BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA HÀ N Ộ I TR Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N ĩỊc ĩỊí ĩỊ* *Ịí'Ị' ĩỊ* B À I T O Á N Đ Ộ N G ổ L ự c \ Đ ỊN H T R Ê N C Ủ A P H Ư Ơ N G T H A N G T H Ờ I G T R ÌN H I M M Ã SỐ: QT -07-01 C H Ủ T R Ì Đ Ể TẢI: PG S.T S Đ Ặ N G Đ ÌN H C H Â U A I H O C q u ố c g i a h a N Ọ i ' R U N G T Â M T H Ô N G TIN T H Ư V I Ê N HÀ NỘI-2008 DT / Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N B À I T O Á N Đ Ộ N G ổ L ự c \ Đ ỊN H T R Ê N C Ủ A P H Ư Ơ N G T H A N G T H Ờ I T R Ì N H G IA N MÃ SỐ: Q T 0701 C h ủ trì để tài: PGS TS Đ ặng Đ ình Châu C c c n b ỏ th a m g ia : T s N g u yễn T h iệu H u y T s N g u y ễ n S inh B ả y T h s L ê h u y T iễ n Th s N g u y ễ n Bùi C n g Cn N guyễn N g ọ c H uy H À N Ộ I-2008 BÁO CÁO TÓ M TẮ T : a T ên đề t i : M ã số: B i toán Ổn địn h củ a hệ đ ộ n g lực th a n g th ỏ i g ia n QT 07-01 b C hủ trì đề tà i: c C ác cán bỏ p hối hơp : PGS.TS Đ ặ n g Đ ình C hâu T s Nguyễn Thiệu Huy, T s Nguyễn Sinh Bảy , Thạc s ĩ Lê Huy Tiễn T hs N g u y ễ n B ù i C ươ ng, Cn N guyễn N g ọ c H uy d Muc tiêu nối dung nghiên cứu: Việc nghiên cứu hệ động lực tổng quát vấn đề có ý nghĩa quan trọng lý thuyết tốn học Mặt khác nhiều mơ hình phát triển thiên nhiên sống hàng ngày tuân theo quy luật hệ động lực tốn học kết nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tế Những cơng trình nghiên cứu Lý thuyết hệ động lực tổng quát bắt đầu xuất từ nửa đầu kỷ XVII phương h n g n g h iê n u c ủ a lý th u y ế t to án h ọ c đư ợ c n h iều n h k h o a h ọ c q u a n tâm tiếp tục phát triển theo nhiều phương hướng khác Gần xu hướng lý thuyết Giải tích đời nhiều người quan tâm nghiên cứu “Giải tích thang thời gian Đề tài Q T -0 -0 tiếp tục theo phương hướng nghiên cứu truyền thống Bộ m n G iải tíc h to n h ọ c th u ộ c k h o a T o n - C - T in h ọ c , T rư n g Đ i h ọ c k h o a học Tự nhiên từ nhiều năm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cá c hệ đ ô n g lực v ph n g trìn h vi p h â n c ủ a c hệ đ ô n g lực tổ n g q u t B ài to n cụ thể đề tài xác lập điều đủ cho tính ổn định hệ động lực th a n g thời g ian P hư ơng p h p c h ín h sử d ụ n g đ â y p h n g p h p x ấ p x ỉ th ứ n h ấ t Lý thuyết Giải tích thang thời gian hình thành phát triển từ sau n ãm 1998 , với m ụ c đ íc h x â y d ự n g m ộ t c c h trìn h bày c h u n g c h o c c h m liê n tục (th e o n g h ĩa cổ đ iể n ) c c h àm rời rạc VI có ý n g h ĩa ứng d ụ n g tro n g lý th u y ế t tín h iệu s ố , m h ìn h s in h th m ố t số to n cụ th ể c ủ a p h n g trìn h vi p h â n h àm N ội d u n g c h ín h c ủ a b ả n b o c o tro n g đề tài g m b a c h n g : Chương I :Trình bày lại kiến thức Lý thuyết Giải tích thang thời gian (GTTTTG) C h n g II : T rìn h b y tổ n g q u a n L ý th u y ế t ổn đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực th a n g thời g ian C h n g III : T rìn h bày m ộ t s ố k iế n thức c b ả n c ủ a n g h iệ m c ủ a h ệ c c p h n g trìn h đ ộ n g lực th an g thời g ian đ iều k iệ n đú c h o ổn đ ịn h m ũ c ủ a n ó T ro n g đ ề tài đ ã x â y dự ng nh iều ví dụ m in h h o lý th u y ế t ứng d ụ n g thực tiễ n Viết báo(gưỉ đăng) hoàn thành (đã gửi đãng ký) báo cáo hội nghị khoa học Tốn học tồn quốc năm 2008 Hoàn thành luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), Cử nhân nghành Toán Tình hình kinh phí đ ề tài: X ác nhận củ a B C N khoa Đã toán theo dự định C hủ trì đ ề tài ,u u (yS.TC P G S TS Đ ặ n g Đ ì n h C h â u Trường Đại học Khoa học tự nhiên M U C LUC M Ở ĐẦU C H Ư Ơ N G 1: C c k iế n th ứ c c s I C c k h i n iệ m c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th i g ia n v b ấ t đ ẳ n g th ứ c G ronvvall- B e lm a n II C ác ví d ụ v ứ n g d ụ n g CHƯƠNG 2: Sự ổn định phương trình động lực thang th i g ia n I.M Ột số k h i n iệ m b ả n II.S ự ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lự c v ô h n g C H Ư Ơ N G 3: v ề m ộ t đ iều k iện đ ủ c ủ a ổn đ ịn h m ũ đ ề u c ủ a h ệ p h n g trìn h động lực thang thời g ia n 10 Đ ặ t t o n 10 C ác k h n iệm c s 10 B ài to n ổ n đ ịn h m ũ c ủ a hệ đ ộ n g lự c tu y ế n t í n h 16 K êt lu ận 21 T ài liệu th a m k h ả o 22 MỞ ĐẦU Lý thuyết giải tích thang thời gian khời xướng Steían H ilg e r từ n ă m 1988 Sau đ ó đ ợ c n h iề u n g i q u a n tâ m n g h iê n c ứ u áp d ụ n g v m ộ t số m ô h ìn h th ự c tế ứ n g d ụ n g T ro n g s ố n h ữ n g c ô n g bô' gần kết lý thuyêt Giải tích thang thời gian kể đến Aganval R., Aubach B Kaymakcalan B., Bohner M , Kaymakcalan