Xây dựng hệ phương trình động lực học hệ tay máy có khâu đàn hồi

28 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K1- 2017 Xây dựng hệ phương trình động lực học hệ tay máy có khâu đàn hồi Dương Xuân Biên1, Chu Anh Mỳ1, Phan Bùi Khơi2 Tóm tắt— Bài báo trình bày việc nghiên cứu mơ hình tổng qt xây dựng hệ phương trình động lực học hệ tay máy hai khâu chuyển động mặt phẳng nằm ngang có kể đến ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi Mô hình động lực học xem xét sát với thực tế việc thêm vào yếu tố tải trọng, ma sát đàn hồi, khối lượng mô men qn tính động dẫn động,…Hệ phương trình động lực học xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn sở cách tiếp cận Lagrange Ứng xử động lực học hệ có tải xem xét đến với ví dụ mơ cụ thể Kết báo sử dụng làm sở để nghiên cứu hệ điều khiển nhằm nâng cao độ xác định vị tay máy ảnh hưởng yếu tố đàn hồi khâu Từ khóa— động lực học tay máy, khâu đàn hồi, phần tử hữu hạn [4] Tuy nhiên, mô hình tốn học cơng trình chưa đầy đủ, chưa tổng qt hóa tính chất phức tạp hệ thống Hầu hết chưa kể đến ảnh hưởng ma sát biến dạng đàn hồi, tính chất cản trở mơi trường, mơ men qn tính động … Do đó, ứng xử động lực học hệ thống chưa thể rõ chất Bài báo tập trung giải hạn chế nêu với việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với cách tiếp cận Langrange để xây dựng mơ hình hệ phương trình động lực học tổng quát cho tay máy có hai khâu đàn hồi NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Mơ hình tốn học Xét mơ hình tay máy có hai khâu đàn hồi chuyển động mặt phẳng ngang hình 1 ĐẶT VẤN ĐỀ T rong kỹ thuật robot truyền thống, toán động lực học tay máy thường tiếp cận theo hướng hệ nhiều vật, khâu coi cứng vững tuyệt đối, bỏ qua biến dạng đàn hồi Các khâu thường có kích thước lớn nên cồng kềnh, nặng nề, phản ứng chậm, tốn lượng Xu hướng sử dụng tay máy có khâu đàn hồi (flexible links) xuất vài thập kỷ gần giúp khắc phục nhược điểm trên, lại nảy sinh vấn đề ổn định, xác vị trí vận tốc…Để giải tốt vấn đề cần phải xây dựng mơ hình động lực học sát với thực tế tốt Đối với hệ tay máy có hai khâu đàn hồi, đã có nhiều cơng trình cơng bố với cách tiếp cận nghiên cứu khác phương pháp giả định trạng thái (AMM-Assumed Modes Method) [1], phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method-FEM) [2, 3] hay Newton-Euler Bài nhận ngày 30 tháng năm 2016, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 27 tháng 02 năm 2017 Dương Xuân Biên, Chu Anh Mỳ - Học viện Kỹ thuật Quân (e-mail: xuanbien82@yahoo.com) Phan Bùi Khôi – Đại học Bách Khoa Hà Nội Hình Mơ hình tay máy hai khâu có kể đến chuyển vị đàn hồi Trong đó: XOY : hệ quy chiếu cố định; X i OiYi : hệ quy chiếu gắn với khâu thứ i ; i , qi : mô men truyền động góc khớp khớp thứ i ; rij , rik , ri : véc tơ xác định từ gốc khâu i đến phần tử thứ j , k đến điểm cuối khâu i ; r0i : véc tơ xác định từ gốc O đến điểm cuối khâu i ; i (kg / m ); Ei ( N / m ); I i (m ) : khối lượng riêng, mô đun đàn hồi mơ men qn tính mặt cắt ngang khâu thứ i ; Li (m); hi (m); bi (m); Ai (m2 ) : 29 