(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh vận dụng cơ học giải tích trong hệ tọa độ suy rộng để giải một số bài toán về chuyển động của vật rắn liên kết trong các đề thi olympic và đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG CƠ HỌC GIẢI TÍCH TRONG HỆ TOẠ ĐỘ SUY RỘNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LIÊN KẾT TRONG CÁC ĐỀ THI OLYMPIC VÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA, QUỐC TẾ Người thực hiện: Nguyễn Bá Tư Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Vật lý THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Chuyển động liên kết chuyển động hệ có từ hai vật trở lên mà chúng có liên kết để vật chuyển động liên kết kéo theo vật cịn lại chuyển động có mặt vật vật ràng buộc gây ảnh hưởng đến chuyển động vật lại Các toán chuyển động liên kết vật rắn thường tốn khó việc phân tích tượng xác định lực tác dụng lên vật hệ Các toán chuyển động liên kết năm qua xuất nhiều kì thi Olympic đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế mơn vật lý Trong sách giáo khoa tài liệu tham khảo hành chưa đề cập nhiều chưa đưa phương pháp giải hiệu Do giáo viên học sinh gặp khơng khó khăn giải toán chuyển động liên kết Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giải khó khăn trên, tơi nhận thấy đa số chưa có hướng khắc phục hiệu quả, chủ yếu hướng dẫn học sinh giải tập chuyển động vật rắn liên kết cách áp dụng định luật Newton Bởi lẽ định luật Newton dễ nhớ quen thuộc học sinh Tuy nhiên áp dụng vào toán mức độ khó đề thi học sinh giỏi quốc gia việc áp dụng định luật Newton gặp khơng khó khăn lý sau: - Để khảo sát hệ có liên kết phải xác định lực liên kết, thực tế việc xác định lực liên kết lại phức tạp - Mối quan hệ đại lượng phương trình Newton thể dạng vecto, điều khiến việc giải toán trở nên khó khăn Nhận thấy khó khăn trên, q trình hướng dẫn học sinh ơn luyện thi học sinh giỏi quốc gia năm vừa qua chủ động mạnh dạn áp dụng phương trình lagrange hệ toạ độ suy rộng để giải tốn liên kết thấy đem lại kết tích cực Vì tơi lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh vận dụng học giải tích hệ toạ độ suy rộng để giải số toán chuyển động vật rắn liên kết đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế” Thông qua đề tài này, mong muốn chia sẻ với bạn đồng nghiệp, đặc biệt giới thiệu đến em học sinh phương pháp giải toán liên kết vật rắn cách hiệu để áp dụng trình ơn luyện thi học sinh giỏi Với lý nêu trên, hi vọng đề tài góp phần tạo nên thành cơng cho việc dạy học chủ đề chuyển động lăn dao động liên kết vật rắn 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề tài vận dụng định luật học giải tích phương trình largange hệ toạ độ suy rộng để giải số toán khó chuyển động liên kết theo hướng mà tài liêu chưa đề cập nhiều để em học sinh tham khảo vận dụng tham gia ôn luyện thi học sinh giỏi quốc gia - Đề tài cung cấp cho đồng nghiệp nguồn tư liệu bổ ích cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi phần học liên kết - Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa lực, có thêm kiến thức phương án giải toán liên kết vật rắn tạo điều kiện để học sinh có lực đạt kết cao kì thi học sinh giỏi - Đề tài thể hướng riêng thân việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nhằm khắc phục hạn chế học sinh công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm tới 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Cơ sở lý thyết học giải tích - Các tốn chuyển động liên kết Trong tập trung hướng dẫn học sinh làm quen với phương pháp sử dụng phương trình largange để giải tốn chuyển động liên kết mặt vật rắn Trên sở hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp để giải toán chuyển động liên kết đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Phương pháp nghiên cứu Để giải mục tiêu đề ra, đề tài ngồi việc sử dụng phương trình Lagrange hệ toạ độ suy rộng định luật vật lý để giải tốn cụ thể tơi cịn kết hợp với số phương pháp sau: - Phương pháp tự nghiên cứu ứng dụng thực tiễn - Phương pháp thực nghiệm đối chứng - Phương pháp thống kê tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.5 Cấu trúc đề tài Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Sáng kiến kinh nghiệm gồm phần sau: Phần Cơ sở lý thuyết Phần Vận dụng phương trình Lagrange hệ toạ độ suy rộng việc giải toán cụ thể chuyển động lăn đề thi Olympic đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có liên quan đến chuyển động liên kết vật rắn năm vừa qua NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Những khái niệm liên kết Tọa độ suy rộng 1.1.1 Số bậc tự – liên kết M , M , M , M N N Xét hệ gồm chất điểm chuyển động hệ Mi quy chiếu quán tính Vị trí chất điểm xác định bán kính vecto r ri xi yi zi N hay ba tọa độr Descarter , Để xác định vị trí hệ ta cần ri i = 1,2,3, , N 3N bán kính veto , với hay tương ứng tọa độ Descarter Số thông số độc lập cần thiết để xác định cách đơn giá vị trí hệ gọi số bậc tự hệ Cơ hệ gọi tự chất điểm tạo thành hệ chiếm vị trí khơng gian có vận tốc Nói cách khác, hệ tự vị trí vận tốc chất điểm tạo nên hệ khơng bị ràng buộc điều kiện Số bậc tự hệ 3N Trong thực tế ta gặp hệ không tự do, nghĩa hệ mà vị trí vận tốc bị hạn chế điều kiện Những điều kiện hạn chế vị trí vận tốc chất điểm hệ không gian gọi liên kết.[1] 1.1.2 Tọa độ suy rộng Để khảo sát hệ ta cần liên kết đặt lên hệ Liên kết u r ur ur uu r f r , r , r , , r α N ,t = α = 1,2,3, n biểu diễn phương trình , với n 3N Nếu phương trình độc lập số tọa độ Descarter có ( s = 3N − n ) tọa độ độc lập s Muốn xác định cách đơn giá vị trí hệ cần phải xác định thơng q1 , q2 , q3 , , qs s số độc lập Giả sử tìm thơng số r r liên hệ với r ri = ri ( q1 , q2 , q3 , , qs , t ) = ri i = 1,2,3, , N vecto , phương trình , i = 1,2,3, , N cho thay vào phương trình phương trình trở u r ur ur uu r fα r1 , r2 , r3 , , rN , t = q1 , q2 , q3 , , qs thành đồng thức Các thông số gọi tọa độ suy rộng hệ chịu liên kết.