cac dang bai tap vdc the tich cua khoi da dien

BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A LÍ THUYẾT Cơng thức tính thể tích khối chóp, lăng trụ Th tớch chúp: V Sđáy h Trong ú: Sđáy : Din tớch mt ỏy h: dài chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ: V Sđáy h Trong ú: Sđáy : Din tớch mặt đáy h: Chiều cao khối chóp Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Thể tích khối lập phương: V  a Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Chú ý: +) Đường chéo hình vng cạnh a là: a +) Đường chéo hình lập phương cạnh a là: a +) Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: a2  b2  c +) Đường cao tam giác cạnh a là: a CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG CẦN NẮM Hệ thức lượng tam giác a) Cho ABC vuông A, đường cao AH +) AB  AC  BC ; +) AC  CH BC ; +) AH BC  AB AC ; +) AB  BH BC ; +) AH  BH HC ; +) 1   ; 2 AH AB AC +) AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B b) Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c; độ dài trung tuyến ma , mb , mc ; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p +) Định lí hàm số cosin: a  b2  c  2bc.cos A ; b2  c  a2  2ca.cos B ; c  a  b  ab.cos C +) Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C +) Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 +) S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 +) S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 +) S  abc 4R +) S  pr (p: nửa chu vi tam giác) +) S  p  p  a  p  b  p  c  +) ABC vuông A: S  AB AC BC AH  2 +) ABC đều, cạnh a: AH  a a2 ,S b) Hình vng: S  a (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S  ab (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:  S  ®¸y  chiỊu cao = AB AD.sin BAD   AC BD e) Hình thoi: S  AB AD.sin BAD f) Hình thang: S   a  b  h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S  AC BD NHẮC LẠI CÁCH XÁC ĐỊNH CAC GĨC TRONG KHƠNG GIAN Góc cạnh bên mặt phẳng đáy Để tính góc  SA,  P   , ta gọi H hình chiếu vng góc S  P  Khi HA hình chiếu vng góc SA  P   SA,  P     SA, AH   SAH Vậy  Góc cạnh bên mặt đứng Để tính góc  SB,  SAH   biết  SAH    P  ta dựng  BK  AH BK  AH  K  AH  Vì  nên BK   SAH   BK  SH Khi K hình chiếu vng góc B  SAH   SK hình chiếu vng góc SB  SAH   SB,  SAH     SB, SK   BSK Vậy  Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến Góc mặt bên mặt phẳng đáy Để tính góc   SAB  ,  P   , ta gọi H hình chiếu vng góc S  P  Kẻ HI  AB  I  AB   AB  HI   AB   SHI   AB  SI  AB  SH  Vậy  SI , HI   SIH  SAB  ,  P     Góc mặt bên mặt đứng Để tính góc   SAB  ,  SAH   biết  SAH    P  , ta kẻ  BK  HA BK  HA  K  HA     BK   SHA   BK  SH Kẻ KI  SA  I  SA   SA  KI   SA   BKI   SA  BI  SA  BK  KI , BI   BIK Vậy   SAB  ,  SAH     II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên chiều cao khối chóp MƠ HÌNH Hình chóp S ABC , cạnh SA vng góc với đáy + Đáy tam giác ABC + Đường cao SA + Cạnh bên SB, SC, SA + SAB , SAC tam giác vuông A  + Góc cạnh SB với đáy ABC góc SBA  + Góc cạnh SC với đáy ABC góc SCA  + Góc mặt bên SBC với đáy góc SHA với H hình chiếu vng góc A BC MƠ HÌNH Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật (hình