Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 Lưu hành nội bộ cá nhân MỤC LỤC Phần thứ nhất Tóm tắt lý thuyết 3 Chương 1 Giới hạn 3 I Nội dung cần nhớ 3 1) Giới hạn dãy số 3 2) Giới hạ[.]
Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền MỤC LỤC Phần thứ : Tóm tắt lý thuyết.……………………………………………………………… Chương : Giới hạn………………………………………………………………………… .3 I Nội dung cần nhớ………………………………………………………………………… .3 1) Giới hạn dãy số……………………………………………………………………………… 2) Giới hạn hàm số……………………………………………………………………………….7 II Bài tập áp dụng………………………………………………………………………………19 Chương : Phép tính vi phân hàm biến……………………………………………………22 I Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….22 1) Đạo hàm cấp 1…………….……………………………………………………………… 22 2) Vi phân cấp …………….……………………………………………………………… 28 3) Đạo hàm cấp cao…………….……………………………………………………………….29 4) Vi phân cấp cao.…………….……………………………………………………………… 31 5) Ứng dụng…… …………….……………………………………………………………… 31 II Bài tập áp dụng …………….……………………………………………………………….42 Chương : Hàm nhiều biến…….………………………………………………………………52 I Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….52 1) Định nghĩa………………….……………………………………………………………… 52 2) Giới hạn…………………….……………………………………………………………… 53 3) Đạo hàm riêng cấp ……….……………………………………………………………….53 4) Vi phân toàn phần (Vi phân cấp 1) ……….…………………………………………………58 5) Đạo hàm riêng cấp cao …….…………………………………………………………….….60 6) Vi phân cấp cao.…………….……………………………………………………………… 60 7) Ví dụ áp dụng……………….……………………………………………………………… 60 8) Cực trị (Hai biến) ………….……………………………………………………………… 60 9) Cực trị (Ba biến)…………….……………………………………………………………….66 II Bài tập áp dụng….………….……………………………………………………………… 69 Chương : Phép tính tích phân hàm biến…………… ………………………………… 77 I Nội dung cần nhớ…………….……………………………………………………………….77 1) Nguyên hàm tích phân bất định.… …………………………………………………… 77 2) Phương pháp tính tích phân….………………………………………………………………77 3) Tích phân xác định………….……………………………………………………………….80 4) Ứng dụng…………………….………………………………………………………………84 5) Liên hệ nguyên hàm tích phân xác định.……………………………………………89 6) Tích phân suy rộng loại 1…… …………………………………………………………… 90 7) Tích phân suy rộng loại ….………………………………………………………………92 II Bài tập áp dụng …………….……………………………………………………………….93 Chương : Phương trình vi phân ……………………………………………………………102 I Nội dung cần nhớ…………….…………………………………………………………… 102 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1) Phương trình tách biến …….………………………………………………………………102 2) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1….………………………………………………… 103 3) Phương trình vi phân tồn phần.……………………………………………………………109 4) Phương trình vi pân tuyến tính cấp 2……………………………………………………….110 5) Phương trình vi phân tuyến tính cấp khuyết y……….………………………………… 114 6) Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số… ……………………………115 II Bài tập áp dụng…………….……………………………………………………………….122 Phần thứ hai : Một số đề luyện tập… ……………………………………………………… 127 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền PHẦN THỨ NHẤT : TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chương : Giới hạn Nội dung cần nhớ : 1.1) Ánh xạ : 1) Định nghĩa : Ánh xạ f : X Y qui tắc thỏa x X , ! y Y cho y f ( x) x1 X x1 X x2 x2 Y x3 y1 y1 y2 x3 y2 Y y3 x4 Ánh xạ Khơng phải ánh xạ Ví dụ : a) Nếu ta xem tập X tập sinh viên Y tập mã số sinh viên sinh viên có mã số sinh viên Do mối