[1] 1.2 Dịch chuyển dịch chuyển ảo 1.2.1 Dịch chuyển ( ) M xác định vecto vị r Chất điểm ri dt trí Sau khoảng thời gian vơ bé r r ri + d ri vị trí chất điểm xác định Tập hợp tất vecto dịch chuyển vô bé chuyển [1] r d ri gọi dịch 1.2.2 Dịch chuyển ảo r d r t i Giả sử thời điểm , ta lấy hai hệ thống vecto dịch chuyển r r r r d ri′ d ri d ri′ δ ri Hiệu hai vector Tập rvà r vecto vô bé, ta kí hiệu δ ri = d ri − d ri′ hợp vecto gọi vecto dịch chuyển ảo.[1] 1.3 Công ảo liên kết lí tưởng 1.3.1 Cơng ảo uur Mi Fi Giả sử chất điểm chuyển động tác dụng củauu lực Nếu chất điểm r ur F = i mi i = 1,2,3., , N chuyển động tự theo định luật II Newton, ta , với ur có Khi có liên kết đặt lên hệ gia tốc khơng thỏa mãn phương Mi trình liên kết Điều liên kết tác dụng lực lên chất điểm , ta gọi Mi lựcunày phản lực liên kết Kí hiệu phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm u r Mi Ri Lúc phương trình chuyển động chất điểm chịu liên kết có dạng ur uu r uu r mi = Fi + Ri i = 1,2,3, , N , với Công ảo đại lượng vật lý xác định biểu thức N u u r r N δ A = ∑ Riδ ri = ∑ ( Rixδ rix + Riyδ riy + Riyδ riy ) i =1 i =1 1.3.2 Liên kết lí tưởng Liên kết gọi liên kết lí tưởng tổng công ảo phản lực liên kết đặt lên hệ dịch chuyển ảo N u u r r N δ A = ∑ Riδ ri = ∑ ( Rixδ rix + Riyδ riy + Riyδ riy ) = i =1 i =1 Nghĩa Phương trình Lagrage loại II 2.1 Nguyên lý Dalambert – Lagrange Xét hệ gồm N chất điểm chịu lực liên kết lí tưởng ur uu rđặtuu rlên nó, mi = Fi + Ri i phương trìnhurchuyển động chất điểm hệ có dạng uu r uu r mi − Fi = Ri hay ( r δ ri ur uu r r uu r r mi − Fi δ ri = Riδ ri ) Nhân hai vế phương trình cho ta Phương trình chuyển động tất chất điểm hệ N ur uu r r N uu r r m a − F δ r = R ∑ i i i i ∑ iδ ri i =1 ( ) i =1 uu r r R ∑ iδ ri = N Vì liên kết lí tưởng, theo điều kiện N ur uu r r m a − F ∑ i i i δ ri = i =1 ( i =1 , ta ) (2.1) Biểu thức (2.1) gọi nguyên lý Dalambert –ur Lagrange = Trường hợp riêng, hệ trạng thái cân ta thu nguyên N r F δ r ∑ i i =0 i =1 lý quan trọng tĩnh học (2.2) Phương trình (2.2) gọi nguyên lý dịch chuyển ảo.[1] 2.2 Phương trình Lagrange loại II n N Xét hệ gồm chất điểm, liên kết đặt lên hệ biểu diễn u r ur ur uu r fα r1 , r2 , r3 , , rN , t = α = 1,2,3, , n phương trình , Số bậc tự hệ ( ) s = 3N − n q1 , q2 , q3 , , qs s Vị trí cơr hệ xác định tọa độ suy rộng Các r r q1 , q2 , q3 , , qs ri t ri = ri ( q1 , q2 , q3 , , qs , t ) = bán kính vecto hàm , i = 1,2,3, , N Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – Lagrange (2.1) ta thành lập phương trình chuyển động hệ hệ tọa độrsuy rộng δ ri Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo qua biến phân tọa độ suy rộng qk = q k ( t , α ) t Giả sử có tọa độ suy rộng biến thời gian α thông số thực Khi α =0 , qk = qk ( t ,0 ) = qk ( t ) xác định vị trí thực hệ qk = qk ( t ,α ) α ≠0 Khi , tọa độ suy rộng xác