Bài giảng cơ sở cơ học giải tích 24/11/08 1 CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích Nội du[.]
Bài giảng sở học giải tích CƠ SỞ CƠ HỌC GIẢI TÍCH - Cơ học giải tích nghiên cứu qui luật cân chuyển động hệ không tự theo di chuyển lượng dạng giải tích Nội dung học giải tích trình bày nguyên lý tổng quát học, từ rút phương trình vi phân chuyển động, nghiên cứu phương trình đề phương pháp tích phân chúng Bài Phân loại hệ, liên kết đặt vào hệ Xét hệ N chất điểm M k chuyển động hệ qui chiếu Oxyz Vị trí hệ xác định 3N thành phần xác định vị trí xi , yi ,zi ; i = 1,N Vận tốc điểm thuộc hệ xác định 3N thành phần vận tốc xi , y i ,zi ; i = 1,N I Khái niệm hệ Cơ hệ tự Cơ hệ tự hệ mà thành phần xác định vị trí vận tốc lấy giá trị khơng gian qui chiều Ví dụ: Hệ mặt trời, hành tinh coi chất điểm Cơ hệ không tự Nếu thành phần xác định vị trí hay vận tốc hệ chịu số điều kiện ràng buộc vật thể khác gây nên hệ gọi hệ không tự Liên kết đặt vào hệ Những điều kiện ràng buộc vị trí hay vận tốc thuộc hệ thành phần khác gây nên gọi liên kết đặt vào hệ Về mặt toán học, liên kết biểu thị đẳng thức hay bất đẳng thức gọi phương trình liên kết hay bất phương trình liên kết fα ( x1 , y1 ,z1 , ,xN , y N ,z N ) ≥ gα ( x1 , y1 ,z1 , ,xN , y N ,z N ,x1 , y1 ,z1 , ,x N , y N ,zN ) ≥ α = 1,m , m số liên kết Ví dụ: Khi mơ tả chất điểm A nằm mặt đường nằm ngang dùng pt y A = Khi chất điểm M nằm mặt phẳng Oxy, treo dây OM=l dây căng, không giãn, biểu diễn phương trình xM2 + yM2 = l 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Hình Hệ mơ tả hình chịu liên kết mơ tả phương trình x A + yB + yC = l , với l chiều dài dây nối vật II Phân loại liên kết đặt vào hệ Liên kết giữ, khơng giữ • Liên kết giữ liên kết mô tả đẳng thức chúng gọi liên kết giữ fα = hay gα = • Liên kết không giữ liên kết viết dạng bất đẳng thức fα ≥ hay gα ≥ Liên kết không giữ tùy trường hợp gọi liên kết giữ xảy dấu “=” coi liên kết không giữ xảy dấu bất đẳng thức Liên kết dừng, khơng dừng • Liên kết dừng phương trình liên kết không chứa rõ hiển thời gian t (Sclêônôm) Nghĩa ∂fα ∂gα = = 0, ∀α ∂t ∂t • Liên kết khơng dừng phương trình liên kết có chứa thời gian t (Rêônôm) Nghĩa ∂fα ∂gα = ≠ 0, ∀α ∂t ∂t Liên kết Hôlônôm, phi Hơlơnơm • Liên kết Hơlơnơm (liên kết hình học) phương trình liên kết chứa thành phần vị trí Phương trình liên kết fα ≥ ,α = 1,m • Liên kết phi Hơlơnơm phương trình liên kết chứa thành phần vị trí vận tốc Phương trình liên kết gα ≥ ,α = 1,m 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Khái niệm bậc tự do, Tọa độ suy rộng hệ Bậc tự hệ Mỗi hệ thời điểm có vơ số di chuyễn Vì hệ chịu liên kết nên di chuyễn không độc lập với Bậc tự hệ số di chuyển độc lập hệ Xét trường hợp hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng m liên kết Số bậc tự hệ xác định sau: • Nếu hệ chuyển động khơng gian Oxyz n = 3N − m (1.a) • Nếu hệ chuyển động mặt phẳng n = 2N − m (1.b) • Nếu hệ chuyển động đường thẳng n= N −m (1.c) Tọa độ suy rộng Tọa độ suy rộng tập hợp tất thông số cần thiết, độc lập đủ để xác định vị trí hệ khơng gian Tọa độ suy rộng tọa độ Descartes chất điểm thuộc hệ, góc quay, tọa độ cong… Tùy trường hợp ta chọn tọa độ để toán xác định vị trí hệ đơn giản Ký hiệu tọa độ suy rộng q1 ,q2 ,q3 Bản chất vật lý tọa độ suy rộng bất kỳ, thứ ngun khơng phải độ dài tọa độ Descartes Đạo hàm theo thời gian tọa độ suy rộng qi gọi vận tốc suy rộng Số tọa độ suy rộng q j , j = 1,n với số bậc tự hệ Vị trí hệ xác định nhờ tọa độ suy rộng, nên tọa độ Descartes chất điểm tọa độ suy rộng có liên hệ với nhau: xk = xk t,q j , yk = yk t,q j , zk = zk t,q j , j =1,n (2.a) ( dạng vector ) ( ) ( rk = rk ( t ,q j ) , j = 1,n ) (2.b) Ví dụ Bánh xe đống chất bán kính R, chuyển động lăn khơng trượt đường thẳng 0x nằm ngang (như hình vẽ) 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Xét chuyển động bánh xe, Bánh xe chuyển động song phẳng, xác định tham số ( x0 , y0 ,ϕ ) , bánh xe hệ không tự do, chịu liên kết mơ tả phương trình y0 = R x0 − Rϕ = α y O A x Vậy số bậc tự hệ là: n = – =1 Cơ cấu tay quay truyền 0AB xem hai chất điểm chuyển động mặt phẳng xy, chịu liên kết cho phương trình x A2 + y A2 = r 2 ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = l y = −h B y A r O ϕ ψ l x h F B Vậy số bậc tự hệ: n=2.2-3=1 Ta chọn tọa độ suy rộng góc quay ϕ OA 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Di chuyển thực, di chuyển Xét hệ N chất điểm chuyển động không gian Oxyz chịu m liên kết hôlônôm, giữ fα ( t;rk ) = , α = 1,m (1) Di chuyển thực Tại thời điểm t, giả sử chất điểm vị trí xác định rk thỏa mãn phương trình liên kết (1) Trong khoảng thời gian ( t,t + dt ) , tác dụng lực ngoài, chất điểm thực dịch chuyển drk = rk dt gọi di chuyển thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) Lấy vi phân (1) theo thời gian, ta N ∂fα ∂f (2) dt + ∑ α drk = ∂t k =1 ∂r k Nghĩa là, di chuyển thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) phải thỏa mãn phương dfα = trình (2) Di chuyển (di chuyển ảo) Tại thời điểm t cố định, chất điểm vơ số vị trí thỏa mãn phương trình liên kết, mà vị trí thực số chúng Gọi rk vị trí vơ gần với vị trí thực rk Ký hiệu δ rk (δ x,δ y,δ z ) = rk − rk (gọi biến phân rk ), ta có N ∂f fα t;r − fα ( t;r ) = ∑ α δ rk = k =1 ∂rk ( ) (3) Các gia số δ rk gọi di chuyển hệ thỏa mãn công thức (3) Vậy, di chuyển hệ tập di chuyển vô bé mà chất điểm hệ thực từ vị trí khảo sát sang vị trí lân cận mà thỏa mãn liên kết vị trí xét Note: • Khái niệm chuyển hoàn toàn khác với