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K1-2017 chiều dài, bề dày, bề rộng diện tích mặt cắt ngang khâu thứ i ; I hi (kg.m2 ), mdci (kg ) : mơ men qn tính khối lượng động thứ i ; mp (kg ), J p (kg m2 ) : khối lượng mơ men qn tính tải gắn đầu khâu 2; wj ( x j , t ); wk ( xk , t ) : tổng chuyển vị đàn hồi phần tử thứ j , k có tọa độ ( x j , y j );( xk , yk ) theo hệ tọa độ X1O1Y1 , X 2O2Y2 gắn khâu khâu so với chưa tính đến chuyển vị; i ( x j ); i ( xk ) : hàm dạng theo lý thuyết phần tử hữu hạn phần tử thứ j, k ; n2 phần tử, phần tử k có chiều dài lk Coi tiết diện mặt cắt ngang toàn chiều dài khâu không đổi giả thiết khâu có tính đồng vật liệu.Theo phương pháp phần tử hữu hạn, tổng chuyển vị đàn hồi phần tử thứ j ứng với biến q1 khâu theo hệ tọa độ X1O1Y1 [3]: w1 j ( x j , t ) Trong đó: N1 j xj N( x j ) ; Q1 j q1 Q( x j ) (x j ) Naj ( x j ), Qaj ( x j , t ), Nak ( xk ), Qak ( xk , t ) : véc tơ hàm N( x j ) dạng véc tơ chuyển vị phần tử j , k ; Q( x j ) u2 j N1 j ( x j ), N2k ( xk ) : véc tơ hàm dạng suy rộng phần tử j , k ; l j , lk (m) : chiều dài phần tử thứ j , k ; u2 j , u2 j , u2 j , u2 j : chuyển vị dài, chuyển vị góc đầu cuối phần tử thứ j ; v2k , v2k , v2k , v2k : chuyển vị dài, chuyển vị góc (1) N1 j ( x j ).Q j (t ) (x j ) u2 j u2 j (x j ) u2 j T (2) ( x j )] Tổng chuyển vị đàn hồi phần tử thứ k ứng với biến khớp q2 khâu 2: (3) w2k ( xk , t ) N2k ( xk ).Q 2k ( xk , t ) Trong : N2k L1 xk xk xk N( xk ) Q2k tử khâu i ; u1 , u2 : chuyển vị dài chuyển vị N( xk ) góc đầu khâu 1; u2 n1 , u2 n1 : chuyển vị dài Q( xk ) chuyển vị góc cuối khâu 1; v1 , v2 : chuyển vị dài Các hàm dạng N( x j ), N( xk ) xác định theo chuyển vị góc đầu khâu 2; v2 n2 , v2 n2 : q1 (t ) u2 n1 Q( x j ), Q( xk ) véc tơ chuyển vị phần tử thứ j , k ; Q1cv , Q2cv véc tơ chuyển vị khâu 1, 2; Ti , Mi , K i , Di , Qi (t ) động năng, ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản, véc tơ biến suy rộng khâu i ; Tikhau , Tdci : động đàn hồi, động truyền động khâu i; Tp1 , Ttai , Q1 (t ), Q2 (t ), Q(t ) : động khối lượng động đặt điểm cuối khâu 1, động tải đặt đầu khâu 2, véc tơ biến suy rộng khâu 1, khâu toàn hệ; Q2k , T2k , P2k , M2k , K 2k : biến suy rộng, động đàn hồi, đàn hồi, ma trận khối lượng, ma trận độ cứng phần tử thứ k khâu 2; Xét khâu có chiều dài L1 , chia khâu làm n1 phần tử, phần tử j có chiều dài l j ; khâu có chiều dài L2 , chia làm ( xk ) v2 k 2 ( xk ) v2 k v2 k q2 (t ) Q( xk ) ( xk ) v2 k (4) ( xk ) [3] Tọa độ phần tử j theo hệ tọa độ X1O1Y1 : chuyển vị dài chuyển vị góc cuối khâu Q1 j , T1 j , P1 j , M1 j , K1 j : biến suy rộng, động đàn hồi, đàn hồi, ma trận khối lượng, ma trận độ cứng phần tử thứ j khâu 1; u2 n1 T đầu cuối phần tử thứ k ; ni (i 1, 2) : số phần r1 j ( j 1)l j x j wj ( x j , t ) (5) Ma trận chuyển đổi tọa độ từ X1O1Y1 sang XOY : cos q1 sin q1 T01 (6) sin q1 cos q1 Tọa độ phần tử thứ j điểm cuối khâu theo hệ tọa độ XOY : (7) r01 j T01r j ; r01 T01r1 Tọa độ phần tử theo hệ tọa độ X 2O2Y2 : r2 k (k 1)lk xk wk ( xk , t ) (8) Ma trận chuyển đổi tọa độ từ X 2O2Y2 sang X1O1Y1 : T12 cos(q2 u2 n1 ) sin(q2 