định vị trí hệ phù hợp với liên kết đặt lên Dạng qk thay đổi biến số α t không thay đổi thông số thay đổi δ qk ( t ) Ta định nghĩa biến phân tọa độ suy rộng đại lượng xác ∂q δ qk ( t ) = qk ( t ,α + δα ) − qk ( t ,α ) = k δα ∂α định biểu thức (2.3) r r r r r δ r = r ( t ,α + δα ) − r ( t ,α ) = ∂ ri δα i ri i i ∂α Tương tự, ta có biến phân r qk ( t ,α ) ri α Vì bán kính vecto phụ thuộc vào qua hàm nên ta có r r r s s r ∂r ∂ r ∂q ∂r δ ri = i δα = ∑ i k δα = ∑ i δ qk ∂α k =1 ∂qk ∂α k =1 ∂qk (2.4) Đặt biểu thức r δ ri s ∑( Z k =1 k − Qk ) δ qk = vào r(2.4), ta nhận đượcr N u N u r ∂r ur ∂ r Qk = ∑ Fi i Z k = ∑ mi i ∂qk ∂qk k = 1,2,3, , s i =1 i =1 Trong , , với Cơng ngunrtố hoạt lực dịch chuyển ảo N u N uu u r ∂r r i δ A = ∑ Fi = ∑ Qkδ qk ∂qk i =1 i =1 Qk Đại lượng gọi lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng Zk Biến đối dạng thuận tiện ta r r r r r N N N N ur ∂ r r ∂r r d  ∂r  & d r ∂ r d i i Z k = ∑ mi i = ∑ mi i i = ∑ mi r& − ∑ mi r&  ÷ i i ∂qk i =1 dt ∂qk dt i =1 ∂qk i =1 dt  ∂qk  i =1 (2.5) r r r s r d r ∂r ∂r i r& = i + ∑ i q&j i = dt ∂t j =1 ∂qk Ta biết (2.6) r r d r& ∂ r i = i dt ∂qk i = 1,2,3, , N k = 1,2,3, , s Từ biểu thức (2.6), ta suy , với ; (2.7) Dùng hệ thức (2.6) ta có r r r r 2 s   ∂ r& ∂ r ∂ r d ∂ r i i i = +∑ q&j =  i ÷ ∂q&k ∂t∂qk j =1 ∂q j ∂qk dt  ∂qk  (2.8) Zk Chú ý đến hệrthức (2.7) vàr(2.8) ta viết dạng N N r ∂r r ∂ r& d ∂T ∂T d i i & Z = − Z k = ∑ mi r& − m r ∑ k i i i dt i =1 ∂qk i =1 ∂qk dt ∂q&k ∂qk k = 1, 2,3, , s Hay , (2.9) T= Trong uu r & m r ∑ i Vì biến phân s ∑( Z k =1 k ( ) δ qk − Qk ) δ qk = (2.10) động hệ độc lập tùy ý khác không nên biểu thức δ qk thỏa mãn tất nhân tử biểu Z k − Qk = Z k = Qk thức khơng Nghĩa hay d ∂T ∂T − = Qk dt ∂q&k ∂qk k = 1,2,3, , s Thay (2.9) vào ta , với (2.11) Phương trình (2.11) gọi phương trình Lagrange loại II hay phương trình Lagrange tọa độ suy rộng Để tìm phương trình chuyển động hệ ta cần giải hệ thống s phương trình Lagrange loại II dqk d qk & qk = & q& k = dt dt Đại lượng gọi vận tốc suy rộng; đại lượng δT pk = δ qk gọi gia tốc suy rộng; đại lượng gọi xung lượng suy rộng uur Fi Nếu hoạt lực tác dụng lên hệ lực ta có uu r ∂U Fi = − r ∂ ri (2.12) Biểu thức lựcr suy rộng r trường hợp có dạng N N uur uu r ∂r ∂U ∂ r ∂U Qk = ∑ Fi i = −∑ r i = − ∂qk ∂qk i =1 i =1 ∂ ri ∂qk (2.13) Ta đặt ur ur rk = rk ( q1 , q2 , q3 , , qs , t ) thay vào biểu thức U U ∂U =0 qk ∂q&k t U = U ( q1 , q2 , q3 , , qs , t ) phụ thuộc vào thời gian Suy ∂T ∂ ( T − U ) = ∂q&k ∂q&k Ta có d ∂L ∂L − =0 dt ∂q&k ∂qk Như phương trình (2.11) có dạng (2.14) L = T −U Trong hàm lagrange hệ Phương trình (2.14) phương trình Lagrange loại II hệ trường hợp hoạt lực tác dụng lên hệ lực Từ (2.11) (2.14), ta tổng quát hóa cho trường hợp hệ chịu tác dụng d ∂L ∂L − = Qk dt ∂q&k ∂qk lực khơng (2.15) Qk Với lực suy rộng tương ứng lực chủ động không d ∂L ∂L − =0 dt ∂q&k ∂qk Hoặc (2.16) U = − ∫ Fdq Với lực không Từ (2.11), (2.14), (2.15) (2.16) ta thấy phương trình Lagrange loại II không chứa phản lực liên kết số phương trình đủ để mơ tả chuyển động hệ số bậc tự hệ Đây ưu điểm bật phương trình Lagrange loại II.