Thông tin tài liệu
MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CHƯƠNG GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A Tóm tắt lý thuyết B Dạng tốn tập Dạng 1.1 Tính giới hạn L = lim P (n) , với P (n), Q(n) đa thức Q(n) Ví dụ Bài tập áp dụng Dạng 1.2 Tính giới hạn dạng L = lim P (n) với P (n), Q(n) hàm mũ an Q(n) 15 Ví dụ 15 Bài tập áp dụng 16 Dạng 1.3 Tính giới hạn dãy số chứa thức 19 Ví dụ 19 Bài tập áp dụng 21 Bài tập rèn luyện 30 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 32 A Tóm tắt lý thuyết 32 B Dạng tốn tập 33 Dạng 2.1 Tính giới hạn vơ định dạng , tử thức mẫu thức đa thức 33 Ví dụ 33 Bài tập áp dụng 34 Dạng 2.2 Tính giới hạn vơ định dạng , tử thức mẫu thức có chứa thức38 Ví dụ 39 Bài tập áp dụng 40 Ƅ MỤC LỤC C Tóm tắt lý thuyết 50 D Dạng toán tập 50 Dạng 2.3 Giới hạn hàm số x → ∞ 50 Ví dụ 50 Bài tập áp dụng 51 Bài tập rèn luyện 60 − Dạng 2.4 Giới hạn bên x → x+ x → x0 61 Ví dụ 61 Bài tập áp dụng 63 Dạng 2.5 Giới hạn hàm số lượng giác 65 Ví dụ 65 Bài tập áp dụng 66 Ví dụ 67 Bài tập áp dụng 68 Ví dụ 70 Bài tập áp dụng 71 Ví dụ 72 Bài tập rèn luyện 73 HÀM SỐ LIÊN TỤC 110 A Tóm tắt lý thuyết 110 Hàm số liên tục điểm 110 Hàm số liên tục khoảng, đoạn 110 Tính chất hàm số liên tục 111 B Dạng toán tập 111 Dạng 3.1 Xét tính liên tục hàm số điểm 111 Ví dụ 111 Bài tập áp dụng 113 Bài tập rèn luyện 118 Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang Ƅ MỤC LỤC Dạng 3.2 Xét tính liên tục hàm số cho trước R 119 Ví dụ 119 Bài tập áp dụng 121 Bài tập rèn luyện 122 Dạng 3.3 Chứng minh phương trình có nghiệm 122 Ví dụ 122 Bài tập áp dụng 125 Bài tập rèn luyện 128 Ôn tập chương IV 128 CHƯƠNG ĐẠO HÀM 143 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM - CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 143 A Tóm tắt lý thuyết 143 B Dạng tốn tập 143 Dạng 1.1 Tính đạo hàm định nghĩa 143 Ví dụ 143 Bài tập áp dụng 144 Bài tập rèn luyện 145 Dạng 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm bảng đạo hàm 145 VÍ DỤ 145 BÀI TẬP ÁP DỤNG 145 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 146 VÍ DỤ 147 BÀI TẬP ÁP DỤNG 148 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 148 VÍ DỤ 149 BÀI TẬP ÁP DỤNG 150 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 151 Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang Ƅ MỤC LỤC VÍ DỤ 153 BÀI TẬP ÁP DỤNG 154 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 155 VÍ DỤ 156 BÀI TẬP ÁP DỤNG 157 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 158 VÍ DỤ 158 BÀI TẬP ÁP DỤNG 159 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 161 VÍ DỤ 165 BÀI TẬP ÁP DỤNG 168 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 169 Dạng 1.3 Đạo hàm hàm số lượng giác 171 VÍ DỤ 171 BÀI TẬP ÁP DỤNG 172 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 177 VÍ DỤ 180 BÀI TẬP ÁP DỤNG 180 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 181 ĐẠO HÀM 182 A Tóm tắt lý thuyết 182 B Dạng tốn tập 182 Dạng 2.1 Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm (tại điểm M ) (hoặc biết hồnh độ tung độ) 182 Ví dụ 182 Bài tập áp dụng 184 Bài tập áp dụng 187 Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang Ƅ MỤC LỤC Dạng 2.2 Tiếp tuyến cho sẵn hệ số góc, song song - vng góc 188 Ví dụ 189 Bài tập áp dụng 189 Bài tập rèn luyện 190 Dạng 2.3 Viết phương trình tiếp tuyến biết điểm qua 199 C Bài tập trắc nghiệm 203 Rèn luyện lần 208 Rèn luyện lần 219 ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN 230 A Tóm tắt lý thuyết 230 B Ví dụ minh hoạ 230 Dạng 3.1 Tính đạo hàm cấp cao hàm số 230 Ví dụ 230 Bài tập áp dụng 231 Dạng 3.2 Tìm vi phân hàm số 232 Ví dụ 232 Bài tập áp dụng 232 ÔN TẬP CHƯƠNG V 233 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 253 255 255 A Tóm tắt lý thuyết 255 B Dạng tốn tập 255 Dạng 1.