Bài giảng Cơ sở tự động: Chương 4 - TS. Huỳnh Thái Hoàng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Khaii nieäm on Khaù oån ñònh Tiêu chuẩn ổn định đại số  Ñieàu kieän caàn  Tieâ Ti âu chuaå h ån Routh R h  Tieâu chuaån Hurwitz Phương pháp quỹ đạo nghiệm số QĐNS  Khaùi nieäm veà QÑ[r]

Moân hoïc CƠ SỞ TỰ ĐỘNG Biên soạn: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn điều ề khiển ể tự động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TPHCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Giảng viên: HTHoàng, NVHảo, NĐHoàng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí September 2011 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM Chöông KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG September 2011 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM Noäi dung chöông     Khaii nieäm on Khaù oån ñònh Tiêu chuẩn ổn định đại số  Ñieàu kieän caàn  Tieâ Ti âu chuaå h ån Routh R h  Tieâu chuaån Hurwitz Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)  Khaùi nieäm veà QÑNS  Phöông phaùp veõ QÑNS  Xet Xeùt on oån ñònh dung duøng QÑNS Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá  Tieâu chuaån oån ñònh Bode  Tieâ Ti âu chuaå h ån oåån ñònh ñò h Nyquist N it September 2011 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM Khaùi nieäm oåån ñònh September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Khaùi nieäm oån ñònh Ñònh nghóa oå on n ñònh BIBO  Hệ thống gọi là ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) neu neáu ñap đáp ưng ứng cua cuûa heä bò chaën tín hieäu vao vaøo bò chaën u(t) y(t) September 2011 Heä thoáng y(t) y(t) y(t) © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Khaùi nieäm oån ñònh Cöcc vaø Cự va zero  Cho hệ thống tự động có hàm truyền là: Y ( s ) b0 s m  b1s m 11    bm 1s  bm G(s)   U ( s ) a0 s n  a1s n 1    an 1s  an    Ñ ët: Ñaë A( s )  a0 s n  a1s n11    an1s  an maããu soáá haø h øm truyeààn B ( s )  b0 s m  b1s m1    bm1s  bm tử số hàm truyền Zero: là nghiệm tử số hàm truyền, tức là nghiệm phương trình B(s) = Do B(s) baäc m neân heä thoáng coù m zero kyù hieäu laø zi, i =1,2,…m =1 m Cực: (Pole) là nghiệm mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm phương trình A(s) = Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hieäu laø pi , i =1,2,…m September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Khaùi nieäm oån ñònh Giaûn ño Gian đồ cự cöcc - zero  Giản đồ cực – zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero hệ thốáng mặt phẳúng phức September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Khaùi nieäm oån ñònh Ñieàu kieän on Ñieu oån ñònh     Tính ổn định hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực H ä thoá Heä th áng coùù taá t át cảû cáùc cự ö c coùù phaà h àn thự thö c aââm (coù ( ù taá t át cảû cáùc cự öc nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn định Heää thoáng coù cöcï coù p phaàn thöcï baèng ((naèm treân trucï aûo), caùc cöcï còn lại có phần thực âm: hệ thống biên giới ổn định Hệ thống có ít cực có phần thực dương (có ít cực nằèm bê b ân phaû h ûi maëët phaú h úng phứ h ùc): ) heä h ä thoá h áng khoâ kh âng oåån ñònh ñò h September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Khaùi nieäm oån ñònh Phöông trình ñaëc tröng (PTÑT)  Phöông trình ñaëc tröng: phöông trình A(s) = Đ thức đặ Ña ñ ëc tröng: tö đ thức A(s) ña A( )  Chuù yù:  Heä thoáng hoài tieáp Heä thoáng moâ taû baèng PTTT Y(s) R(s) Yht(s) A (t )  Bu (t )  x (t )  Ax   y (t )  Cx(t ) Phöông trình ñaëc tröng Phöông trình ñaëc tröng  G(s) H (s)  det sI  A  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ Tiêu chuẩån ổån định đại sốá September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 10 Tiêu chuẩn ổn định đại số Ñieàu kieän caà Ñieu can n  Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất các hệ số phương t ì h ñaë trình ñ ëc tröng t ö phai h ûi khac kh ù vaø cung ø dau d á  Thí duï: Heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng: s  3s  s   s  s  5s   Khoâng oåån ñònh Khoâng oån ñònh s  s  5s  s   Ch keá Chöa k át luaä l än đượ ñ c September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 11 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Qui tac taéc thaønh laäp bang baûng Routh  Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng: a0 s n  a1s n1    an1s  an   Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tieân ta thaønh laääp baûng Routh theo q qui taéc:  Baûng Routh coù n+1 haøng  Haøng cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún  Haøng cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá leû  Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i  3) tính theo côâng thức: cij  ci 2, j 1   i ci 1, j 1 vớ ới September 2011 ci 2,1 i  ci 1,1 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 12 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Dang Daï ng baû bang ng Routh cij  ci 2, j 1   i ci 1, j 1 ci 2,1 i  ci 1,1 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 13 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Phaùt bieu Phat bieåu tieu tieâu chuaå chuan n  Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất các phần tử nằm cộät bảng Routh dương g Số lần đổi dấu các phần tử cột bảng Routh số nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 14 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh    Thí duï du Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: s  s  5s  s   Giaûi: Baûng Routh Kett luaän: Heä thong Keá thoáng on oån ñònh tat taát ca caû cac caùc phan phaàn tö tử cột bang baûng Routh dương September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 15 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh  Thí duï du Xét tính ổn định hệ thống có sơ đồ khối: Y(s) () R(s) () G ( s)  50 s ( s  3)( s  s  5) H (s)  s2  Giaûi: Phöông g trình ñaëëc tröng g cuûa heää thoáng g:   G ( s ).H ( s )  50 1 0 s ( s  3)( s  s  5) ( s  2)  s ( s  3)( s  s  5)( s  2)  50   s  s  16 s  31s  30 s  50  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 16 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí duï du (tt)  Baûng Routh  Keát luaään: Heää thoáng khoâng oån ñònh ò taát caû caùc p phần tử cộät bảng Routh đổi dấu lần September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 17 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh  Thí duï du Tìm điều kiện K để hệ thống ổn định: R(s) Y(s) G(s)   K s ( s  s  1)( s  2) Giaûi: Phöông g trình ñaëëc tröng g cuûa heää thoáng laø:  G(s)  K  1 0 s ( s  s  1)( s  2)  s  3s  3s  s  K  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 18 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí duï du (tt)  Baûng Routh  Điều kiện để hệ thống ổn định:  2 K 0   K  September 2011  14 0K  © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 19 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hơp Tröông hợp đặc biệt  Nếu bảng Routh có hệ số cột hàng nào đó 0, các hệ số còn lạïi hàng đó khác thì ta thayy hệä số cộät số  dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán tiếp tục September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 20 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh  Thí duï du Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: s  s  s  8s    Giaûi: Baûng Routh  Kết luận: Vì các hệ số cột bảng Routh đổi dấu lần nên phöông trình ñaëc tröng cua cuûa heä thong thoáng co coù hai nghieäm nam naèm ben beân phai phaûi mặt phẳng phức, đó hệ thống không ổn định September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 21 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Trường hơp Tröông hợp đặc biệt  Nếu bảng Routh có tất các hệ số hàng nào đó 0:  Thanh Thaønh laäp ña thöc thức phụ phu tö từ cac caùc heä so soá cua cuûa hang haøng tröôc trước hang haøng co coù tat taát các hệ số 0, gọi đa thức đó là A0(s)  Thay hàng có tất các hệ số hàng khác có các hệ sốá chính là các hệ sốá đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá trình tính toán tiếp tục  Chú ý: Nghiệm đa thức phụ A0(s) chính là nghiệm phöông trình ñaëc tröng September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 22 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh  Thí duï du Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: s  s  8s  8s  s    Giaûi: Baûng Routh September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 23 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh Thí duï du (tt)  Đa thức phụ: A0 ( s )  s   dA0 ( s )  8s  d ds  Nghiệm đa thức phụ (cũng chính là nghiệm phương trình ñaëc tröng):  sj A0 ( s )  s    Kett luaän: Keá  Các