[1] 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong năm vừa qua toán chuyển động liên kết xuất nhiều kì thi học sinh giỏi Các tài liệu tham khảo trình bày theo phương pháp động lực học bảo tồn lượng Những tốn khó việc phân tích chuyển động xác định lực liên kết Vì trình giải dễ sai sót Từ thực tiễn kết kì thi học sinh giỏi học sinh năm vừa qua tơi nhận thấy tốn học đặc biệt tốn liên kết ln thách thức không nhỏ, hạn chế đội tuyển hàng năm Do toán mức độ quốc gia phức tạp tượng vật lý nên dễ mắc sai sót trình làm Để khắc phục khó khăn nhược điểm học sinh thầy cô ôn luyện thi học sinh giỏi cần phải tìm tịi giải pháp hiệu để khắc phục hạn chế học sinh Vì năm vừa qua tơi đồng nghiệp có trao đổi phương pháp giảng dạy có việc áp dụng kỹ thuật, thuật toán để giải tốn khó đề thi nhằm nâng cao hiệu giảng dạy môn Vật lý cho thân, đồng thời giúp đỡ đồng nghiệp việc ôn thi học sinh giỏi năm tới Trong số phương pháp, thực thấy tâm đắc với việc hướng dẫn học sinh vận dụng phương trình lagrange hệ toạ độ suy rộng để giải toán chuyên động lăn vật rắn liên kết, từ giúp em giải đề thi học sinh giỏi theo phương pháp Đây coi số phát đem lại hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thân năm vừa qua 2.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng học giải tích hệ toạ độ suy rộng để giải toán chuyển động lăn liên kết vật rắn 2.3.1 Phương pháp chung Từ nội dung lý thuyết từ thực tiễn rút trình hướng dẫn học sinh vận dụng phương trình Lagrange loại II việc tìm quy luật chuyển động hệ Tơi đề xuất quy trình chung sau: Bước 1: Xác định số bậc tự hệ chọn tọa độ suy rộng phù hợp Bước 2: Viết phương trình động học Bước 3: Viết phương trình động lực học Bước 4: Viết phương trình lượng Bước 5: Phương trình liên kết Bước 6: Thực phép toán đạo hàm để thu phương trình vi phân chuyển động 2.3.2 Áp dụng cho dạng tập cụ thể 2.3.2a Hướng dẫn học sinh làm vận dụng học giải tích giải số tốn chuyển động lăn vật rắn thường gặp Bài toán chuyển động lăn vật rắn toán phổ biến, xuất nhiều đề thi Olympic thi học sinh giỏi quốc gia Các tài liệu tham khảo hành chủ yếu hướng dẫn giải theo phương pháp động lực học bảo toàn lượng Tuy nhiên, số tốn có chuyển động tương đối thường có lời giải dài khó việc xác định quy luật chuyển động Trong việc sử dụng phương trình Lagrange làm cho tốn trở nên ngắn gọn Do để thấy tính hiệu quả, q trình dạy học tơi thường lựa chọn tốn làm đối tượng vận dụng để giúp học sinh thấy tính hiệu phương pháp Bài 1: Trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn có nêm hình lăng trụ tam giác đồng chất có góc nghiêng α so với mặt nằm ngang, khối lượng M Trên lăng trụ đặt khối trụ đồng chất có bán kính R, khối lượng m (Hình 1) Khối trụ bắt đầu lăn không trượt xuống theo mặt phẳng nghiêng Bỏ qua ma sát lăn a Nêm giữ cố định, tìm gia tốc chuyển động khối trụ Hình 10 - Đối với vật- điểm A uuu r uuur uuu r OA = OG + GA  uu r r r v  A = u '.ex + ( R.