quan hệ (hay qui tắc) ánh xạ a) Nếu ta xem tập X tập sinh viên Y tập học phần sinh viên đăng ký nhiều học phần học phần đăng ký nhiều sinh viên Do mối quan hệ ánh xạ Nhưng ta đưa vào tập giao X Y tập Z ( Z xem tập phiếu đăng ký học phần) lúc f : X Z ánh xạ 2) Các loại ánh xạ : a) Đơn ánh : Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh : x1 , x2 X , giả sử x1 x2 mà ta suy x y f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) hay giả sử f ( x1 ) f ( x2 ) mà ta suy x1 x2 Ví dụ : *) Ánh xạ f : R R, x y f ( x) x đơn ánh Thật : x1 , x2 R , giả sử x1 x2 , f ( x1 ) x1 3, f ( x2 ) x2 Ta xét f ( x1 ) f ( x2 ) (2 x1 3) (2 x2 3) x1 x2 2( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) *) Ánh xạ f : R [0, ), x y f ( x) x không đơn ánh Thật : x1 , x2 R , giả sử x1 x2 , f ( x1 ) x12 , f ( x2 ) x22 Ta xét f ( x1 ) f ( x2 ) x12 x22 ( x1 x2 )( x1 x2 ) y y y 2x y x2 2 1 x x b) Toàn ánh : Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh : y Y , x X cho y f ( x) Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : *) Ánh xạ f : R [0, ), x y f ( x) x toàn ánh Thật : y [0, ), x y R x y R *) Ánh xạ f : R [2, ), x y f ( x) e x toàn ánh Thật : y [2, ), x ln( y 1) R *) Ánh xạ f : R R, x y f ( x) x x khơng tồn ánh Thật : phương trình x x y có nghiệm (tức x R ) y [1, ) Mà đề cho y R *) Ánh xạ f : R [1,1], x y f ( x) 2x toàn ánh x 1 Thật : +) Nếu y [1,1] x R +) Giả sử y , ta có : yx x y 0, ( 1) y y [1,1] x y x y c) Song ánh : Ánh xạ f : X Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh, x y f ( x) tức y Y , ! x X cho y f ( x) ) Ví dụ : *) Ánh xạ f : R \ {0} R \ {1}, x y f ( x) x2 song ánh Vì ! x x y 1 *) Ánh xạ f : R [2, ), x y f ( x) e x 3 song ánh Vì ! x 3 ln( y 1) *) Ánh xạ f : R [0, ), x y f ( x) x khơng song ánh Vì x y x y 1.2) Giới hạn dãy số : 1) Định nghĩa : a) f : N R hay xn { f (n)} { f (1), f (2), f (3), , f (n)} , xn gọi dãy số tổng quát n xn f ( n ) 1 1 Ví dụ : , , , , , n 1 n b) Số a gọi giới hạn dãy số {xn } 0, n0 N , n n0 : xn a ký hiệu lim xn a n Chú ý : n0 N Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn sau : *) lim n n n2 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền n 2 2(1 ) 2 1 n 2 n n2 n2 n2 n2 n 2(1 ) n Vậy : 0, n0 N , n n0 : hay lim n n n2 , để 2(1 ) Chú ý : ký hiệu lấy phần nguyên *) lim n n 2n3 , để n2 n2 n2 n2 1 n 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 n2 n2 N , n n : hay lim 0 n n 2n 2 Vậy : 0, n0 c) Dãy : Cho {xn } dãy số, dãy số {nk } N , k N dãy tăng Khi {xn } gọi dãy k dãy {xn } Ví dụ : Dãy x2 k (1) k k ; x2 k 1 (1) k 1 1 k dãy dãy số xn ( 1) n Chú ý : Để chứng tỏ giới hạn dãy số khơng tồn ta đưa hai dãy Nếu giới hạn hai dãy tiến hai giá trị khác n giới hạn khơng tồn Ngược lại, Nếu giới hạn hai dãy tiến giá trị a n giới hạn nhận giá tri a Ví dụ : Chứng tỏ giới hạn sau khơng tồn 1) n *) lim( n Thật : x2 k ( 1) k k ; x2 k 1 (1) k 1 1 k n 1 n *) lim (1) n 2k k 1 1 1 2k k 1 Thật : x2 k (1) k ; x2 k 1 (1) 1 k n2 2n cos *) lim n n Ta có : cos n2 2n n nhận hai giá trị 1; n2 2) Tính chất : Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền a) Một dãy {xn } hội tụ dãy bị chặn, tức xn K , n b) Nếu {xn },{ yn } hai dãy hội tụ : x lim xn lim xn yn lim xn lim yn ; lim xn yn lim xn lim yn ; lim n n , lim yn n n n n n n n y yn n n nlim xn a hữu hạn) 0, n0 N , c) Điều kiện cần đủ để dãy số {xn } hội tụ (tức lim n n n0 , p : xn p xn xn lim zn a lim yn a d) Nếu dãy số {xn },{ yn },{zn } thỏa điều kiện xn yn zn lim n n n Ví dụ : Tính giới hạn sau : n *) lim cos n ! n n Ta có : 1 cos n ! n n n cos n ! n 1 n 1 n 1 Mà lim n n n lim 0 n n n n Do : lim cos n ! n n *) lim n 3n n! Ta có : 3n 3.3.3.3 3.3.3 n ! 1.2.3.4 n 1.2.3 n 3 n 32 4 n Mà lim n Do : lim n *) lim n n 3n n! n! n n Ta có : n ! 3 1 (Thật : Với n , ta có : 1! 3 2 Với n , ta có : 2! 1.2 3 k k Giả sử với n k , tức : k ! 3 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền k 1 Ta cần chứng minh với n k , tức : (k 1)! 1 0 n n n !n n n 3 n Mà lim Do : lim n n n k 1 ) 0 n! 3) Một số giới hạn : n , q 0, 1 lim C C ( C số); lim n lim q n ; ; lim 1 e n n , n , q n n Chú ý : *) Tổng cấp số cộng : n n (a1 an ) (2a1 ( n 1)d ), d a2 a1 a3 a2 , d công sai 2 n( n 1) Trường hợp đặc biệt : n S n a1 a2 a3 an *) Tổng cấp số nhân : Sn a1 a2 a3 an a1 a 1 qn a a , q 1, q , q công bội lim S n , q n 1 q a1 a2 1 q Trường hợp đặc biệt : x x x n x n 1 , x 1 1 x Ví dụ : n n n lim +) lim n n n lim n n lim 1 n 1 n n n n 1 n n 1 n n 1 n n n 1 n lim n n ( n n) n 1 n 1 1 1 n lim n n 5n n n 5n 1 n 1 +) lim 5 5n n 1 n 1 7 lim n 1 n 1 lim n n n 7 5.0 7 5 n 7 +) lim 2 2.8 2 nlim n n 1 1 1 2n n1 1 2 1 lim n 2 1 22 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 n(n 1)(2n 1) n3 n n(n 1)(2n 1) n n lim lim lim +) lim 3 3 n n n n n n 6n 6n 1 1 (1 0)(2 0) n n lim n 6 2 2 n 2 2 +) lim 1 lim 1 e2 n n n n 2n n 1 +) lim lim lim 1 n n n (1 n ) n n n 1 n 1 n n3 n3 1 1 1 n2 n2 1 lim lim lim e1 +) lim n n n n e n3 n3 n3 n3 n n(1) 1 1 (Vì lim lim lim 1 ) n n n n n 1 n n n n n n 1 n n 3 n2 3 n n 2n n 2n 2n 2n n 1 +) lim lim 1 1 lim 1 lim 1 e2 n n n n n 3 n 3 n 3 n 3 n n 1 n2 2 2n n n lim n 20 2) (Vì lim lim n n n 3 n 1 1 n 1 n n 1.3) Giới hạn hàm số : 1) Định nghĩa : a) Hàm số : f : D R , D R ( D {x R cho y f ( x ) có nghia} ) tập xác định x y f ( x) hàm số, f ( D ) R gọi miền giá trị hàm số Đồ thị hàm số tập hợp điểm (x,y) thỏa mãn phương trình y f ( x) Ví dụ : *) Hàm số y = x + có miền xác định D = R , miền giá trị f(D) = 1; + *) Hàm số y = x có miền xác định D = 2; 2 , miền giá trị f(D) = 0; 2 *) y x2 , DR x2 *) y x sin x , D R \{Z } *) y x2 x2 , D ( , 1) (1, ) Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) ex , D \ {0} x Biên soạn Phạm Thế Hiền x2 4x , D R \{3, 1} x2 x b) Hàm ngược : Cho f : D R đơn ánh (tức x1 , x2 D , giả sử x1 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) ) Khi *) y *) y ln x , D (0, ) x *) y x y f ( x) tồn hàm ngược : f 1 : f ( D ) D y x f 1 ( y ) Ví dụ : *) y sin x ( x R, y [1, 1]) x arcsin y hay y arcsin x x [1, 1], y , 2 *) y cos x ( x R, y [1, 1]) x arccos y hay y arccos x x [1, 1], y 0, *) y tan x x , , y (, ) x arctan y hay y arctan x x (, ), y , 2 2 *) y cot x ( x (0, ), y (, )) x arccoty hay y arccotx x (, ), y (0, ) c) Hàm hợp : f : D1 D2 , g : D2 D3 , h g f : D1 D3 x y f ( x ) y z g ( y ) Ví dụ : Cho f ( x) x 2( D1 R), g ( x) x w h ( x ) g [ f ( x )] x 1 x2 1 ( D2 R \{1}), ( g f )( x) g[ f ( x)] ( D3 R) x 1 x 3 d) Hàm ẩn : Nếu F ( x, y ( x)) 0, x, y D ta nói phương trình xác định hàm ẩn biến y y ( x) Ví dụ : *) Phương trình x y xác định hai hàm ẩn y1 x , y2 x , x [2, 2] *) y xe y 2) Tính chất : a) Đơn điệu : x1 , x2 D , giả sử x1 x2 *) Nếu f ( x1 ) f ( x2 ) hàm số đồng biến (tăng) *) Nếu f ( x1 ) f ( x2 ) hàm số nghịch biến (giảm) Ví dụ : +) Hàm số y f ( x) x đồng biến khoảng x (0, ) , nghịch biến khoảng x (, 0) +) Hàm số y f ( x) x3 đồng biến với x R +) Hàm số y f ( x) ln x đồng biến khoảng x (0, ) b) Chẵn, lẻ : *) Hàm số y f ( x) có tính chất chẵn, lẻ miền xác định có tính đối xứng ( ?) *) Nếu f( x) = f(x) hàm số hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O) Nếu f( x) = f(x) hàm số hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy) Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ví dụ : y y x3 y yx y y ln x 1 x e x 1 2 1 x +) Hàm số y f ( x) x hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung (Oy) +) Hàm số y f ( x) x3 hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O) +) Hàm số y f ( x) ln x hàm số khơng có tính chẵn lẻ Vì miền xác định khơng đối xứng c) Tuần hồn – chu kỳ : f ( x) hàm tuần hoàn tồn số L cho : f ( x L ) f ( x ), x D Chu kỳ hàm tuần hoàn f ( x) số T k , f ( x k ) f ( x) k 0 Ví dụ : *) Hàm số y = sin(mx + n) hàm tuần hoàn với chu kỳ T = *) Hàm y = sinx + cosx = T= sinx + cosx = + 2π m cos4x hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π π = 3) Giới hạn : a) Định nghĩa : f ( x) {xn } U ( ) \ { }: xn f ( xn ) , n *) lim x *) lim f ( x) a 0, 0, x D : x x0 f ( x) a x x0 Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn sau : +) xlim (3 x 4) 2 2 , x ( 2) 3( x 2) x x 10 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền - Chuỗi hàm x n có miền hội tụ (1,1) tổng s(x) = n=1 - Chuỗi hàm n x 1 x có miền hội tụ (1, ) n=1 xn có miền hội tụ (, ) n = n! - Chuỗi hàm + Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng u n (x x )n hay n=0 u n xn n=0 ii) Cơng thức tính bán kính hội chuỗi lũy thừa : u n xn n=0 Chú ý : Nếu u n (x x )n ta đặt X = x x để đưa n=0 u X n n n=0 + Định lý (Abel) : Nếu chuỗi u n x n hội tụ x hội tụ tuyệt đối x mà n=0 x x0 + Nếu D = nlim un + hay C = lim n u n bán kính hội tụ tính cơng thức : n un 0, D hay C 1 r= hay r = Khi r , D hay C D C 1 D hay C , D (0, ) hay C (0, ) + Qui tắc miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa : - Nếu < r < + ta phải xét thêm hai đầu mút x = r xem chuỗi số u n ( r) n hội tụ hay phân kỳ kết luận miền hội tụ ( r, r) [ r, r] ( r, r] n=0 [ r, r) - Nếu r = miền hội tụ suy biến điểm x = - Nếu r = + miền hội tụ trục số ( , +) Chú ý : Ta dùng dấu ngoặc vuông r chuỗi số hội tụ hay dùng dấu ngoặc tròn r chuỗi số phân kỳ Ví dụ : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau : (x + 2) n n=1 n + - 1+ Xn Đặt X = x + + n=1 n + 172 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 1 n + = lim n + = lim n + = Ta có : r = nlim n n n + 1 n+2 n+2 Suy khoảng hội tụ (1,1) ( 1) n hội tụ n=1 n + Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số + 1 < u n + u n lim u n = lim = nên theo tiêu chuẩn n n n + n+2 n+1 Vì n + > n + ( 1)n hội tụ n=1 n + Leibnitz + phân kỳ n=1n + Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số + Vì n 1 mà chuỗi n+1 n phân kỳ nên chuỗi + n=1n n+1 phân kỳ n=1 Suy miền hội tụ 1 X < 1 x + < 3 x < Vậy miền hội tụ chuỗi [3, 1) (x 1) n n = (n + 1)! - Xn Đặt X = x n = (n + 1)! 1 (n + 2)! (n + 1)! (n + 1)! = lim = lim = lim (n + 2) = Ta có : r = nlim n n (n + 1)! n 1 (n + 2)! (n + 2)! Vậy miền hội tụ chuỗi ( , + ) - (n + 1) n (x + 3)n n=0 Đặt X = x + (n + 1) n X n n=1 Ta có : r = lim n (n + 1) n (n + 2) n + 1 n + n + .n n + 1 1 = lim = lim + = = n n n + 2 n + 2 e n + n + n Vậy miền hội tụ suy biến điểm X = x + = x = 173 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền n n n - (x 3) n = 0 n + 1 n n n X n = 1 n + Đặt X = x + Ta có : r = nlim = lim n n u n n n n + 1 n n+1 = n n = lim n n Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số ( 1) phân kỳ theo điều kiện cần n + 1 n=1 n 1 .n n + n + 1 1 1 n = chuỗi hội tụ Vì nlim = nlim 1 n + n + 1 e n n Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số n phân kỳ theo điều kiện cần chuỗi n = 1 n + 1 .n n + n + 1 n 1 1 hội tụ Vì nlim = lim = n + n n + 1 e n Suy miền hội tụ chuỗi 1 < X < 1 < x + < < x < Vậy miền hội tụ chuỗi ( 4, 2) n (1) n x - n n 1 n x Đặt X x2 (1) n n Xn x 1 n 1 n 2n1 (n 1) 2 n lim Ta có : r nlim n 2n.n 2 n1 (n 1) n Suy khoảng hội tụ (2, 2) (1)n Xét X 2 chuỗi trở thành chuỗi số n n n 1 hội tụ (vì ) n 1 n (2) n (1) n n (1) n hội tụ n n 1 n n 1 n Xét X chuỗi trở thành chuỗi số 174 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Vì n n n (n 1)2 1 un un 1 lim un lim nên theo tiêu chuẩn 2 n n n n (n 1) (1) n hội tụ n 1 n Leibnitz chuỗi số x x2 x x x x x2 x Suy miền hội tụ 2 X 2 2 x 1 x x2 2 3x x x x x x x x 1 x x 1 0 x 3x x 1 3x x 1 x ( ,1) [4, ) x ( , 0] (1, ) ( 1) n 2 n 1 n Vậy miền hội tụ chuỗi hàm n x2 x ( , 0] [4, ) x 1 (1) n (x 2)n - n n=1 (1) n n+1 n = lim = Ta có : r = nlim n + ( 1) n n n+1 ( 1)n (1) n = Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số n n=1 Tại X = chuỗi hàm trở thành chuỗi số Vì n + > n n + > n ( 1) n n=1 n=1 = n n=1 n phân kỳ n hội tụ 1 < u n + u n lim u n = lim = nên theo tiêu n n n+1 n n ( 1) n hội tụ n n=1 chuẩn Leibnitz Suy miền hội tụ 1 X 1 x x (1) n ( x 2) n (1, 3] n n 1 Vậy miền hội tụ chuỗi ( x 3) n3 n 1 n(2n 1) n 1 - 175 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Ta có : ( x 3) n 3 ( x 3)n un n1 , un 1 n n(2n 1) (n 1)(2n 3) lim n un 1 ( x 3) n 2n 1.n(2n 1) x3 x3 lim n lim x 2 x n n n un (n 1)(2n 3) ( x 3) 2 Suy khoảng hội tụ chuỗi 5 x 1 hay x (5, 1) 1 1 n 3 ( 3) hội tụ (Vì , n ) n 1 n(2n 1) 2n n 1 n(2n 1) n 1 n(2n 1) Xét x 1 (1) n 3 n3 (5 3) Xét x 5 n 1 hội tụ (Vì theo tiêu chuẩn Leibnitz) n(2n 1) n 1 n 1 n(2n 1) (Vì n n 1, 2n 2n n(2n 1) (n 1)(2n 3) nên n n (2 n 1) lim un lim n 1 un un n(2n 1) (n 1)(2n 3) (1) n 3 hội tụ) n 1 n(2n 1) ( x 3) n x [5, 1] n 1 n(2n 1) n 1 Vậy miền hội tụ chuỗi hàm c) Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa i) Khái niệm : + Nếu hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm cấp x a lân cận a , đồng thời lân cận mà f ( n ) ( x) M , M 0, n 1, 2,3 ta có f ( x) n 0 f ( n ) (a) ( x a) n , gọi n! khai triển Taylor hàm f ( x) lân cận điểm a (hay gọi chuỗi lũy thừa theo lũy thừa x a + Nếu a chuỗi Taylor gọi chuỗi Maclaurin hàm f ( x ) theo lũy thừa x ii) Công thức khai triển số hàm + ex n 0 xn , x R n! (1) n n1 x , x (1,1] n 0 n + ln(1 x) ( x) n (1)n x n1 , x R + arctan x , x [1,1] n! 2n n 0 n 0 + e x + (1 x) 1! x ( 1) 2! x2 ( 1)( 2) ( n 1) n! (1) n n 1 x , x R n 0 (2n 1)! + sin x (1) n n x , x R n 0 (2n)! + cos x x n , x ( 1,1) Trong trường hợp 1 ta có : 1 (1) n x n , ( 1) n ( x) n x n , x ( 1,1) x n0 x n 0 n0 176 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền iii) Ví dụ : * Khai triển