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng 255 Dạng 1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 270 Ví dụ 270 Bài tập áp dụng 271 Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang Ƅ MỤC LỤC MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 287 Dạng 2.1 Chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 288 Dạng 2.2 Chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 291 Dạng 2.3 Xác định góc hai mặt phẳng 293 Dạng 2.4 Thiết diện vng góc 302 KHOẢNG CÁCH 304 A Tóm tắt lý thuyết 304 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 304 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 305 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 305 Khoảng cách hai mặt phẳng song song 305 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 305 B Dạng toán tập 305 Dạng 3.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 305 Ví dụ 306 Bài tập áp dụng 312 Dạng 3.2 Khoảng cách đường thẳng chéo 319 Ví dụ 320 Bài tập áp dụng 323 Ôn tập cuối chương III Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 332 0375113359 Trang PHẦN I ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CHƯƠNG GIỚI HẠN BÀI A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa (Giới hạn 0) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết lim un = hay lim un = hay un → n → +∞ n→+∞ Định nghĩa (Giới hạn a) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a lim(un − a) = Khi ta viết viết lim un = a hay lim un = a hay un → a n → +∞ Dãy số có giới hạn số a hữu n→+∞ hạn gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa (Giới hạn vơ cực) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞ un lớn số dương bất kỳ, kể từ số hạng trở Ký hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ Dãy số (un ) có giới hạn −∞ n → +∞ lim(−un ) = +∞ Ký hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ n → +∞ GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC Các giới hạn đặc biệt • lim = 0, nk Các giới hạn đặc biệt (k ∈ N∗ ) • lim q n = 0, (|q| < 1) • lim C = C, (C ∈ R) • lim nk = +∞, (k ∈ N∗ ) • lim q n = +∞, (q > 1) Định lí Định lí Nếu lim un = a lim = b • Nếu lim un = a lim = ±∞ un lim = • lim(un ± ) = a ± b • lim(un · ) = a · b (b = 0) • Nếu lim un = a > 0, lim = > un = +∞ 0, ∀n lim • Nếu un ≥ 0, √∀n lim un = a a ≥ √ lim un = a • Nếu lim un = +∞ lim = a > lim(un · ) = +∞ • lim un a = , b Định lí (Nguyên lý Kẹp) Cho ba dãy số (un ), (vn ), (wn ) Lúc đó, un ≤ ≤ wn , ∀n lim un = lim wn = a, (a ∈ R) lim = a Định nghĩa Cấp số nhân (un ) có cơng bội q gọi cấp số nhân lùi vô hạn |q| < Nhận xét Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un ) có cơng bội q Với n ∈ N∗ , đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un Lúc u1 lim Sn = (4.1) 1−q Ƅ Chương GIỚI HẠN Định nghĩa Giới hạn (4.1) gọi tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un ) ký hiệu S = u1 + u2 + u3 + · · · + un + · · · Như S = lim Sn = B u1 , (|q| < 1) 1−q DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP DẠNG 1.1 Tính giới hạn L = lim P (n) , với P (n), Q(n) đa thức