u2 n1 ) sin(q2 u2 n1 ) cos(q2 u2 n1 ) (9) Tọa độ phần tử thứ k điểm cuối khâu theo hệ tọa độ XOY : r02k T01 r1 T12r2 k ; r02 T01 r1 T12r2 (10) 30 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K1- 2017 2.2 Xây dựng hệ phương trình động lực học 2.2.1Động khâu T1 T1khau Tdc1 Tp1 lj (11) r01 j A1 Q cv Các phần tử ma trận khối lượng M1 j n1 T Q1 (t )M1khau Q1 (t ) T1 j j Q1 (t ) Với Q1cv q1 (t ) Q1cv u1 u2 r01 ( L1 , t ) ; T1 pJ t mdc 2 (13) (2n1 u2 n1 T2 pJ (14) 2 lk A2 r02 k t dxk q2 Q cv T q2 u2 n1 )2 (t ) T Q2 (t )M dc Q2 (t ) 3) (2n1 M 2khau , M dc , M tai có cỡ (2n2 * Động toàn hệ T T T1 T2 Q (t )MQ(t ) Q(t ) Ma trận khối lượng phần tử k M 2k xác định [2] Tổng động đàn hồi n2 phần tử: (24) q1 (t ) Q1cv (25) 6) (2n2 6) (26) q2 (t ) Q 2cv T Ma trận khối lượng M có cỡ m m với m 4n1 4n2 Các phần tử ma trận ghép nối theo lý thuyết PTHH 3) T Q2 k M k Q2 k (20) r2 mp ( L2 , t ) ; t J p (q1 u2 n1 q2 v2 n2 ) 2 Vậy, theo (18), động khâu 2: T T2 Q (t )M Q (t ); M M khau M dc M tai J dc (q1 u2 n1 ) 2 Như vậy, từ (11) ta có tổng động khâu 1: T T1 Q1 (t )M1Q1 (t ); M1 M1khau M dc1 M p1 (18) * Động khâu (19) T2 T2khau Tdc Ttai Động đàn hồi phần tử khâu Ta có, động phần tử thứ k : T2 k u2 n1 (21) 2 T2 pT (17) M1khau , M dc1 , M p1 có cỡ v2 n2 (22) Động tải trọng gắn đầu khâu 2: T (23) Ttai T2 pT T2 pJ Q2 (t )M tai Q2 (t ) Động chuyển động tịnh tiến quay: Động truyền động động 1 T (15) Tdc1 I h1q12 (t ) Q1 (t )M dc1Q1 (t ) 2 Động sinh khối lượng động T (16) Tp1 T1 pT T1 pJ Q1 (t )M p1Q1 (t ) T1 pT , T1 pJ động tịnh tiến quay: T1 pT v2 n2 q1 u2 n1 I h (q1 Tdc T u2 n1 v2 Động truyền động động 2: xác định theo [3] Động động đàn hồi n1 phần tử: T1khau v1 Q (t ) T Q1 j M1 j Q1 j (12) dx j t T Q (t )M khau Q (t ) T2 k k Động đàn hồi phần tử khâu Ta có, động phần tử thứ j là: T1 j n2 T2 khau 2.2.2 Tổng toàn hệ Thế toàn hệ tổng khâu Thế khâu tổng chuyển vị đàn hồi trọng trường Tuy nhiên, với hệ tay máy chuyển động mặt phẳng nằm ngang khối lượng khâu nhỏ nên trường hợp giả thiết bỏ qua trọng trường * Thế khâu Xét đàn hồi phần tử thứ j: P1 j lj E1 I1 w1 j ( x j , t ) x 2j dx j T Q1 j (t )K1 j Q1 j (t ) (27) Trong đó, ma trận độ cứng K1 j phần tử thứ j xác định theo [3] Tổng đàn hồi khâu 1: 31 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K1-2017 n1 P1 P1 j j 1 T Q1 (t )K1Q1 (t ) (28) * Thế khâu Xét đàn hồi phần tử thứ k khâu 2: P2 k lk E2 I 2 w2 k ( xk , t ) dxk xk2 T Q2 k (t )K k Q2 k (t ) (29) Ma trận K 2k xác định theo [3] Tổng đàn hồi khâu 2: n2 T (30) P2 P2 k Q2 (t )K 2Q2 (t ) k * Thế toàn hệ T (31) P P1 P2 Q (t )KQ(t ) Ma trận độ cứng tồn hệ K có cỡ M 2.2.3 Xác định ma trận cản đặc trưng Ma trận cản đặc trưng cho tính chất cản trở chuyển động kể đến ảnh hưởng ma sát (do chuyển vị đàn hồi) ma sát ngồi (cản trở mơi trường) [3]: ' ' ' ' (32) D1 1M1 1K1 ; D2 M2 2K2 Trong đó, D1 , D2 ma trận cản khâu Mi' , K i' ma trận cho khâu i theo [3] Ma trận D cỡ m m Các thông số: 1, 1, 2, hệ số tỉ lệ ứng với ma trận khối lượng ma trận độ cứng khâu xác định phương pháp thực nghiệm [3] M1khau , Mdc1 , M p1 , M1 , K1 , D1 