α ' ) eα r r r r a A = u ''.ex + ( R.α '') eα + ( − R.α ' ) er (1) - Đối với vành – điểm G r vGx = u '.ex  xG = u  ⇒ vGy =  r  yG = R  aGx = u ''.ex (2) Bước 3: Viết phương trình động lực học - Đối với vật m:  r r r  Fr + mg cos α = m ( −u ''sin α − R.α ' ) FA + mg = ma A ⇒    Fα = ⇒ Fr = −mg cos α + m ( −u ''sin α − R.α '2 ) Xét theo phương Ox: - Đốirvới vành: Gọi FK (3) − Fr sin α = max (4) lực mà mặt đất tác dụng lên vành theo phương ngang r r r r FK + − Fr + Mg = Mu ''.ex ⇒ FK = Mu ''− Fr sin α ( ) (5) FK R = I G β '' ⇒ FK = MR.β '' Phương trình mơmen: Bước 4: Viết phương trình liên kết (6) Vì vành lăn không trượt nên: (7) r vK = ⇒ R.β '+ u ' = ⇒ u ' = − R.β ' max = −2Mu '' ⇒ mvAx = −2Mu ' Từ (5)(6)(7), ta suy ra: Bước 5: Viết phương trình lượng r r eα = ex Tại vị trí thấp ta có nên từ (1) ta suy Định luật bảo toàn lượng cho ta: 1 mgR ( − cos α ) = mv A2 + Mu '2 + I G β '2 2 (8) v A = u '+ Rα ' (9) (10) Bước 6: Giải hệ phương trình 16  gR ( − cos α ) v A = m  2+  M   m gR ( − cos α ) vG = − M m 2+  M  Thay (7) (8) vào (10) ta được: Từ (9), ta suy ra: m  R.α ' = vA − u ' = gR ( − cos α )  + ÷ M  (11) Thay (11) vào (3) ta phản lực mà vành tác dụng lên vật   m Fr = −mg 1 +  + M     ÷ ( − cos α )    r er Dấu “-” cho biết phản lực ngược chiều với véc tơ đơn vị vị trí thấp 2.3.2b Vận dụng phương pháp lagrange để giải số đề thi Olympic, quốc gia, quốc tế Bài 1: (HSG quốc gia – 2005) Cho vật nhỏ m A B M có khối lượng vật có khối lượng Mặt R S B có dạng bán cầu, bán kính hình vẽ Lúc đầu B đứng yên mặt sàn , bán kính mặt cầu qua thẳng đứng góc α0 α0 ( a Giả sử A dao động, kì dao động vật A b Giả sử ma sát hệ [4] a Giả sử A B B hợp với phương có giá trị nhỏ) Thả cho A ban đầu Ma sát A B A chuyển động với vận tốc không đáng kể Cho gia tốc trọng trường đứng yên (do có ma sát mặt sàn S kì dao động vật A B sàn S ) Tìm chu bỏ qua Tính chu kì dao động Phân tích hướng dẫn giải dao động, B g đứng yên (do có ma sát B Bước 1: Xác định bậc tự do: Đối với vật nhỏ A cần xác định Bước 2: Viết phương trình động học sàn S ) Tìm chu ϕ 17 ϕ Chọn tọa độ suy rộng hình vẽ vx = R cos ϕϕ&  x = R sin ϕ   2  y = R cos ϕ v y = − R sin ϕϕ& v = R ϕ& Ta có → → Bước 3: Viết phương trình liên kết v = R 2ϕ&2 → v = Rϕ& Từ phương trình Bước 4: Viết phương trình lượng T = mv m Động hệ động hạt T = mR 2ϕ&2 Vậy ta có động Cơng tồn phần lực chủ động tác dụng lên hệ ∂A = −mgR sin ϕ dϕ Qϕ = −mgR sin ϕ → &= − mgR sin ϕ mR 2ϕ& Phương trình Lagrange cho chuyển động hạt Bước 5: Viết phương trình động lực học ∂T d ∂T ∂T & = mR 2ϕ& = mR 2ϕ& =0 ∂ϕ& dt ∂ϕ& ∂ϕ Ta thực phép toán → g &+ sin ϕ = ϕ& R hay Bước 6: Giải phương trình g &+ ϕ = ϕ& ϕ R Trường hợp nhỏ, ta có Phương trình chứng tỏ hạt dao động