Q(n) Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao tử mu, ri s dng cỏc cụng thc: ã lim đ • lim un = +∞ lim = a > đ ã c = 0, nk lim un = +∞ lim = a < (k ∈ N∗ , c ∈ R) • lim nk = +∞, ® ⇒ lim(un · ) = +∞ • lim = a > ® ⇒ lim(un · ) = −∞ • lim un = −∞ lim un = −∞ lim = a < (k ∈ N∗ ) ⇒ lim(un · ) = −∞ ⇒ lim(un · ) = +∞ VÍ DỤ VÍ DỤ Tính giới hạn L = lim 4n2 − n − + 2n2 Lời giải Å ã 1 1 n2 − − 4− − 4−0−0 n n n n Å ã = lim = Ta có L = lim = 3 0+2 + n +2 n2 n2 P (n) Hệ số bậc cao tử Nhận xét Nếu bậc tử P (n) bậc mẫu Q(n) lim = Q(n) Hệ số bậc cao mẫu VÍ DỤ Tính giới hạn L = lim 2n2 − n · (4n − 1)4 20n6 · (2n2 − n + 1) Lời giải ãò ï Å ãò ï Å n 4− n 2− n n L = lim ï Å ãò4 20n6 n2 − + n n Å ã Å ã n10 − n 4− n n = lim Å ã4 20n6 n8 − + n n Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 10 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Gọi N trung điểm AB ⇒ M N Ô AC (SM, AC) = (SM, M N ) … √ √ a2 39a a Ta có M N = AC = (tính chất đường trung bình), SM = SG2 + GM = a2 + = 2 12 √ M N + SM − SN 39 MN ÷ Xét tam giác SM N , có SM = SN cos SM N= = = 2M N · SM 2SM 26 √ 39 ⁄ ⇒ (SM, AC) = arccos 26 Ta có (SGM ) ⊥ BC ⊂ (ABC) ⇒ (SGM ) ⊥ (ABC) Do EF (SGM ) ∩ (ABC) = GM (SGM ) ∩ (GEF ) = GH, Ô ữ ((GEF ), (ABC)) = HGM 1 13 = + = Xét tam giác SGM , 2 GH SG GM √ a √ a 13 GH 39 ÷ ⇒ GH = ⇒ cos HGM = = 13 GM 13 BC ⇒ (SGM ) ⊥ (GEF ) ÷ < 90◦ GHM vuông H nên EGM BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a Biết SAB SAD tam giác vuông A, SA = a Chứng minh SA đường cao hình chóp Chứng minh mặt bên cịn lại hình chóp tam giác vng Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Lời giải S K H A B D C Từ giả thiết, ta có SA ⊥ AB, SA ⊥ AD, AB ∩ AD = A ⇒ SA ⊥ (ABCD) Ta có BC ⊥ AB BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) ⊃ BC) ⇒ BC ⊥ SB hay SBC vuông B Chứng minh tương tự ta có SDC vng D Gọi H, K hình chiếu A lên SB SD, nghĩa AH ⊥ SB AK ⊥ SD Theo chứng minh câu b) ta suy BC AH AH (SBC) Ô Chng minh tương tự ta có AK ⊥ (SCD) ⇒ ((SBC), (SCD)) = AH, AK Theo giả thiết SAB √ SAD vuông cân A, nên H, K lần √ lượt trung điểm SB SD a a ⇒ AH = AK = HK BD, HK = BD ⇒ HK = 2 ÷ = 60◦ ⇒ AHK ⇒ AHK ¤ Vậy ((SBC), (SCD)) = 60◦ BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt (SAB) (SAD) vng góc với đáy Biết SA = a Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 338 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Chứng minh SA ⊥ (SBCD) (SAB) ⊥ (SBC) Xác định góc tạo SD mặt phẳng (ABCD) Xác định góc tạo SB mặt phẳng (SCD) Lời giải S M N K A D P O B C Theo giả thiết, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD) Ta có BC ⊥ AB BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD) ⊃ BC) ⇒ BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) (SAB) (SBC) Ô = 45 (vỡ Ta có SD ∩ (ABCD) = D SA ⊥ ABCD = A ⇒ (SD, (ABCD)) = SDA SAD vuông cân) Gọi O tâm đáy M trung điểm SD Khi OM đường trung bình ca a Ô Ô OM SB, OM = SB , OM = ⇒ (SB, (SCD)) = (OM, (SCD)) 2 Gọi N P trung điểm SC CD a ⇒ ON SA, OP AD, OM = OP = ⇒ CD ⊥ (N OP ) (SCD) (N OP ) Ô ÷ Gọi K hình chiếu O lên N P ⇒ OK ⊥ (SCD) ⇒ (SB, √(SCD)) = OM K a a Do N OP vuông cân cạnh góc vng , nên OK = OK Ô ữ ữ sin OM K = = ⇒ OM K = 30 ⇒ (SB, (SCD)) = 30◦ OM SBD BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác vuông góc với mặt đáy Gọi H, J trung điểm AB, AD Chứng minh SH ⊥ (ABCD) (SBC) ⊥ (SAB) Xác định góc tạo hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) khoảng cách hai đường thẳng CJ SD Lời