cac dang bai tap phep nhan va phep chia da thuc

Chương Phép nhân phép chia đa thức §1 Nhân đơn thức với đa thức Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có A(B + C) = A · B + A · C Ví dụ 3x · (2x3 − x + 1) = 3x · 2x3 + 3x · (−x) + 3x · = 6x4 − 3x2 + 3x Vậy 3x · (2x3 − x + 1) = 6x4 − 3x2 + 3x ! Ta thường sử dụng phép toán liên quan đến lũy thừa sau thực phép nhân: • a0 = với a = 0; • am · an = am+n ; • am : an = am−n với m ≥ n; • (am )n = am·n với m, n số tự nhiên Bài tập dạng toán Dạng Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức phép toán liên quan đến lũy thừa ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Thực phép tính ã −1 b) N = (2x − 3x + 4) · x ; 2 a) M = 2x (1 − 3x + 2x ); c) P = xy(−x3 + 2xy − 4y ) 2 Å Chương Phép nhân phép chia đa thức Lời giải b) N = −x3 + x2 − 2x a) M = 2x2 − 6x3 + 4x4 c) P = − x4 y + x2 y − 2xy Ô Ví dụ Làm tính nhân ã b) N = (2x − 4x − 8) · x ; 2 Å a) M = 2x (x − 2x + 1); ã Å 2 c) P = x y · xy − x − y 2 Lời giải a) M = 2x5 − 4x4 + 2x3 b) N = x4 − 2x2 − 4x c) P = x3 y − x4 y − x2 y Å ã 2 Ơ Ví dụ Nhân đơn thức A với đa thức B biết A = − x y B = 4x2 +4xy −3 Lời giải Ta có A · B = x4 y · (4x2 + 4xy − 3) = x6 y + x5 y − x4 y 4 Ơ Ví dụ Nhân đa thức A với đơn thức B biết A = (−2xy)2 −1 xy+ x − y B = Lời giải Å Ta có A · B = ã −1 x y+ x − y · 4x2 y = x5 y − 2x4 y − 4x2 y Dạng Sử dụng phép nhân đơn thức với đa thức, rút gọn biểu thức cho trước Thực theo hai bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc; Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức cho ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ô Ví dụ Rút gọn biểu thức sau M = 2x(−3x + 2x3 ) − x2 (3x2 − 2) − (x2 − 4)x2 ; Tài liệu Toán của: ĐS: M = Nhân đơn thức với đa thức N = x(y − x) − y(yx − x2 ) − x(xy − x − 1) ĐS: N = x Lời giải Ta có M = −6x2 + 4x4 − 3x4 + 2x2 − x4 + 4x2 = Ta có N = xy − x2 − y x + x2 y − x2 y + x2 + x = x Ơ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau A = 3x2 (6x2 + 1) − 9x(2x3 − x); ĐS: A = 12x2 B = x2 (x − 2y) + 2xy(x − y) + y (6x − 3y) ĐS: B = x3 − y Lời giải A = 18x4 + 3x2 − 18x4 + 9x2 = 12x2 B = x3 − 2x2 y + 2x2 y − 2xy + 2xy − y = x3 − y Dạng Tính giá trị biểu thức cho trước Thực theo hai bước Rút gọn biểu thức cho; Thay giá trị biến vào biểu thức sau rút gọn bước ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ô Ví dụ Tính giá trị biểu thức P = 2x3 − x(3 + x2 ) − x(x2 − x − 3) x = 10; ĐS: P = 100 Q = x2 (x − y + y ) − x(xy + x2 − xy − y) x = y = 20 ĐS: Q = 100 Lời giải Rút gọn P = x2 , thay x = 10 ta P = 100 Rút gọn Q = xy, thay x = y = 20 ta Q = 100 Ơ Ví dụ Tính giá trị biểu thức M = 2x2 (x2 − 5) + x(−2x3 + 4x) + (6 + x)x2 x = −4; ĐS: M = −64 N = x3 (y + 1) − xy(x2 − 2x + 1) − x(x2 + 2xy − 3y) x = y = −5 Q = −80 Lời giải Giáo viên: ĐS: Chương Phép nhân phép chia đa thức Rút gọn M = x3 , thay x = −4 ta P = −64 Rút gọn N = 2xy, thay x = y = −5 ta Q = −80 Dạng Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước Thực theo hai bước B1 Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc; B2 Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm x, biết 3x(1 − 4x) + 6x(2x − 1) = ĐS: x = −3 Lời giải Biến đổi phương trình thành: 3x − 12x2 + 12x2 − 6x = ⇔ −3x = ⇔ x = −3 Ơ Ví dụ Tìm x, biết 3x(2 − 8x) − 12x(1 − 2x) = ĐS: x = −1 Lời giải Biến đổi phương trình thành: 6x − 24x2 − 12x + 24x2 = ⇔ −6x = ⇔ x = −1 Dạng Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Rút gọn biểu thức cho chứng tỏ kết khơng phụ thuộc vào biến ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Chứng tỏ giá trị biểu thức Q = 3x(x3 − x + 4) − x2 (6x2 − 2) − 2x(6 − x) + không phụ thuộc vào giá trị biến x Lời giải Rút gọn Q = ⇒ Q không phụ thuộc vào biến x Ô Ví dụ Cho biểu thức P = x2 (1 − 2x3 ) + 2x(x4 − x + 2) + x(x − 4) Chứng tỏ giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x Lời giải Rút gọn P = ⇒ P không phụ thuộc vào biến x Tài liệu Toán của: Nhân đơn thức với đa thức Bài tập nhà Bài Thực phép tính Å ã 2 2 a) A = 2x y x y − x y − y ; Å ã c) C = −2xy + y + 4xy · xy b) B = − xy(3x3 y − 6x2 + y ); Lời giải b) B = −x4 y + 2x3 y − xy a) A = 2x5 y − 2x4 y − x2 y c) C = 5x2 y + xy Bài Làm tính nhân a) M = 2x(−3x3 + 2x − 1); b) N = (x2 − 3x + 2)(−x2 ); c) P = (−xy )2 · (x2 − 2x + 1) Lời giải a) M = −6x4 + 4x2 − 2x b) N = −x4 + 3x3 − 2x2 c) P = x4 y − 2x3 y + x2 y Bài Rút gọn biểu thức sau A = (−x)2 (x + 3) − x2 (2 − 3x) − 4x3 ; ĐS: A = x2 B = x2 (x − y ) − xy(1 − yx) − x3 ; ĐS: B = −xy C = x(x + 3y + 1) − 2y(x − 1) − (y + x + 1)x ĐS: C = 2y Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức P = x(x2 − y) + y(x − y ) x = − 1 y = − ; 2 Q = x2 (y − xy ) + (−y + x + 1)x2 y x = −10 y = −10 Lời giải 1 Rút gọn P = x3 − y , thay x = − , y = − ta P = 2 Rút gọn Q = x2 y , thay x = −10, y = −10 ta Q = 10000 Bài Tìm x, biết Giáo viên: ĐS: P = ĐS: Q = 10000 Chương Phép nhân phép chia đa thức 2(3x − 2) − 3(x − 2) = −1; ĐS: x = −1 3(3 − 2x2 ) + 3x(2x − 1) = 9; ĐS: x = (2x)2 (x − x2 ) − 4x(−x3 + x2 − 5) = 20 ĐS: x = Lời giải Biến đổi phương trình thành 6x − − 3x + = −1 ⇔ 3x = −3 ⇔ x = −1 Biến đổi phương trình thành − 6x2 + 6x2 − 3x = ⇔ −3x = ⇔ x = Biến đổi phương trình thành 4x3 − 4x4 + 4x4 − 4x3 + 20x = 20 ⇔ 20x = 20 ⇔ x = Bài Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến P = x(3x + 2) − x(x2 + 3x) + x3 − 2x + 3; Å ã 1 Q = x(2x − 3) + 6x − x + Lời giải Rút gọn P = ⇒ P không phụ thuộc vào biến x Rút gọn Q = ⇒ Q khơng phụ thuộc vào biến x Tài liệu Tốn của: Nhân đa thức với đa thức §2 Nhân đa thức với đa thức Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích lại với Ta có (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D với A, B, C, D đơn thức Ví dụ (x + 2)(x − 1) = x(x − 1) + 2(x − 1) = x2 − x + 2x − = x2 + x − Vậy (x + 2)(x − 1) = x2 + x − 2 Bài tập dạng tốn Dạng Làm phép tính nhân đa thức với đa thức Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Nhân đa thức sau a) (x − 2)(3x + 5); b) (−2x2 + x − 1)(x + 2); c) (x − y)(y + xy + x2 ) Lời giải a) 3x2 − x − 10 b) −2x3 − 3x2 + x − c) x3 − y Ơ Ví dụ Thực phép nhân a) (x + 1)(x2 − x); b) (x + 2)(x2 − 2x + 4); c) (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y ) Lời giải a) x3 − x b) x3 + c) x3 − 8y Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức Ơ Ví dụ Tính giá trị biểu thức M = (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) x = −1 ; 2 N = (2x − y )(4x2 + 2xy + y ) x = y = 2 ĐS: M = −2 ĐS: N = −63 Lời giải −1 ta M = −2 2 Rút gọn N = 8x3 − y , thay x = y = ta N = −63 Rút gọn M = 8x3 − 1, thay x = Ô Ví dụ Tính giá trị biểu thức 1 P = (4x − 3)(4x + 3) x = ; ĐS: P = −8 Q = (3y + x)(9y − 3xy + x2 ) x = y = ĐS: Q = 28 Lời giải ta P = −8 Rút gọn Q = 27y + x3 , thay x = y = ta Q = 28 Rút gọn P = 16x2 − 9, thay x = Dạng Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Thực theo hai bước B1 Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức; B2 Áp dụng quy tắc rút gọn đa thức để thu kết khơng cịn chứa biến ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến A = (x − 2)(2x − 1) − (2x − 3)(x − 1) − Lời giải Rút gọn A = −3 ⇒ A không phụ thuộc vào biến x Ơ Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến B = (3 − 2x)(3 + 2x) + (2x − 1)(2x + 1) Tài liệu Toán của: Nhân đa thức với đa thức 10 Lời giải Rút gọn B = ⇒ B không phụ thuộc vào biến x Dạng Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Thực theo hai bước B1 Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để khai triển; B2 Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm x, biết (2x + 1)(2x − 3) − (4x + 1)(x + 2) = ĐS: x = −1 Lời giải Biến đổi phương trình thành 4x2 − 4x − − 4x2 − 9x − = ⇔ −13x = 13 ⇔ x = −1 Ơ Ví dụ Tìm x, biết (1 − 2x)(3x + 1) + 3x(2x − 1) = ĐS: x = −4 Lời giải Biến đổi phương trình thành −6x2 + x + + 6x2 − 3x = ⇔ −2x = ⇔ x = −4 Dạng Chứng minh đẳng thức Thực phép nhân đa thức với đa thức vế thứ nhất, sau rút gọn đa thức để thu kết vế lại ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Chứng minh a) (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) = 8x3 − 1; b) (x − y)(x + y)(x2 + y ) = x4 − y Lời giải Ta có V T = 8x3 + 4x2 + 2x − 4x2 − 2x − = 8x3 − (đpcm) Ta có V T = (x2 − y )(x2 + y ) = x4 − y (đpcm) Ơ Ví dụ Chứng minh a) (x2 − 2x + 4)(x + 2) = x3 + 8; b) (x − y)(x2 + xy + y ) = x3 − y Lời giải Ta có V T = x3 + 2x2 − 2x2 − 4x + 4x + = x3 + Ta có V T = x3 + x2 y + xy − x2 y − xy − y = x3 − y Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 11 Dạng 10 Chứng minh toán số nguyên Thực theo bước B1 Gọi số phải tìm đặt điều kiện; B2 Biểu diễn kiện đề theo số phải tìm; B3 Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm đáp án toán; B4 Kiểm tra điều kiện kết luận ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 24 ĐS: 11; 12; 13 Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x; x + 1; x + (x ∈ N) Tích hai số sau (x + 1)(x + 2), tích hai số đầu x(x + 1) Vì tích hai số sau lớn