B , Peterson A , Oregan D (xem [1] [2] [3 [4]) Ở lĩnh vực người ta thường cố găng tìm phương pháp biểu diễn chung cho kết nghiên cứu toán học lớp hàm liên tục c ũ n g n h rời rạc T ro n g đ ó n h ữ n g vấn đ ề liên q u a n đ ế n lý th u y ế t đ ịn h tính c ủ a Phương trình vi phân Phương trình sai phân tromg to n đư ợ c q u a n tâm n h iều hơ n c ả C c k h i n iệ m p h é p tín h vi p h â n , tíc h p h â n tro n g g iải tíc h c ổ đ iể n đ ợ c x ây d ự n g lại v n g h iê n c ứ u m ộ t c ch có h ệ th ố n g (x e m [1] [2] [3 [4]) T rê n c sở đ ó n h ữ n g n g h iê n c ứ u c b ả n c ủ a lý th u y ế t đ ịn h tín h củ a p h n g trìn h vi p h â n v p h n g trìn h sai p h â n đ ợ c trìn h b y lại d i d n g tổ n g q u t p h ù h ợ p c h o p h n g trìn h vi p h â n lẫn sai p h â n v có th ể đ ú n g c h o n h ữ n g m h ìn h rời rạc trê n n h ữ n g m iề n x c đ ịn h tổ n g q u t h n c ủ a tập h ợ p R , đ ó th a n g th i g ian b ất kì T, tứ c m ộ t tậ p đ ó n g n o đ ó c ù a R T ro n g đề tài Q T - 07 - 01 c h u o n g c h ú n g tơi trìn h b ày m ộ t c c h sơ lư ợ c n h ữ n g khái n iệm sở c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th i g ia n v đ a m ộ t số ví dụ m inh h ọ a đ iển h ìn h T iế p đ ó tro n g c h n g th ứ c h ú n g d n h c h o v iệc trìn h bày m ộ t số k ết q u ả v ề v iệ c n g h iê n c ứ u tín h ổ n địn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực tu y ế n tín h c ó n h iễ u trê n th a n g th i g ian T ro n g c h n g n ày c h ú n g tô i đ ã đ a m ộ t đ iều k iệ n đ ủ d ù n g k iể m tra tín h ổn đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực tu y ế n tín h vớ i hệ số b iế n th iê n trê n th a n g th i g ian d n g tu y ế n tin h T ro n g c h n g c u ố i k ế t q u ả n y đ ợ c m rộ n g c h o h ệ p h n g trìn h đ ộ n g lực d i d n g tổ n g q u t đ ể có th ể đ ế n cá c ứ n g d ụ n g tro n g m ô h ìn h th ự c tế T ro n g m ộ t th i g ian h ữ u h n đ ể có th ể h o n th iệ n trọ n v ẹ n n h ữ n g to án p h ứ c tạp tro n g m ộ t lĩn h v ự c m i m ộ t v iệc tư n g đ ố i k h ó N h ữ n g k êt q u ả đ t đ ợ c tro n g đề tài n y n h ữ n g p h ầ n tiế p nối liê n tụ c c ủ a m ộ t hệ th ô n g n g h iê n u c ủ a n h ó m c n g iả n g d y v sin h v iê n th u ộ c n g h n h p h n g trìn h vi p h â n trư n g Đ ại H ọ c K h o a H ọ c T ự N h iê n , Đ ại H ọ c Q u ô c G ia H N ộ i k ết h ợ p với m ộ t s ố c n b ộ g iả n g d y c c trư n g Đ ại h ọ c k h c th u ộ c T h ủ đ ô H nội P h â n đ ó n g g ó p củ a đ ề tài p h t triể n n h ữ n g k ế t q u ả c ổ đ iể n sa n g m ộ t lo ại h ìn h m ới c ủ a G iả i tích c c n g h iê n c ứ u đ â y v a có ý n g h ĩa n h ấ t đ ịn h m ặ t kh o a h ọ c đ n g th i c ũ n g g ó p p h ần q u a n trọ n g c h o lĩnh v ự c đ o tạ o tro n g trư n g Đ ại học Chương CÁC KHÁI NIỆM c SỞ I CÁC KHÁI NIỆM C BẢN CỦA GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ BẤT ĐẢNG THỨC GRONWALL-BELLMAN Trước tiên xin nhắc lại số khái niệm kết trích dẫn từ cống trình Hilger [1] tài liệu Bohner Peterson [2] Giả sử T tập đóng R ta có thang thời gian Cho t e T, ta định nghĩa tốn tử nhảy tiến (íorvvard jumper operator) : T -> T xác định sau: ơ(t) := inf{s £ T : s > t} toán tử nhảy lùi (backvvard jumper operator) p : T —> T xác định p(t ) := sup{s T : s < t} Một điểm t € T gọi điểm trù mật trái (left dense) p(t) = í điểm trù mật phải (right dense) ơ(t) — t Một điểm t e T gọi tán xạ trái p(t) < t điểm tán xạ phải ơ(t) > t Một hàm g : T —> R gọi liên tục trù mật phải (rd - continuous) g liên tục điểm trù mật phải giới hạn bẽn trái tồn hữu hạn điểm trù mật trái Lớp hàm liên tục trù mật phải biểu thị Crd{T) Hàm hạt (graininess íưnction) thang thời gian T xác định ụ,(t) := ơ(t) - t Tập T k T - {m} T có tán xạ trái lớn m T k = T sup T = oo Định nghĩa l.l(a ) (Đạo hàm A cấp một) Cho t e T k X : T -» R Nếu tồn xA(í) cho với e > 0, tồn lân cận u t thoả mãn |[x(cr(í)) - x(s)] - x A ( t ) [ ( t ) - s] ^ eịa(t) - s| với s € u ta nói x A (t) đạo hàm delta X t X khả vi delta Đ ịnh lý 1.1 Cho hàm g : T —>■R t e T Khi t (i) Nếu g khả vi t g liên tục t (ii) Nếu g liên tục t t tán xạ phải g khả vi t _ (v(t)) - g(t) s [ >~ Át) (iii) Nếu g khả vi t t điểm trù mật phải g*( t ) = Ịim g ( t) - g W /?, ta nói đạo hàm cấp hai / AA tồn nêu đạo hàm cấp / A khả vi T kỉ = ( T k)k / AA = ( / A)A : T k2 - í R Tưcmg tư ta đinh nghía đạo ham cấp cao / A" : T kn ->• = ( / A"”') A Ta qui ước / A° = / T k° = T Định nỊỉhĩa 1.2 (Định nghĩa tích phân A) Nếu G A (t) = g(t) tích phân delta Cauchy g xác định bời Ta g G Crd{T ) tích phân Cauchy Gị t ) := / fỄg ( s ) A s tồn tại, t G T thoả mãn G A(t) = g( t ) , t £ T Định nghĩa chi tiết tích phân delta xem [1] [2] Định nghĩa 1.3 Hàm p : T -» R gọi thoái lui (regressive) Lớp hàm thoái lui liên tục trù mật phải biểu thị 7z — 7Z(T) = 7Z(T,TZ) Ta biểu thị 71+ = 'R+ (T,'1V) = {p e : + ụ,(t)p(t) > 0, Ví e T } lớp hàm thoái lui dương Định lý 1.2 Nếu ta định nghĩa phép ”cộng khép kín” Tí xác định Định nghĩa 1.4 (.V ® ợ )(t) := p( t ) + g(t) + t e T (71, ) nhóm Abel Phần tử đối p(t) p (0 ■= + /x(t)p(t) Định nghĩa 1.5 Phép ”trừ khép kín” 7Z xác định (p ỡ q )(t) := p e ( G q ) Định nghĩa 1.6 (Hilger [1]) Giả sử h > số thực , ta định nghĩa iập Gh Ch sau Ch = { z e C \ z ^ - ị } h c c Trong trường hợp h = , ta ký hiệu Co = ta có z0 = Co = tập sô' phức Để dẫn đến khái niệm hàm mũ tương tự giải tích cổ điển xét số hàm sau Định nghĩa 1.7 Cho h ^ 0, ta xét phép biến đổi th : G h xác định sau ch Zh(z) \ Log { + zh), z, h > h= Log hàm logarit thông thường Định nghĩa 1.8 (Hàm mũ) Cho p G 71, ta định nghĩa hàm mũ xác định bời phép biến đổi £h(z) xác định định nchĩa 1.7 Định lý 1.3 ( Các tính chát hàm mũ) Cho p q £ 71 t r (i) e0( t s ) = Cpự t ) = 1; (ii) cp( { t ị s ) = (1 + ụự) p{ t ) ) ep{t,s): s T, (»“ > ^ b ) = ee P( M ) ; ( i v ) e p ( í , s ) = ;T ( 7^ y = ee p (s ,f); (v) ep(í,s)ep(s, r) = ep(t,r); (vi) ep(í, s)eí (í>s) = epeg(í, s); (vii) ẵ ẽ ỉ = epeọ(t ’ s )' Tiếp theo ta đưa hai công thức biến thiên số [1], tương ứng với hai phương trình động lực tuyến tính cấp Định lý 1.4 (Công thức biến thiên hàng số 1) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p G Tt, nghiệm toán Cauchy x A (t) = - p ( t ) x ( ( t ) ) + x ặ o ) = Xo /(í), t G Ĩ x € R, cho x ( t) = e - p( t , t 0)x + [ e _ p ( í , ( r ) ) / ( r ) A r Jtữ Định lý 1.5 (Công thức biến thién sỏ 2) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p £ 7Z, nghiệm tốn Cauchy x A( t ) = p ( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t 0) = Xo t £ T Xo € R, cho x ( t) = ep( t , t 0)x + í ep(t, { r ) ) f ( r ) A r J to Định lý 1.6 (Bất đảng thức Gronvvall) Cho y, f e Crd g e TZ+, g ^ Khi 2/(0 < / ( + Ị y( T )ỡ(T)AtVí e T Jto ta có y(t)^ĩ(t) +Jtữ / es ( í - ( r ) ) / ( T ) p ( r ) A r V í € r Định lý 1.7 (Bất đảng thức Becnuli) Cho Q e R~ ea {t, s) ^ ì + a ( t - s), Ví ^ s II CÁC v í DỤ VÀ ỨNG DỤNG Ví d ụ 1.1 Cho h > T — h z = { h k : k e Z } Khi với t E T , ta có ơ(t) = inf{s £ T : s > t} = inf{í 4- nh,Ti e X } = t + h p(t) = t - h Hàm hạt //(f) = ơ(t) - t = h hàm hăng Ví du 1.2 Cho a,b > xét thang thời gian P(ì,b = q[/t(ũ + 6), Ả,'(ữ + ò) + o! K h i Ịt, t e U^L0[k(a + b),k(a + b) + a) + b, t e u ^L0{k(a + b) 4- a} (2 ) = / ° ’ 1^6, t e u ^ =0[k{a + b),k{a + b) + a) t G U^=q{/l(q + 6) + ữ} Ví dụ 1.3 Xét mạch điện đơn giản với điện trở R, cuộn cảm L điện dung c Giả sử ta thay đổi điện dung tuần hoàn theo đơn vị thời gian > Khi với thang thời gian Pl-6,6 — UjtỄ/v0[^> 4- — ổ] Gọi Q(t) tổng điện dung và/(í) cường độ thời mạch thời điểm t Khi t € u k€N{k — 5} bQ(t), /, othervuhise 7A fí) Í°1 \ — t e u keN{ k - S } — £Ỉ(t ) , otheruuhise b số thoả mãn —1 < bỗ < Ví dụ 1.4 Cho q > qz ;= {qk : k € z}, q2 := qz u {0} Xét thang thời gian T = qz Ta có ơ(t) = inf{ợu : n G [ra + 1, oo)} = qm+1 = qqm — qt Do ta có ơ(t) — qt p(t) — w E T Và fi(t) = ơ(t) - t = (q - 1)t, Cho hàm / : T —> R, ta có - f ^ t ) - / ( Ể) f &( f \ J u Ví e T Ịi(t) (q-l)t Ví e T \ {0} ’ DANG DINH CHAU A N D N G U YEN BUI CUONG w here M \ - M M o, M = C M q B y sim ilar arg u m e n ts as [6] W e have, ||y (í) _ * ( í ) | | < ! + ! + ! = e T h is m ea n s t h a t lim \\y{t) - x(t)\\ = t-H X S tep 2: a ssu m e t h a t x ( t ) is th e so lu tio n of E q.(2.4), for each suíĩiciently large s > 0, x (s) £ E P u t oo y{s) = x ( s ) - J V ( s - r ) / ( r , y ( r ) ) d By th e m e th o d of successive a p p ro x im atio n s, we c a n find y(s), th a t satisíìes th e above co n d itio n L e t : yo(s) = x ( s ) oo y i(s ) = x (s ) - J V { s - T ) f ( T , y 0(T))dT Let y( t ) b e a so lu tio n of E q.(2.3) as follows: y (í) = T ( t - s ) y ( s ) + [ T { t - s ) / ( r , y ( r + 6) dT\ t > s, J0 T herefore, oo - J ||y ( í ) - * ( l l = í V { t - r)ỉ{T,y(T))dT + J T ( t - T ) f ( T , y { T + ỡ) ) dr 3 oo - J V{t - t ) ( / ( t , y ( r )) - / ( r , y(T + 0)))dr = oo í - J V ( í - r ) / ( r , y ( r + ớ))dr + Ị T(t - r ) / ( r , y ( r + 0))dr s í T hus oo llĩ/(0 t oc (011 < C / g { r ) d t + M i J e w(í T)ỡ ( r ) d r + M J g { ỵ ) d t , Ví > s, t T h e re s t of th e p ro o f ru n s as ste p 1, we have: ||ĩ/(í) - x ( í) || < £ C o n se q u e n tly lim ||t/( í ) - x(í)|| = t-* o c T h e th e o re m is proved □ 2007 A S Y M P T O T IC B E H A V IO R O F D E L A Y D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N S T h e follow ing is a re s ta te m e n t a n d g en eralizatio n of th e Levinson T heorem of [[6 13]] concerning a s y m p to tic equivalence of th e linear differential eq u atio n s w ith tim e delay C o r o l l a r y Eq (2.3) a n d E q.