hệ số cột bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức  Phöông trình ñaëc tính coù nghieäm naèm treân truïc aûo  Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là – = Hệ thống biên giới ổn định September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 24 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Qui tac taéc thaønh laäp ma traän Hurwitz  Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng: a0 s n  a1s n1    an1s  an   Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Hurwitz, trước tiên ta thành lậäp ma trậän Hurwitzz theo q qui taéc:  Ma traän Hurwitz laø ma traän vuoâng caáp nn  Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an  Haøng leû cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá leû theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo và giảm dần beân trai ben traùi ñöông đường cheo cheùo  Haøng chaún cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo và giảm dần bên trái đường chéo September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 25 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Daï Dang ng ma traän Hurwitz  a1 a3 a a   a1   a0    0  a5 a7  a4 a3 a6  a5  a2  a4      0 0  0  0   an  Phaùt bieåu tieâu chuaån  Điều kiệän cần và đủ để hệä thống ổn định ò laø taát caû caùc ñònh ị thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 26 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz   Thí duï du Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: s  4s  3s   Giaûi: Ma traän Hurwitz Các định thức:   a1 a   a3 a2 a1  4 0   1     a3  0 2 1  a1  a1 a3 2      1  10 a0 a2 a1 a3   a0 a2 a1 a1  a3 a0 a3 a3  2   10  20 a2 Kết luận: Hệ thống ổn định các định thức dương September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 27 Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Cac Caùc heä qua quaû cua cuûa tieu tieâu chuan chuaån Hurwitz  Heä baäc oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän:  0,  i  0,2 Heä baäc oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän: ai  0, i  0,3  a1a2  a0 a3   Heä baäc oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän: ai  0, i  0,4  a1a2  a0 a3  a a a  a a  a a   3 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 28 Phương pháp quỹ đạo nghiệm sốá September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 29 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Ñònh nghóa   Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất các nghiệm phương trình ñaëc tröng cua cuûa heä thong thoáng co coù moät thong thoâng so soá nao naøo ño đó hệ thay đổi từ   Thí duï: QÑNS cuûa heä thoáng coù PTÑT s  s  K  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 30 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tac taéc ve veõ QÑNS  Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phaûi bien phai bieán ñoi đổi tương đương phương trình đặc trưng ve veà daï dang: ng: N (s) 1 K 0 D( s) (1) N (s) G0 ( s )  K Ñaët: D( s) Gọi n là số cực G0(s) , m là số zero G0(s) (1)   September 2011 11  G0 ( s )   G0 ( s )   G0 ( s )  (2l  1) Điều kiện biên độ Ñieàu kieän pha © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 31 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tac taéc ve veõ QÑNS  Qui tắc 1: Số nhánh quỹ đạo nghiệm số = bậc phương trình đặc tính = số cực G0(s) = n  Qui taéc 2:  Khi K = 0: caùc nhaùnh cuûa q quyõ y đạïo nghiệ g äm soá xuaát p phát từ các cực G0(s)  Khi K tiến đến + : m nhánh quỹ đạo nghiệm số tiến đến û G0(s), m zero cua ) nm nhanh h ù h ø laï l i tien ti á ñen ñ á  theo th cacù tieä ti äm cận xác định qui tắc và qui tắc  Qui tac taéc 3: Quy Quỹ đạ ñao o nghieäm so soá ñoi đối xưng xứng qua trụ trucc thự thöcc  Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm số nếáu tổång sốá cực và zero G0(s) bên phải nó là sốá lẻ September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 32 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)  Qui tac taéc ve veõ QÑNS (tt) Qui tắc 5: : Góc tạo các đường tiệm cận quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định : ( 2l  1)  nm  (l  0,1,2, ) Qui tac taéc 6: : Giao ñiem ñieåm giöa cac caùc tieäm caän vôi với trụ trucc thự thöcc la laø ñiem ñieåm A có tọa độ xác định bởi: n m  pi   zi cực   zero i 1   OA  nm  i 1 nm (pi va vaø zi la laø cac các cự