hai số trước 24 nên: (x + 1)(x + 2) − x(x + 1) = 24 ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 11 Vậy ba số tự nhiên cần tìm 11; 12; 13 Ơ Ví dụ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số trước lớn tích hai số sau 26 ĐS: 12; 13; 14 Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x; x + 1; x + (x ∈ N) Tích hai số sau (x + 1)(x + 2), tích hai số đầu x(x + 1) Vì tích hai số trước lớn tích hai số sau 26 nên: (x + 1)(x + 2) − x(x + 1) = 26 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 12 Vậy ba số tự nhiên cần tìm 12; 13; 14 Ơ Ví dụ Chứng minh n2 (3 − 2n) − n(3n − 2n2 − 3) chia hết cho với số nguyên n Lời giải Rút gọn n2 (3 − 2n) − n(3n − 2n2 − 3) = 3n chia hết cho với số ngun n Ơ Ví dụ Chứng minh n(1 − 2n) − (n − 1)(5 − 2n) + chia hết cho với số nguyên n Lời giải Rút gọn n(1 − 2n) − (n − 1)(5 − 2n) + = −6n + chia hết cho với số nguyên n Tài liệu Toán của: Chương Phép nhân phép chia đa thức 103 Ô Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x A = (x − 1)3 + (x + 1)3 + 2(2 − x) x2 + 2x + − 6x Lời giải A = = = = (x − 1)3 + (x + 1)3 + 2(2 − x) x2 + 2x + − 6x x3 − 3x2 + 3x − + x3 + 3x2 + 3x + + 2(8 − x3 ) − 6x 2x3 + 16 − 2x3 16 Vậy giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x Ô Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x B = (x + 1)3 + x · (2 − x)(x + 2) − (3x + 4)(x + 1) Lời giải B = = = = (x + 1)3 + x · (2 − x)(x + 2) − (3x + 4)(x + 1) x3 + 3x2 + 3x + + x(4 − x2 ) − 3x2 − 7x − x3 − 4x − + 4x − x3 −3 Vậy giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị biến x Ơ Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ĐS: (2x − 1)2 4x2 + − 4x; x2 − y + 2x − 2y; ĐS: (x − y)(x + y + 2) x2 − y + 4y − 4; ĐS: (x − y + 2)(x + y − 2) (x2 − 2xy) + (x2 − 2xy) y + y ĐS: (x + y)4 Lời giải 4x2 + − 4x = (2x − 1)2 x2 − y + 2x − 2y = (x + 1)2 − (y + 1)2 = (x − y)(x + y + 2) x2 − y + 4y − = x2 − (y − 2)2 = (x − y + 2)(x + y − 2) 2 (x2 − 2xy) + (x2 − 2xy) y + y = (x2 + 2xy + y ) = (x + y)4 Ô Ví dụ 10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 − 2x2 − 2x + 4; ĐS: (x − 2)(x2 − 2) Tài liệu Toán của: 13 Ôn tập chương 104 x2 − 4y + 3x − 6y; ĐS: (x − 2y)(x + 2y + 3) 4x2 + 4x + − y ; ĐS: (2x − y + 1)(2x + y + 1) x3 − y − x2 + y ĐS: (x − y)(x2 + xy + y − x − y) Lời giải x3 − 2x2 − 2x + = x2 (x − 2) − 2(x − 2) = (x − 2)(x2 − 2) x2 − 4y + 3x − 6y = (x − 2y)(x + 2y) + 3(x − 2y) = (x − 2y)(x + 2y + 3) 4x2 + 4x + − y = (2x + 1)2 − y = (2x − y + 1)(2x + y + 1) x3 − y − x2 + y = (x − y)(x2 + xy + y ) − (x − y)(x + y) = (x − y)(x2 + xy + y − x − y) Ơ Ví dụ 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 − 4x − 5; ĐS: (x + 1)(x − 5) x2 + 3x + 2; ĐS: (x + 1)(x + 2) x4 + 4y ; ĐS: (x2 + 2y − 2xy)(x2 + 2y + 2xy) ĐS: (x2 − − y)2 (x2 − 1) − 2y(x + 1)(x − 1) + y Lời giải x2 − 4x − = (x + 1)(x − 5) x2 + 3x + = (x + 1)(x + 2) x4 +4y = x4 +4x2 y +4y −4x2 y = (x2 + 2y ) −(2xy)2 = (x2 +2y −2xy)(x2 +2y +2xy) (x2 − 1) − 2y(x + 1)(x − 1) + y = (x2 − − y)2 