(2.4) are a sy m p to tic ally equivalent if One of following conditions is satisfied: i): (T(í))t >0 is a eventually compact, bounded uniíịrmly Co Semigoup ii): X = FP a n d ( T ( t ) ) t >0 is a uniform ly b o u n d e d Co Sem igoup (L evinson’stheorem ) C o r o l la r y S u p p o se t h a t X = H , H is H ilb ert spase an d A is com pact ,self- ad jo in t linear o p e to r in H ilb e rt sp ace H If all solutions of E q (2 )) are bounded, th e n Eq.(2.3) and E q.(2.4) a re a sy m p to tic a lly equivalent 2.2 The asym p totic equivalence o f linear delay diíĩerence equations under nonlinear perturbation in Banach space In the Banach sapce E , we cosider two d iẩeren ce eq u a tio n : u(k + 1) = Au(k) (2.6) v(k + ) = Av(k) + f ( k , v(k)) (2.7) W here u ( ) , v ( ) £ E , A E L ( E ) , th e íu n ctio n f ( k , u ( k ) ) satifies th e following conditions: ||/(/c ,ií)|| ^ /i(Ả:) 11?/11, Vu e E , k e N* (2.8) and th e íu n tio n h ( k ) satiíỉes: oo h( k) ^ L < oo k=0 D enote by T ( k ) = A k, k N It is easily seen th a t (T (n ) ) neyv is th e sem igroup and u( n) — u ( n o ) T ( n — no) is th e solu tio n of e q u a tio n ( 6) T h ereío re ( T ( n ) ) n£Nisth e discrete d y n a m ic sy ste m of diíĩerence e q u a tio n (2.6) B y rec u rre n t m eth o d , th e solution of E q.(2.7) w ith th e in tia l co n d itio n v(0) = v0 can be w ritte n in th e form: { v { k ) = T { k - m ) u m 4\ ^2 T(k - v(l - 1)); k > m + , /= m + l [ v ( k ) = q ũ i = .771 T h e o r e m I f \ \ T ( n ) \ \ ^ M , Vn G N then the null solution v ( k) = o f E q (2 7) is u n iỊo rm ly stable // IIT ( n )II = then the null solu tio n v ( k ) = o f E q (2 ) is uniỊorm ỉy exp o n en tia l stable D e f in i t io n E q (2 ) a n d E q.(2.7) are said to be asy m p to tic ally eq uivalent if for every so lu tio n u ( n ) of E q (2 ), th e re is a so lu tio n v ( n) of E q.(2.7) such th a t: lim ||u (n ) - f ( n ) || = 0, (2.9) n —>+oo an d conversely for each so lu tio n v( n) of E q.(2.7) th e re is a solu tio n u ( n ) of Eq (2.6) such th a t (2.9) holds Theorem 2.8 Suppose that there are positive constants M, c, cư and a projector p : E E su ch that: (a): \\T(n)P\\ < M e ~ ^ nJ o r all n e z + , ( b ) : \ \ T ( n ) { ì - P ) || < C , f o r all n z D A N G D IN H C H A U A N D N G Ư Y E N B U I C U O N G T hen E q (2 ) and E q (2 ) are asym pto tically equivalent ProoỊ Put U ( n ) = T{n)P, V ( n ) = T { n ) { I - P) th ere íị re T ( n ) = U{n) + V ( n ) T hen T ( n - k ) V ( k - p ) = T (n - k ) T { k - p ) ự - p ) = V(n-p), Vn,k,p£Z A nalysis sim ila r to t h a t in th e p ro o í of theorem 2.1 show th a t: S tep 1: A ssum e t h a t v ( n ) is th e so lu tio n of E q.(2.7), for each sĩìciently large no > 0, v ( n 0) e E we set V ( n - l ) f ( l , v ( l - )) u ( n 0) = v { n 0) + /=flo+l T herefore, th e so lu tio n of E q.(2.6) an d E q.(2.7) can be w ritte n in th e form: u{ n) = T ( n — n 0) u ( n 0) = T ( n - n 0) v ( n 0) + v (n ~ /ơ > v (l ~ !))• /=no+l k v ( n ) = T ( n - n 0) v ( n 0) + ^ T ( n - v(ỉ - 1)); n > no, Z = lo + l C onsequently oo |M n ) -ix ( n ) || = Y , | | - V (n -l)f(l,v (l-\-m )) /=n 0"f"l + £ T (n-l)ỉ(l,v(l-ì))\ /= n o + l By th e o re m 2.6, ex it n u m b e r Mo such th a t: \\u(n)\\ < M 0, v n > Hence, ||u (n ) — u (n )|| ^ 2M \ e u^ n ^ h(l) + Z=710+1 h{l) V n > no, n w here M ị = M M o , M = CM q B y sim ilar a rg u m e n ts as [6] V f > ( < oo W e have, ||y (t) - x ( í) || < I + I + I = e( for each sufficiently large Tỉ) ổ ổ ổ T his m ea n s t h a t lim \\v(t) - tí(í)|| = 2007 A S Y M P T O T IC B E H A V IO R O F D E L A Y D IF F E R E N T IA L E Q U A T IO N S S tep 2: assu m e t h a t u ( t ) 1S th e so lu tio n of E q.(2.6), for each sR ciently large ĩio > u(nị) E P u t v ( n 0) = u ( n 0) - — )) V(n0 — /=no+l By successive ap p ro x im atio n s, we o b ta in v ( n o), th a t satisíỉes th e above condition Let v ( n) b e a so lu tio n of E q.