cöcc vaø caùc zero cuûa G0(s) ) Quii taééc 7: Q : Ñieå Ñi åm taùùch nhaä h äp (neá ( áu cóù) củûa quỹõ đạ ñ o nghieä hi äm soáá naèèm trên trục thực và là nghiệm phương trình: dK 0 ds September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 33 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tac taéc ve veõ QÑNS (tt)  Qui tắc 8: : Giao điểm quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xaùc ñònh ị cách áp dụïng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặëc thay y s=j vaøo phöông trình ñaëc tröng  Quii taé Q t éc 9: Goù G ùc xuaáát phaù h ùt củûa quỹõ đạ ñ o nghieä hi äm sốá cực phứ h ùc pj xác định bởi: m n i 1 i 1 i j  j  180   arg(( p j  zi )   arg(( p j  pi ) Dang Daï ng hình hoï hocc cua cuûa cong coâng thöc thức tren treân la: laø: j = 1800 + (góc từ các zero đến cực p j )  (goc (góc từ tö cac caùc cöc cực cò n laï laii đế ñen n cự cöcc p j ) September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 34 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du  Veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây K=0+ R(s) Y(s) K G( s)  s ( s  2)( s  3)  Giaûi:  Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:  K  G(s)   1 0 s ( s  2)( s  3) Các cực: p1  p2  2 p3  3  Caùc zero: khoâng coù September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ (1) 35 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Tieäm caän: 1  (2l  1) (2l  1)    nm 30  2   3   (l  0)  (l  -1) (l  1) cực   zero [0  (2)  (3)]   OA    nm  30 Ñieåm taùch nhaäp: (1)  K   s ( s  2)( s  3)  ( s  5s  s ) d dK   (3s  10 s  6) ds s1  2.549 (loạïi) dK D ñ Do đóù 0   ds s2  0.785 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 36 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Giao điểm QĐNS với trục ảo: Caùch 1: Dung Cach Duøng tieu tieâu chuan chuaån Hurwitz (1)  s  5s  6s  K  (2) Ñieàu kieän oån ñònh: K  K    K  30  K gh  30    a1a2  a0 a3  5    K  Thay giaù trò Kgh = 30 vaøo phöông trình (2), giaûi phöông trình ta giao điểm QĐNS với trục ảo s1  5  s  5s  6s  30   s2  j s   j 3 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 37 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Giao điểm QĐNS với trục ảo: Caùch 2: Cach (1)  s  5s  6s  K  Thay s=j vaøo phöông trình (2):  j 3  5 j 2  6 j   K    j  j      K 0  September 2011  (2)   j  5  j  K     K       K  30 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt) Im s j Re s 3 2 j September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 39 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du  Veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây K=0+ R(s) Y(s)  Giaûi:  Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:  G(s)  p1   Các cực:  Caùc zero: khoâng coù September 2011  K G ( s)  s ( s  8s  20) K 1 0 s ( s  8s  20) (1) p2,3  4  j © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 40 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Tieäm caän: 1  (2l  1) (2l  1)    nm 30  Ñieåm taùch nhaäp: (1)  K  ( s  8s  20s ) dK   (3s  16 s  20) ds dK D ñ Do đóù 0  ds September 2011 2   3   cực   zero [0  (4    OA  nm  (l  0)  (l  -1) (l  1) j 2)  (4  j 2)]  (0)  30 K s1  3.331  (hai h i ñi ñieå h 0p) åm taùch nhaä  s2  2.00 s ( s  8s  20) © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 41 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Giao điểm QĐNS với trục ảo: (1)  s  8s  20s  K  (2) Thay s=j vaøo phöông trình (2): ( j )3  8( j )  20( j )  K    j  8  20 j  K   8  K       20   September 2011     K     20   K  160  © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ K 0 s ( s  8s  20) 42 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Góc xuất phát QĐNS cực phức p2:   1800  [arg( [ ( p2  p1 )  arg(( p2  p3 )]  1800  arg[(4  j 2)  0]  arg[(4  j 2)  (4  j 2)]  1    180  tg    90 4    1800  153.5  90   63.50 m n i 1 i 1 i j  j  1800   arg( p j  zi )   arg( p j  pi ) September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt) Im s j 20 63 63.5 50 +j2 Re s 4 2 j2  j 20 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du  Veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây K=0+ R(s) Y(s)  Giaûi:  Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:  G(s)    Các cực: p1  p2  3  Caùc zero: z1  1 September 2011 K ( s  1) G ( s)  s ( s  3)( s  8s  20) K ( s  