PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG I VECTƠ CHỈ PHƢƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng Vectơ u gọi vectơ phƣơng đường thẳng d giá song song trùng với d Nhận xét: Nếu u vectơ phương d ku (k 0) vectơ phương d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d giá vuông góc với d Nhận xét: Nếu n vectơ pháp tuyến d kn (k 0) vectơ pháp tuyến d Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ pháp tuyến Nếu u vectơ phương n vectơ pháp tuyến d u n Mối liên hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phƣơng đƣờng thẳng Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (a;b) vectơ phương đường thẳng d u = (-b;a) u = (b;-a) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1;u2) vectơ pháp tuyến đường thẳng d n = (-u2; u1) n = (u2;- u1) Nếu đường thẳng d có vectơ phương u = (u1; u2) với u1 khác hệ số góc d k u2 u1 Nếu đường thẳng d có hệ số góc k vectơ phương d u = (1;k) II CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Cho đường thẳng d qua M0 (x ; y ) có vectơ phương u (u1 ;u2 ) Phương trình tham số d: x x tu1 (1) y y tu2 (t tham số) Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(-1; 1) nhận u 2;5 làm vectơ phương b) d qua M(2; 3) N(3; 1) c) d qua M(5; 1) có hệ số góc k = Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết a) d qua A(3; 4) B(4; 2) b) d qua N(5;1) có hệ số góc k = -2 x = + t y = - 2t Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số a) Hãy vectơ phương d b) Tìm điểm d ứng với giá trị t = 0, t = - Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Phương trình ax by c với a2 b2 gọi phƣơng trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: Nếu có phương trình ax by c có: vectơ pháp tuyến n (a;b) vectơ phương u (b;a) u (b; a) Nếu qua M0 (x ; y ) có vectơ pháp tuyến n (a;b) phương trình là: a(x x ) b(y y0 ) Ví dụ 4: Đường thẳng d có phương trình tổng quát 2x - 5y - = Tìm vectơ pháp tuyến vectơ phương d? Ví dụ 5: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua hai điểm a) A(2; -1) B(-1; 4) b) M (2; 2), N (4; 3) Các dạng đặc biệt phƣơng trình tổng quát Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng c=0 ax by qua gốc toạ độ O a=0 by c // Ox Ox b=0 ax c // Oy Oy Tính chất đƣờng thẳng qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình : x y 1 a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) qua điểm M0 (x ; y ) có hệ số góc k: Phương trình : y y k(x x ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Ví dụ 6: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A(-1; 0), B(0; 2) III VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1y c1 2: a2 x b2 y c2 Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c 1 cắt 2 hệ (1) có nghiệm 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm (1) a1 b1 (nếu a2 ,b2 ,c ) a2 b2 a1 b1 c1 (nếu a2 ,b2 ,c ) a2 b2 c 1 2 hệ (1) có vô số nghiệm a1 b1 c1 (nếu a2 ,b2 ,c ) a2 b2 c Ví dụ 7: Cho đường thẳng d có phương trình x – y + = 0, xét vị trí tương đối d với đường thẳng sau: 1: 2x + y – = 0; 2: x - y – = 0; 3: 2x - 2y + = Chú ý Nếu đường thẳng d1 song song d phương trình d1 có dạng: ax +by + c1 = (c1 c) Nếu đường thẳng d2 vuông góc d phương trình d2 có dạng: bx - ay + c2 = -bx + ay + c2 = IV GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d1: a1 x b1y c1 (có vectơ pháp tuyến n1 (a1 ;b1 ) ) d2: a2 x b2 y c2 (có vectơ pháp tuyến n2 (a2 ;b2 ) ) cos(d1 ,d2 ) n1.n2 n1 n2 a1b1 a2b2 a12 b12 a22 b22 Chú ý: d1 d2 a1a2 b1b2 Ví dụ 8: Tính số đo góc hai đường thẳng d1 : 2x - y + = d2 : x - 3y +1 = V CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Cho đường thẳng : ax by c (a2 b2 0) điểm M0 (x ; y ) d(M0 ; ) | ax by c | a2 b2 Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng : 3x – 2y + = x = -1 + 2t t y = Ví dụ 10: Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến : VI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến d Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + = khoảng cách từ điểm M(0;2) đến d Bài 3: Cho tam giác ABC có A(3;5), B(4;-1) C(-5;2) a) Viết phương trình tổng quát BC b) Tính độ dài đường cao AH c) Tính diện tích tam giác ABC Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm B(-2; 4) đường thẳng x 2t d: (t ) y 2t a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm B đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm B’ điểm đối xứng điểm B qua đường thẳng d Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, đường thẳng d: x – y + = a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu điểm O đường thẳng d b) Tìm tọa độ điểm O’ điểm đối xứng điểm O qua đường thẳng d