(2.7) as follows: k ^ v ( n ) — T ( n — no)v(no) + T ( n — l ) f ( l , v ( l — ỉ — m ))-,n > ĩio l=n0+l T herịre, ||u ( n ) - « ( n ) || = - V ( n - l ) f ( l , v ( l - ì - m)) V ( n - Z )/( ỉ,v ( ỉ- l) ) + Í= + - Ễ i= n o + l è V(n-l)f(l,v(l-l-m))+ ỉ=no+l r(*-0/M (ỉ-l-m )) í=no+l Thus oo ||» (í)-x (í)ll< C ] n ầ (0 + M , l=TM)Jr1 £ oo e - " ( ” - '> A (() + A / j Ỉ=TIQ-f-1 £ gự), Vn > n „, 1=TĨQ4"1 T he rest of th e p ro o f ru n s as step , we have: ||v (n ) — u ( n )II < £ C o nsequently lim ||f( n ) — Ii(n )|| = t-y o o The theorem is proved □ C o r o l l a r y E q (2.6) a n d E q.(2.7) are a sy m p to tically equivalent if One of following c o n d itio n s is satisíỉed : i): ( T ( n ) ) n(ỊR is a ev e n tu a lly c o m p a c t, b o u n d e d uniíbrm ly Co Sem igoup i i ) : X = R n a n d ( T ( n ))„e0 is a un iío rm ly b o u n d ed Co Sem igoup (L evinson’s theorem ) ProoỊ see [6] □ C o r o l l a r y S uppose th a t A G L { E ) is com pact If all so lu tio n s of E q.(2.6)) are b o u n d e d , th e n E q (2 ) a n d E q (2 ) are asy m p to tic ally equivalent C o r o l l a r y 1 S uppose t h a t A e L ( R n ) If all solutions of E q (2 )) are b o u nded, th e n E q (2 ) a n d E q.(2.7) are a sy m p to tic a lly equivalent C o r o l l a r y 2 S u p p o se t h a t E = H , H is H ilbert spase an d A is c o m p a c t, self- a d jo in t linear o p e to r in H ilb e rt space H If all so lu tio n s of E q.(2.6)) are b o u n d e d , th e n Eq.(2.6) an d E q (2 ) a re a sy m p to tic a lly equivalent Thanks 2.13 The paper supported bv -07-01 DANG D IN H C H A U R [1] K G V a le e v , O A R a o u t u k o v , A n m a -A ta 1974 AND NGUYEN BUI CUONG e fe r e n c e s Infinite system of diffirential equations, S c ie n tis p u b l is h in g h o u s e [2] K l a u s - J o c h e n E n g e l , R a i n e r N a g e l, One-parametter Semigroups fo r Linear Evolution Equations, S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k B e r lin L o n d o n P a r i s T o k y o H o n g k o n g B a r c e lo n a H e id e lb e r g M ila n S in ­ g a p o re , 2000 [3] A P A Z Y , Sem igroups o f linear V e r la g N e w Y o r k I n c ,1 [4] C o o k e K L ,1 , operators and applications to partial diffirential equations, S p r in g e r - A sym ptotic theory Ịo r the delay- differential equations J M a t h A n a l y s i s a n d A p p l ,1 ,1 -1 Nonlinear dynamics and stability of analog neural netivorks, P h y s i c a D , 51 ( 9 ) ,p p -2 [6] D a n g D i n h C h a u On the asym ptotic equivalence of linear diffìrential equations in Banach spaces, [5] C M M a c r c u s , F R W a u g h , a n d R M , W e s te v e lt, A c t a M a t h e m a t i c a V i e t n a m i c a V o lu m e 31 N u m b e r -2 0 ,p p -3 A sem igroup - approach to the strong ergodic theorem of the m ultistate stable population process M a t h e m a t i c a l P o p u l a t i o n S t u d i e s , ( 8 ) ,V o l.1 (1 ) [8] H I n a b a , A sym p to tic properties o f the inhomogeneuos Lotka - von Foerster system M a t h e m a t i c a l [7] H I n a b a , P o p u l a t i o n S t u d i e s , ( 8 ) ,V o l.1 (3 ) On the problem of asymptotic equivalence of ordinary diffirential equation, I t a l , J P u r e A p p l M a t h ( 9 ), p -7 [10] E V V o s k o r e s e n s k i, A sym p to tic equivalence of system s of differential equations , R e s o f m a t h e m a t i c [9] G E l e u t h e r i a d i s , M B o u d o u r i d e s , Science N (1 ) 245 [11] K a t o J ,1 9 , The asym ptotic equivalence of /unctional differential equations, J d i íĩ e r e n t ia l E q u a t ,3 , -3 [12] N g u y e n T h e H o a n , , A sym ptotic equivalence o f system s of differential equations, I Z V A c a d N a u k A S S R N , -4 ( R u s s ia n ) [13] N L e v in s o n , ( ) , The asym ptotic behavior of system s of linear d.ifferental equations A m e r J M a t h , , p - [14] Y o s h iy u k i H in o , S a t o r u M u r a k a m i , T o s h ik i N a i to ,N g u y e n V a n M in h , A vanation of constants Ịormula Ịo r abstract Ịunctional differential equations in the phase spaces (2 0 ) [15] M S v e c , Itegral and asym ptotic equivelence of two system s of diffrential equations, E q u a d i ẩ P r o c e e d in g s o f t h e f i f th C z e c h o s lo v a k c o n e c e o n d if f ir e n tia l e q u a t i o n s a n d T h e i r A p p l i c a t io n h e ld in B r a t i s l a v a , T e u b n e r , L e ip z ig , , p -3 [16] C h o i k y u S u n g , H o e G o o Y o o n , J i p K o o N a m Asym ptotic equivalence between to linear diffirentia.l system s, A n n D if f e r E q u a t i o n , (1 9 ), 4 -5 D ang D