Ơ Ví dụ 12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 − 3x − 4; ĐS: (x + 1)(x − 4) x2 − x − 6; ĐS: (x + 2)(x − 3) x4 + 4; ĐS: (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2) x3 + 8y − 3x2 y − 6xy ĐS: (x + 2y)(x − y)(x − 4y) Lời giải x2 − 3x − = (x + 1)(x − 4) x2 − x − = (x + 2)(x − 3) x4 + = x4 + 4x2 + − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2) x3 + 8y − 3x2 y − 6xy = (x + 2y)(x2 − 2xy + 4y ) − 3xy(x + 2y) = (x + 2y)(x2 − 5xy + 4y ) = (x + 2y)(x − y)(x − 4y) Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 105 Ơ Ví dụ 13 Tìm x, biết ß 1 ĐS: x ∈ 0; ; − 2 3x (4x − 1) = 0; (x + 5)2 − (x + 5)(x − 2) = 0; ™ ĐS: x = −5 x3 + 7x2 + 6x = 0; ĐS: x ∈ {0; −1; −6} ß ™ ĐS: x ∈ − ; −2 (x + 1)2 − (2x + 3)2 = Lời giải  x=0 3x =  x =  3x (4x2 − 1) = ⇔ 3x (2x − 1) (2x + 1) = ⇔ 2x − = ⇔    2x + = x=−  (x + 5)2 − (x + 5)(x − 2) = ⇔ (x + 5)(x + − x + 2) = ⇔ x + = ⇔ x = −5   x=0 x=0   x3 + 7x2 + 6x = ⇔ x(x + 1)(x + 6) = ⇔ x + = ⇔ x = −1 x+6=0 x = −6  ñ 3x + = x = − 2 (x + 1) − (2x + 3) = ⇔ (3x + 4)(−x − 2) = ⇔ ⇔ −x − = x = −2 Ơ Ví dụ 14 Tìm x, biết ™ ß ĐS: x ∈ 0; ± 4x (9x − 1) = 0; (x + 2)2 − (x + 2)(x − 3) = 0; ĐS: x = −2 2x3 − 4x2 + 2x = 0; ĐS: x = 0; x = (x − 1)2 − (2x + 1)2 = ĐS: x = 0; x = −2 Lời giải  x=0 4x =  x =  4x (9x2 − 1) = ⇔ 4x (3x − 1) (3x + 1) = ⇔ 3x − = ⇔    3x + = x=−  (x + 2)2 − (x + 2)(x − 3) = ⇔ (x + 2)(x + − x + 3) = ⇔ x + = ⇔ x = −2 ñ x=0 2x3 − 4x2 + 2x = ⇔ 2x(x − 1)2 = ⇔ x = Tài liệu Toán của: 13 Ôn tập chương 106 ñ x=0 (x − 1)2 − (2x + 1)2 = ⇔ 3x(−x − 2) = ⇔ x = −2 Ơ Ví dụ 15 Làm tính chia (x2 − 11x + 10) : (x − 1); ĐS: x − 10 (2x3 − 2x2 + x − 1) : (2x2 + 1); ĐS: x − (x2 − 4y + 6x + 9) : (x + 2y + 3) ĐS: x − 2y + Lời giải (x2 − 11x + 10) : (x − 1) = x − 10 (2x3 − 2x2 + x − 1) : (2x2 + 1) = x − (x2 − 4y + 6x + 9) : (x + 2y + 3) = x − 2y + Ơ Ví dụ 16 Làm tính chia (x2 + 5x + 4) : (x + 1); ĐS: x + (3x3 − 3x2 + x − 1) : (3x2 + 1); ĐS: x − (x2 − 9y + 10x + 25) : (x + 3y + 5) ĐS: x − 3y + Lời giải (x2 + 5x + 4) : (x + 1) = x + (3x3 − 3x2 + x − 1) : (3x2 + 1) = x − (x2 − 9y + 10x + 25) : (x + 3y + 5) = x − 3y + Ơ Ví dụ 17 Chứng minh a) 4x2 − 4xy + y + > với số thực x y; b) −9x2 + 3x − < với số thực x Lời giải Vì 4x2 − 4xy + y + = (2x − y)2 + > nên 4x2 − 4xy + y + > với số thực x y Å ã 2 Vì −9x + 3x − = − 3x − − < −9x2 + 3x − < với số thực x Ơ Ví dụ 18 Chứng minh Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức a) x2 − 6xy + 9y + > với số thực x y; 107 b) −25x2 + 5x − < với số thực x Lời giải Vì x2 − 6xy + 9y + = (x − 3y)2 + > nên x2 − 6xy + 9y + > với số thực x y; Å ã 2 Vì −25x + 5x − = − 5x − − < nên −25x2 + 5x − < với số thực x Bài tập nhà Bài Thực phép tính a) x (2x3 − 4x2 + 3); ĐS: x5 − 2x4 + x2 2 c) (x + 2) (x2 − x + 1); ĐS: x3 + x2 − x + ĐS: 2x2 y − 2y b) 2y(xy − 1)(xy + 1); d) (x − 2y) (x2 + 2xy + 4y ) ĐS: x3 − 8y Lời giải a) x (2x3 − 4x2 + 3) = x5 − 2x4 + x2 2 b) 2y(xy−1)(xy+1) = 2y(x2 y −1) = 2x2 y − 2y c) (x + 2) (x2 − x + 1) = x3 + x2 − x + d) (x − 2y) (x2 + 2xy + 4y ) = x3 − 8y Bài Tính nhanh giá trị biểu thức A = (x − 1) (x2 + x + 1) − x (x2 − 1) x = 7; B = x2 + 25y + 10xy x = −20 y = 2; C = x3 − 64y − 12x2 y + 48xy x = 25 y = ĐS: ĐS: 100 ĐS: Lời giải Ta có A = (x − 1) (x2 + x + 1) − x (x2 − 1) = x3 − − x3 + x = x − Với x = A = − = Ta có B = x2 + 25y + 10xy = (x + 5y)2 Với x = −20 y = B = (−20 + 10)2 = 100 Ta có C = x3 −64y −12x2 y +48xy = (x−4y)3 Với x = 25 y = C = (25−24)3 = Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (x − 7)2 + x2 − 49; ĐS: 2x(x − 7) y + x2 y + 3x2 + 3; ĐS: (x2 + 1)(y + 3) Tài liệu Toán của: 13 Ôn tập chương 108 2y − 6y + 12y − ĐS: 2(y − 1)(y − 2y + 4) Lời giải (x − 7)2 + x2 − 49 = (x − 7)2 + (x − 7)(x + 7) = (x − 7)(x − + x + 7) = 2x(x − 7) y + x2 y + 3x2 + = y(1 + x2 ) + 3(x2 + 1) = (x2 + 1)(y + 3) 2y −6y +12y −8 = 2(y −3y +6y −4) = 2(y −y −2y +2y +4y −4) = 2(y −1)(y −2y +4) Bài Tìm x, biết 7x (16x2 − 1) = 0; ĐS: x = 0; x = ± (x + 4)2 − (x + 4)(x − 5) = 0; ĐS: x = −4 x3 + 3x2 + 2x = ĐS: x = 0; x = −1; x = −2 Lời giải  x=0 7x =  x =  7x (16x2 − 1) = ⇔ 7x(4x − 1)(4x + 1) = ⇔ 4x − = ⇔    4x + = x=−  (x + 4)2 − (x + 4)(x − 5) = ⇔ (x + 4)(x + − x + 5) = ⇔ x + = ⇔ x = −4  x=0  3 x + 3x + 2x = ⇔ x(x + 1)(x + 2) = ⇔ x = −1 x = −2 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử x2 + 5x + 6; ĐS: (x + 2)(x + 3) x3 − 3x2 + 3x − 1; ĐS: (x − 1)3 2x3 − 3x2 + 3x − 1; ĐS: (2x − 1)(x2 − x + 1) 4x2 − 4xy + y − 8x + 4y ĐS: (2x − y)(2x − y − 4) Lời giải x2 + 5x + = (x + 2)(x + 3) x3 − 3x2 + 3x − = (x − 1)3 2x3 −3x2 +3x−1 = x3 +(x−1)3 = (2x−1) [x2 − x(x − 1) + x2 − 2x + 1] = (2x−1)(x2 −x+1) 4x2 − 4xy + y − 8x + 4y = (2x − y)2 − 4(2x − y) = (2x − y)(2x − y − 4) Bài Làm tính chia Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 109 (x2 − 8x + 7) : (x − 7); ĐS: x − (7x3 − 7x2 + x − 1) : (7x2 + 1); ĐS: x − (x2 − 16y + 2x + 1) : (x + 4y + 1) ĐS: x − 4y + Lời giải a) (x2 − 8x + 7) : (x − 7) = x − b) (7x3 − 7x2 + x − 1) : (7x2 + 1) = x − c) (x2 − 16y + 2x + 1) : (x + 4y + 1) = x − 4y + Bài Chứng minh a) 16x2 − 8xy + y + > với x y; b) −4x2 + 2x − < với x Lời giải Chứng minh Vì 16x2 − 8xy + y + = (4x − y)2 + > nên 16x2 − 8xy + y + > với x y Å ã 2 Vì −4x + 2x − = − 2x − − < nên −4x2 + 2x − < với x Tài liệu Toán của: 13 Ôn tập chương 110 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I - ĐỀ 01 PHẦN I TRẮC NGHIỆM Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu trả lời Câu Cho hai đa thức P = −2x2 y + x2 y − 3x3 y Q = 2x2 y Kết biểu thức P · Q A 4x4 y + x4 y − 6x5 y B −4x4 y + x4 y − 6x5 y C 4x4 y + x4 y − 6x5 y D −4x4 y + 4x4 y − 6x5 y Lời giải P · Q = −4x4 y + x4 y − 6x5 y Chọn đáp án B Câu Cho hai đa thức P = −2x2 y + x2 y − 3x3 y Q = 2x2 y Kết phép chia đa thức P cho đơn thức Q 3 3 A y + − xy B y + − xy C −y + − xy D −y + − xy 2 2 Lời giải − xy Chọn đáp án C P : Q = −y + Câu Khai triển đẳng thức (x − 3)2 A x2 − 32 B + 6x + x2 C − 6x + x2 Lời giải D + 6x + x2 (x − 3)2 = − 6x + x2 Chọn