cỡ 5x5 ma trận M2khau , Mdc , Mtai , M2 , K , D2 cỡ 8x8 Các ma trận M, K, D cỡ 10x10 Véc tơ biến suy rộng Q1 (t ) có cỡ 5x1, véc tơ Q2 (t ) cỡ 8x1và Q(t ) cỡ 10x1 Giả thiết điểm đầu khâu gắn chặt với động truyền động nên cho rằng, chuyển vị đàn hồi gốc O1 , O2 thời điểm Bỏ qua khe hở khớp gắn động Tức là: u1 0; u2 0; v1 0; v2 0; Theo lý thuyết PTHH, loại hàng cột 2, 3, 7, ma trận M, D, K Như vậy, ma trận hình thành M* , K* , D* cỡ 6x6 véc tơ tổng quát suy rộng: Q* (t ) q1 (t ) u3 F* (t ) 0 (t ) u4 q2 (t ) v3 0 (t ) v4 T T (36) Hệ phương trình động lực học hệ hai khâu đàn hồi viết lại: M*Q* (t ) D*Q* (t ) K*Q* (t ) F* (t ) Xét thông số dùng cho mơ hình: L1 0,9(m); L2 E1 E2 I1 I2 mdc mp 1,1(m); A1 7,11.1010 (kg / m ); 5, 46.10 11 (m ); I h1 0,155(kg ); J dc 0, 05(kg ); J p (37) 6, 4.10 (m ) A2 Ih2 2710( kg / m3 ) 5,86.10 ( kg.m ) 4,18.10 (kg.m ); 0, 02(kg.m ); 2.2.4 Hệ phương trình động lực học Xét hệ phương trình Lagrange [3]: d L L L T P; ( ) F(t ) (33) dt Q Q Hệ phương trình động lực học mô tả chuyển động hệ tay máy kể đến ma sát: M.Q(t ) D.Q(t ) K.Q(t ) F(t ) (34) Trong đó, véc tơ biến khớp, chuyển vị tổng quát véc tơ lực tác động có cỡ m : F(t ) Q(t ) (t ) q1 (t ) Q1cv (t ) q2 (t ) Q 2cv T T (35) 2.3 Mô và đánh giá Xét hệ tay máy có hai khâu đàn hồi, coi khâu phần tử Tức là: j 1; k 1; n1 n2 Lúc này, ma trận Hình Quy luật truyền mơ men khớp Quy luật truyền động vào khớp hình Hình 3, thể vị trí điểm thao tác hệ tay máy giá trị biến khớp hai khâu đàn hồi Dễ thấy, ứng với quy luật truyền động hình 2, thời gian chịu tác động mơ men điểm thao tác cuối chuyển động đến vị trí có tọa độ 32 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K1- 2017 xE 1.85(m); yE 0.6(m) ứng với giá trị q1 0.058(rad ); q2 0.47(rad ) dao động xung quanh vị trí khoảng 8(s) bắt đầu ổn định Ở thời điểm 1(s) sau bắt đầu, mô men tác động lên khớp đã khơng cịn, hệ dao động với biên độ giảm dần Giá trị nhận hình 3, sau 1(s) thể ứng xử hệ mang tính chất phi tuyến, phù hợp với quy luật truyền mơ men cho khớp tính chất quán tính khâu Chiều dài khâu khác nên giá trị chuyển vị đàn hồi điểm cuối khâu khác nhau, biên độ dao động khác Hình Giá trị biến khớp khâu Hình Tọa độ điểm thao tác cuối theo trục Tương ứng vậy, đồ thị vận tốc biến khớp hình cho thấy tốc độ thay đổi giá trị biến khớp hai khâu 3(s) lớn, sau giảm dần ổn định sau t=5(s) với khâu 1, t=8(s) với khâu Hình Vận tốc biến khớp Hình 6, 7, 8, thể giá trị chuyển vị dài,vận tốc chuyển vị dài, chuyển vị góc vận tốc chuyển vị góc điểm cuối khâu điểm thao tác Giá trị chuyển vị dài lớn điểm cuối khâu khoảng 0,25 (m) , chuyển vị góc 0,53 (rad) 3(s) , điểm thao tác khoảng 0,15 (m) 0,22 (rad) khoảng 2(s) sau giảm dần Hình dáng đồ thị cho thấy, điểm khâu dao động tắt dần với biên độ giảm dần, thời gian xác lập tính ổn định cho hệ thống khoảng sau 8(s), sau bắt đầu chuyển động Với chuyển vị góc thời gian ổn định lâu (sau 10(s)) 33 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 20, SỐ K1-2017 Hình Giá trị chuyển vị dài điểm cuối khâu Hình Chuyển vị góc điểm cuối khâu Hình Vận