in h C h a u a n d N guyen Bui C uong D e p a rtm e n t of M a th e m a tic s , M echanics a n d In íb rm atics, College of Science, V iệt N am N atio n al U niversity, H Nội, V iệ t N am E -m ail a d d ress: ch a u d d @ v n u ed u E -m ail a d d ress: nguyen_buicuong@ yahoo.com D epartment V ietnam of M athematics, H anoi U niversity of S cience , 334 N guyên T rai, H anoi, O N S U F F I C I E N T C O N D IT IO N S F O R E X P O N E N T IA L S T A B IL IT Y O F L I N E A R D Y N A M I C E Q U A T IO N S O N T IM E SC A L E S D A N G D IN H C H A U A N D N G Ư Y E N N G O C H U Y A b s t r a c t C o n sid er th elin ea r d y n a m ic e q u a tio n s on tim e scales : x A {t) = A(t)x(t) + f ( t , x ) , t e [io,oo)T ( ) = {t e r : < í0 o < o c } „ x{.) e R n; A{.) e Crd{T, M n (R)), ỉ '■[to ° ° ) t x R n -+ R n , T is a t i m e c a le s In t h i s p a p e r , w e w ill i n v e s ti g a te s o m e r e s u l ts w h e r e [í0 , o o ) r fo r s t a b i l i t y o f d y n a m i c e q u a t i o n s ( l ) , b e s id e s w e w ill g iv e s o m e e x a m p le s fo r a p p li c a t e d m odel Keywords: Time scales, exponential stability, linear dynamic equations IN T R O D U C T IO N Let R n is th e n - dim en sio n al E uclidean vector space and T is a tim e scale C onsider the d y n am ic in itia l value problem x A (t) = A ( t ) x ( t ) + f ( t , x ) , t e [to, o o )r where [ío ,o o )r = {t e T : < to ^ (1) t < oo}„ x (.) G R n \ A{.) e C rd(T, M n {R)), f : [í0, oo)^ X R n —> R n, /( í, 0) = We assume throughout that solutions of initial value problem for ( ) is u n iq u e a n d exists on th e w hole tim e scales interval [ío,°o):r We recall t h a t as a th o ro u g h t in tro d u c tio n in to dy n am ic eq u atio n s on tim e scales we refer to th e p a p e r C h ristia n P otzsche [5] or th e m o n o g rap h B ohner an d P eterson Ịl) For í € T , we deíỉne th e forw ard ju m p o p e to r s : T —> T by ỗ(t) := in f{s G T : s > t} while th e b ack w ard ju m p o p e to r p : T —> T is deíỉned by p(t) := su p { s Ễ Ĩ : s < t } In th is d e fin ito n we p u t in f = s u p T (i.e., ô(t) = t if T has a m axim um t) a n d s u p = in f T , w here d e n o te s th e e m p ty set A p o in t t e T is dìned to be left-dense if p(t) = t a n d t > inf T, an d is rig h t-d en se if ơ[t) = t a n d t < s u p T , a n d is left-sc attere d if p(t) < t a n d is rig h t-sc a tte re d if ơ{t) > t P o in ts a re rig h t-s c a tte re d a n d left-sc attere d a t th e sam e tim e are called isolated A fu n ctio n g : T - » R is said to be rig h t-d en se continuous (rd - continuous) if g is co n tin u o u s a t rig h t-d e n se p o in ts a n d a t left-dense p o in ts in T , left han d lim its exist and are íỉn ite T h e se t of all such rd - tin u o u s is d e n o te d by Crd(T) T h e g rain in ess íu n c tio n n for T is dìned by Ịiự ) := ơ( t ) - t D efine T k is T - { m } if T h as a le ft-sc a tte re d m ax im u m m otherw ise T k = T if s u p T = oo Date: 0 T h e p a p e r s u p p o r t e d b y P r o j e t Q T - -0 D e f i n i t i o n 1 DANG D IN H C H A U AND NGUYEN NGOC HUY F ix t G T k a n d let X : T -> R Deíỉne x A (t) to be th e n u m b er (if it exists) with the property that given any € > 0, there is a neighborhood u of t with \ [x(ơ(t)) - x(s)] - x A (t)[ơ(t) - s } ^ e\ơ(t) - s\ for all s u In th is case, we say x ^ ( t ) is th e d e lta derivative of X a t t and X is d e lta differentiable a t t D e í ỉ n i t i o n If G A ( t ) = g(t) th e n th e C auchy (delta) integral of g is defined by g ( s ) A s := G( t ) — G(a) It c a n b e show n t h a t if g e C rd( T ) th e n C auchy integral G( t ) := j Ị g ( s ) A s exists, t e T and satisfies G A (t) = g ( t ) , t € T For a m o re g en eral deíỉn itio n of th e d e lta integral see [1 ] T h e o ry o f s ta b ility of dy n am ic e q u a tio n on tim e scales is an are a of m ath em atics, th a t has re c e n tly received a lot of a tte n tio n s A nd alm ost of the results involve th e th e second m eth o d of L y ap u n o v (in case the rig h t-h a n d side of (1) is nonlinear) In th is p a p e r we shall use th e íìrs t a p p ro x im a te ly m eth o d of L yapunov to establish some suíĩỉcient conditions for e x p o n e n tia l s ta b ility of triv ia l solutions of ( ) We note th a t in recently tim e, th ere have b e e n m a n y p a p e rs w hich concern to this problem (see [1, 2,3, 4,5,6]) M A I N R E S U L T S T h e íỉrs t we consider th e relatio n sh ip betw een