giải Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 339 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC S F K J A D E H I O B C SAB đều, nên SH ⊥ AB Ta lại có (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SH (vì SH ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) ® HI ⊥ CD ⇒ (SHI) ⊥ CD Gọi I trung điểm CD, ta có SI ⊥ CD ® (SHI) ∩ (SCD) = SI ¤ ‘ Mặt khác ⇒ ((SCD), (ABCD)) = SIH (SHI) ABCD = HI SH 3 Ô ‘ tan SIH = = ⇒ ((SCD), (ABCD)) = arctan HI 2 Do HO (SBC) ⇒ d(O, (SBC)) = d(H, (SBC)) Ta có (SAB) ⊥ (SBC) theo giao lên cạnh SB K √ tuyến√SB, hạ đường cao AK √ a a a ⇒ d(H, (SBC)) = HK = · = ⇒ d(O, (SBC)) = 2 4 Ta có HD ⊥ CJ ⇒ CJ ⊥ (SHD) Gọi E = CJ ∩ HD, hạ EF vng góc với SD F ⇒ d(CJ, SD)√= EF 1 5a = + ⇒ DE = Xét tam giác vuông CDJ, ta có DE JD2 CD2 FD FE FE F DE ∼ HDS ⇒ = ⇒ FE = · HS HD HS HS √ √ √ a 30 DE = SH + HD2 = 2a ⇒ EF = 20 Vì √ BÀI Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A Biết AB = a, SB = a SB ⊥ (ABC) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông Gọi I trung điểm BC Chứng minh (SAI) ⊥ (SBC) Xác định tính khoảng cách từ điểm B đến (SAI) Xác định tính góc SA (SBC) Lời giải S H I B C A Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 340 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Do SB ⊥ (ABC) nên suy SB ⊥ BA SB ⊥ BC, từ dẫn đến tam giác SAB SBC tam giác vuông B ™ AC ⊥ AB ( ABC vuông A Ta lại có ⇒ AC ⊥ (SAB) ⇒ AC ⊥ SA ⇒ AC ⊥ SB (SB ⊥ (ABC)) Vậy mặt bên hình chóp tam giác vng SAC vuông A Tam giác ABC cân A I trung điểm BC nên suy AI ⊥ BC Ta có AI ⊥ BC AI ⊥ SB (SB ⊥ (ABC)) ™ ⇒ AI ⊥ (SBC) ⇒ (SAI) ⊥ (SBC) Ta có (SAI) ⊥ (SBC) (SAI) ∩ (SBC) = SI Khi đó, kẻ BH ⊥ SI H, suy BH ⊥ (SAI) H nên d(B, (SAI)) = BH √ √ ABC vuông cân A nên BC = AB √2 = a BC a I trung điểm BC nên BI = = 2 SBI vng I có đường cao BH nên 1 1 6a2 = + = + = ⇒ BH = ⇒ BH = BH BS BI 3a2 2a2 6a2 √ 30a Vậy d(B, (SAI)) = √ 30a Ta có AI ⊥ (SBC) I nên SI hình chiếu vng góc SA lên (SBC) Vậy góc SA (SBC) góc ASI Xét tam giác SAI vng A, ta có √ BC a = SI = SB + BA2 = 2a 2 √ √ a AI ‘ = 20◦ 42 ‘ = · = ⇒ ASI Suy sin ASI = SA 2a AI = BÀI Cho √ S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SD ⊥ (ABCD) Biết AD = a, √ hình chóp AB = a 2, SC = a Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông Chứng minh (SBC) ⊥ (SCD) Xác định tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Xác định tính khoảng cách từ điểm D đến (SBC) Lời giải S H D A Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 C B Trang 341 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC Do SD ⊥ (ABCD) nên SD ⊥ DA SD ⊥ DC, suy tam giác SAD SCD tam giác vuông D ™ BC ⊥ CD (ABCD hình chữ nhật Ta có ⇒ BC ⊥ (SCD) ⇒ BC ⊥ SC ⇒ BC ⊥ SD (SD ⊥ (ABCD)) Chứng minh tương tự ta có tam giác SAB vng A Vậy mặt bên hình chóp tam giác vng SBC vuông C Do BC ⊥ (SCD) BC ⊂ (SBC) nên suy (SBC) ⊥ (SCD) (SBC) ∩ (ABCD) = BC Ta có CD ⊂ (ABCD); CD ⊥ BC ⇒ góc (SBC) (ABCD) góc hai đường thẳng CD SC ⊂ (SBC); SC ⊥ BC SC, góc SCD √ √ √ CD a ’ ’ = 54◦ 44 = √ = ⇒ SCD Xét tam giác vng SCD ta có CD = AB = a cos SCD = SC a Ta có (SBC) ⊥ (SCD) (SBC) ⊥ (SCD) = SC Khi đó, kẻ DH ⊥ SC H, suy DH ⊥ (SBC) H nên d(D, (SBC)) = DH Xét tam giác SCD vng D có đường cao DH, ta có SD = SC − CD2 = 2a √ √ DS · DC 2a · a 2 3a √ DH = = = SC a √ 3a Vậy d(D, (SBC)) = BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD√là hình thang vng A B Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy AD = 2AB = 2BC = 2a, SA = a Xác định tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Xác định tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Chứng minh (SAC) ⊥ (SCD) Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách hai đường thẳng M B SD Lời giải S M N H I A B D C Ta có AC hình chiếu vng góc SC lên (ABCD) nên góc SC (ABCD) góc SC AC, góc SCA √ √ Tam giác ABC vuông cân B nên AC = AB = a Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC, suy tam giác SAC vng A Ta có √ √ ’ = SA = a√3 = ⇒ SCA ’ = 50◦ 46 tan SCA AC a Vậy góc SC (ABCD) 50◦ 46 Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 342 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC ™ BC ⊥ AB (giả thiết) Ta có ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) (SBC) ∩ (ABCD) = BC Ta lại có AB ⊂ (ABCD); AB ⊥ BC ⇒ góc (SBC) (ABCD) góc hai đường thẳng SB ⊂ (SBC); SB ⊥ BC AB SB, góc SBA √ a √ SA ’ = 60◦ ’ = = ⇒ SBA Tam giác SAB vuông A nên tan SBA = AB a Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60◦ ® AI BC ⇒ ABCI hình bình hành ⇒ IC = AB = a AI = BC = a AD nên tam giác ACD vuông C, suy AC ⊥ CD Tam giác ACD có I trung điểm AD CI = ® CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SCD) Ta có CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) Gọi I trung điểm AD, ta có Gọi N trung điểm SD Ta có M N đường trung bình tam giác SAD nên M N AD AD MN = = a Suy M N BC M N = BC nên M N CB hình bình hành Suy M B N C Do đó, M B (SCD) Vậy ta có d(M B, SD) = d(M B, (SCD)) = d(M, (SCD)) MS d(M, (SCD)) = = Do AM cắt (SCD) S nên d(A, (SCD)) AS Do (SAC) ⊥ (SCD) (SAC) ∩ (SCD) = SC nên kẻ AH ⊥ SC H ta có AH ⊥ (SCD) H, suy d(A, (SCD)) = AH Tam giác SAC vng A có đường cao AH nên √ 1 1 6a2 30a = + = + = ⇒ AH = ⇒ AH = AH AS AC 3a 2a 6a 5 √ 30a Từ suy d(M, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 10 √ 30a Vậy d(M B, SD) = 10 BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a SA = SB = 3a Gọi I, J trung điểm AB CD SC = SD = Chứng minh (SOJ) ⊥ (SCD) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) Tính số đo góc hai mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SCD) Lời giải d S H A I J O B Ƅ Nguyễn Quốc Dương - D C 0375113359 Trang 343 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Do SA = SB = SC = SD nên hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) tâm đường trịn ngoại tiếp ABCD Mà ABCD hình chữ nhật nên tâm đường trịn ngoại tiếp O, suy SO ⊥ (ABCD) ™ SO ⊥ CD (do SO ⊥ (ABCD)) Ta có ⇒ CD ⊥ (SOJ) ⇒ (SOJ) ⊥ (SCD) SJ ⊥ CD ( SCD cân S J trung điểm CD) (SOJ) ⊥ (SCD) Kẻ OH ⊥ SJ H, ta có (SOJ) ∩ (SCD) = SJ ⇒ OH ⊥ (SCD) H Suy d(O, (SCD)) = OH ⊂ (SOJ); OH ⊥ SJ OH BC • OJ đường trung bình tam giác BCD nên OJ = = a; √ √ BD AB + BC 5a = = ; • OD = 2 √2 • SO = SD2 − OD2 = a; • Tam giác SOH vng O có đường cao OH, suy √ 1 a = + = ⇒ OH = OH OS OJ a √ a Vậy d(O, (SCD)) = ™ S ∈ (SAB) ∩ (SCD) ⇒ giao tuyến hai mặt phẳn (SAB) (SCD) đường thẳng d Ta có AB CD qua S song song với ™ AB CD SJ ⊥ CD Ta lại có ⇒ SJ ⊥ d Chứng minh tương tự ta có SI ⊥ d d CD Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc hai đường thẳng SI SJ Tam giác SIJ có O trung điểm IJ SO ⊥ IJ nên tam giác SIJ cân S Mặt khác ta lại có tam giác SOJ vuông cân O nên suy tam giác SIJ vuông cân S suy ‘ = 90◦ ISJ Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) 90◦ BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB tam giác cạnh a (SAB) vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AB