tốc chuyển vị dài điểm cuối khâu Hình Vận tốc chuyển vị góc điểm cuối khâu KẾT LUẬN Kết báo có ý nghĩa quan trọng việc tạo sở nghiên cứu ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi tới độ xác định vị đưa giá trị chuyển vị đàn hồi cụ thể phục vụ việc thiết kế hệ điều khiển bù sai số, nâng cao độ xác, giảm thời gian dao động, thời gian xác lập hệ thống Như vậy, báo đã trình bày mơ hình động lực học tổng qt cho hệ tay máy có hai khâu đàn hồi Hệ phương trình động lực học xây dựng sở phương pháp phần tử hữu hạn cách tiếp cận Lagrange có tính đến yếu tố ma sát đàn hồi, mơ men qn tính động cơ, tải trọng giúp đưa mơ hình động lực học sát với thực tế Kết mô thể chất ứng xử động lực học tay máy có khâu đàn hồi 34 SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol 20, No.K1- 2017 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atef A Ata, Waleed F Fares, Mohamed Y Sa'adehc, Dynamic Analysis of a Two-link Flexible Manipulator Subject to Different Sets of Conditions, Procedia Engineering 41, pp 1253–1260, International Symposium on Robotics and Intelligent Sensors, 2012 [2] Mohamad Hafis Izran Bin Ishak (2005), Dynamic modeling of a two link flexible manipulator, A thesis submitted for the Degree of Master in University of Technology, Malaysia, 2005 [3] M O Tokhi, A K M Azad, Flexible robot manipulatorsmodeling, simulation and control, The Institution of Engineering and Technology, London, United Kingdom, ISBN 978-0-86341-448-0, 2008 [4] Rajesh Kumar Moolam, Dynamics and control for flexible manipulators, a thesis submitted for the Degree doctor of Philosophy, Politecnico Di Milano, 2013 Dương Xuân Biên Sinh năm 1982 Hà Nội Năm 2007: tốt nghiệp đại học quy ngành Cơng nghệ Chế tạo máy hệ quân Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự (HVKTQS) (Hà Nội) Từ 2007: giảng viên ngành Cơ khí HVKTQS Năm 2013: nhận thạc sĩ chuyên ngành Công nghệ Chế tạo máy HVKTQS Hiện nghiên cứu sinh ngành Kỹ thuật Cơ khí HVKTQS Hướng nghiên cứu chủ yếu Công nghệ CAD/CAM/CNC, Công nghệ gia công tiên tiến (gia công cao tốc, laser, tia nước áp lực cao, siêu âm), động lực học điều khiển rô bốt, hệ thống điện tử Hướng nghiên cứu luận án: rô bốt đàn hồi Building dynamic equations of manipulator with flexible links Duong Xuan Bien 1, Chu Anh My 1, Phan Bui Khoi Military Technical Academy Hanoi University of Science and Technology Abstract— This paper presents the research of general model and building dynamic equations of two flexible links manipulator motion in the horizontal plane Dynamic modeling is considered with adding factors which are payload, elastic friction, mass and initial moment of rotors So it is closed to reality Dynamic equations are derived through finite element method based on Lagrange approach Dynamic behaviors of the system with payload were simulated like a specific example The results can be used to building the control system which increases accuracy position of manipulators under influence of elastic displacements of links Index Terms—dynamic manipulator, flexible link, finite element