đồng chất trọng lượng P, bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng nghiêng góc α với phương nằm ngang Gắn vào trục O bánh xe đồng chất OA trọng lượng Q, chiều dài OA=l quay khơng ma sát quanh O (như hình vẽ) Hệ đứng yên, OA thẳng đứng hướng xuống Thả cho chuyển động Xác định thời điểm thả: a Gia tốc tâm O b Gia tốc OA O l C A α Giải Xét hệ gồm bánh xe OA Hệ có hai bậc tự Chọn tọa độ suy rộng S = O1O , ϕ góc lệch OA với phương thẳng đứng Ta có l  x xC = s cos α + sin ϕ O  x = s cos α  O s     yO = s sin α  y = s sin α + l cos ϕ  C O ϕ C P Q A α y 24/11/08 14 Bài giảng sở học giải tích xO = s cos α ; yO = s sin α ⇒ vO2 = xO2 + yO2 = s 1 xC = s cos α + ϕ cos ϕ ; yC = s sin α − ϕ sin ϕ 2 l ⇒ vC2 = xC2 + yC2 = s + ϕ + lsϕ cos (α + ϕ ) Động hệ P Q v0 + J O wO2 + vC + J C wC2 2g 2g Do bánh xe lăn không trượt v s wO = O = ; wC = ϕ R R PR Ql Và ý: J C = ; JC = 2g 12 g 3P Q Ql 2 Ql Ta có: T = s + s + ϕ + sϕ cos (α + ϕ ) 2g 2g 6g 2g ∂T 3P Q Ql ∂T = ϕ cos (α + ϕ ) ; =0 s+ s+ ∂s g ∂s g 2g T= ∂T Ql Ql ∂T Ql = ϕ + ϕ cos (α + ϕ ) ; =− sϕ sin (α + ϕ ) ∂ϕ g ∂ϕ 2g 2g Tính lực suy rộng Qs Qϕ : ∑ δ Ak = Pδ yO + Qδ yC k l Với : δ yO = δ s sin α ; δ yC = δ s sin α − sin αδϕ V ậy l Ql   ∑k δ Ak = Pδ s sin α + Q  δ s sin α − sin αδϕ  = ( P + Q sin α ) δ s − sin αδϕ Ql Suy Qs = ( P + Q ) sin α ; Qϕ = − sin α Phương trình Lagrange loại hai hệ có dạng d  ∂T  ∂T d  ∂T  ∂T = Qs ; − = Qϕ  − dt  ∂s  ∂s dt  ∂ϕ  ∂ϕ Thay kết vào ta 24/11/08 15 Bài giảng sở học giải tích Ql Ql  3P + 2Q s + ϕ cos α + ϕ − ϕ sin (α + ϕ ) = ( P + Q ) sin α ( )  2g 2g 2g    Ql ϕ + Ql s cos (α + ϕ ) = − Ql sin α  g 2g TÍnh aO = s ε OA = ϕ Tại thời điể, bắt đầu chuyển động, ϕ = 0; s = ϕ = Ql  3P + 2Q  g aO + g ε OA cos α = ( P + Q ) sin α  ⇒  Ql ε + Ql a cos α =  g OA g O Giải cho aO = s vaø ε OA = ϕ , ta g ( P + Q ) sin α g ( P + Q ) sin α aO = = P + 4Q − 3Q cos α P + Q + 3Q sin α ε OA = − 24/11/08 g ( P + Q ) sin α cos α l ( P + Q + 3Q sin α ) 16 (0.1) ... tác dụng Note: 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Ưu điểm định luật công giải tốn cân học, ta khơng cần quan tâm đến phản lực liên kết (liên kết lý tưởng) Do thuận lợi cho giải tốn tìm điều kiện... cos ϕ   Bài giảng sở học giải tích ⇒ Qϕ = −QR + Pl Pl =0⇒Q = cos ϕ R cos ϕ Bài PHƯƠNG TRÌNH TỒNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC (NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE) Phương trình tổng quát động lực học Xét hệ... kết lý tưởng 24/11/08 11 Bài giảng sở học giải tích Giải Đưa vào hệ trục Oy thẳng đứng hướng xuống Lực tác dụng lên hệ trọng lực vật Phương trình tổng quát động lực học N ( Fν − mν aν )δ rν =