vng) SA vng góc với đáy + Đáy hình chữ nhật (hình vng) ABCD + Đường cao SA + Cạnh bên SA, SB, SC, SD + SAB, SAC , SAD tam giác vng A  + Góc cạnh SB với đáy ABCD SBA  + Góc cạnh SC với đáy ABCD SCA  + Góc cạnh SD với đáy ABCD SDA  + Góc mặt bên SBC với đáy ABCD SBA  + Góc mặt bên SCD với đáy ABCD SDA Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Cạnh bên SA = a vng góc với đáy Diện tích tam giác SBC A a3 B a2 Thể tích khối chóp a3 C a3 cho D 2a3 Lời giải Chọn C Đặt cạnh hình vng x > Suy SB = SA + AB = a2 + x Dễ thấy BC ^ (SAB )  BC ^ SB nên ta có a2 1 = S DABC = SB BC =  x = a a + x x ¾¾ 2 Vậy thể tích khối chóp: VS ABCD = S ABCD SA = a3 Bài tập Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) A a3 B a3 C a Thể tích khối chóp cho a3 Lời giải Chọn C D a3 Gọi H hình chiếu A SB Dễ dang chứng minh a AH ^ (SBC )  d éë A, (SBC )ùû = AH = Ta có 1 = + ¾¾  SA = a 2 AH SA AB Vậy thể tích khối chóp: V = S ABCD SA = a3 Bài tập Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vng B, AB  a ,  ACB  60 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45 Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ABC vng B nên a BC  AB.cot  ACB  a.cot 60   S ABC  1 a a2 BA.BC  a  2 Ta có AB hình chiếu vng góc SB  ABC          45  SB ,  ABC   SB , AB  SBA SAB vuông A nên   AB.tan 45  a SA  AB.tan SBA 1 a2 a3 a  Vậy VS ABC  S ABC SA  3 18 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân,  AD  BC  , cạnh AD  2a , AB  BC  CD  a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a3 C 3a 3 D 3a 3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M trung điểm AD Ta chia hình thang cân ABCD thành ba tam giác ABM, BCM, CDM, ba tam giác tam giác cạnh a Do S ABCD  3a         60 ,  ABCD   SC , AC  SCA Ta có AC hình chiếu vng góc SC  ABCD   SC Lại có AH đường cao tam giác ABM nên AH  AB a   AC  AH  a 2 SAC vuông A nên   AC.tan 60  3a SA  AC.tan SCA 1 3a 3a 3 3a  Vậy VS ABCD  S ABCD SA  3 4 Nhận xét: Việc chia nhỏ hình thang cân ABCD thành ba tam giác giúp ta thuận tiện việc tính diện tích đáy Chú ý: Nếu ABC tam giác S ABC  AB Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi AC  2a , BD  3a , AC  BD SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc  thỏa mãn tan   Thể tích khối chóp S ABCD A 2a 3 B a3 C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AC  BD  S ABCD  AC.BD  3a Do AC hình chiếu vng góc SC  ABCD          ,  ABCD  SC , AC  SCA nên SC  SA  AC.tan   2a 1 2a 2a Vậy VS ABCD  S S ABCD SA  3a  3 3 Bài tập Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB    45 ,   SBC  vng góc với nhau, SB  a , BSC ASB  30 Thể tích khối chóp SABC V Tỉ số A a3 V B 3 C 3 D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: SA   ABC    SAB    ABC   SBC    SAB  ,  ABC    SAB  Mà   BC   SAB   SBC    ABC   BC  ABC , SBC tam giác vuông B a 3a ASB  , SA  SB.cos  ASB  Xét SAB vng A có: AB  SB.sin  2 a Xét SBC vng B có: BC  SB tan BSC  S ABC  1 a 3a AB.BC  a  2 1 3a 3a 3a a3 Vậy VS ABC  S ABC SA     3 V Tổng qt: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB   SBC    ,  ASB   vng góc với nhau, BSC Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  SB sin 2 tan  12 Chứng minh: Xét SAB vuông A có: AB  SB.sin  ; SA  SB.cos  Xét SBC vng B có: BC  SB.tan   S ABC  1 AB.BC  SB sin  tan  2 SB sin  tan  SB cos  SB sin 2 tan  Vậy VS ABC  S ABC SA   12 Dạng Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Phương pháp Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường cao nằm giao tuyến mặt phẳng đáy                 d Ta có:   a     a    a  d  Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy giao tuyến chúng vng góc với đáy      P   Ta có:      P   d   P          d Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD, AB  a , AD  a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, khoảng cách AB SC 3a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  a 3 B V  2a 3 C V  2a 3 D V  3a 3 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H, I trung điểm AB, CD, kẻ HK  SI Vì tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Suy SH   ABCD  CD  HI  CD   SIH   CD  HK  HK   SCD   CD  SH CD  AB  d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  H ,  SCD    HK Suy HK  3a ; HI  AD  a Trong tam giác vng SHI ta có SH  HI HK  3a HI  HK 1 Vậy VS ABCD  SH S ABCD  3a.a  a 3 3 Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB  A , AC  A Hình chiếu điểm S mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  SAC  60 Thể tích khối chóp S ABC A 5a 12 B 5a 10 12 C a 210 24 Hướng dẫn giải Chọn D D a 30 12 Cách 2: Vì    90  sin     P   sin  2  1  sin  1  sin   2sin   = sin  2 2 Áp dụng Cô-si cho số dương  sin  ,1  sin  2sin  , ta được: 1  sin  1  sin   2sin   2        sin    sin   2sin     1  sin  1  sin   2sin     2 2  P max       27 27  Pmax  27 2 Đẳng thức xảy  sin   2sin   sin   Vậy max VS ABC  a3 a3 a3  Pmax  6 27 Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABC có SA đoạn thẳng thay đổi cho SA  x ,   x  0; , cạnh lại Thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn A B 16 C D Tổng quát: Cho Hướng dẫn giải Chọn D 12 hình chóp S.ABC có SA đoạn thẳng thay đổi cho SA=x, cạnh lại a (a số) với Ta có tam giác ABC  S ABC   x  0; a Thể tích Gọi M , N trung điểm SA BC  SA  BM Ta có SAB SAC hai tam giác cân B C nên   SA  CM  SA   BCM   SA  BC x  BMC cân M Kẻ SH  AN Do BC   SAN   BC  SH  SH   ABC  S SAN  x2    x2 4 1 SA.NM x  x2  SH  SA.NM  SH AN  SH  2 AN x  x2  x2   x2  S  ABC  S  ABC SH     12 12   Vậy max VS ABC  đạt x   x  x   x  2 Bài tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Tam giác SAB vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi  góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng  SBC  , với   45 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCD A 4a B 8a 3 4a 3 D 2a 3 C S ABC Hướng dẫn giải Chọn C Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành SADD Khi DD / / SA mà SA   SBC  Nên DD   SBC    SDA , Ta có  SD,  SBC      DSD chóp đạt giá trị lớn Suy MN  BC  BC   SAN  Ta có MN  SN  SM  khối Mặt khác BM  CM  AB   AM     VS ABC  a3 Do SA  AD.tan   2a tan  Đặt tan   x, x   0;1 Gọi H hình chiều S lên AB , ta có 4a VS ABCD  SH S ABCD  SH 3 Do VS ABCD đạt giá trị lớn SH lớn Vì SAB vng S nên SH  SA.SB SA AB  SA2 2ax 4a  4a x    2ax  x AB AB 2a  SH  2a x2   x2  a Từ max SH  a tan   4a Vậy max VS ABCD  a.4a  3 Bài tập Khối chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , SA  SB  SC  a, cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD A a3 B a3 C a3 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi I tâm hình thoi ABCD , H hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  , suy H  BI Ta có SI  SA2  IA2  a  IA2 , IB  AB  IA2  a  IA2 suy SI  IB Khi tam giác SBD vng S 3a3 D Đặt SD  x Ta có SB.SD  SH BD  a.x  SH BD  SH  a.x BD 1 ax 1 Ta có VSABCD  SH AC.BD  AC BD  ax AC 3 BD Lại có BD  SB  SD  a  x suy IB   IA2  a  a  x 3a  x  4 Suy AC  IA  VSABCD a2  x2 3a  x  3a  x a x  3a  x a 2  ax 3a  x   6 Bài tập : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, SA  SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB, AD cho mặt phẳng  SMC  vng góc với mặt phẳng  SNC  Tính tổng T  AN1  thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị lớn AM B T  A T  C T  2 D T  13 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt AM  x , AN  y Gọi O  AC  DB; E  BD  CM ; F  BD  CN H hình chiếu vng góc O SC, đó: HO  SC  OH SC  HE  SC   HBD    Ta có  SC  BD SC  HF Do góc  SCM   SCN  góc HE HF Suy HE  HF Mặt khác VS AMCN  SA.SAMCN   x  y  3 Ta có x  0, y  x  2, y  gọi K trung điểm AM , OE KM x OE EB OB x       OE   2x  x 4 x EB MB  x x Tương tự OF  y mà OE.OF  OH   x   y    12 4y Nếu x  y  ta có OE.OF  OH   x   y    12 2 Suy VS AMCN  SA.SAMCN   x  y    x     y     3   2 12  4 x  2    3 x2  Do max VS AMCN  x   1 1 y  2 T    2  2  x  AM AN x y    y  Bài tập 5: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A với AB  1, AC  Hình chiếu S mặt phẳng đáy điểm H cho mặt phẳng  SAB   SAC  tạo với SH góc 30 mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích lớn khối chóp S ABC A Vmax  1 B Vmax  3 C Vmax  1 D Vmax  3 Hướng dẫn giải Chọn D       Ta có SH ,  SAB   SH ,  SAC   30 nên hai mặt phẳng  SAB   SAC  tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Suy d  H , AB   d  H , AC   d  H , BC  tức H tâm nội tiếp tâm bàng tiếp góc A, B, C tam giác Ta có S  3 ;p cịn cạnh a  2, b  3, c  2 Khi r  rb  S 1  S 3 ;  ;   p pa S 1 S 3  ; rc   pb pc Chiều cao chóp lớn SH max   33 3  Vmax  Bài tập Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a , góc tạo   mặt bên mặt phẳng đáy  với    0;  Thể tích khối chóp S ABCD đạt  2 giá trị lớn A 4a3 49 B 4a3 27 C 2a3 D 4a3 15 75 Hướng dẫn giải Chọn B AC  BD  O  SO   ABCD  Gọi M trung điểm CD       SCD  ,  ABCD   SMO   Gọi độ dài cạnh hình vng x Tam giác SMC vng M có SM  SC  CM  a  x2 Tam giác SOM vuông O có:   cos  a  x OM  SM cos SMO  x x2 x2  x2   cos  a     a   cos2  4   4a cos  4a 2a  tan    x2   x 2 1  cos   tan    tan 1  tan   SABCD  4a 4a  tan    x tan   a.tan  Ta có: SO  OM tan SMO 2  tan  1 4a a.tan  4a3 tan   VS ABCD  SABCD SO  3  tan   tan   tan      Do    0;   tan   Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn  2 a3 tan    tan   Ta xét f    đạt giá trị lớn tan    tan   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương Ta có f    tan    tan    tan  1 ; ; 2  tan   tan   tan  tan2  1 2  tan   tan   tan    tan   1       2    tan   tan   tan    27 f    tan      tan      2 27  tan   tan  Vậy max VSABCD  4a3   1  4a3 27 Bài tập Một hình hộp chữ nhật có diện tích tồn phần S Thể tích lớn khối hộp chữ nhật A S S B S S 36 C S 6S 36 D S 3S Hướng dẫn giải Chọn C Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao hình hộp chữ nhật a, b, c với a, b, c  Ta có S  2ab  2ac  2bc Áp dụng bất đẳng thức AM  GM : S  2ab  2ac  2bc  3 2ab.2ac.2bc  a2 b2 c a2 b2 c  S  a2 b2 c  S3 S3 S 6S  abc   216 216 36 Đẳng thức xảy a  b  c hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương Bài tập Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  , đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA đến  BCC B  khoảng cách từ C đến  ABC   Trong   hình hộp chữ x khơng đổi, góc hai mặt phẳng  ABC    ABC     0;  Để thể  2 nhật có tích khối lăng trụ ABC ABC  nhỏ góc  có giá trị gần giá trị sau diện tích đây? tồn phần A 25 B 35 hình lập C 45 D 55 phương Hướng dẫn giải tích Chọn B lớn Dựng AH  BC  H  BC  , CK  AC ( K  AC ) Ta có d  AA;  BCC B    AH  x d  C;  ABC     CK  x     ABC   ;  ABC    CAC  Xét tam giác ACK vng K có AC  CK x  sin  sin  Xét tam giác ACC ' vng C có CC '  AC.tan   x x tan   sin  cos  Xét tam giác ABC vng A có 1    AB  2 AB AH AC AH AC AH  AC   x2 x  sin    x cos  Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  VABC ABC   x3 AB AC CC   2 sin  cos2  Để thể tích khối lăng trụ ABC ABC  nhỏ sin  cos2  lớn Ta có sin  cos4   sin  cos2  cos2   sin   cos2   cos2   3x 3    sin  cos2   V   2  54 Vậy Vmin  3x 3 Đẳng thức xảy 2sin   cos2   tan      35 Bài tập Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  BC BD  3cm Hai   mặt phẳng  ACC A   BDDB  hợp với góc       Đường 2    chéo B D hợp với mặt phẳng  CDDC   góc       Hai góc  ,  thay 2  đổi thỏa mãn hình hộp ADDA.BCC B ln hình lăng trụ Giá trị lớn thể tích khối hộp ABCD ABC D cm A B cm C cm D 12 cm Hướng dẫn giải Chọn B     Ta có  ACC A  ;  BDDB   COD   CBD    3cos   BC  BD.cos CBD 2   3sin  Lại có CD  BD.sin CBD     D;  CDDC    B DC    Ta có B Do ADDA.BCC B ln hình lăng trụ nên BC  CC  VABCD ABC D  BC.CD.CC   27.sin Xét sin  cos   cos      2sin cos cos 2 2 2     2sin  cos  cos 1 2   2       27  Dấu "  " xảy sin  sin     cos cos  tan 2        arctan 2 V  Dạng 15: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp  Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng phương pháp đổi đỉnh 3V áp dụng công thức V  h.S  h  S  Trong V thể tích khối đa diện, S diện tích đáy h khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy  Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta áp dụng công thức V 6V  AB.CD.sin  AB, CD d  AB; CD   d  AB; CD    AB.CD.sin  AB, CD  Bài tập Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng Khoảng góc với đáy Biết SA  a, AB  b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  A C ab a2  b2 ab a2  b2 B D Hướng dẫn giải 2ab a2  b2 ab a2  b2 cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  chiều cao hình chóp A.SBC Do đó:   d A,  SBC   Chọn D   Ta có d A,  SBC   3VA.SBC SSBC Ta có: 1 VA.SBC  VS ABC  SA.SABC  SA AB.BC Mặt khác SA   SBC   SA  BC mà ABC vuông B nên BC  BA Suy BC  SB hay SBC vuông B  SSBC   BC.BS Vậy d A,  SBC   SA AB.BC SA AB SA AB ab     2 2 SB SA  AB a  b SB.BC Bài tập Cho tứ diện cạnh điểm I nằm tứ diện Tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Xét tứ diện ABCD có diện tích đáy chiều cao nên thể tích tứ diện ABCD V 12 Gọi h1 , h2 , h3 , h4 khoảng cách từ I đến mặt  BCD  ,  ACD  ,  ABD  ,  ABC  Đặt V1  VIBCD , V2  VIACD , V3  VIABD , V4  VIABC Ta có V  V1  V2  V3  V4 Cách trắc nghiệm: Chọn đặc biệt I  A Khi tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện khoảng cách từ A đến  BCD  3V V1  h1 SBCD  h1  SBCD Tương tự h2  3V 3V2 3V , h3  , h4  SACD SABD SABC Vậy h1  h2  h3  h4  3V 3V1 3V 3V    SBCD SACD SABD SABC Tứ diện ABCD tứ diện nên SBCD  SACD  SABD  SABC  Suy h1  h2  h3  h4  V V V V   3V  Bài tập Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  3, AD  4, AA  Lấy điểm M cạnh AB cho BM  AM Khoảng cách từ C  đến BD Khoảng cách từ điểm M đến  BC D  A C 3 B 12 D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có BM  AM  BM 4   VM BC D  VA BC D AB 1 Mà VA BC D  VC  ABD  CC .S ABD  CC  AB AD  10  VM BC D  Ta có BD  AB  AD  5, SC BD  d  BD  10 C , BD  3V 12 Ta có VM , BC D  d  M , BC D  S BC D  d  M , BC D   M BC D  S BC D Bài tập Cho tứ diện ABCD có AB  CD  4, AC  BD  5, AD  BC  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A B C 42 D Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện gần đều, ta có VABCD  =  a 6 Ta có p   4 2  b2  c2  a  b2  c   b2  c2     52  62 42  52  62 42  52  62  15 BC  CD  DB   15   2 Suy SBCD  p  p   p  5 p     Ta có d A,  BCD  Bài  a tập  15 15 3VA.BCD 42    SBCD 15 Cho hình chóp S.ABC có SA  2, SB  3, SC  Góc   45, BSC   60, CSA   90 Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA ASB BC A 34 17 B 34 17 C 34 17 D 34 17 Hướng dẫn giải Chọn C    , BSC    , CSA   Hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c ASB  VS ABC  abc  cos2   cos2   cos2   cos  cos  cos   VS ABC  Ta có: AC  20; BC  13 cos  SA, BC   32  42  20  13  SB  SC  AC  AB   2SA.BC 2.2 13 26 Suy sin  SA, BC   Suy d  SA, BC   17 26 6V 34   17 SA.BC.sin  SA, BC  Bài tập Cho tứ diện ABCD tích V Trên AB lấy hai điểm M, N CD lấy hai điểm P, Q thỏa mãn MN PQ 3  Thể tích khối MNPQ đạt giá trị CD AB lớn A V B V 16 C V 24 D V 32 Hướng dẫn giải Chọn C VABCD  AB.CD.d  AB, CD  sin  AB, CD  ; VMNPQ  MN.PQ.d  MN, PQ sin  MN, PQ Do d  AB, CD   d  MN , PQ  sin  AB, CD   sin  MN , PQ  nên VMNPQ VABCD Ta có    MN PQ AB.CD MN PQ MN PQ MN PQ 3 2 2 CD AB CD AB CD AB MN PQ MN PQ  3 1 CD AB CD AB V MN PQ   MNPQ  CD AB 24 VABCD 24 Vậy VMNPQ  V V  MaxVMNPQ  24 24 ... chia thành hai khối đa diện theo cạnh MP BACNMP DACQMP Ta có VBACNMP  BN AM CP    193          VBACBAC   BB AA CC     315  VBACNMP  VDACQMP VDACDAC  193 193V VBACBAC... 189  VDACQMP  113 113V VDACDAC   189 378 Vậy VABCDMNPQ  VBACNMP  VDACQMP  193V 113V 572V   630 378 945 Dạng 12 Tách hình để tính thể tích Phương pháp Để tính thể tích khối da diện... từ I đến cạnh cách từ I đến cạnh CD, DA từ tính  SI  IH tan SIH CD, DA IH Ta có SI  IH tan 60  IH  S ABCD SI a a   tan 60 1 a 2a   BC  CD  DA  HI   9a  AB   2 1 a 2a a 3