Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài toán 11

MỤC LỤC PHẦN I Đại số - Giải tích CHƯƠNG Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác Công thức lượng giác cần nắm A 21 23 23 Tóm tắt lý thuyết 23 Hàm số lượng giác 26 A Tóm tắt lý thuyết 26 B Các dạng tốn thường gặp 29 Dạng 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác 29 Bài tập vận dụng 30 Bài tập tự luyện 32 Dạng 2.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác 33 Ví dụ 33 Bài tập áp dụng 34 Bài tập rèn luyện 38 Dạng 2.3 Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác 39 Ví dụ 40 Bài tập áp dụng 40 Bài tập rèn luyện 41 Phương trình lượng giác 41 A Phương trình lượng giác 41 Ví dụ 42 Bài tập áp dụng 42 MỤC LỤC Bài tập rèn luyện 43 B Một số kỹ giải phương trình lượng giác 44 Dạng 3.1 Sử dụng thành thạo cung liên kết 44 Ví dụ 44 Bài tập áp dụng 46 Bài tập rèn luyện 51 Dạng 3.2 Ghép cung thích hợp để áp dụng cơng thức tích thành tổng 52 Ví dụ 52 Bài tập áp dụng 53 Bài tập rèn luyện 56 Dạng 3.3 Hạ bậc gặp bậc chẵn sin cos 56 Ví dụ 57 Bài tập áp dụng 58 Bài tập rèn luyện 59 Dạng 3.4 Xác định nhân tử chung để đưa phương trình tích 61 Ví dụ 61 Bài tập áp dụng 63 Bài tập rèn luyện 65 Phương trình lượng giác đưa bậc hai bậc cao hàm lượng giác 89 A Tóm tắt lý thuyết 89 B Dạng tốn tập 89 Ví dụ 89 Bài tập vận dụng 92 Bài tập tự luyện 104 MỤC LỤC Phương trình bậc sin cos 108 A Tóm tắt lý thuyết 108 B Ví dụ tập 109 Ví dụ 109 Bài tập áp dụng 114 Bài tập rèn luyện 119 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4) 121 A Tóm tắt lý thuyết 121 B Ví dụ 122 C Bài tập áp dụng 123 Phương trình lượng giác đối xứng 131 A Tóm tắt lý thuyết 131 B Ví dụ 131 C Bài tập áp dụng 132 D Bài tập rèn luyện 138 Một số phương trình lượng giác khác 139 A Tóm tắt lý thuyết 139 B Ví dụ 140 C Bài tập áp dụng 141 D Bài tập rèn luyện 145 Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 146 A Tóm tắt lý thuyết 146 B Ví dụ 147 C Bài tập áp dụng 150 MỤC LỤC D 10 Bài tập rèn luyện Bài tập ôn cuối chương I CHƯƠNG Tổ hợp xác suất Các quy tắc đếm 156 169 169 A Tóm tắt lý thuyết 169 B Dạng tốn tập 170 Ví dụ 170 Dạng 1.1 Bài toán sử dụng quy tắc cộng 170 Dạng 1.2 Bài toán sử dụng quy tắc nhân 171 Dạng 1.3 Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ 172 Bài tập áp dụng 172 155 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 187 A Tóm tắt lý thuyết 187 B Ví dụ minh họa 189 C Dạng tốn tập 191 Dạng 2.1 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 191 Ví dụ 191 Bài tập áp dụng 194 Bài tập rèn luyện 197 Dạng 2.2 Các toán sử dụng hốn vị 199 Ví dụ 199 Bài tập áp dụng 201 Bài tập rèn luyện 203 MỤC LỤC Dạng 2.3 Các toán sử dụng chỉnh hợp 204 Ví dụ 204 Bài tập áp dụng 206 Bài tập rèn luyện 208 Dạng 2.4 Các toán sử dụng tổ hợp 209 Ví dụ 209 Bài tập áp dụng 211 Bài tập rèn luyện 213 Nhị thức Newton 215 A Nhị thức Newton 215 B Tam giác Pascal 216 C Dạng tốn tập 216 Dạng 3.1 Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước 216 Ví dụ minh họa 217 Bài tập áp dụng 219 Bài tập rèn luyện 221 Dạng 3.2 Tìm hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b)n 222 Ví dụ 223 Bài tập áp dụng 225 Bài tập rèn luyện 228 Dạng 3.3 Chứng minh tính tổng 232 Ví dụ 233 Bài