th e ex p onential sta b ility of dynam ic e q u a tio n ( ) a n d th e tim e-varying linear hom ogeneous d y nam ic eq u atio n x A (t) = A ( t ) x ( t ) , t e [t0, oo)T (2) w here x ( ) e R n ; A{ ) C r d ( T , M„ ( R ) ) N ext, we p re se n t suíR cient co nditions for ex p onential sta b ility of solutions of (1) : We d e n o te ộ{t ) — 0, th ere is a ỗ = ổ (to, e) > such t h a t if ||x 0|| < ỏ th e n ||x (í, t 0, Xoll < e for all t G [ío ,° ° )rT h e triv ia l so lu tio n of (1) is a sy m p to tic ally sta b le on [í0,o o ) r if it is stab le on [í0,o o ) r and th e re is a ỏ = (to) > such th a t if ||x 0|| < ổ th e n lim |Ịx(í, t 0, Xoll = T h e triv ia l so lu tio n of (1) is ex p o n en tially sta b le on [ío, o o )r th ere e x ist p o sitiv e n u m b ers K — K ( t o ) , ỗ = S(to) such th a t 't is sta b le on [ío, oo):r an(í If K d o e s n ’t d e p e n d on í 0, th e n we say t h a t th e triv ia l so lu tio n is uniíbrm ly exp o n en tially sta b le on [ío, oo ) t In th e follow ng we a ssu m e th a t a i) T h e re is a íu n c tio n g : T —> R + such th a t \\f(s,x(s)\\ ^ g( s ) \ \ x( s ) \ \ yt e [0,oc)T w here g ho ld M H ± g í f M f H A s < +OQ, Vs Ễ [0, oc ) t 2007 S T A B IL IT Y O F D Y N A M IC E Q U A T IO N S O N T IM E S C A L E S a2) 4- ụ.(t)A(t) is invertible, Ví G T D enote: S c Ợ ) := {A € c\ lim sup — r lim fa|1+sA|Ai < 0} T->õo T — t Jt0 3~*n(t) s Similarly as in [4],we have following theorem : Theorem 1.1: Let c o nditions a l t and Oi hoỉd fo r (1) and K > 0, 3(5 e S c ( T ) such that ||< ta ( í,s ) Ị| < K e x[t~s\ V í, € [ , o o ) r Then the trivial solution of (1) is exponentially stable on [ f , c x j ) t ’ ProoỊ We have x ( t ) = ỘA{t, )x o + [ ỘAÌt, ( s ) ) f ( s , x ( s ) ) A s J0 P u t a l — eM, we have: ||x (í)|| ^ K ữ *llxoll + K [ a 0, we o b ta in U x íO IK K ilM e -" DANG D IN H CHAU AND NGUYEN NGOC HUY By using m e th o d of regressive,w e calle show th a t triv ial solution x ( t ) = of (1) is nentially stable T he p ro o f is com plete N ext, we consider x A (t) = A { t ) x ( t ) f t e [ 0,o o ) r [đ) x (0 ) = xo We assum e t h a t as) A (t) is a g -L ipschitzian, th ere is a function g : T -* R + such th a t IIA{ t ) - A(8)\\ ^ g{\\t - s ||), Ví, s e [0, o o ) t where g holds ln[\l +g(s)f ỉ {s)\ ] s < +oo n(s) íJ 0' Sim ilarly as in [4], we can prove th e following results: C o r o lla r y : Let conditions (d i) a n d (ũs) hold f o r (3) and 3K > 0, 3(5 G S c ( T ) such that U Ao( t , s ) \ \ ^ K e ^ - s\ V í,s G [0,o o ) r wher A — >1(0) T h e n the trivial solution o f (3) is exponentially stable OTÌ T hanks T h e p a p e r su p p o rte d by P ro je t Q T - 07-01 [í0, o o ) r 2007 S T A B IL IT Y O F D Y N A M IC E Q U A T IO N S O N T IM E S C A L E S REFERENCES [1 ] S.H ilger, A nalysis o n m easu re chain s - a unified a p p ro ach to continuous a n d discrete calculus, R e su lts M a th , 18 (1990) 19-56 [2] M B ohner a n d A P e te rso n , D y n am ic e q u a tio n on tim e scales: A n in tro d u c tio n w ith applications, B irk h au se r, B oston, 2001 [3] B K ay m ak acalan , V L a k sh m ik a n th a m a n d s Sivasundaram , D ynam ic System s on M easure C h ain s (K luw er, D o rd rech t, 1996) [4] R p A garw al, diíĩerence eq u a tio n s a n d inequalities, M arcel D ekker Inc., New York, 1992 [5] B Aulback and s Hilger, Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale, in nonlinear d y n am ics a n d q u a n tu m d y n am ical system s, G A Leonov, V R eitm an n , w T iim nerm aim , ed., M a th e m a tic a l R esearch Bd 59, A kadem ie-V erlag, Berlin, 1971 3rd edition [6] C h ristia n P o tzsch e, S tefan Siegm und an d F abian W irth , A S p ectral C h a cte riz atio n of E x p o n en tial S ta b ility for L inear T im e -In v a ria n t System s on T im e Scales, 2000 M athem atics S u b je c t C lassiíìcatio n , 1-26 [7] F.W ong, C h e h -C h i Yeh a n d C h en -H u an g Hong, G ronw all inequalities on tim e scales, M ath Inequal A ppl., (2006), 75-86 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G ĐẠĨ H Ọ C K H O A H Ọ C TỤ NH IÊN N guyễn Bùi C u o n g SỬ D Ụ N G PH Ư O N G PH ÁP X ÁP x ỉ T H Ú N H Á T CỦA LY A PU N O V ! V À O V IỆ C N G H IÊ N C Ứ U D Á N G Đ IỆ L T IỆ M C Ặ N N G H IỆ M C Ủ A I C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H Â N C Ó CH.V.VI V À Ứ N G D Ụ N G (T R O N G M Ổ H ÌN H D Â N S Ô P H Ụ T H U Ộ C V Ả O T U Ớ I ) i I C huyên ngành : P hưong trình vi phân tích phân M ã số : 