BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vecto phương đường thẳng Vecto phương đường thẳng Vectơ gọi vectơ phương đường thẳng Δ giá song song trùng với ∆ Phương trình tham số đường thẳng phương trình tham số đường thẳng r a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d qua M o ( xo , yo ) có VTCP u (u1 , u2 ) Phương trình tham số d: b) Liên hệ vectơ phương hệ số góc đường thẳng Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số Nếu u1 ≠ từ phương trình (1) ta có y = k ( x − x0 ) + y0 k = u1 hệ số góc đường thẳng Δ u2 x = − 6t Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : y = + 8t Trong điểm sau, điểm thuộc đường thẳng ∆ ? Tại sao? A A ( 5; ) B B ( 2; ) C C ( 8; − ) D D ( 3;6 ) Trong vectơ sau, vectơ vectơ phương đường thẳng ∆ ? r A u = ( −3; ) r B v = ( 3; ) r C a = ( 6; −8) r −4 ÷ D u = 1; Hướng dẫn giải: Ví dụ a.Điểm A ( 5; ) thuộc đường thẳng ∆ thay tọa độ A ( 5; ) vào phương trình ta 5 = − 6t ⇔t =0 2 = + 8t Điểm B ( 2; ) không thuộc đường thẳng ∆ thay tọa độ B ( 2; ) vào phương trình ta t= 2 = − 6t ⇔ vô nghiệm 4 = + 8t t = Điểm C ( 8; − ) thuộc đường thẳng ∆ thay tọa độ C ( 8; − ) vào phương trình ta 8 = − 6t −1 ⇔t= −2 = + 8t Điểm D ( 3;6 ) không thuộc đường thẳng ∆ thay tọa độ D ( 3;6 ) vào phương trình ta t = 3 = − t ⇔ vô nghiệm 6 = + 8t t = r b.VTCP ∆ c = ( −6;8 ) suy đáp án A, C, D Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng Δ trường hợp sau: r ∆ qua điểm A ( 2;3) có vectơ phương u ( 2; −1) ∆ qua hai điểm A ( 2;3) B ( 1; −1) Hướng dẫn giải : r Δ qua điểm A ( 2;3) có vectơ phương u ( 2; −1) có phương trình tham số là: x = + 2t y = 3−t ∆ qua hai điểm A ( 2;3) B ( 1; −1) nên có VTCP Ví dụ 3: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm C (4; −3) có hệ số góc k = x = + 2t A y = −3 + 3t x = − 2t B y = + 3t x = + 4t C y = − 3t x = + 3t D y = −3 + 2t Vecto pháp tuyến đường thẳng r r r r Định nghĩa: Vecto n vecto pháp tuyến đường thẳng ∆ n ≠ n vng góc với vecto phương ∆ Nhận xét • r r Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng Δ vectơ k n , ( k ≠ ) vectơ pháp tuyến đường thẳng Δ Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà đường thẳng qua vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát đường thẳng Định nghĩa: Phương trình với a b không đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát đường thẳng r r Ví dụ 1: a VTCP u = ( u1 ; u2 ) ; VTPT n = ( −u2 ; u1 ) r r b VTPT n = ( a; b ) ; VTCP u = ( −b; a ) r Nhận xét: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có VTPT n = ( a; b ) ; VTCP r u = ( −b; a ) b Ví dụ: uuur Ví dụ 2: Đường thẳng ∆ qua hai điểm A ( 2; ) B ( 4;3) nên có VTCP AB = ( 2;1) nên có r VTPT n = ( −1; ) Phương trình đường thẳng ∆ là: x − y + = r r Ví dụ 3: VTPT n = ( 3; ) ; VTCP u = ( −4;3) c.Các trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng Δ có phương trình • Nếu a = ( 1) ⇔ y = −c Đường thẳng vng góc với trục Oy điểm b • Nếu b = ( 1) ⇔ x = −c c Đường thẳng vng góc với trục Ox điểm − ; ÷ a a • Nếu c = ( 1) ⇔ ax + by = Đường thẳng qua gốc tọa độ c 0; − ÷ b x y Nếu a , b , c khác ( 1) ⇔ + = ( 2) m n • Khi phương trình (2) gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng cắt trục Ox điểm M ( m;0 ) cắt trục Oy điểm N ( 0; n ) Ví dụ Áp dụng cơng thức phương trình đoạn chắn ta phương trình đường thẳng MN là: x y + =1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ur ∆1 có vectơ pháp tuyến n1 = ( a1 ; b1 ) ; ∆ có vectơ pháp tuyến Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: a1 x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = Ta có trường hợp sau: • Hệ phương trình (1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) ⇔ ∆1 cắt • • điểm M ( x0 ; y0 ) Hệ phương trình (1) có vơ số nghiệm Hệ phương trình (1) có vơ nghiệm khơng có điểm chung hay Chú ý • vectơ pháp tuyến ∆1 vectơ pháp tuyến ∆ ngược lại, vectơ phương vectơ phương ngược lại x − y +1 = x = ⇔ Ví dụ 1: Xét hệ phương trình: Suy đường thẳng d ∆1 cắt 2 x + y − = y = x − y +1 = a Xét hệ phương trình hệ phương trình vơ nghiệm nên d P∆ x − y −1 = x − y +1 = b Xét hệ phương trình hệ phương trình có vơ số nghiệm nên đường thẳng 2 x − y + = trùng Ví dụ 2: Đáp số a d1 P∆ b ∆ cắt d c d P∆ Góc hai đường thẳng VD1 Đáp số: Góc AID = 1200 góc DIC = 300 Định nghĩa: Cho hai đường thẳng cắt ∆1 ∆ Góc nhỏ bốn góc ∆1 ∆ cắt tạo thành góc ∆1 ∆ Kíhiệu (·∆1 , ∆ ) • Nếu ∆1 / / ∆ ∆1 ≡ ∆ (·∆1 , ∆ ) = 0o • Nếu ∆1 ⊥ ∆ (·∆1 , ∆ ) = 90o Đặt ϕ = (·∆1 , ∆ ) 0o ≤ ϕ ≤ 90o Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = uu r ∆1 có vectơ pháp tuyến , ∆ có vectơ pháp tuyến n2 = ( a2 , b2 ) ur uu r n1.n2 a1a2 + b1b2 r = Ta có cos ϕ = ur uu n1 n2 a12 + a22 b12 + b22 Chú ý • ur uu r ∆1 ⊥ ∆ ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + bb = • Nếu phương trình ∆1 : y = k1x + b1và ∆ : y = k2x + b2 o ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1k2 = −1 k = k ∆1 / / ∆ ⇔ b1 ≠ b2 7.Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ : điểm , khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ xác định công thức d( M0, ∆ ) = Ví dụ1.a d ( M ; d ) = 3.1 + 4.3 − 11 +4 2 = ax0 + by0 + c a2 + b2 b.đường thẳng d : x − y − = Khoảng cách d ( M ; d ) = Ví dụ2 M ( 1;1) ∈ d1 Tacó: d ( d1 ; d ) = d ( M ; d ) = 3− 2 m = ⇒ 3+ 2 m = − 3m =2 3.3 − ( −1) − 32 + ( −2 ) = 13 13 PHIẾU HỌC TẬP Câu Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng ( d ) : x − y + = Vectơ sau vectơ pháp tuyến đường thẳng ( d ) r r A n = ( 1; −2 ) B n = ( 2;1) Câu Câu r C n = ( −2;3) r D n = ( 1;3) x = − 4t Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng ( d ) : Vectơ sau vectơ y = −2 + 3t phương đường thẳng ( d ) ? r r r r A u = ( −4;3) B u = ( 4;3) C u = ( 3; ) D u = ( 1; −2 ) r Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng qua điểm M ( −2; ) nhận n = ( 3; −2 ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt Câu A x − y + 10 = B x − y − 10 = C −2 x + y + 10 = D −2 x + y − 10 = Khoảng cách từ điểm M ( 3;0 ) đến đường thẳng ∆ : x + y + = A d ( M , ∆ ) = Câu Câu Câu Câu B d ( M , ∆ ) = C d ( M , ∆ ) = D d ( M , ∆ ) = Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường thẳng qua điểm A ( −2; ) B ( −6;1) là: A x + y − 10 = B x − y + 22 = C x − y + = D x − y − 22 = Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x − y + = Nếu đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1; −1) ∆ song song với d ∆ có phương trình A x − y − = B x + y + = C x − y + = D x − y + = Trong mặt phẳng Oxy, tính góc hai đường thẳng: d : x − y + = d1 : x + y − = 0; A 76°13′ D 62°32′ B 45° C 22°37′ Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + = , ∆ : x − y − 11 = Khoảng cách hai đường thẳng ∆1 , ∆ A Câu 11 17 2 B 17 C 17 D 17 Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M nằm ∆ : x + y − = cách N ( −1;3) khoảng A ( −2;1) B ( 2;1) C ( 2; −1) D ( −2; −1) Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1 : x + y − 18 = 0; d : x + y − 19 = cắt điểm có toạ độ A ( 3; ) B ( −3; ) C ( 3; −2 ) D ( −3; −2 ) x = 5+t ( t ∈¡ Câu 11 Hai đường thẳng d1 : 12 x − y + 10 = d : y = + 2t A song song B cắt ) C trùng hai đường thẳng D vng góc x = + 2t ( t ∈ ¡ ) Đường thẳng ∆ Câu 12 Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số y = + 3t qua điểm A M ( 1; −2 ) B N ( 3;5 ) C P ( −1; −2 ) D Q ( −3;5 ) Câu 13 Tìm m để ∆ ⊥ ∆ ' , với ∆ : x + y − = ∆ ' : y = ( m + 1) x + A m = − B m = − C m = D m = Câu 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: x − y + = , d2: x + y + = điểm I (1; 2) Gọi H giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1, d2 E F cho A x + y − = HE + HF đạt giá trị nhỏ B x + y − = C x − y − = D x + y − = Câu 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x − y + = hai điểm A ( 1;3) ; B ( −2; ) uuur uuur Điểm M ( x; y ) ∈ d1 cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giá trị x + y A 123 25 B − 19 C 19 D 19 10 PHIẾU HỌC TẬP Vận dụng 1: Một phi bắt đầu chạy đường băng 300m cất cánh, độ cao tăng so với vận tốc 14 m/s, khoảng cách mặt đất tăng với vận tốc 64m/s a)Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ đặt vị trí ban đầu máy bay, trục hoành thể độ di chuyển mặt đất, trục tung thể độ cao phi cơ, gốc thời gian tính thời điểm phi cất cánh Viết phương trình chuyển động phi theo thời gian t theo trục Ox, Oy b)Tìm vị trí phi sau 15 giây cất cánh Vận dụng 2: Một trường THPT cần thuê xe du lịch Sau tìm hiểu thị trường, cơng ty X báo giá dịch vụ 1.000.000 đồng/ ngày cộng với 10.000 đồng/1 km Còn công ty Y báo giá dịch vụ 20.000 đồng/1 km Theo em, nhà trường nên chọn xe hợp đồng thuê xe công ty để giá thuê thấp hơn? Vận dụng 3: Một gia đình cần th Cơng ty sửa thiết bị gia đình, có liên hệ với hai cơng ty A B -Cơng ty A có lời chào hợp đồng: cho nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trà 50.000 đồng cước phí cộng 50.000 đồng cho dịch vụ sửa chữa -Công ty B có lời chào hợp đồng: cho nhân viên đến nhà, chủ hộ phải trả 75.000 đồng cho dịch vụ sửa chữa Em tính xem nên chọn hợp đồng với Công ty để chi phí thấp hơn?