[r]
(1)Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Th Nhung
Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Th«ng Long
Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 21
Chữỡng III
GiĂ tr riảng v dÔng ton phữỡng
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 21
GiĂ tr riảng cừa ma nh nghắa giĂ tr riảng cừa ma nh nghắa giĂ tr riảng cừa ma trên
nh nghắa
Cho A l ma vuổng cĐp n, x l vc tì cët n Sèλ÷đc gåi l gi¡
trà riảng cừa A náu phữỡng trẳnh
Ax x,
câ nghi»m x
V²c tì x tr¶n ữủc gồi l vc tỡ riảng ựng vợi giĂ tr riảng
nh nghắa
Cho A l ma vuổng cĐp n a thực c trững cừa A, kẵ hi»u l PApλq
÷đc x¡c ành bði
P pλq detpA λI q
Ghi chó
(2)GiĂ tr riảng cừa ma nh nghắa giĂ tr riảng cừa ma a thực c trững cừa ma trên
CĂc giĂ tr riảng cừa ma A chẵnh l cĂc nghiằm cừa a thực c trững PApq cừa nõ, tực l nghiằm cừa phữỡng trẳnh sau:
detpA λInq
a11λ a12 a1n
a21 a22λ a2n
an1 an2 annλ
a thực c trững cừa ma vuổng cĐp n l mët a thùc bªc n theoλ, tùc l
PApλq anλn an1λn1 a1λ a0,
trong â ai,i 1,n l h» sè phö thuëc v o c¡c phƯn tỷ cừa ma
A Hỡn nỳa, ta cõ th tẵnh ữủc mởt số hằ số cừa a thực, chng hÔn
an p1qn,an1 a11 a22 ann,a0 detpAq
Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 21
GiĂ tr riảng cừa ma nh nghắa giĂ tr riảng cừa ma Vẵ dử
Tẳm cĂc giĂ tr riảng cừa cĂc ma trªn sau:
a A
4
b B
00 20 30
3
Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 th¡ng 12 n«m 2011 / 21
Gi¡ tr riảng cừa ma Mởt số tẵnh chĐt cừa giĂ tr riảng Chựng minh nh lẵ
nh lẵ
Ma trªn A kh£ nghàch v ch¿ tĐt cÊ cĂc giĂ tr riảng cừa A Ãu khĂc
nh lẵ
Náu A paijqn l ma tam giĂc trản, ma tam giĂc dữợi hay ma
trên cho thẳ giĂ tr riảng cừa A l cĂc phƯn tỷ trản ữớng cho chẵnh cừa A
nh lẵ
Ma ối xựng cĐp n ln câ n gi¡ trà ri¶ng thüc
Ghi chó
(3)DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng
nh nghắa
Mởt dÔng ton phữỡng n bián x1,x2, ,xn, k½ hi»u l qpx1,x2, ,xnq l
mët biºu thùc ÷đc x¡c ành nh÷ sau: qpx1,x2, ,xnq
n
¸
i1 n
¸
j1
aijxixj, (1)
trong â, aij aji,@i 1, ,n
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 21
DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng KhĂi niằm và dÔng ton phữỡng
Nhên xt:
1 DÔng ton phữỡng cỏn cõ th viát dữợi dÔng tẵch cĂc ma sau:
qpx1,x2, ,xnq x1 x2 xn
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
x1
x2
xn
xtAx,
ð ¥y x
x1
x2
xn
l ma cởt v A paijqnl ma ối xựng cĐp n
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 21
DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng KhĂi niằm và dÔng ton phữỡng
Nhên xt:
2 Nhên thĐy mội dÔng ton phữỡng
qpx1,x2, ,xnq °i1n °nj1aijxixj c§p n x¡c ành cho ta mởt ma
trên ối xựng A paijqncĐp n v cho mët ma trªn èi xùng
A paijqn cĐp n ta cụng xĂc nh ữủc mởt dÔng ton phữỡng cĐp n
tữỡng ựng qpx1,x2, ,xnq °i1n °nj1aijxixj Do â º cho gån ta
thữớng cho dÔng ton phữỡng dữợi dÔng qpx1,x2, ,xnq xtAx
ho°c q xtAx.
Ghi
(4)DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng Vẵ dử
a HÂy biu diạn dÔng ton phữỡng qpx1,x2q 2x12 6x1x2 9x22dữợi
dÔng tẵch ma
b Tẳm dÔng ton phữỡng tữỡng ựng vợi ma ối xựng sau:
2 4
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 21
DÔng ton phữỡng Tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng nh nghắa tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng
nh nghắa
Cho q xtAx l mởt dÔng ton phữỡng n bián Khi õ
i DÔng ton phữỡng q (ma A) ữủc gồi l xĂc nh dữỡng náu xtAx Ă vợi mồi x .
ii DÔng ton phữỡng q (ma A) ữủc gồi l nỷa xĂc nh dữỡng náu xtAx Ơ vợi mồi x.
iii DÔng ton phữỡng q (ma A) ữủc gồi l xĂc nh Ơm náu xtAx vỵi måi bë kh¡c khỉng x.
iv DÔng ton phữỡng q (ma A) ữủc gồi l nỷa xĂc nh Ơm náu xtAx Ô vợi mồi bở x.
v DÔng ton phữỡng q (ma A) ữủc gồi l khổng xĂc nh náu xtAx nhên nhỳng giĂ tr trĂi dĐu nhau.
Nhên xt:
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 21
DÔng ton phữỡng Tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Vẵ dử
Kim tra tẵnh xĂc nh cừa cĂc dÔng ton phữỡng (ma trên) sau: a qpx1,x2q x12 2x1x2 x22
b A
2
5 13
c qpx1,x2q x12 2x1x2 x22
Ghi
(5)DÔng ton phữỡng Tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Lới giÊi cho vẵ dử
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 21
DÔng ton phữỡng Tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Mởt số tẵnh chĐt cừa ma xĂc nh
Mằnh Ã
1 Náu ma A paijqnxĂc nh dữỡng thẳ tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ trản
ữớng cho chẵnh Ãu dữỡng, aiiĂ 0,@i 1,n
2 Náu ma A paijqnnỷa xĂc nh dữỡng thẳ tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ
trản ữớng cho chẵnh Ãu khổng Ơm, aii Ơ 0,@i 1,n
3 Náu ma A paijqnxĂc nh Ơm thẳ tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ trản
ữớng cho chẵnh Ãu Ơm, aii 0,@i 1,n
4 Náu ma A paijqnnỷa xĂc nh Ơm thẳ tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ trản
ữớng cho chẵnh Ãu khổng dữỡng, aii Ô 0,@i 1,n
Nhên xt:
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 21
DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng bơng dĐu hiằu nh thực
nh lẵ
Cho dÔng ton phữỡng n-bián qpx1,x2, ,xnq
n
¸
i1 n
¸
j1
aijxixj xtAx
°t |Ai|,i 1,n l c¡c ành thùc chẵnh cĐp i cừa A:
|A1| a11,|A2|
a11 a12
a21 a22
, ,|An|
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
Ghi chó
(6)DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng bơng dĐu hiằu nh thực
nh lẵ Khi â
i i·u ki»n c¦n v õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c
ành dữỡng l cĂc nh thực chẵnh cừa A Ãu nhên giĂ tr dữỡng:
|A1| Ă 0,|A2| Ă 0, ,|An| ¡
ii i·u ki»n c¦n v õ º qpx1,x2, ,xnq (ma A) xĂc
nh Ơm l cĂc nh thực chẵnh cĐp l cừa A nhên giĂ tr Ơm v cĂc nh thực chẵnh cĐp chđn cừa A nhên giĂ tr dữỡng:
|A1| 0,|A2| Ă 0, ,p1qn|An| ¡
Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 21
DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng bơng dĐu hiằu nh thực
nh lẵ
iii Cho ma A Náu tỗn tÔi số nguyản dữỡng k cho |A2k| Ơm hoc |Ak||Ak 2| Ơm thẳ ma A khổng xĂc nh
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 21
DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Vẵ dử
Kim tra tẵnh xĂc nh dữỡng, Ơm cừa c¡c ma trªn sau:
a A
11 1
1
b B
21 21 11
1
c C
11 1
1
d A
00 20 30
3
Ghi
(7)DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng
Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng bơng giĂ tr riảng
nh lẵ
Cho dÔng ton phữỡng n bián q xtAx cõ ma x¡c ành l A Gi£ sû
A câ n l gi¡ trà ri¶ng l λ1, λ2, , n, õ
i DÔng ton phữỡng q (ma A) xĂc nh dữỡng v ch cĂc giĂ tr riảng cừa A Ãu dữỡng:
1Ă 0, λ2¡ 0, , λn¡
ii DÔng ton phữỡng q (ma A) nỷa xĂc nh dữỡng v ch cĂc giĂ tr riảng cừa A ·u khỉng ¥m:
λ1¥ 0, λ2¥ 0, , nƠ
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 21
DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng
Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng bơng giĂ tr riảng
nh lẵ
iii DÔng ton phữỡng q (ma A) xĂc nh Ơm v ch cĂc giĂ tr riảng cừa A Ãu Ơm:
λ1 0, λ2 0, , λn
iv DÔng ton phữỡng q (ma A) nûa x¡c ành ¥m v ch¿ c¡c gi¡ tr riảng cừa A Ãu khổng dữỡng:
1Ô 0, 2Ô 0, , nÔ
iv DÔng ton phữỡng q (ma A) khổng xĂc nh v ch¿ A câ c¡c gi¡ trà ri¶ng tr¡i d§u:
Di j 1,n:λ1¡ 0, λj
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 21
DÔng ton phữỡng Kim tra tẵnh xĂc nh cừa dÔng ton phữỡng Vẵ dử
Kim tra tẵnh xĂc nh dữỡng, Ơm cừa cĂc ma sau:
a A
00 20 30
3
b B
2
2
c C
4
Ghi chó