Mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn có khâu đàn hồi tịnh tiến

Bài viết này trình bày việc mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn với khâu đàn hồi chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát.

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ MƠ HÌNH HĨA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN Nguyễn Quang Hoàng1,*, Nguyễn Văn Quyền1, Vũ Đức Vương2 Tóm tắt: Máy nâng hạ sử dụng nhiều việc bốc dỡ hay xếp hàng kho Việc nâng cao tốc độ vận hành máy hay giảm vật liệu khâu thao tác làm cho hiệu ứng dao động tính đàn hồi khâu trở nên khơng thể bỏ qua Bài báo trình bày việc mơ hình hóa điều khiển tay máy đơn với khâu đàn hồi chuyển động tịnh tiến Trước hết, toán dao động dầm đầu ngàm đầu có khối lượng tập trung khảo sát Dựa dạng riêng dầm, phương trình mơ tả tay máy có khâu đàn hồi thiết lập Trên sở mơ hình với điều khiển PD, ảnh hưởng tính đàn hồi khâu đến chuyển động điểm tác động cuối khảo sát Nhờ công cụ phần mềm Matlab kết mơ đưa Từ khóa: Tay máy đàn hồi, Dầm Euler – Bernoulli tịnh tiến, Phương pháp Ritz – Galerkin điều khiển PD, Điều khiển dựa lượng MỞ ĐẦU Tay máy robot sử dụng nhiều ĐC chiều lĩnh vực công nghiệp Tay máy robot truyền thống thiết kế có độ cứng cao, đó, Khớp nối mơ hệ vật rắn tuyệt đối liên kết khớp quay khớp tịnh tiến để thuận tiện cho việc L điều khiển hệ thống Độ cứng cao đạt mt cách tăng kích thước khối E,I,L, lượng khâu làm tăng kích m0 w(x,t) x thước cấu dẫn truyền động, z với mức tiêu thụ lượng cho robot tăng lên Ngược lại, tay máy robot u Hệ truyền động nhẹ mảnh có chi phí vật liệu lượng trục vít thấp Tuy nhiên, việc giảm khối lượng khâu dẫn đến việc giảm độ cứng khâu Các tay máy trở nên mềm khó Hình Mơ hình tay máy đàn hồi khăn để điều khiển xác Do đó, tính chất đàn hồi khâu bỏ qua việc điều khiển robot nhẹ mảnh thiết bị chuyển động với tốc độ cao Báo cáo trình bày việc mơ hình hóa mơ tay máy đơn với khâu đàn hồi chuyển động tịnh tiến Trước hết, toán dao động dầm Euler – Bernoulli dầm đầu ngàm đầu có khối lượng tập trung khảo sát Dựa dạng dao động riêng, phương trình mơ tả tay máy có khâu đàn hồi thiết lập MƠ HÌNH HĨA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN CĨ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN 2.1 Mơ hình động lực Khảo sát mơ hình tay máy hình 1, bao gồm: cấu chấp hành tịnh tiến bên trái; dầm Euler – Bernoulli đồng chất, thiết diện khơng đổi, có chiều dài L, khối lượng riêng ρ; tải trọng mơ chất điểm có khối lượng mt Gọi z(t) dịch chuyển Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 111 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông dọc trục z trượt khối lượng m0 w(x , t ) độ võng trục dầm mặt cắt cách trượt khoảng x Áp dụng nguyên lý Hamilton nguyên lý d’Alembert, phương trình vi phân chuyển động dầm Euler – Bernoulli [1-3] đưa sau:   4w  2w  5w      w  z   EI     I    A  z    i e  x  t  t t x      (1) đó, E mơđun đàn hồi vật liệu, I A mơmen qn tính mặt diện tích thiết diện dầm, e hệ số cản i hệ số cản Trong phương  , lực cản trình trên, lực cản với tỷ lệ bậc với vận tốc, Fd  e Awdx suy từ mơ hình cản Kelvin–Voigt   (E   i ) [10] Các điều kiện biên hai đầu dầm đưa sau: x  : w(0, t )  0, x  L : EI  2w x w (0, t )  x (2) (L, t )  Và:  x  2w    3w  z   w (L, t )   z  w (L, t ) EI  I  ( L , t )  m   i t  e ,tip  x   t t x  t    (3) Phương trình chuyển động trượt dẫn động nhận nhờ nguyên lý d’Alembert sau:     L L  2w w m 0z   Adx z  (x , t )   e z  (x , t ) dx   0  t t         w w mt z  (L, t )  e,tip z  (L, t )  u    t t     (4) đó, m khối lượng trượt, uc dz z lực điều khiển lực cản nhớt tác dụng lên trượt, ffric lực ma sát Coulomb tác dụng lên trượt Nếu bỏ qua cản cản ngồi