điều hịa bát hình cầu với tần số g ω= R góc M b Trường hợp không cố định Bước 1: Xác định bậc tự ϕ -Đối với B x, a Các tọa độ suy rộng chọn Bước 2: Viết phương trình động học vx = x&+ R cos ϕϕ&  xm = x + R sin ϕ   v = R 2ϕ&2 v y = − R sin ϕϕ&  ym = R cos ϕ → → x ϕ 18 Bước 3: Viết phương trình liên kết v = R 2ϕ&2 → v = Rϕ& Từ phương trình Bước 4: Viết phương trình lượng 1 T = MvM2 + mvm2 2 Động hệ: vM = x& Trong 1 T = ( M + m ) x&2 + mR cosϕϕ&x&+ mR 2ϕ&2 2 Vậy Cơng tồn phần lực chủ động tác dụng lên hệ Qϕ = −mgR sin ϕ ∂A = − mgR sin ϕ∂ϕ → ∂T = ( M + m ) x&+ mR cos ϕϕ& ∂x& Ta thực phép toán d ∂T ∂T &− mR sin ϕϕ&2 = ( M + m) & x&+ mR cos ϕϕ& =0 dt ∂x& ∂x → ∂T = mR cos ϕ x&+ mR 2ϕ& ∂ϕ& → d ∂T ∂T & = mR cos ϕ & x&− mR sin ϕϕ&x&+ mR 2ϕ& = − mR sin ϕϕ&x& dt ∂ϕ& ∂ϕ → Phương trình Lagrange cho chuyển động hệ &− mR sin ϕϕ&2 = x&+ mR cos ϕϕ& ( M + m) & &= − g sin ϕ cos ϕ & x&+ Rϕ& Bước 5: Viết phương trình động lực học: &= ( M + m ) & x&+ mRϕ& M +m g  & & ϕ + ϕ =0 &+ gϕ = x&+ Rϕ& & M R Trong trường hợp gần → Bước 6: Giải phương trình Phương trình chứng tỏ, lắc dao động nhỏ với tần số góc  M +m g ω=  ÷  M R Bài 2: (HSG quốc qia – 2011) Cho vật mỏng đều, đồng chất, uốn theo dạng lòng máng thành phần tư hình trụ trục ∆, bán kính R gắn với điểm O AB cứng, ngắn, có cứng, mảnh, nhẹ 19 OA OB Trên hình vẽ, cứng độ dài mặt phẳng vng góc với trục ∆, chứa khối G C R , OAB nằm OG tâm vật 1, giao điểm lòng máng Giữ cho vật ln cố định đặt vật hình trụ rỗng, mỏng, đồng r chất, chiều dài với vật 1, bán kính ( r < R) , nằm dọc theo đường sinh vật Kéo vật lệch khỏi vị trí cân góc β0 nhỏ thả nhẹ Tìm chu kì dao động nhỏ vật Biết trình dao động, vật lăn không trượt vật 1.[4] Phân tích hướng dẫn giải Bước 1: Xác định bậc tự toạ độ suy rộng Chọn tọa độ suy rộng β α hình vẽ ω = α& v = rα& Bước 2: Viết phương trình động học: Bước 3: Viết phương trình liên kết v = ( R − r ) β&= rα& Từ điều kiện lăn không trượt Bước 4: Viết phương trình lượng Động hệ động chuyển động song phẳng hình trụ 1 T = mv + I ω ω = α& v = rα& 2 , 1 2 T = m ( rα&) + ( mr ) ( α&) = mr 2α&2 2 Vậy U = − mg ( R − r ) cos β Thế hệ Hàm Lagrange hệ L = T − U = mr 2α&2 + mg ( R − r ) cos β Mặc khác, → L = m ( R − r ) β&2 + mg ( R − r ) cos β ∂L = m R − r β& ( ) & ∂β Ta thực phép toán ∂L = − mg ( R − r ) sin β ≈ − mg ( R − r ) β ∂β → d ∂L & = m R − r β& ( ) & dt ∂β 20 Phương trình Lagrange &+ mg ( R − r ) β = 2m ( R − r ) β& cho chuyển &+ β& Bước 5: Viết phương trình động lực học: động hệ: g β =0 2( R − r ) ω= g 2( R − r ) Bước 6: Giải phương trình ta thu tần số góc Bài (Đề thi Apho 10 -2009 Thái Lan) Một hình trụ có khối lượng M mặt nhám có bán kính R quay quanh trục Oz nằm ngang cố định Trục Oz vuông góc với trang giấy ngồi trang giấy Một hình trụ khác nhỏ hơn, đồng chất có khối lượng m bán kính r lăn khơng trượt quanh trục riêng bề mặt M, trục song song với Oz M bắt đầu quay thời điểm t=0, m nằm yên thấp Ở thời