1) 1 0 s ( s  3)( s  8s  20) (1) p3,  4  j © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)  Thí duï du (tt)  1  Tieäm caän:  (2l  1) (2l  1)   nm 1 2   3    cực   zero [0  (3)  (4   OA   nm  (l  0) (l  -1) (l  1) j 2)  (4  j 2)]  (1) 10  1 Ñieåm taùch nhaäp: dK 3s  26s  77 s  88s  60 s ( s  3)( s  8s  20)  (1)  K    dds ( s  1) ( s  1) Do đó dK 0 d ds September 2011  ng coù  s1,  3,67  j1,05 K ( s (khoâ )  1 ñi2 åm taùùch nhaä ñieå häp0) s3,  0,66  sj(0s.97  3)( s  8s  20) © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Giao điểm QĐNS với trục ảo: (1)  s  11s3  44s  (60  K ) s  K  (2) Thay s=j vaøo phöông trình (2):   11 j  44  (60  K ) j  K     44  K     K   11  ( 60  )   Vaäy giao ñieåm caàn tìm laø: s   j 5,893 September 2011    K    5,893   K  322    j1,314 (loại)  K ( s  1) 61 , K    1 0 s ( s giớ  3i)(haï s nlaø8:sKgh20  )322 HSKÑ © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Góc xuất phát QĐNS cực phức p3: 3  180  1  (   3   )  180  146,3  (153,4  116,6  90) 3  33.70 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt) Im s +j2 33.7 33.70 3 3 4 4 +j5,893 1 2 1 Re s j2 j5,893 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du  Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối sau: R(s) Y(s) 10 G (s)  ( s  s  3) KI GC ( s )  K P  s  Cho KI = 2.7, haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây KP =0+, bieát rang biet raèng dKP / ds=0 co coù nghieäm la laø 3 3,  3, 1.5 15  Khi KP =270,, KI = 2.7 heää thoáng coù oån ñònh ò hay y khoâng g? September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Giaûi:  Phöông trình ñaëc tröng cua cuûa heä thong: thoáng:  GC ( s )G ( s )  2.7  10      KP  0  s  s  s    10 K P s 0  1 ( s  9)( s  3)  Các cực: p1  9  Caùc zero: z1  Cac September 2011 p2   j (1) p3   j © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Tieäm caän: (2l  1) (2l  1)    nm 1  /2  /2 cực   zero [9  ( j  OA   nm  Ñieåm taùch nhaäp: dK P 0 ds   s1  3   s2  3 s  1.5 3 (l  0) (l  1) )  ( j )]  (0)  1 (loại) QÑNS co coù hai ñiem ñieåm taù tach ch nhaäp trung truøng taï taii 3 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 52 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï du (tt)  Góc xuất phát QĐNS cực phức p2:   1800  arg(( p2  z1 )  [arg( [ ( p2  p1 )  arg(( p2  p3 )]  1800  arg( j  0)  [arg( j  (9))  arg( j  ( j ))]  1     90  180  90  tg  9     1690 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí duï d (tt)  Khi KI =2.7, QÑNS cuûa hệ thống nằm hoàn toàn ben toan beân trai traùi maët phang phaúng phức KP =0+, đó hệ thống ổn định KI =2.7, KP =270 September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54 Tieâu chuaåån oåån ñònh taààn soáá September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55 Nhaéc laïi: Caùc thoâng soá quan troïng cuûa ñaëc tính taàn soá  Taààn soáá caéét bieâ T bi ân (c): ) laø l ø taà t àn soáá maøø taï t i đó ñ ù bieâ bi ân độ ñ ä cuûûa ñaë ñ ëc tính tí h taà t àn soá baèng (hay baèng dB) M (c )     ( )   rad Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin): GM   L(c )  Tần số cắt pha (): là tần số mà đó pha đặc tính tần số baèng 180 bang 1800 (hay bang baèng   radian)  ( )  1800   M ( )  GM   L( ) [dB] Độ dự trữ pha ( M – Phase Margin): M  1800   (c ) September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56 Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá Bieåu ño Bieu đồ Bode September 2011 Bieå Bieu u đồ ño Nyquist © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số hệ hở G(s), bài toán đặt là xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s) R(s)  Y(s) Tiêu chuẩån Nyquist: Hệ thốáng kín Gk(s) ổån định nếáu đường cong Nyquist hệ hở G(s) bao điểm (1, j0) l/2 vòng theo chiều döông g ((ngượ g ïc chiều kim đồng hồ)  thay y đổi từ đến +,, đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức hệ hở G(s) September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï  Cho heä thong thoáng hoi hoài tiep tieáp am aâm ñôn vò, vò ño đó hệ hơ hở G(s) co coù ñöông đường cong Nyquist nhö hình veõ Bieát raèng G(s) oån ñònh Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng kín September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt)     Giai: Giaû i: Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, đó theo tiêu chuẩn Nyquist p yq heää kín oån ñònh ị đường cong Nyquist G(j) hệ hở không bao điểm (1, j0) Trường hợp : G(j) không bao điểm (1, j0)  hệ kín ổn định Trường hợp : G(j) qua điểåm (1, j0)  hệ kín ởû biên giới ổån ñònh; Trường hợ Tröông hôp p : G(j) bao ñiem ñieåm ((1 1, j0)  heä kín khong khoâng on oån ñònh ñònh September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 60 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï  H õy đá Haõ ñ ùnh giaù i ù tính tí h oåån ñònh ñò h cuûûa heä h ä thoá th áng hoà h ài tieá ti áp aââm ñôn ñô vò, ò bieá bi át hàm truyền hệ hở G(s) là: G ( s )   Giaûi: Giai:  Biểu đồ Nyquist: September 2011 K s (T1s  1)(T2 s  1)(T3 s  1) © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 61 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt)    Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, đó theo tieâu chuan tieu chuaån Nyquist heä kín on oån ñònh neu neáu ñöông đường cong Nyquist G(j) hệ hở không bao điểm (1, j0) Trường hợp : G(j) không bao điểm (1, j0)  hệ kín ổn định Trường hợp : G(j) qua điểm (1, j0)  hệ kín biên giới ổn ñònh; Trường hợ Tröông hôp p : G(j) bao ñiem ñieåm (1, ( j0)  heä kín khong khoâng on oån ñònh ñònh September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 62 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số các hình vẽ đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định OÅn ñònh September 2011 Khoâng oån ñònh © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 63 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số các hình vẽ đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định Khoâng oån ñònh September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 64 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt) Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số các hình vẽ đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định OÅn ñònh September 2011 Khoâng oån ñònh © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 65 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï  Cho h heä h thoá h áng hở h û coùù haø h øm truyềàn đạ ñ t laø l ø: K G(s)  (Ts T  1)n (K>0, T>0, n>2) Tìm điều kiện K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn ñònh ñònh   Giaûi: K Ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng laø: G ( j )  (Tj  1) n K  Biên độ: M ( )  n 2 T  1   Pha: September 2011   ( )  ntg 1 (T ) © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 66 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt)  Biểåu đồà Nyquist:  Ñieu Ñieà u kieän on oån ñònh: ñöông đường cong Nyquist khong khoâng bao ñiem ñieåm ((1 1,j0) j0) Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy khi: M ( )  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 67 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist – Thí duï (tt)  Ta coù:  ( )  ntg 1 (T )    tg (T  )  1   Do đó:       (T )  tg   n n    tg   T n M ( )         K   tg  g      n     September 2011 n K       T tg     T  n        © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ n 1 68 Tieâu chuaån oån ñònh Bode  Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số hệ hở G(s), bài toán đặt là xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s) R(s)  Y(s) Tieââu chuaå Ti h ån Bode: B d Heä H ä thoá th áng kín kí Gk(s) oåån ñònh ñò h neááu heä h ä thoá th áng hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương: GM   Heä thoáng oån ñònh  M  September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 69 Tieâu chuaån oån ñònh Bode: Thí duï  Cho heä thong thoáng hoi hoài tiep tieáp am aâm ñôn vò, vò biet bieát rang raèng heä hô hở co coù bieu bieåu ño đồ Bode hình vẽ Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha hệ thống hở Hỏi hệ kín có ổn định không? L( ) Theo biểu đồ Bode: c     L(  )  35dB  ( c )  2700 GM GM  35dB M  180  (270 )  900 180 (C) September 2011 M  C Do GM<0 vaø M<0 neân heä thoáng kín khoâng oån ñònh © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 70 Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá Chuù yyù Chu  Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm hình vẽ, có thể áp dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist Bode, trường hợp này hàm truyềàn hở là G(s)H(s) R(s) Y ( s) Yht(s) September 2011 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 71