hàm số f ( x) sau thành chuỗi lũy thừa theo x tìm miền hội tụ 2x x 5x 2x 2x 1 1 1 Ta có : f ( x) x x x ( x 3)( x 2) x x 1 1 x + f ( x) n n x x x x 1 Vậy : f ( x) n x n n x n , x (2, 2) (Vì 1 1, 1 ) 3 n 0 n 0 n0 n 0 + f ( x) x.3x ( x ln 3) n (ln 3)n n 1 x , x R n! n! n 0 n 0 x Ta có : f ( x) x.3x x.eln(3 ) x.e x ln x (ln 3) n n 1 x , x R n! n 0 Vậy f ( x) x.3x (1) n x n 0 n x * Cho chuỗi hàm n 1 + Tìm miền hội tụ chuỗi (1) n x Ta có : - un n 1 x - lim n n 1 (1)n 1 x , un 1 n2 x2 n (1)n 1 x n n x n 1 un 1 2x 2x 1 lim lim 1 n (1) x n x n n un x x 2x 1 2x 3x x 2 1 1 x 2x 1 x2 x2 1 1 x 1 1 x x2 x 1 x x 2 x x x x Suy khoảng hội tụ (1,1) (1) n 1 (1) n 1 phân kỳ (Vì , n ) n 1 n n 0 n n 0 n Xét x 1 (1)n n 1 (1) n hội tụ (Vì theo tiêu chuẩn Leibnitz) n 0 n n 0 n Xét x (Vì n n n n 1 un un lim un lim nên n n n n 1 n ( 1) n x Vậy miền hội tụ chuỗi hàm n 0 n x (1) n hội tụ) n 0 n n 1 x (1,1] 177 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền + Tìm tổng chuỗi khoảng hội tụ 2x 1 (1) n n 1 X Đặt X x2 n 0 n Ta có : (1) n n 1 X F(X ) - S ( x) n 0 n (1) (1) n n (n 1) X n 1 X n X n X X X n (Vì từ (1 x) ta 1 X n 0 n n 0 n 0 - F ( X ) thay x x, 1 , ta thay x X ) Suy F ( X ) dX dX ln X C 1 X X 1 (2) Để tìm số C , ta cho X , từ (1) (2) suy C Từ suy tổng chuỗi S ( x) F ( X ) ln X ln (1) n x Vậy tổng chuỗi n 0 n x (1) n x n 0 2n x * Cho chuỗi hàm 2x 1 x 1 ln x2 x2 n 1 khoảng hội tụ S ( x) ln x 1 x2 n 1 + Tìm miền hội tụ chuỗi (1) n x Ta có : - un 2n x - lim n n 1 (1)n 1 x , un 1 2n x n 3 (1) n1 x n 3 2n x 2 n1 un 1 lim lim n n 2n un x ( 1) x n 2 x 1 x 1 1 x 3 x 3 x 2 x 2 ( x 1)2 0 1 1 x x3 x ( x 3) x 1 1 x 1 2 x3 x x 1 x 8x x 1 x ( x 3) Suy khoảng hội tụ (,1) (1) n n 1 ( 1) n Xét x hội tụ (Vì theo tiêu chuẩn Leibnitz) n 2n n 2n (Vì n n 2n 2(n 1) 2n 2(n 1) 1 un un lim un lim 0 n n n 2n 2n ( 1) n hội tụ) n 2n nên chuỗi 178 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền ( 1) n x Vậy miền hội tụ chuỗi hàm n 0 2n x n 1 x (,1] + Tìm tổng chuỗi x 3 Đặt X x 1 (1) n n1 X x n 2n (1) n n 1 X F(X ) n 2n Ta có : - S ( x) (1) (1) n (2n 1) X n (1) n X n X X X (Vì từ (1 x) ta thay 2 n 1 X n 0 n 0 - F ( X ) x x , 1 , ta thay x X ) Suy F ( X ) dX arctan X C 1 X (2) Để tìm số C , ta cho X , từ (1) (2) suy C x 1 x3 Từ suy tổng chuỗi S ( x) F ( X ) arctan X arctan (1) n x n 0 2n x Vậy tổng chuỗi n 1 3 x 3 S ( x) arctan Bài tập áp dụng : a) Tìm tổng chuỗi số sau : i) n = (3n 2)(3n + 1) iv) (4n n 1 ii) 1)(2n 3) v) (n + 1) n=0 (n n=2 iii) +n+1 vi) n n=1 4n 2 n 1 (4 n 3) (4n 1) viii) 1)n(n + 1) 5n + 5.3n 6n n 1 2 n 1 n ( n 1)( n 2) vii) 2n + 2 n = (n 1) (n + 2) ix) b) Xét hội tụ chuỗi số sau : 3n + n = n + 2n + i) iv) n + 3n n n=1 vii) 3n n = (3n 2)3 2n.n ! n n 1 n 3n + 2n n n = + 5n + ii) (n n=1 n 1)(2n + 1) v) (n + 2)(n + 3) 2 n = (n + 1) (n + 2n + 4) vi) 1.5.9.13 (4n 3) n 1 4.7.10 (3n 1) ix) n (n + 3) n + 4n (n + 1)n n=1 xi) n=1 n 3n 2n viii) 1 n = 4n + 3n x) iii) n n 5n xii) 1.3.5.7 (2n 1) 3n ( n 2)! n 1 179 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền (1) n xiii) n 1 n(2n 1) n 2n xiv) n 1 n 3n xvi) n3 ; n 1 n 4n xix) n(2n 1) n ( 1) n 1 n 1 n 1 (2n 1)3 xviii) n(n 1)(2n 1) n 1 n 1 (2n 1) n 1 n 1 n n3 3n xx) 3 n2 n 1 n xvii) n 1 xv) xxi) n 1 n 1 n ! 