điểm t sau vị φ θ trí khối tâm m M quay góc (rad) Hỏi m quay góc Ψ (rad) quanh trục so với đường thẳng θ φ cố định (chẳng hạn phần âm OY) Viết kết theo R, r, , Xác định gia tốc góc d 2Ψ dt m quanh trục riêng qua khối θ φ tâm Viết kết theo R, r đạo hàm , Hãy tìm phương trình gia tốc góc d 2ϕ dt d 2θ dt θ khối tâm m theo m, g, R, r, , I Cm mơ men qn tính m trục Hãy xác định chu kì dao động nhỏ m M bị bắt buộc quay với tốc độ góc khơng đổi Viết kết theo R, r g Hãy cho biết giá trị θ cho vị trí cân m câu hỏi Hãy cho biết vị trí cân m M quay với gia tốc góc khơng đổi α Viết kết theo R, g α Bây M quay (dao động) tự do, không bị bắt buộc, quanh trục Oz nó, m thực dao động với biên độ nhỏ cách lăn bề mặt M Hãy tìm chu kì dao động này.[8] Phân tích hướng dẫn giải 21 Gọi điểm P điểm cố định mặt trụ lớn xác định điểm thẳng (φ − θ )R r đứng O, thời điểm t=0 Do m quay góc mặt M thời gian t mà đường OC quay (ngược chiều kim đồng hồ) góc θ Do tổng độ dịch chuyển góc mà tâm m thực quay tâm quay O Ψ= (φ − θ ) R R R−r +θ = φ − ( )θ r r r (1) Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian hai vế phương trình (1) ta d 2ψ R d 2φ R − r d 2θ = −( ) dt r dt r dt (2) Phương trình chuyển động khối tâm m m( R − r ) m( d 2θ = f − mg sin θ dt (3) dθ ) ( R − r ) = N − mg cos θ dt (4) Phương trình chuyển động quanh khối tâm I Cm  Rd 2φ R − r d 2θ  d 2ψ = I Cm  −( )  = fr dt r dt   rdt (m + Thay (3) vào (5) ta (5) I Cm I R dφ dθ )( R − r ) = − mg sin θ + Cm2 2 r dt r dt 2 (6) dφ = 0,sin θ ≈ θ dt 2 Nên (6) rút gọn lại thành d 2θ 2g =− θ dt 3( R − r ) T = 2π 3( R − r ) 2g Vậy chu kì dao động hệ 5.Vị trí cân m phương trình (4) θ=0 Vị trí cân trường hợp M quay với gia tốc khơng đổi α xác định phương trình Gọi θ cb d 2θ Rα ( R − r ) = − g sin θ + dt vị trí cân tức m tồn vị trí khơng dao động d 2θ =0 dt θ cb = arcsin( Rα ) 2g Do Tìm chu kì dao động M 22 θ φ Bước 1: Xác định bậc tự toạ độ suy rộng: , Bước 2: Viết phương trình động học Ψ= R R−r φ− θ r r R R−r & & Ψ&= φ&− θ ⇒ Ψr = Rφ&− ( R − r )θ/& r r Bước 3: Viết phương trình liên kết : Bước 4: Viết phương trình lượng T= Động hệ &2 MR 2φ/&2 mvG2 I Gϕ&2 I 0θ&2 mθ&2 ( R − r ) mr Ψ + + = + + 2 2 2 & mθ&2 ( R − r ) m &2 &&+ MR φ ) + ( R φ + ( R − r ) θ&′2 − R ( R − r )θφ 2 2 && 3mθ&( R − r ) (m + M ) R φ& mR( R − r )θφ = + − 4 = ∂T mR( R − r ) & = m( R − r ) θ&− φ ∂θ& ∂T (m + 2M ) R 2φ& mR( R − r ) & = − φ 2 ∂φ& Chọn mốc tâm O M Thế hệ U = −mg ( R − r ) cos θ , Q*=0 thay vào phương trình &− mR( R − r ) φ& &= −mg ( R − r )sin θ m( R − r ) 2θ& 2 Lagrange ta có Bước 5: Viết phương trình động lực học & mR( R − r ) (m + 2M ) R 2φ& &= ⇒ φ& &= m( R − r ) θ& & − θ& 2 (m + M ) R (1) (2) Bước 6: Giải phương trình ta thu &= − θ& Thay (2) vào (1) ta có g (2 M + m) θ (3M + m)( R − r ) T = 2π Nên chu kì dao động ( R − r ) (3M + m) g (2M + m) 23 Bài 4: Một vịng có khối lượng M bán kính R, bề dày khơng đáng kể, treo hình trụ đặc đồng bán kính r