phương trình mơ tả hệ trở thành EI   2w   A   z  ,  x  L  t x   4w (5) với điều kiện biên hai đầu dầm: x  : w(0, t )  0, x  L : EI  2w x (L, t )  EI w (0, t )  x   2w     ( L , t )  m ( L , t )  z t  x  t   3w (6) (7) với phương trình chuyển động khâu dẫn     L  2w  2w m 0z   Adx z  (x , t )  mt z  (L, t )  uc  dz z  ffric  t t     (8) 112 N Q Hồng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ 2.2 Biến đổi tốn dạng phương trình vi phân thường Phương trình dao động tự không cản dầm với khối lượng tập trung đầu dầm Trong mục này, phương trình đặc trưng dạng dao động riêng ứng với tần số dao động riêng đưa để biến đổi phương trình đạo hàm riêng dạng phương trình vi phân thường, dùng cho tốn mơ điều khiển Trong trường hợp này, với z  phương trình (5) trở thành [4-6]: EI  4w x  A  2w t  ,  x  L (9) với điều kiện biên đầu ngàm chặt đầu mang khối lượng tập trung w(0, t )  0,  2w  3w  2w w ( L , t )  0, EI ( L , t )  m (L, t ) (0, t )  EI t x x x t (10) Áp dụng phương pháp tách biến Bernoulli, nghiệm phương trình (9) tìm dạng: w(x , t )  X (x )T (t ) (11) Thế (11) vào phương trình (9), ta được: T(t )   2T (t )  d X (x ) dx  2 (12) A X (x )  EI (13) Nghiệm phương trình (13) có dạng: X (x )  C sin( L x )  C cos( L x )  C sinh( L x )  C cosh( L x ) đó,    (14) AL4 C 1,C ,C ,C số Từ điều kiện biên (10) ta nhận EI C  C ,C  C ,C  C Và: (sin   sinh ) (cos   cosh ) (15) C 1  cos  cosh   (cos  sinh   sin  cosh )  đó,   mt AL  mt mbeam (16) Từ điều kiện hệ số C phải không triệt tiêu, ta nhận phương trình đặc trưng hay phương trình tần số dầm sau:  cos  cosh    cos  sinh   sin  cosh    (17) Giải phương trình phi tuyến (17), ta nhận trị riêng k ,(k  1, 2, ) , sau vào (14), ta thu hàm riêng:   (sin k  sinh k ) X k (x )  C 1,k  sin(k Lx )  sinh(k Lx )  cos(k Lx )  cosh(k Lx ) : k (x )  (cos k  cosh k )    C 1,k k (x ) (18) Các hàm riêng thỏa mãn điều kiện trực giao sau đây: ik   L  0, Ai (x )k (x )dx  i (L)mt k (L)     0,   Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 i k i k (19) 113 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông Hằng số C 1,k (18) xác định từ điều kiện chuẩn hóa ik  để đơn giản, ta lấy C 1,k  Biến đổi phương trình đạo hàm riêng hệ phương trình vi phân thường Để biến đổi hệ phương trình mơ tả hệ (1)-(4) dạng phương trình vi phân thường – dạng đơn giản để mô thiết kế điều khiển - ta tìm nghiệm w(x , t ) hệ phương pháp khai triển theo hàm riêng dạng: w(x , t )  p   (x )q (t ) với k 1 k k p  1, 2, 3, (20) Thế biểu thức (20) vào phương trình (1) ta nhận được:  p   L   q (t )    (x ) "" (x )dx   (L) d k (L) q (t ) ( L ) I   i  0 j k j  k  k dx dx k 1 k 1     p p L L       e  j (x )k (x )dx  e,tipj (L)k (L) qk (t )   A  j (x )k (x )dx  mt j (L)k (L) qk (t ) 0       k 1  k 1  L L      A j (x )dx  mt j (L) z  e  j (x )dx  e,tipj (L) z  0, j  1,2, , p 0     p  EI   L j (x )k"" (x )dx  j (L) d 3k (21) Áp dụng công thức tích phân phần, ta có:  L  L d  (x ) d 3k d 2k (x ) j ""   EI   j (x )k (x )dx  j (L) (L)   EI dx dx dx dx    L  EI   2j   j (x )Ak (x )dx  j (L)mt k (L)   2j m jk  j4 m jk , AL4   với m jk   L (22) j (x )Ak (x )dx  j (L)mt k (L) Dựa vào tính chất trực giao hàm riêng (19), với (22), phương trình (21) viết lại dạng thu gọn sau: p m k 1 p p k 1 k 1 q (t )  m j , p 1z   (d ji,k  d ej ,k )qk (t )  d ej , p 1z   k j ,k qk (t )  0, j ,k k j  1, 2, , p (23)  L  k jk d 3 d ji,k  I i   j (x )k"" (x )dx  j (L) 3k (L)  I i  i EI dx   L   d ej ,k  e  j (x )k (x )dx  e,tip j (L)k (L) , d ej , p 1    k jk E  i j4 I AL4 m jk L   e  j (x )dx  e,tip j (L)   (24) (25) Thế (20) vào (4), ta nhận được: p   A k 1 L p   L  k (x )dx  mt k (L) qk (t )     e k (x )dx  e,tip k (L) qk (t )    k 1  (e L  e,tip )z  (m  AL  mt )z  uc  dz z  ffric p m k 1 (26) p q (t )   d pe 1,k qk (t )  m p 1, p 1z  d pe 1, p 1z  uc  ffric p 1,k k k 1 đó, phần tử khối lượng cản xác định sau: L m p 1,k  A k (x )dx  mt k (L), d pe 1,k   L 0 e k (x )dx  e,tip k (L), m p 1, p 1  (m  AL  mt ) d pe 1, p 1  dz  e L  e,tip (27) 114 N Q Hoàng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Các phương trình (23) (26) viết lại dạng ma trận: Ms  Ds  Ks  Bou, u  uc  ffric (28) T T đó, s  [q1, q2 , , q p , z ] , Bo(p 1)1  [0, 0, , 0,1] Để phân biệt dịch chuyển trượt dẫn z tọa độ suy rộng q dầm đàn hồi, phương trình chuyển động viết lại dạng sau M        11 m12  q   D11 d12   q    K11  mT m   z  dT d   z   kT  21  21  21 22    22    k12   q  0  u k22   z  1     (29) Hạ bậc (29) ta nhận phương trình trạng thái hệ dạng: x  Ax  Bu , với x  [sT , sT ]T   , B   M K M D A   1 I 1      M1B   o  (30) Phương trình đầu hệ Theo sơ đồ hình 1, ta xác định dịch chuyển điểm đầu dầm nơi có khối lượng tập trung: z tip   p k 1 q  k (L)qk  z  (L) 1   với (L)    z     (L)  (L)  (L) p   (31) đo sensor, đó, phương trình đầu hệ thống thể phương trình:  w  (L)  tip   z   y   base     w tip      zbase   0  q  0  z   Cx (L) 0  q    0 1  z    0 (32) Trong trường hợp đo vị trí vận tốc trượt dẫn, phương trình đo hệ trở thành: q    z   0  z  base      Cx y       zbase   0 1  q     z  (33) 2.3 Thiết kế điều khiển Xem xét hàm trữ E  21 sT Ms  21 sT Ks , đạo hàm theo thời gian hàm trữ ý đến phương trình (28) ta thu được:   zu  E  sT Ms  sT Ks  sT (Bou  Ds  Ks  Ks)  sT Ds  zu (34)  biểu thị lượng cung cấp động dẫn động cho hệ Bất đẳng Số hạng zu thức phương trình (34) cho thấy hệ thống thụ động Trong trường hợp đầu vào 0, u  0, hệ thống có cân ổn định z  zd , z  0, q  0, q  , đó, lượng đạt giá trị cực tiểu Từ tính chất thụ động hệ thống, để thiết kế điều khiển hàm Lyapunov đề xuất chọn sau: Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 115 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông 1 V  E  kv z  k p (z  zd )2 , với kv  0, k p  2 (35) Đạo hàm V theo thời gian ta nhận được: V  sT Ds  z u  kv z  k p (z  zd )   (36) Từ phương trình (36) luật điều khiển u chọn thỏa mãn: u  k p (z  zd )  kv z  kd z (37) Lưu ý rằng, từ (29) ta tính z , sau đó, thay vào (37) để xác định luật điều khiển Tuy nhiên, đơn giản ta chọn kv  , nhận điều khiển PD sau: u  kd z  k p (z  zd ) (38) Khi đó, ta có V  sT Ds  kd z  MÔ PHỎNG SỐ Các mô số thực để minh họa ảnh hưởng tính đàn hồi khâu đến chuyển động điểm tác động cuối hiệu điều khiển đề xuất Trong mô này, số liệu sau sử dụng [8, 9]: I  4.1667  1012 m , E  69  109 N/m2 , A   105 m2 ,   7850 kg/m , L  0.3 m , mt  0.01 kg , m  0.455 kg Vị trí cần đạt tới zd = 0.3 m Bộ điều khiển PD sử dụng tham số: k p  100 , kd  50 Số dạng riêng sử dụng mô p  1, p  p  Các kết mô thể hình đến z, z tip [m] 0.3 z z tip 0.2 0.1 -0.1 t [s] Hình Chuyển động khâu dẫn đầu dầm, p = 1, hệ DOF z, z tip [m] 0.3 z z tip 0.2 0.1 -0.1 t [s] Hình Chuyển động khâu dẫn đầu dầm, p = 2, hệ DOF 116 N Q Hoàng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.” Nghiên cứu khoa học công nghệ z, z tip [m] 0.3 z z tip 0.2 0.1 -0.1 t [s] Hình Chuyển động khâu dẫn đầu dầm, p = 6, hệ DOF u [N] -2 t [s] Hình Lực điều khiển trượt, p = Các đồ thị cho thấy trượt đạt đến vị trí mong muốn khoảng 2,5 giây Ảnh hưởng tính đàn hồi khâu đến chuyển động điểm tác động cuối thể hình 2, Các kết cho thấy khơng có khác biệt nhiều số lượng dạng riêng p  p  sử dụng mô KẾT LUẬN Bài báo trình bày việc mơ hình hóa tay máy đơn chuyển động tịnh tiến có khâu đàn hồi Dựa dạng riêng dầm đầu ngàm đầu có khối lượng tập trung, hệ phương trình đạo hàm riêng biến đổi phương trình vi phân thường Trên sở mơ hình này, với