3 n 1 n 1 c) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm – chuỗi lũy thừa sau : i) (1)n + n=1 (x + 2)n 2n (x 2)2n v) (1) n3 n=1 n4 n n 1 n n2 n n 2n xi) n 1 n3 3n xiv) n (1) n n 1 x n n 1 n2 x x 1 n 1 x2 n 1 ( n 1)2 n n x2 xii) n 1 ; n 1 n x ( x 1) (n 1)! ( x 3)n xvi) n 1 (2n 1)!! n (1) n (n 1) x ix) n 1 n(2n 1) x n n vi) n = (2n + 3) 2x + ( 1) n 1 x viii) n 1 x2 n 1 (2n 1).3 (1)n (n 1) ( x 3) n x) n1 n (2 n 1) n 1 n+1 2n (x + 3) n = 4n + (1)n ( x 1)n iii) n n4 x vii) n 1 n x (n + 1) n iv) n (x + 1) n n = n.3 xiii) n=1 (x 4) n ii) xv) n n2 n ( 1) n x xviii) n x 1 n 1 n 2n x xvii) n 1 3n x d) Khai triển hàm số f ( x) thành chuỗi lũy thừa x tìm miền hội tụ 2x x 2x 1 x v) f ( x) ln 1 x i) f ( x) ii) f ( x) x 3e3 x iii) f ( x) ln(3 x 2) vi) f ( x) x cos x vii) f ( x) arctan iv) f ( x) ln x x x x viii) f ( x) 1 x 1 x e) Tìm miền hội tụ tổng chuỗi sau miền hội tụ i) (1) n x n 1 2n n (2n 1)! ii) (1) n x n n 1 (2n)! n 0 v) (1) n ( x 3) n 3 2n2 (2n 3) n 0 vi) (n 1)! iii) ( 1) n x n n ( n 1)! x vii) 5 ( x 3) n1 n n 0 32 n ( x 2) n 1 n 1 (n 1)! n 0 n 1 (1) n ( x 3)2 n n 1 (2n 2) n 0 iv) viii) ( x 2)2 n n 1 (2n 2) 3 n0 180 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền PHẦN THỨ HAI : MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP Bài số 01 2e Ax cos(4 x) ln x2 , x Câu : Xét liên tục hàm số f ( x) x x A2 , x Câu : 1) Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) 4x 3 4x 5 x Từ suy cơng thức Maclaurin hàm số f ( x) đến cấp n x2 x x2 2x 10 3) Tìm cực trị hàm số z x x y x( y 27) y 3 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y Câu : 1) Tính ln 2) Tính e2 x dx (1 e4 x )2 x D xy dxdy , D xác định x y x, y y n x2 Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n n 1 n x Bài số 02 Câu : Xác định A để hàm số f ( x) sau liên tục R ln 1 A2 2 3e x cos x x ln 15 x , x f ( x) 3x 7A2 , x Câu : 1) Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) x 3 e5 x Từ suy cơng thức Maclaurin hàm số f ( x) đến cấp n 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x x 12 x2 x 3 3) Tìm cực trị hàm số z y xy 36 y x3 181 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Câu : 1) Tính ln dx e2 x e 2 x 2) Giải phương trình vi phân y 2e x e2 x y y biết phương trình có e2 x e2 x nghiệm riêng y1 e x Câu : n3 n2 1) Xét hội tụ chuỗi số n 1 n n 2n x 2) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n 1 x4 n 1 (4 n 3)2 Bài số 03 Câu : Cho số hàm số sau : 3e Ax cos( Ax) , x f ( x) x x3 A 2 , x 1) Xác định A để hàm số f ( x) lien tục R 2) Với giá trị A vừa tìm hàm số f ( x) có đạo hàm cấp x hay không? Câu : 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x2 4x x2 x 3 2) Tìm cực trị hàm số z 2 x 3x y x( y 9) y Câu : Giải phương trình vi phân sau : 1) y 2e x y 2x 1 e e2 x 2) y y y e x n Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm arctan e x n 1 x3 n 1 x3 n 1 (2 n 3)3 Bài số 04 Câu : Xác định A để hàm số f ( x) sau có đạo hàm cấp x ln 2e A( x 2)2 cos A x , x f ( x) x3 x 3x x3 x x , x 182 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Câu : 1) Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) Từ viết cơng thức Maclaurin hàm số 4x f ( x) đến cấp n x4 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x2 3) Tìm cực trị hàm số z y x y 30 y 18 x Câu : 1) Tính dx e x arctan e x 1 e ln8 4x 2) Giải phương trình vi phân y y s in6x cos x n (1) n x Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n 1 n 1 n