Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì V n¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tì thüc.. ành l½.[r]
(1)Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Th Nhung
Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Th«ng Long
Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 42
Ch֓ng II
Khỉng gian v²c tì v ¡nh xÔ tuyán tẵnh
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 42
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m khỉng gian v²c tì
ành ngh¾a
Cho V l mởt têp hủp khĂc rộng vợi cĂc phƯn tỷ ữủc kỵ hiằu l:, ,
Ta xt vợi V têp hủp số thỹc R vợi cĂc phƯn tỷ ữủc kỵ hiằu l a,b,c, x,y,z Tr¶n V ta câ hai ph²p to¡n sau:
Ph²p cëng hai ph¦n tû cõa V :
:V V Đ V
pα, βq ÞĐ
Php nhƠn mởt phƯn tỷ cừa V vỵi mët sè thüc:
.:R V Đ V
px, αq ÞĐ x.α
Ghi chó
(2)Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m khỉng gian v²c tỡ
nh nghắa
Khi õ V ữủc gồi l mët khỉng gian v²c tì thüc n¸u V cịng vợi hai php toĂn ữủc nh nghắa trản thọa mÂn tĂm tiản à sau:
1 p q p q, @, , P V ,
2 Tỗn tÔi vectỡ cho , @P V ,
3 Vợi mộicõ mởt phƯn tỷ1 cho 11 ,
4 α ββ α, @α, βP V ,
5 x.pα βq x.α x.β, @α, βP V,@x P R , px yq.α x.α y.α, @αP V,@x,y P R , pxyq.α x.py.αq, @αP V,@x,y P R ,
8 1.αα, @αP V â l ph¦n tû ỡn v cừa trữớng R
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 th¡ng 12 n«m 2011 / 42
Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì
Chú ỵ:
CĂc phƯn tỷ cừa V ữủc gồi l c¡c vectì, c¡c sè thüc R ÷đc gåi l cĂc vổ hữợng Php nhƠn mởt phƯn tỷ cừa V vợi mởt số thỹc ữủc cỏn ữủc gồi l php nhƠn vổ hữợng
PhƯn tỷtrong tiản à thự ữủc gồi l vectỡ khổng ,1 tiản
à thự ữủc gồi l phƯn tỷ ối cừa v ữủc kỵ hiằu l pq Ta
s viát pβq l αβ v gåi l hi»u cõa hai vectìα, β
CƠu họi: Nảu cĂch kim tra pV, , q l mët khỉng gian v²c tì v
pV, , q khỉng l khỉng gian v²c tì tr¶n R :
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 42
Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì V½ dư v· khỉng gian v²c tì
X²t tªp hđp sè thüc R Kỵ hiằu Rnl tẵch Descartes cừa n bÊn R :
Rn tpa
1,a2, ,anq | ai P R,i 1,nu
Vỵiα pa1,a2, ,anq, β pb1,b2, ,bnq l hai phƯn tỷ tũy ỵ thuởc Rn
v x l mởt phƯn tỷ tũy ỵ thuởc R , ta nh nghắa nh nghắa php cởng v
nhƠn vổ hữợng trản Rn nhữ sau:
pa1,a2, ,anq pb1,b2, ,bnq pa1 b1,a2 b2, ,an bnq,
xα xpa1,a2, ,anq pxa1,xa2, ,xanq
Khi â Rn cũng vợi php toĂn cởng v nhƠn nhữ trản l mët khỉng gian
vectì thüc vỵi v²c tì khỉng l Θ p0,0, ,0q, v²c tì èi cõa v²c tì α pa1,a2, ,anq l α pa1,a2, ,anq
Ghi chó
(3)Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì V½ dư v· khỉng gian v²c tì
X²t tªp hđp Mmn c¡c ma cĐp m n trản têp số thỹc Khi õ Mmn
cũng vợi php cởng hai ma v nhƠn ma vợi mởt số l mởt khổng gian vc tỡ trản têp số thỹc
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 th¡ng 12 n«m 2011 / 42
Kh¡i niằm và khổng gian vc tỡ Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian vc tỡ Mởt số tẵnh chĐt cừa khỉng gian v²c tì
M»nh ·
Cho V l mët khỉng gian vectì thüc, â ta câ c¡c kh¯ng ành sau:
1 Vectì khỉngθ l nhĐt
2 Vợi mộiP V , vectỡ ối cừal nh§t 0αθ, @αP V
4 xθθ, @x P R
5 Náu xthẳ x ho°c αθ
6 xpαq pxαq pxqα, @x P R, αP V
Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 / 42
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khỉng gian v²c tì ành ngh¾a khỉng gian v²c tì con
ành ngh¾a
Gi£ sû V l mët khỉng gian vectì thüc Tªp W kh¡c réng cõa V ÷đc gåi l khỉng gian vectì (hay khỉng gian con) cõa khỉng gian vectì V náu W vợi hai php toĂn cừa V tÔo th nh mët khỉng gian v²c tì thüc
ành l½
Gi£ sû V l mët khỉng gian vectì thüc Tªp W kh¡c réng cõa V l khỉng gian vectì (hay khỉng gian con) cõa V n¸u hai iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn:
1 @, P W :α βP W
2 @αP W,@x P R :xαP W
Ghi chó
(4)Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Khỉng gian v²c tì Kiºm tra mët tªp l khỉng gian vc tỡ con
CƠu họi: Nảu cĂch kim tra mët tªp W l khỉng gian v²c tì v khỉng l khỉng gian v²c tì cõa khỉng gian v²c tì V :
Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 n«m 2011 10 / 42
Kh¡i ni»m v· khỉng gian v²c tì Khỉng gian v²c tì V½ dử
Kim tra xem têp no sau Ơy l khỉng gian v²c tì cõa R2:
W1 tpx,yq P R2|y 2xu
W2 tpx,yq P R2|y 2x 1u
W3 tpx,yq P R2|y x2u
Nhªn x²t:
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tỡ Tờ hủp tuyán tẵnh KhĂi niằm và biu th tuyán tẵnh
nh nghắa
Cho V l mởt khỉng gian vectì thüc v α1, α2, , αm l m vectì thc
V,pm ¥ 1q Khi õ
Mởt tờ hủp tuyán tẵnh cừa1, 2, , m l vc tỡ cõ dÔng
x1α1 x2α2 xmαm,xiP R,i 1,m
V²c tìα÷đc gåi l tờ hủp tuyán tẵnh haybiu diạn tuyán tẵnh cừa
m vectỡ1, 2, , m náu tỗn tÔi nhỳng số thỹc xi, i 1,m
cho
α x1α1 x2α2 xmαm
hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng h» ph÷ìng tr¼nh
α x1α1 x2α2 xmαm câ nghi»m x1,x2, ,xm
Ghi chó
(5)Cì sð v sè chiÃu cừa khổng gian vc tỡ Tờ hủp tuyán tẵnh V½ dư
Cho hai v²c tìα p1,4,2q,β p1,2,2q v cp0,1,2q a HÂy tẳm mởt tờ hủp tuyán tẵnh cõaα,β v γ
b H¢y x²t xem v²c tì ε p3,1,0q cõ th biu th tuyán tẵnh qua ,
vkhổng?
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khổng gian vc tỡ Hằ vc tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh KhĂi niằm và hằ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh
ành ngh¾a
Cho m vectìα1, α2, , αm cõa khỉng gian vectì V , m ¥
1 H» vectì α1, α2, , m ữủc gồi l phử thuởc tuyán tẵnh náu tỗn
tÔi m phƯn tỷ x1,x2, ,xm P K khổng ỗng thới bơng cho
x1α1 x2α2 xmαmθ
2 H» vectìα1, α2, , m ữủc gồi l ởc lêp tuyán tẵnh náu nõ khổng
phử thuởc tuyán tẵnh, hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng x1α1 x2α2
xmαm θ k²o theo x1 x2 xm
Nhªn x²t: Mët hằ vc tỡ l phử thuởc tuyán tẵnh v ch mởt vc tỡ biu th tuyán tẵnh qua cĂc vc tỡ cỏn lÔi
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 n«m 2011 14 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì H» v²c tì ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Vẵ dử
Sỹ phử thuởc tuyán tẵnh v ởc lêp tuyán tẵnh R3ữủc mổ tÊ mởt
cĂch hẳnh håc nh÷ sau:
Hai vectì cịng ph÷ìng l phư thuởc tuyán tẵnh Hai vectỡ khổng phữỡng l ởc lêp tuyán tẵnh Ba vectỡ ỗng phng l phử thuởc tuyán tẵnh Ba vectỡ khổng ỗng phng l ởc lêp tuyán tẵnh Bốn vectỡ bĐt ký l phử thuởc tuyán t½nh
Ghi chó
(6)Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì H» v²c tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Vẵ dử
Xt sỹ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh cừa cĂc vc tỡ sau v rót nhªn x²t
a 1 p1,0,0q, 2 p0,1,0q, 3 p0,0,1q b α1 p1,2,3q, α2 p2,1,1q, α3 p3,1,4q
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tỡ Hằ vc tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh nh lẵ và sỹ ltt v pttt
ành l½
Cho h» v²c tì α1, α2, , αm khỉng gian v²c tì Rn Gåi A l ma
trªn câ c¡c dáng l α1, α2, , αm Khi â
i Náu rankpAq m thẳ hằ ởc lêp tuyán tẵnh
ii Náu rankpAq m thẳ hằ phử thuởc tuyán tẵnh
Nguyạn Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ngy 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khổng gian vc tỡ Hằ vc tỡ ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh Tẵnh chĐt cừa hằ ltt v pttt
Mằnh Ã
1 Hằ gỗm mởt vectỡl ởc lêp tuyán tẵnh v ch αθ
2 Måi h» vectì chùa vectìθ·u phư thc tuyán tẵnh
3 Hằ gỗm hai vectỡ t lằ vợi thẳ phử thuởc tuyán tẵnh Hằ gỗm hai vectỡ khổng t lằ thẳ ởc lêp tuyán tẵnh
5 Náu ta thảm mởt số vc tỡ vo hằ phử thuởc tuyán tẵnh thẳ văn ữủc
hằ phử thuởc tuyán tẵnh
6 Náu ta bợt mởt số vc tỡ tứ mởt hằ ởc lêp tuyán tẵnh thẳ văn ữủc
hằ ởc lêp tuyán tẵnh
Ghi chó
(7)Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì ành ngh¾a cì sð cõa khỉng gian v²c tì
ành ngh¾a
Cho V l mët khỉng gian v²c tì H» vectìα1, α2, , αm÷đc gåi l mët h»
sinh cõa V n¸u måi vectìαP V ·u biºu tuyán tẵnh qua1, 2, , m,
tùc l :
@αP V,Dx1,x2, ,xm P R :α x1α1 x2α2 xmαm
Nguy¹n Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 19 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì Vẵ dử
HÂy chựng tọ1 p1,0,0q, 2 p0,1,0q, 3 p0,0,1q l mët h» sinh cõa
R3.
Nguy¹n Th Nhung (H THNG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 20 / 42
Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khỉng gian v²c tì ành ngh¾a cì sð cõa kgvt
ành ngh¾a
Cho V l mët khỉng gian v²c tì H» vectìα1, α2, , αn÷đc gåi l mët
cì sð cõa V n¸uα1, α2, , n l hằ sinh v ởc lêp tuyán tẵnh V
V½ dư:
H» v²c tì 1 p1,0,0q, 2 p0,1,0q, 3 p0,0,1q l mët cì sð cõa
R3.
H» v²c tì1 p1,0, ,0q, 2 p0,1, ,0q, , n p0,0 ,1q l
mët cì s cừa Rnv ữủc gồi l cỡ s chẵnh tưc cõa Rn.
Ghi chó