điều khiển PD, ảnh hưởng tính đàn hồi khâu đến chuyển động điểm tác động cuối khảo sát TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Meirovitch, L (2001), “Fundamentals of Vibrations’’, McGraw-Hill, New York [2] Thomson W T., M D Dahleh (2005), “Theory of Vibration with Applications (Fifth Edition)”, Prentice-Hall, Inc., NJ [3] Erturk A., D J Inman (2011), “Piezoelectric Energy Harvesting”, John Wiley & Sons, Ltd., United Kingdom [4] Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4)”, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Zhi-Cheng Qiu (2012), “Adaptive nonlinear vibration control of a Cartesian flexible manipulator driven by a ballscrew mechanism”, Mechanical Systems and Signal Processing, 30, pp 248–266 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 117 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông [6] Pratiher, B., S K Dwivedy (2009), “Nonlinear response of a flexible Cartesian manipulator with payload and pulsating axial force”, Nonlinear Dynamics, 57, pp 177–195 [7] Pratiher, B., S K Dwivedy (2007), “Non-linear dynamics of a flexible single link Cartesian manipulator”, International Journal of Non-Linear Mechanics, 42, pp 1062–1073 [8] Dadfarnia, M., N Jalili, B Xian, D M Dawson (2004), “Lyapunov-Based Vibration Control of Translational Euler-Bernoulli Beams Using the Stabilizing Effect of Beam Damping Mechanisms”, Journal of Vibration and Control, 10, pp 933–961 [9] Dadfarnia, M., N Jalili, B Xian, D M Dawson (2003), “Lyapunov-based Piezoelectric Control of Flexible Cartesian Robot Manipulators”, Proceedings of the American Control Conference Denver, Colorado, pp 5227–5232 [10] Banks, H T and D J Inman (1991), “On Damping Mechanisms in Beams”, Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 58 (3), pp 716–723 ABSTRACT MODELING AND CONTROLLING A DEGREE OF FREEDOM MANIPULATOR WITH TRANSLATIONAL ELASTIC LINK Lifting equipment are widely used in the loading or unloading in warehouses Increasing the equipment's operating speed or reducing the dimensions of the link will cause the vibration effect of the elasticity of the suture to be inevitable In this paper, the modeling and controlling of a degree of freedom with translational elastic link are presented First of all, the vibration problem of a single beam and the other end of the beam is investigated Based on the types of beams, equations describing translational elastic link are established Based on this model together with the PD controller, the influence of the elasticity of the suture to the motion of the last impact point was investigated Thanks to the Matlab software tools the simulation results are given Keywords: Mechatronic system, PD controller, Ritz-Galerkin method, Flexible manipulator Nhận ngày 02 tháng năm 2017 Hoàn thiện ngày 10 tháng năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng năm 2017 Địa chỉ: Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên * Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn 118 N Q Hồng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển… đàn hồi tịnh tiến.” ... động cuối thể hình 2, Các kết cho thấy khác biệt nhiều số lượng dạng riêng p  p  sử dụng mơ KẾT LUẬN Bài báo trình bày việc mơ hình hóa tay máy đơn chuyển động tịnh tiến có khâu đàn hồi Dựa dạng... [m] 0.3 z z tip 0.2 0.1 -0.1 t [s] Hình Chuyển động khâu dẫn đầu dầm, p = 2, hệ DOF 116 N Q Hồng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển đàn hồi tịnh tiến. ” Nghiên cứu khoa học công nghệ... Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên * Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn 118 N Q Hoàng, N V Quyền, V Đ Vương, “Mơ hình hóa điều khiển đàn hồi tịnh tiến. ”