x 1 Bài số 05 2ln A2 5e x2 x2 ln 18 x2 , x Câu : Xét liên tục hàm số f ( x) cos x 9A , x Câu : 1) Dùng vi phân tính gần giá trị biểu thức A ln 3, 99984 7, 99952 x 4x 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 4x 3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số z x x y y miền đóng giới nội D {( x, y ) R : x y 100} Câu : 1) Tính I AB ds y AB đường cong y x từ điểm A 2, đến điểm B 6, , 3 4x y biết phương trình x x2 x3 nghiệm riêng thứ y1 x 2) Giải phương trình vi phân y y n (1) n x2 Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi Từ tìm tổng chuỗi x n 1 x 1 n (2 n 1).2 183 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền Bài số 06 Câu : Xác định A để hàm số f ( x) sau có đạo hàm cấp x sin e A( x 1)2 ln 2cos A x 1 , x f ( x) ln(2 x 1) x3 x 3x , x Câu : 1) 1) Dùng vi phân tính gần giá trị biểu thức A ln 1,99984 1,99984 2 x 2) Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) x e Từ suy cơng thức Maclaurin hàm số f ( x) đến cấp n 3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số z x3 x 3x y 23 miền đóng giới nội D {( x, y ) R : x y 9} Câu : 1) Tính x x4 dx 2 x 2) Đổi thứ tự lấy tích phân tích phân dx Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi f ( x, y )dy x x n n (1) x3 Từ tìm tổng chuỗi x 5 n 1 x 1 n (2 n 1).3 Bài số 07 Câu : Xét liên tục hàm số sau 3ln(3 A ) x 3x x ln ln(1 x ) cos x sin (e 1) , x f ( x) ex 5A , x Câu : 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x2 x x2 2x 2) Tìm cực trị hàm số z 2 x 3x y x( y 9) y Câu : 1) Tính e arctan(ln x) dx x ln x 184 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2) Giải phương trình vi phân y y 2x 1 e Câu : 1) Tìm tổng chuỗi số n 1 4n 16n 8n 2) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm 2 n 1 n x2 n n 2n x n 1 Bài số 08 Câu : Xác định A để hàm số f ( x) sau liên tục R 3ln(3 A ) 2 3e x sin (e3 x 1) x ln(18 x ) , x f ( x) x 5A , x Câu : 1) Áp dụng vi phân tính gần biểu thức A ln 2.(3,9994) (2, 0024)2 x 2x x2 x 3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số z x x x y miền đóng 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y giới nội D {( x, y ) R : x y 4} Câu : 1) Tính ds e (1 y ) x AB có phương trình x t , y et , t AB 2) Giải phương trình vi phân y y y e 3 x (1 ln x) x2 n4 n n4 x 3 Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n 1 n x Bài số 09 ln 17 A2 cos x x2 ln 13 x2 , x Câu : Xét liên tục hàm số f ( x) x2 e A3 , x Câu : 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2x x 4x 185 Lưu hành nội cá nhân Bài giảng tóm tắt giải tích (4đvht) Biên soạn Phạm Thế Hiền 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số z x x y y miền đóng giới nội D giới hạn đường y x 0, y x 8, y Câu : 1) Tính ln dx e4 x e4 x 2) Giải phương trình vi phân y y s in4x cos 2x Câu : 1) Tìm tổng chuỗi n 1 2n n 3n n (1) n x n n 1 n x 2) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm Bài số 10 3e x2 cos( Ax) ln x2 , x Câu : Xác định A để hàm số f ( x) liên tục R x x 3A , x Câu : 1) Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) 4x 1 x 3 x 1 Từ suy công thức Maclaurin hàm số f ( x) đến cấp n 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x2 x x2 x Câu : 1) Tính ln e10 x dx (e x 1)3 2) Giải phương trình vi phân y y e2 x 1 n n x2 Câu : Tìm miền hội tụ chuỗi hàm n 1 n 1 n x3 186 Lưu hành nội cá nhân