khái niệm di chuyển thực Di chuyển thực di chuyển mà chất điểm thực khoảng thời gian ( t,t + dt ) , di chuyển đơn gia số δ rk vô bé thỏa mãn phương trình (3), tính thời điểm cố định t • Khi liên kết dừng ta có di chuyển thực vô bé trùng với di chuyển 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Lực suy rộng Định nghĩa lực suy rộng Xét hệ N chất điểm chịu tác dụng lực chủ động Fk Giả sử hệ có n bậc tự Công lực chủ động di chuyển δ rk gọi tắt công (công ảo) xác định sau: N N k =1 k =1 δ A = ∑ δ Ak =∑ Fkδ rk (1) n ∂rk δ rk = δ rk ( t,q1 ,q2 , ,qn ) = ∑ δ qi i =1 ∂qi (2) n ∂rk N n ∂rk δ A = ∑ Fk ∑ δ qi = ∑∑ Fk δ qi k =1 i =1 ∂qi k =1 i =1 ∂qi n N n ∂r = ∑ ∑ Fk k δ qi = ∑ Qiδ qi i =1 i =1 k =1 ∂qi (3) ∂rk N ∂xk ∂y ∂z Qi = ∑ Fk =∑ Fkx + Fky k + Fkz k ∂qi k =1 ∂qi ∂qi ∂qi k =1 (4) với rk = rk ( t,q1 ,q2 , ,qn ) , ta có Thế (2) vào (1), ta N với N gọi lực suy rộng thứ i hệ Phương pháp thực hành xác định lực suy rộng Qi ứng với tọa độ suy rộng qi Do tất δ q j , j = 1,n độc lập với nhau, để xác định Qi ứng với tọa độ suy rộng qi đó, ta cho độ dời ảo δ qi ≠ tất δ q j = , j ≠ i , sau tính cơng δ Ai tất lực tác dụng di chuyển δ qi Ta được, δ Ai = ∑ δ Ak ( qi ) = Qiδ qi (5) k =1 Hệ số δ qi (5) cho ta lực suy rộng Qi cần tìm Trong trường hợp tất lực tác động lên hệ có thế, nghĩa tồn ∂Π ∂rk hàm Π cho Fk = − Khi ta có N ∂rk ∂Π ∂rk ∂Π Qi = ∑ Fk = ∑− =− k =1 ∂qi k =1 ∂rk ∂qi ∂qi N 24/11/08 (6) Bài giảng sở học giải tích Ví dụ Cơ cấu tay quay truyền 0AB xem hai chất điểm chuy ển động mặt phẳng xy Tác dụng lên tay quay OA ngẫu lực M lực F lên chạy B Xác định lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng ϕ y A Giải M Ta tính cơng kh ả d ĩ c ủ a ng ẫ u l ự c M l ự c F tác r l d ụ ng lên h ệ ϕ Ψ O x Σδ A = M δϕ + Fδ xB h F B xB = r cos ϕ + l cosψ ; r sin ϕ = l sinψ − h ( r sin ϕ + h ) l ⇒ cosψ = l − ( r sin ϕ + h ) l ⇒ sinψ = xB = r cos ϕ + l − ( r sin ϕ + h ) δ xB = −r sin ϕ δϕ − V ậy ( r sin ϕ + h ) r cos ϕ δϕ l − ( r sin ϕ + h ) r cos ϕ ( r sin ϕ + h ) (g) ⇒ ∑ δ A = M − F r sin ϕ + δϕ l r sin ϕ h − + ( ) cos ϕ ( r sin ϕ + h ) Qϕ = M − Fr sin ϕ + l − ( r sin ϕ + h ) 24/11/08 ... liên kết chứa thành phần vị trí vận tốc Phương trình liên kết gα ≥ ,α = 1,m 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Khái niệm bậc tự do, Tọa độ suy rộng hệ Bậc tự hệ Mỗi hệ thời điểm có vơ số di... x h F B Vậy số bậc tự hệ: n=2.2-3=1 Ta chọn tọa độ suy rộng góc quay ϕ OA 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Di chuyển thực, di chuyển Xét hệ N chất điểm chuyển động không gian Oxyz chịu... định t • Khi liên kết dừng ta có di chuyển thực vô bé trùng với di chuyển 24/11/08 Bài giảng sở học giải tích Bài Lực suy rộng Định nghĩa lực suy rộng Xét hệ N chất điểm chịu tác dụng lực chủ