1.01.02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ KH OA HỌC NG Ư Ờ I H Ư ỚN G DẢN KHOA H Ọ C : PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2007 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N T rầ n Thị H P h n g S Ử D Ụ N G P H Ư Ơ N G P H Á P H À M L Y A P U N O V Đ Ể NG HIÊN c ú V D Á N G Đ IỆ U T IỆ M C Ậ N N G H I Ệ M C Ủ A C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H Â N T R O N G K H Ô N G G I A N H I L B E R T C h u y ê n n g n h : T o n G iả i tíc h M ã s ố : 604601 i ' " ■ ••• I L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ K H O A HỌC N gười hư ớng dẫn khoa học P G S T S Đ ặ n g Đ in h C h â u Hà Nội - 2007 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỒNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN KHOA TOAN - C - TIN HỌC NGUYỄN NGỌC HUY T ÍN H Ổ N Đ ỊN H VÀ Ổ n Đ ỊN H H O Á CỦA HỆ Đ Ộ N G L ự c T R Ê N T H A N G T H Ờ I G IA N K H O Á LUẬN T Ố T N G H IỆ P NGÀNH TỐN TIN KHỐ: 2003-2007 HỆ: CHÍNH QUY GIÁO VIÊN HƯỚNG DẨN : PGS.TS ĐẬNG ĐÌNH CHÂU H À N Ộ I -2 0 SCIENTIFIC PRO JECT BRANCH: MATHEMATICs PROJECT CATEGORY: NATIONAL Titỉe: The Stability o f Dynam ic Equations on Time Scale Project’s code: QT- 07-01 Managing Institution: Hanoi National University Im plem enting In stitu tio n : University of Science , Hanoi National University Coordinator: Ass Prof Dr Dang Dinh Chau Key Implementators: Dr Dang Dinh Chau, Dr Nguyen Thieu Huy, M S c L e H u y T ie n , M S c N g u y e n B ui C uong, Bc N g u y e n N g o e H u y D u ration : from 2007 to 2008 B u d g e t: T h e P ro je c t w as íin a n c ia lly su p p o rted by the V N U H vvith a to ta l g r a n t o f 0 0 0 V N D fo r years M ain R esults: In this report, the main result consist of the following p ro b le m s: - W e c o n s id e r th e sta b ility o f the lin e r D y n a m ic E q u a tio n s on T im e Scale an d th e vveakly n o n lin e r D y n a m ic E q u a tio n s o n T im e - W e g iv e s o m e e x a m p le s fo r ap p lic atio n o f this resu lst to the a p p lic atio n m o d e ls a R e s e a rc h a c tiv itie s : O n íin is h in g th e P ro je c t Q T -0 , w e o b tain e d th e fo llo w in g sc ie n tiíic p ro d u c e s: a rtic le s h a v e b e e n a c c e p te d fo r p u b lic a tio n s and s c ie n tiĩic report is p re s e n te d in th e s c ie n tiíic c o n fe re n c e o f M a th e m a tic s , V ie tN a m (A b g u st, 0 ) b T r a i n in g a c tiv itie s M a n y s tu d e n ts h a v e b e e n vvorking in th e d ire c tio n o f the P roject Q T -0 T w o o f th e m o b ta in e d the m a s te r ’s d e g re e and s u b m itte d s c ie n tiíic th e sis one stu d e n t is c o m p le te d and Tóm tát kết nghiên cứu: Sau m ột năm triển khai nghiên cứu đề tài chúng tơi hồn thành k ế hoạch nghiên cứu theo để cương đăng ký: V iết gửi đăng báo khoa h ọ c ,l baoc cáo hội nghị khoa học toàn quốc 2008 hoàn thành việc đào tạo thạc sỹ m ột cử nhân toán học Các kết nghiên cứu khoa học điều kiện đủ cho tính ổn định m ũ phương trình động lưc tuyến tính vói nhiễu phi tuyến tên thang thời gian Chỉ khả ap dụng kết nhận cho mô hình ứng dụng Kiến nghị qui mơ đối tượng áp dụng nghiên cứu : Đề tài nghiên cứu theo hướng nghiên cứu phát triển, kết nhận tiền đề cho nghiên cứu để nghị tạo điều kiện để tiếp tục sâu nghiên cứu hoàn thiện kết nhận Ngoài vấn đề triển khai tiếp tục nghiên cứu ứng dụng vào lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác, chẳng hạn lý thuyết xử lý túi hiệu số tốn m trường tốn lớn cần có thời gian dài m rơng hợp tác với cộng khoa học khác Thủ trưởng quan chủ trì đề tài K /T Chủ nhiệm đề tài Họ tên Đ ặng Đ ình Châu H ọc hàm học vị PGS TS Chủ tịch hội đồng đánh giá thức Ọú /Ịỹử.yÁ '1/ V Thủ trưởng quan quản lý đề tài ĩ TL.GIÂM Đ Ố C rcuỞNGE AN KHOA HỌC - CỎNG ÍG HIẼU T^ƯỎNC K ý tên, đóng dấu U jM /e ^ Đ Ạ i H c c i _ HỌC Ị 11 ir HIÊN Ợ V TU - » / ịí • V > v’ ,r *•* " lì _ % r PGS.TSKH k n /% ... conditỉons for exponentỉal stability of linear dynamic equations on time scales Journal of: V N U Jo u l o f Science, M athem atics - Physics Abstract: Consider the linear dynamic equation on. .. iaracterization of Exponential Stability for Linear Time-Invariant Systems on Time Scales, 2000 Mathematics Subject Classification, 1-26 [7] F.Wong, Cheh-Chi Yeh and Chen-H uang Hong, Gronvvall inequalities... A Peterson, D ynam ic equation on tim e scales: A n introduction with applications, Birkhauser, Boston, 2001 [3] B Kaymakacalan, V Lakshmikantham and s Sivasundaram, Dynamic Systems on Measure