đáp án C Câu Giá trị biểu thức x2 + 4x + x = −2 A B −2 C −9 Lời giải D Ta có x2 + 4x + = (x + 2)2 nên x = −2 giá trị biểu thức Chọn đáp án A Câu Đẳng thức sau sai? A (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy − y C (x − y)2 = x2 − 2xy + y B x2 − y = (x − y)(x + y) D x3 − y = (x − y) (x2 − xy + y ) Lời giải Chọn đáp án D Câu Giá trị a để đa thức x3 + 2x + − a chia hết cho đa thức x − A a = B a = C a = D a = −3 Lời giải Đặt A(x) = x3 + 2x + − a Để A(x) chia hết cho x − A(1) = ⇔ − a = ⇔ a = Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 111 Chọn đáp án B PHẦN II TỰ LUẬN Bài Thu gọn biểu thức: M = (x + y)2 + (x − y)2 − · (x + y)(x − y) − 4x2 Lời giải M = (x + y)2 + (x − y)2 − · (x + y)(x − y) − 4x2 = (x + y − x + y)2 − 4x2 = 4y − 4x2 Bài Tìm x, biết a) x2 − 5x = 0; b) 3(x − 1)2 − 3x(x − 5) = 1; c) x4 + 2x3 − 6x − = Lời giải ñ ñ x=0 x=0 x − 5x = ⇔ x(x − 5) = ⇔ ⇔ x−5=0 x = 2 3(x − 1)2 − 3x(x − 5) = ⇔ 3x2 − 6x + − 3x2 + 15x − = ⇔ 9x + = ⇔ x = − x4 + 2x3 − 6x − = ⇔ (x4 + 2x3 + x2 ) − (x2 + 6x + 9) = ⇔ (x2 + x)2 − (x + 3)2 = ⇔ (x2 + 2x + 3)(x2 − 3) = ⇔ x2 − = (vì x2 + 2x + > 0) √ ⇔ x=± Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 − x2 y + 5x − 5y; b) x3 − 2x2 − 4xy + x; c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − Lời giải Ta có x3 − x2 y + 5x − 5y = x2 (x − y) + 5(x − y) = (x − y)(x2 + 5) Ta có x3 −2x2 −4xy +x = x(x2 −2x+1−4y ) = x [(x − 1)2 − (2y)2 ] = x(x−1−2y)(x−1+2y) Ta có (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − = = = = = = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) − (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) − (x2 + 7x + 11 − 1)(x2 + 7x + 11 + 1) − (x2 + 7x + 11)2 − (x2 + 7x + 11 − 3)(x2 + 7x + 11 + 3) (x2 + 7x + 8)(x2 + 7x + 14) Tài liệu Toán của: 13 Ơn tập chương 112 Bài Làm tính chia: (x4 − x3 − 3x2 + x + 2) : (x2 − 1) Lời giải x4 − x3 − 3x2 + x + x2 − − x4 + x2 x2 − x − − x3 − 2x2 + x x3 −x − 2x +2 2x −2 Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức ĐÁP ÁN B C C A D B Tài liệu Toán của: 113 13 Ôn tập chương 114 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I - ĐỀ 02 PHẦN I TRẮC NGHIỆM Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu trả lời Câu Kết phép nhân 2x2 y (x2 − y + 3xy) A 2x4 y + 2x2 y − 6x3 y B 2x4 y − 2x2 y + 6x3 y C x4 y − x2 y + x3 y D x4 y − x2 y + x y Lời giải Ta có 2x2 y (x2 − y + 3xy) = 2x4 y − 2x2 y + 6x3 y Chọn đáp án B Câu Đẳng thức sau sai? A (x − y)2 = x2 − 2xy + y C (3 − x)(x + 3) = −x2 + B (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy − y D x3 + y = (x + y) (x2 + xy + y ) Lời giải x3 + y = (x + y) (x2 − xy + y ) Chọn đáp án D Câu Giá trị biểu thức x3 − 6x2 y + 12xy − 8y x = 1, y = A B C Lời giải Ta có x3 − 6x2 y + 12xy − 8y = (x − 2y)3 Với x = 1, y = D −1 giá trị biểu thức (1 − · )3 = Chọn đáp án C Câu Kết phân tích đa thức x3 − y x thành nhân tử A (x + y)(x − y) B x (x2 + y ) C x(x − y)(x + y) Lời giải D x(x − y)2 Ta có x3 − y x = x(x2 − y ) = x(x − y)(x + y) Chọn đáp án C Câu Các giá trị x thỏa mãn x2 − 2x − = A −1; B 1; −3 C −1; −3 Lời giải ñ x = −1 Ta có x2 − 2x − = ⇔ (x + 1)(x − 3) = ⇔ x = Chọn đáp án A D 1; Câu Kết phép chia đa thức 2x3 + x2 − 3x + cho đa thức 2x − A x2 − x − B x2 − C x2 − x + D x2 + x − Lời giải Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 115 2x3 + x2 − 3x + 2x − − 2x3 + x2 x2 + x − 2x2 − 3x − 2x2 + x − 2x + 2x − Chọn đáp án D Câu Giá trị n để biểu thức A = 2xn y z chia hết cho biểu thức B = 3x2 y 3+n A B C D Lời giải Xét A : B = (2xn y z) : (3x2 y 3+n ) = xn−2 y 2−n z Để A chia hết cho B n − ≥ − n ≥ hay n = Chọn đáp án C Câu Giá trị nhỏ biểu thức x2 − 4x + A B −1 C Lời giải D Ta có x2 − 4x + = x2 − 4x + − = (x − 2)2 − ≥ −1 với x nên biểu thức x2 − 4x + có giá trị nhỏ −1 x − = ⇔ x = Chọn đáp án B PHẦN II TỰ LUẬN Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 − 6x + 9; b) x3 − 3xy + 3x2 y − y + 1; c) x2 + 4x − 5; d) x2 − 2x + − 4y Lời giải x2 − 6x + = (x − 3)2 x3 − 3xy + 3x2 y − y + = (x − y)3 + = (x − y + 1)(x2 − 2xy + y − x + y + 1) x2 + 4x − = (x − 1)(x + 5) x2 − 2x + − 4y = (x − 1)2 − (2y)2 = (x − + 2y)(x − − 2y) Bài Tìm x, biết a) (x − 1)2 + (3 − x)(x + 3) = 0; b) (x + 2) (x2 − 2x + 4) + (1 − x)3 = 9; c) (x − 2)2 − (2x + 1)2 = Lời giải (x − 1)2 + (3 − x)(x + 3) = ⇔ x2 − 2x + + − x2 = ⇔ −2x + 10 = ⇔ x = Vậy x = Tài liệu Toán của: 13 Ơn tập chương 116 Ta có (x + 2) x2 − 2x + + (1 − x)3 = ⇔ x3 + + − 3x + 3x2 − x3 − = ⇔ 3x2 − 3x = ⇔ 3x(x − 1) = ñ x=0 ⇔ x = Vậy x = 0, x =  x= 2  (x − 2) − (2x + 1) = ⇔ (3x − 1)(−x − 3) = ⇔ x = −3 Vậy x = , x = −3 Bài Chứng minh giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến x: A = (x + 1)2 − 4(x − 1)(x + 1) + x(3x − 2) 2 Tính giá trị biểu thức M = (x2 − 2xy) + (x2 − 2xy) y + y biết x = 24 y = Lời giải Ta có A = (x + 1)2 − 4(x − 1)(x + 1) + x(3x − 2) = x2 + 2x + − 4(x2 − 1) + 3x2 − 2x = 4x2 + − 4x2 + = Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến x 2 Ta có M = (x2 − 2xy) + (x2 − 2xy) y + y = (x2 − 2xy + y )2 = (x − y)4 Với x = 24 y = M = (24 − 4)4 = 204 = 160000 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: P = −x2 − 3x + Lời giải ã Å ã Å 17 17 17 2 + =− x+ + ≤ Ta có P = −x − 3x + = − x + · x · + 4 4 17 3 Vậy giá trị lớn P x − = ⇔ x = 2 Giáo viên: Chương Phép nhân phép chia đa thức 117 ĐÁP ÁN B D C C A D C B Tài liệu Toán của: ... tiếp nên B chia hết cho Ơ Ví dụ Chứng minh A = 20n+1 − 20n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Lời giải A = 20n+1 − 20n = 20n · 19 suy A chia hết cho 19 Ơ Ví dụ Chứng minh B = 18n+1 − 18n chia hết... 18n · 17 suy B chia hết cho 17 Ơ Ví dụ Chứng minh với số nguyên x, y A = x (x2 − 2x) + (x2 − 2x) chia hết cho x − 2; B = x3 y − 3yx2 + xy chia hết cho xy; C = x3 y − 3x2 y + xy chia hết cho x2... A = x(x + 2) + x + chia hết cho x + 2; B = x2 y + yx2 + xy chia hết cho xy; C = xy(xy + y + 1) + xy chia hết cho xy + y + Lời giải A = x(x + 2) + x + = (x + 1)(x + 2) suy A chia hết cho x − 2