Chứng minh SH ⊥ (ABCD) Tính số đo góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Tính khoảng cách đường thẳng SC DM với M trung điểm BC Lời giải S I A D E K H J B Ƅ Nguyễn Quốc Dương - M 0375113359 C Trang 344 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Ta có tam giác SAB H trung điểm AB nên SH ⊥ AB (SAB) ⊥ (ABCD) Từ ta có (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) SH ⊂ (SAB); SH ⊥ AB HD hình chiếu vng góc SD lên mặt phẳng (ABCD) Do đó, góc SD (ABCD) góc SDH √ • SH đường cao tam giác cạnh a nên SH = √ √ 5a 2 • HD = AH + HD = √ 15 SH ’ = 37◦ 46 ’ = ⇒ SDH • tan SDH = HD Vậy góc SD (ABCD) 37◦ 46 3a ; CD AH ⊂ (SCD) nên AH (SCD) Suy d(A, (SCD)) = d(H, (SCD)) ™ HK ⊥ CD Gọi K trung điểm CD, ta có ⇒ CD ⊥ (SHK) ⇒ (SCD) ⊥ (SHK) SH ⊥ CD (SCD) ⊥ (SHK) Kẻ HI ⊥ SK I, ta có (SCD) ∩ (SHK) = SK ⇒ HK ⊥ (SCD) I nên d(H, (SCD)) = HI HI ⊂ (SHK); HK ⊥ SK • HK = AD = a; √ 1 21a = + = ⇒ HI = • HI HS HK 3a √2 21a Vậy d(A, (SCD)) = Do AH Hình vng ABCD có M trung điểm BC H trung điểm AB, suy CH ⊥ DM ™ DM ⊥ CH ⇒ DH ⊥ (SHC) Gọi J giao điểm DM CH, kẻ JE ⊥ SC E, DM ⊥ SH JE đường vng góc chung DM SC nên d(SC, DM ) = JE SH SC SH · JC • SHC JEC ⇒ = ⇒ JE = ; JE JC √ SC √ 5a ; • DM = CH = BH + BC = √ 2 2 • SC = SH + HC √ = 2a ⇒ SC = 2a; CM · CD 5a • JC = = ; DM √ SH · JC 30a • JE = = SC 20 √ 30a Vậy d(SC, DM ) = 20 Ta có BÀI 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O SH vng góc mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn AO Cho SA = AB = a Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) ’ góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Tính góc Chứng minh SOA Lời giải Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 345 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC S a A D H a O C B BD ⊥ AC ⊂ (SAC) Ta có BD ⊥ SH ⊂ (SAC) ⇒ BD ⊥ (SAC) H = SH ∩ AC Mặt khác BD ⊂ (SBD) suy (SBD) ⊥ (SAC) Vì SH ⊥ (ABCD) nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) dABCD = SH √ a AC = Xét tam giác vuông SHA H có Ta có AH = 4 Ã Ç √ å2 √ a 14 2 SH = SA − AH = a − = a 4 BD = (SBD) ∩ (ABCD) SO BD Ô AC BD ⇒ ((SBD), (ABCD)) = SOA SO ⊂ (SBD) AC ⊂ (ABCD) Xét tam giác SAO có SH vừa đường trung √ tuyến vừa đường cao, suy a √ OH ’ ’ ≈ 70◦ Do SO = SA = a, cos SOA = = = ⇒ SOA SO a Ta có SAO cân S BÀI 12 Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD hình thang vng A D Biết AD = DC = a, AB = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 2, I trung điểm AB Chứng minh BC ⊥ (SAC) CI ⊥ SB Xác định tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) Xác định tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Xác định tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Lời giải Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 346 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC S K A I B D C H ® AI CD ⇒ AICD hình bình hành AI = CD = a ’ = 90◦ nên AICD hình chữ nhật Mà IAD Lại có ®AI = AD = a Do AICD hình vng ⇒ AC ⊥ ID IB CD Ta có ⇒ IBCD hình bình hành ⇒ BC DI nên BC ⊥ AC IB = CD ® BC ⊥ AC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAC) ®BC ⊥ SA CI ⊥ AB Ta có ⇒ CI ⊥ (SAB) ⇒ CI ⊥ SB CI ⊥ SA ® CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA Ta có SD hình chiu vuụng gúc ca SC lờn (SAD) Ô ⇒ (SC, (SAD)) = (SC, SD) =√CSD √ SAD vuông A ⇒ SD = AD2 + SA2 = a ’ = CD = √1 ⇒ CSD ’ = 30◦ SCD vuông D ⇒ tan CSD SD Ô Vy (SD, (SAD)) = 30 Ta có Ta có AC ⊥ BC ⇒ SC ⊥ BC (nh lớ ng vuụng gúc) Ô ⇒ ((SBC), (ABCD)) = (AC, SC) = SCA √ ADCI hình vng cạnh a ⇒ AC = a = SA Ô Vy ((SBC), (ABCD)) = 45 ’ = 45◦ SAC vuông cân A ⇒ SCA Gọi H giao điểm AD BC d(D, (SBC)) DH DH = ⇒ d(D, (SBC)) = d(A, (SBC)) = d(A, (SBC)) d(A, (SBC)) AH® AH AK ⊥ BC Kẻ AK ⊥ SC K, ta có ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AK AK ⊥ SC SA · AC SAC vuông A có đường cao AK ⇒ AK = √ = a SA2 + AC Vậy d(D, (SBC)) = a Khi √ BÀI 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AB = a, BC = 2a Gọi H, K hình chiếu vng góc B lên AC SC Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 347 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) SC ⊥ (BHK) Xác định tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Xác định tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBH) Lời giải S K M H A C B ® BC ⊥ AB ®BC ⊥ SA BH ⊥ AC ®BH ⊥ SA SC ⊥ BH SC ⊥ BK ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ SC ⊥ (BHK) Ta có AB ⊥ BC ⇒ SB BC (nh lớ ng vuụng gúc) Ô ’ Do ((SBC), (ABC)) = (SB, AB) = ABS √ SA ’ = 60◦ ’= = ⇒ ABS SAB vuụng ti A tan ABS AB Ô Vậy ((SBC), (ABC)) = 60◦ Vẽ AM ⊥ SH M , ta có ® AM ⊥ BH AM ⊥ SH ⇒ AM ⊥ (SBH) ⇒ d(A, (SBH)) = AM √ a AB ABC vuông B có đường cao BH ⇒ AH = = AC √ SA · AH a SAH vng A có đường cao AM ⇒ AM = √ = SA2 + AH √ a Vậy d(A, (SBH)) = BÀI 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi H, K trung điểm AB AD Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) Tính góc tạo SD mặt phẳng (ABCD) Xác định tính góc hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) Xác định tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAC), với G trọng tâm SAB Xác định tính khoảng cách hai đường thẳng CK SD Lời giải Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 348 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC S I N G A H K M B D L C AD ⊥ AB (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ (SAD) ⊥ (SAB) ® (SAB) ∩ (ABCD) = AB SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ HD hình chiếu vng góc SD lên (ABCD) SH ⊥ AB Ô (SD, (ABCD)) = (SD, HD) = SDH a SAB ⇒ SH = √ √ a AHD vuông A ⇒ HD = AH + AD2 = √ ’ = SH = 15 SHD vuông H tan SDH HD 15 Ô Vy (SD, (ABCD)) = α, với tan α = Dựng HM ⊥ AC M ⇒ SM ⊥ AC (nh lớ ng vuụng gúc) Ô ữ ⇒ ((SAC), (ABCD)) = (SM, SH) = SM H √ AH HM AH · BC a AHM ACB ⇒ = ⇒ HM = = AC BC AC √ SH ÷ = SHM vng H ⇒ tan SM H= HM Ô Vy ((SAC), (ABCD)) = β, với tan β = Kẻ GI ⊥ SM I ® AC ⊥ M H ⇒ AC ⊥ (SHM ) ⇒ AC ⊥ GI ⇒ GI ⊥ (SAC) ⇒ d(G, (SAC)) = GI √ a Ta có SG = SH = 3 √ √ a 14 2 SHM vuông H ⇒ SM = SH + HM = √ √ 21 21 SG · M H SIG SHM ⇒ GI = = ⇒ d(G, (SAC)) = SM 21 21 AC ⊥ SH Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 349 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Gọi L giao điểm CK HD Do ABCD hình vng nên CK ⊥ HD L ® CK ⊥ HD ⇒ CK ⊥ (SHD) CK ⊥ SH Kẻ ® LN ⊥ SD N , ta có LN ⊥ CK ⇒ d(CK, SD) = LN LN ⊥ SD √ AD · KD a DKL DAH ⇒ LD = = HD √5 SH · LD 30 DN L DHS ⇒ LN = = SD 20 √ 30 Vậy d(CK, SD) = 20 BÀI 15 Cho hình chóp S.ABC √ có đáy BC, SH ⊥ (ABC), SH = a ABC tam giác vuông cân A, AB = 2a Gọi H trung điểm Xác định tính góc hai mặt phẳng (SAC) (ABC) Xác định tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Lời giải S M B H C K A Kẻ HK ⊥ AC K ⇒ SK ⊥ AC (định lí đường vng góc) v KA = KC Ô Do ú ((SAC), (ABC)) = (HK, SK) = SKH ABC ⇒ HK = AB = a √ ’ = SH = ⇒ SKH ’ = 60◦ SHK vuông H tan SKH HK Ô Vy ((SAC), (ABC)) = 60◦ HK đường trung bình BH ∩ (SAC) = C ⇒ ® d(B, (SAC)) BC = = ⇒ d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) d(H, (SAC)) HC AC ⊥ HK ⇒ AC ⊥ (SHK) AC ⊥ SH Kẻ ® HM ⊥ SK M , ta có HM ⊥ AC ⇒ HM ⊥ (SAC) ⇒ d(H, (SAC)) = HM HM ⊥ SK √ SH · HK a SHK vng H có đường cao HM ⇒ HM = √ = SH + HK √ Vậy d(B, (SAC)) = 2HM = a Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 350 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GĨC √ BÀI 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a 2, AA = 2a Chứng minh (A BD) ⊥ (AA C C) Tính góc đường thẳng A C với mặt phẳng (ABCD) (AA B B) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD CD Lời giải D A B C K A D O B ® BD ⊥ AC BD ⊥ AA C ⇒ BD ⊥ (AA C A) ⇒ (A BD) ⊥ (AA C C) AC hình chiếu vng góc A C lên (ABCD) ⁄ ÷ (AÔ C, (ABCD)) = (A C, AC) = ACA √ AC đường chéo hình vng cạnh a ⇒ AC = 2a ÷ = AA = ⇒ ACA ÷ = 45◦ AA C vng A ⇒ tan ACA AC Mặt khác, A B hình chiếu vng góc A C lên (AA B B) ¤ ÷ ⇒ (A ¤ C, (AA B B)) = (A C, A B) √ = CA B √ AA B vuông A ⇒ A B = A A2 + AB = a CB ÷ ÷ CBA vuông B ⇒ tan CA B= = √ ⇒ CA B = 30◦ AB Vậy góc đường thẳng A C với mặt phẳng (ABCD) (AA B B) 45◦ 30◦ Xét mặt phẳng (A BD) chứa BD song song với CD Khi d(BD, CD ) = d(CD , (A BD)) = d(C, (A BD)) Gọi O tâm hình vng ABCD d(A, (A BD)) AO Ta có = = ⇒ d(C, (A BD)) = d(A, (A BD)) d(C, (A BD)) CO Kẻ AK ⊥ A O, ta có ® AK ⊥ BD ⇒ AK ⊥ (A BD) ⇒ d(A, (A BD)) = AK AK ⊥ A O √ 2a AO · AA = AA O vng A có đường cao AK ⇒ AK = √ AO2 + A A2 √ 2a Vậy d(BD, CD ) = BÀI 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Gọi E, F trung điểm AB BC Chứng minh SAD tam giác vuông Chứng minh hai mặt phẳng (SDF ) (SEC) vng góc với Gọi I điểm nằm cạnh AD cho ID = 3IA Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SF I) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA EF Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 351 Ƅ Chương VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Lời giải S A H I A E T B D I D E K P B F O K C F C (SAB) ⊥ (ABCD) SE ⊂ (SAB) ⇒ SE ⊥ (ABCD) SE ⊥ AB = (SAB) ∩ (ABCD) ® AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ SAD vuông A AD ⊥ SE ABCD hình vng ⇒ EF ⊥ DF ® Ta có DF ⊥ EC DF ⊥ SE ⇒ DF ⊥ (SEC) ⇒ (SDF ) ⊥ (SEC) Gọi P trung điểm IF , kẻ EK ⊥ IF K Ta có ® EP ⊥ AB ® EP ⊥ SE IF ⊥ EK ⇒ EP ⊥ (SAB) ⇒ IF ⊥ (SEK) IF ⊥ SE Kẻ ® EH ⊥ SK H, ta có EH ⊥ IF ¤ ⁄ ⇒ EH ⊥ (SF I) ⇒ ((SAB), (SF I)) = (EP, EH) = α EH ⊥ SK ® EP ⊥ (SAB) Ta có ⇒ IA ⊥ (SAB) BF ⊥ (SAB) IA F B ED ⇒ SAB hình chiếu SIF lên (SAB) √ ⇒ S SAB =√cos α · S √ a2 15 a2 = cos α · · SK · IF = cos α · ⇒ cos α = ⇒ SIF AC ⇒ d(SA, EF ) = d(EF, (SAC)) = d(E, (SAC)) Kẻ ET ⊥ AC T , gọi O tâm √ hình vng ABCD a Khi ta có ET = BO = ® AC ⊥ ET ⇒ AC ⊥ (SET ) AC ⊥ SE EF √ ET · SE a 21 Kẻ EJ ⊥ ST J ⇒ EF ⊥ (SAC) ⇒ d(E, (SAC)) = EF = √ = 14 ET + SE Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 352 ... - √ 2x x − − x2 + 2( x2 − 4) x? ?2 x? ?2 4x − − x2 x √ + 2( x − 2) (x + 2) x−1+x lim x? ?2 x? ?2 (x − 2) 2 −x √ + 2( x − 2) (x + 2) x−1+x lim x? ?2 x? ?2 Å ã (x − 2) lim −x √ + 2( x + 2) x? ?2 x−1+x lim 037 5113 359... (n2 + 2) (3 − n) + 2n3 (3n2 + 2) (5 − n) lim (2n − 1 )2 (3 − 4n3 ) (4n + 2) 3 (2 − n )2 lim (2n4 + 1 )2 (n + 2) 9 n17 + lim (n2 + 2) (n − 1 )2 (n + 1)(2n + 3)3 10 lim (n + 2) 3 (3 − n) (3n2 + 2) (5 − n )2. .. 3 )2 + 4x − + B = lim x→1 √ √ 2x2 + − 2x + BÀI 16 B = lim √ √ x? ?2 x2 + − x + Lời giải √ √ √ √ 2x2 + − 2x + (2x2 − 2x − 4)( x2 + + x + 3) √ B = lim √ = lim √ √ x? ?2 x? ?2 (x2 − x − 2) ( 2x2 + + x2
Ngày đăng: 13/10/2022, 21:30
Xem thêm:
