Chương này cung cấp cho người học các kiến thức về hệ phi tuyến bao gồm: Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái, phương pháp tuyến tính hóa, tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh, mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Hệ phi tuyến Ví dụ 1: Bồn nước ( y& ( t ) = ku ( t ) − aCD 2gy ( t ) A ) Hệ phi tuyến bậc Hệ phi tuyến Ví dụ 2: Cánh tay máy &&θ ( t ) = − ml + Mlc B & θ t − g cos ( θ ) + u t ( ) 2 ( ) J + ml J + ml J + ml Hệ phi tuyến bậc Hệ phi tuyến Ví dụ 3: Hệ thống lái tàu �1 � �1 � �k � & &&& && ( t ) − � �( ψ& ( t ) + ψ& ( t ) ) � �τ3δ ( t ) + δ ( t ) ψ ( t ) = − � + �ψ �τ1 τ2 � �τ1τ2 � �τ1τ2 � ( Hệ phi tuyến bậc ) Mơ tả hệ phi tuyến dùng PTTT Hệ phi tuyến có thể được mơ tả bởi PTTT sau: x& ( t ) = f ( x ( t ) ,u ( t ) ) y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) ) Trong đó: y(t) : tín hiệu ra u(t) : tín hiệu vào x(t) : các biến trạng thái f(.), h(.) : các hàm phi tuyến Mơ tả hệ phi tuyến dùng PTTT Ví dụ 1: Bồn nước ( y& ( t ) = ku ( t ) − aCD 2gy ( t ) A ) Đặt x1(t) = y(t) PTTT : x& ( t ) = − aCD 2gx1 ( t ) y = x1 ( t ) A k + u( t) A Mơ tả hệ phi tuyến dùng PTTT Ví dụ 1: Cánh tay máy &&θ ( t ) = − Đặt ml + Mlc B & θ t − g cos ( θ ) + u t ( ) 2 ( ) J + ml J + ml J + ml x1 ( t ) = θ ( t ) , x ( t ) = θ& ( t ) �x ( t ) � � x& ( t ) = � ml + Ml B c � � PTTT : − g cos x t − x t + u t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 � J + ml2 � J + ml J + ml2 y = x1 ( t ) Phương pháp tuyến tính hóa Xét hệ phi tuyến được mơ tả bởi PTTT sau: x& ( t ) = f ( x ( t ) ,u ( t ) ) y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) ) x ược gọi là dừng nếu hệ đang ở trạx ng Trạng thái đ u ều khiển cố định khơng đổi thì thái và tác động đi hệ giữ ngun trạng thái đó. ( x,u ) : điểm làm việc tĩnh f ( x ( t ) ,u ( t ) ) x = x,u = u =0 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Xét hệ phi tuyến được mô tả bởi PTTT sau: x& ( t ) = f ( x ( t ) ,u ( t ) ) y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) ) Khai triển Taylor f(.) và h(.) xung quanh điểm làm việc tĩnh ta có thể mơ tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính x&% ( t ) = Ax% ( t ) + Bu% ( t ) y% ( t ) = Cx% ( t ) + Du% ( t ) x% ( t ) = x ( t ) − x ( t ) u% ( t ) = u ( t ) − u ( t ) y% ( t ) = y ( t ) − y ( t ) , y ( t ) = h ( x,u ) Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Các ma trận trạng thái: � f1 �x �1 �f A = �x1 � �M �f �n �x1 f1 L x2 M O fn L x2 f1 � xn � � f2 � xn � � M� fn � � x n �( x,u ) �f1 � �u � � � �f n � B = �u � �M � � � �f n � � �u � �( x,u ) �h C=� �x1 h L x2 h� � x n �( x,u ) �h � D=� � �u �( x,u ) f2 L x2 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Ví dụ 1: Bồn nước PTTT : x& ( t ) = −0.3544 x1 ( t ) + 1.5u ( t ) y = x1 ( t ) Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc y(t) = 20cm ? Điểm tĩnh: x = 20 f ( x,u ) = −0.3544 20 + 0.9465u = u = 1.0567 Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Ví dụ 1: Bồn nước (tt) Các ma trận trạng thái: f1 f1 A= = −0.0396, B = = 1.5 x1 ( x,u ) u ( x,u ) h C= = 1, x1 ( x,u ) h D= =0 u ( x,u ) Vậy PTTT quanh điểm y = 20cm: x&% ( t ) = −0.0396x% ( t ) + 1.5u% ( t ) y% ( t ) = x% ( t ) Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Ví dụ 2: Cánh tay máy �x ( t ) � x& ( t ) = � � PTTT : − 32.7cos x t − 0.1111x t + 22.2222u t ( ) ( ) ( )� ( ) � � � y = x1 ( t ) Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc y(t) = π/6 rad ? Điểm tĩnh: �π � x = � �, u = 1.2744 � �0 � � Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh Ví dụ 2: Cánh tay máy (tt) Các ma trận trạng thái: � �0 � � A=� , B=� � � 16.35 − 0.1111 22.2222 � � � � C = [ 0] , D = [ 0] Vậy PTTT quanh điểm y = π/6 (rad): x&% ( t ) = Ax% ( t ) + Bu% ( t ) y% ( t ) = Cx% ( t ) Mơ tả hệ phi tuyến dùng PTTT Ví dụ 3: Cho hệ bồn nước đơi L& ( t ) = −0.2260 L1 ( t ) + 0.2964Vp L& ( t ) = −0.0156 L ( t ) + 0.0051 L1 ( t ) Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc L2 = 15cm? Mơ tả hệ phi tuyến dùng PTTT Ví dụ 4: Cho hệ bồn nước L& ( t ) = Fin ( t ) − L ( t ) 314 + 36L ( t ) + L2 ( t ) Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc L = 15cm?