tập áp dụng 235 Bài tập rèn luyện 236 MỤC LỤC Biến cố xác suất biến cố 237 A Phép thử 237 B Biến cố 238 C Xác suất 238 Dạng 4.1 Chọn xếp đồ vật 241 D Lí thuyết 241 E Ví dụ 242 F Bài tập rèn luyện 244 G Bài tập tự luyện 247 Dạng 4.2 Chọn xếp người 250 H Lí thuyết 250 I Ví dụ 251 J Bài tập rèn luyện 253 K Bài tập tự luyện 256 Dạng 4.3 Chọn xếp số 262 L Lí thuyết 262 M Ví dụ 262 N Bài tập rèn luyện 266 O Bài tập tự luyện 269 Các quy tắc tính xác suất 277 A Tóm tắt lý thuyết 277 Quy tắc cộng xác suất 277 Quy tắc nhân xác suất 280 B Bài tập áp dụng 282 MỤC LỤC Bài tập ôn chương CHƯƠNG Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân Phương pháp quy nạp toán học 290 301 301 A Tóm tắt lý thuyết 301 B Dạng tốn tập 301 Dạng 1.1 Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n 301 Ví dụ 301 Bài tập áp dụng 304 Bài tập rèn luyện 308 Dãy số 314 A Tóm tắt lý thuyết 314 Định nghĩa 314 Cách cho dãy số 314 Dãy số tăng, dãy số giảm 314 Dãy số bị chặn 315 B Dạng tốn tập 315 Dạng 2.1 Tìm số hạng dãy số cho trước 315 Ví dụ 315 Bài tập áp dụng 317 Bài tập rèn luyện 319 Dạng 2.2 Xét tính tăng, giảm dãy số 321 Ví dụ 321 Bài tập áp dụng 322 Bài tập rèn luyện 324 MỤC LỤC Dạng 2.3 Tính bị chặn dãy số 327 Ví dụ 327 Bài tập áp dụng 328 Bài tập rèn luyện 330 Cấp số cộng A Tóm tắt lý thuyết 332 B Dạng tốn tập 333 Ví dụ 333 Bài tập áp dụng 336 Cấp số nhân 356 A Tóm tắt lý thuyết 356 B Dạng tốn tập 357 Ví dụ 357 Bài tập áp dụng 359 Bài tập rèn luyện 363 CHƯƠNG GIỚI HẠN 332 Giới hạn dãy số 367 367 A Tóm tắt lí thuyết 367 Giới hạn dãy số 367 Các định lý giới hạn hữu hạn 367 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 367 Giới hạn vô cực 368 B Các dạng toán 368 Dạng 1.1 Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 368 MỤC LỤC Dạng 1.2 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức 371 Dạng 1.3 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an 371 Dạng 1.4 Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 377 Dạng 1.5 Giới hạn dãy số chứa thức 379 Giới hạn hàm số 389 A Tóm tắt lý thuyết 389 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm 389 Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực 390 Giới hạn vô cực hàm số 391 B Các dạng toán 393 Dạng 2.1 Giới hạn hàm số dạng vô định Dạng 2.2 Giới hạn dạng vô định 0 ∞ ; ∞ − ∞; · ∞ ∞ Dạng 2.3 Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức giới hạn bên Hàm số liên tục 393 410 414 421 A Tóm tắt lí thuyết 421 Hàm số liên tục điểm 421 Hàm số liên tục khoảng 421 Một số định lí 421 B Các dạng tốn 422 Dạng 3.1 Xét tính liên tục hàm số điểm 422 Dạng 3.2 Hàm số liên tục tập hợp 428 Dạng 3.3 Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 431 Dạng 3.4 Chứng minh phương trình có nghiệm 434 10 MỤC LỤC Đề Kiểm tra Chương IV A Đề số 1a 440 B Đề số 1b 442 C Đề số 2a 443 D Đề số 2b 445 E Đề số 3a 446 F Đề số 3b 450 G Đề số 4a 453 H Đề số 4b 454 I Đề số 5a 456 J Đề số 5b 458 K Đề số 6a 460 L Đề số 6b 462 CHƯƠNG ĐẠO HÀM 440 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm 465 465 A Tóm tắt lí thuyết 465 Đạo hàm điểm 465 Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số 465 Ý nghĩa hình học đạo hàm 465 Ý nghĩa vật lí đạo hàm 465 Đạo hàm khoảng 466 Đạo hàm bên 466 B Các dạng tốn 466 Dạng 1.1 Tính đạo hàm hàm số định nghĩa 466 KHOẢNG CÁCH 773 B A M I D C N A B D C Ta có BD ⊥ ( ACC A”) ⇒ BD ⊥ AC Lại có B C ⊥ ( ABC ) ⇒ B C ⊥ AC Vậy ta có đường thẳng AC vng góc với hai đường thẳng B C BD Lấy điểm I thuộc BC Gọi M giao điểm AI BD; N giao điểm IC B C Ta cần tìm vị trí I để MN AC IM IN IC IB Ta có MN AC ⇔ = = ⇔ ⇔ IB = IC MA NC AD BC Vậy I trung điểm BC MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng BD B C với M giao điểm AI BD; N giao điểm IC B C BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) SO = a Tính Khoảng cách hai đường thẳng SC AB Lời giải S H B C I O A D Ta có: DC AB ⇒ AB (SCD ) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB; (SCD )) = d ( A; (SCD )) Gọi I trung điểm CD, ta có CD ⊥ OI Mà CD ⊥ SO ⇒ CD ⊥ (SOI ) ⇒ (SCD ) ⊥ (SOI ) theo giao tuyến SI 774 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC Trong mặt phẳng (SOI ), kẻ OH ⊥ SI H, ta có OH ⊥ (SOI ) 1 Trong tam giác vuông SOI ta có = + = + = OI SO2 a2 a2 a2 √OH a Suy d (O; (SCD )) = OH = √ 2a Vậy d ( AB; (SCD )) = d ( A; (SCD )) = 2d (O; (SCD )) = BÀI Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, mặt bên SBC tạo với đáy góc 60◦ Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SA BC b) SB AC Lời giải S H C A 60◦ K D B I ® AK ⊥ BC AK ⊥ SA Do AK đoạn vng √ góc chung hai đường thẳng SA BC a Vậy d(SA, BC ) = AK =   (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC b) Ta có SA ⊥ ( ABC )   AK ⊥ BC ‘ góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABC ) Do SKA ‘ = 60◦ ⇒ SK ⊥ BC ⇒ SKA ‘ = 60◦ ⇒ SA = AK tan 60◦ = 3a Tam giác SAK vuông A có SKA Trong mặt phẳng ( ABC ), dựng hình thoi ACBD, ta có: BD AC ⇒ AC (SBD ) ⇒ d( AC, SB) = d( AC, (SBD )) = d( A, (SBD )) Gọi I trung điểm BD, ta có: BD ⊥ AI BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAI ) ⇒ (SBD ) ⊥ (SAI ) theo giao tuyến SI Trong mặt phẳng (SAI ), kẻ AH ⊥ SI H, ta có: AH ⊥ (SBD ) ⇒ AH = d( A, (SBD )) Tam giác SAI vng A có đường cao AH 1 4 16 ⇒ = + = + = 2 AH SA AI 9a 3a 9a a) Gọi K trung điểm BC, ta có KHOẢNG CÁCH 775 9a2 3a hay AH = 16 3a Vậy d(SB, AC ) = ⇒ AH = BÀI Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC CD Lời giải A B O C D A H B O D C Gọi O, O tâm hai hình vng ABCD A B C D Ta có ( ACD ) ( BA C ) ⇒ d( BC , CD ) = d (( ACD ), ( BA C )) = d(O, ( BA C )) Ta có A C ⊥ (OBB O ) ⇒ ( BA C ) ⊥ (OBB O ) theo giao tuyến BO Trong mặt phẳng (OBB O ), kẻ OH ⊥ BO H, ta có OH ⊥ ( BA C ) ⇒ d (O, ( BA C )) = OH Tam giác OBO vng O có OH đường cao 1 = + = + = ⇒ OH OB2 OO √a2 a2 a2 a2 a ⇒ OH = hay OH = 3 √ a Vậy d( BC , CD ) = BÀI TẬP TỔNG HỢP BÀI √ Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC tam giác tâm O, A A = A B = A C = a a 21 , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABB A ) Tính độ dài cạnh đáy hình lăng trụ cho Lời giải 776 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC C A B H C A O I B Ta có O tâm tam giác ABC A A = A B = A C nên A O trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ A O ⊥ ( ABC ) ® OI ⊥ AB Gọi I trung điểm AB, ta có ⇒ AB ⊥ ( A OI ) A O ⊥ AB ⇒ ( A OI ) ⊥ ( ABB A ) theo giao tuyến A I Trong mặt phẳng ( A OI ), kẻ OH ⊥ A I H, ta có OH ⊥ ( ABB A ) a ⇒ OH = d(O, ( ABB A ) = √ √ 1 x x Gọi độ dài cạnh đáy x (x > 0) ta có OI = CI = · = 3 Tam giác A OI vng O có OH đường cao 1 1 1 12 a2 x 2 = ⇒ = + ⇒ = − = − ⇒ OA (1) OH OI OA OA OH OI a2 x2 4x2 − 12a2 Ta lại có tam giác A OA vuông O 7a2 − x2 7a2 x2 − = (2) ⇒ OA = AA − OA2 = 3 Từ (1) & (2), ta có: a2 x 7a2 − x2 = ⇔ 3a2 x2 = 28a2 x2 − 4x4 − 84a4 + 12a2 x2 4x2 − 12a2   x = 2a x = 4a2 √ 2   ⇔ ⇔ 4x − 37 x + 84a = ⇔ a 21 21a x= x2 = √ a 21 Vậy độ dài cạnh đáy hình lăng trụ cho 2a √ BÀI Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Gọi ( P) mặt phẳng chứa AB khoảng cách CD ( P) a a) Tính góc hai mặt phẳng ( P) ( ABCD ) b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( P) Tính diện tích thiết diện Lời giải KHOẢNG CÁCH 777 S M K N H B C J D I A a) Gọi I,®J trung điểm AB, CD AB ⊥ SI Ta có ⇒ AB ⊥ (SI J ) ⇒ ( P) ⊥ (SI J ) AB ⊥ I J Lại có CD AB ⇒ CD ( P) ⇒ (SCD ) ∩ ( P) = MN CD ( M ∈ SC, N ∈ SD ) Trong mặt phẳng (SCD ), gọi K giao điểm SJ MN, ta có ( P) ∩ (SI J ) = IK Trong mặt phẳng (SI J ), kẻ JH ⊥ IK H, ta có JH ⊥ ( P) ⇒ JH = d( J, ( P)) Vì CD ( P) nên d(CD, ( P)) = d( J, ( P)) Do đó, ta có JH = a  ( P) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒‘ J I H góc hai mặt phẳng ( P) ( ABCD ) Ta có AB ⊥ I J   AB ⊥ IK JH Tam giác I H J vuông H nên tan ‘ JIH = = ⇒‘ J I H = 30◦ IJ b) Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( P) hình thang ABMN Tam giác SI A vuông I nên SI = SA2 − I A2 = 5a2 − a2 = 4a2 ⇒ SI = 2a ⇒ SJ = SI = I J = 2a ⇒ tam giác SI J cạnh 2a ⇒ IK đường phân giác tam giác SI J nên IK đường trung tuyến, đường cao tam giác SI J ⇒ K trung điểm SJ hay MN đường trung bình tam giác SCD ⇒ MN = a Hình thang ABMN có hai đáy MN, √ AB đường cao IK nên có diện tích là: 3a S ABMN = ( AB + MN ).IK = 2 778 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC BÀI A ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ĐỀ SỐ 1A Câu (6 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh AB = a Mặt bên (SAB) tam giác vng góc với mặt đáy Gọi H, J trung điểm AB, AD a) Chứng minh SH ⊥ ( ABCD ); (SBC ) ⊥ (SAB) b) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SCD ) ( ABCD ) c) Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC ) khoảng cách hai đường thẳng CJ SD Lời giải S Q P J A D K F H B I O C a) Ta có tam giác SAB có H trung điểm AB nên SH ⊥ AB  (SAB) ⊥ ( ABCD ) Mà (SAB) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (0.5)   SH ⊂ (SAB) Ta có BC ⊥ SH (vì tam giác SAB tam giác vng góc với mặt đáy) BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC ) ⊥ (SAB) (0.5) ® I H ⊥ CD b) Gọi I trung điểm CD Ta có: ⇒ CD ⊥ (SH I ) ⇒ CD ⊥ SI (0.5) SH CD Ô M (SCD ) ( ABCD ) = CD ⇒ ((SCD ), ( ABCD (0.5) √ )) = (SI, H I ) √ SH a ‘ Ta có tam giác SH I vng H, có SH = , I H = a, tan SI H= = IH ◦ ‘ ⇒ SI H ≈ 41 ¤ Vậy ((SCD ), ( ABCD )) = 41◦ (0.5) c) Ta có OH BC ⊂ (SBC ) ⇒ OH (SBC ) ⇒ d(O, (SBC )) = d( H, (SBC )) (0.5) (SAB) ⊥ (SBC ), (SAB) ∩ (SBC ) = SB, (SAB) kẻ HF ⊥ SB F ⇒ HF ⊥ (SBC ) ⇒ d( H, (SBC )) = HF (0.5) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 779 1 16 = + = Tam giác SHB vng H có HF đường cao nên 2 HF SH HB 3a √ √ a a ⇒ HF = Vậy d(O, (SBC )) = (0.5) 4 ‘ = ADH, ’ mà DCJ ‘ + DJC ‘ = 90◦ Ta có ∆CDJ = ∆DAH ⇒ DCJ ’ + DJC ‘ = 90◦ ⇒ JC ⊥ DH CJ ⊥ SH ⇒ CJ ⊥ (SDH ) (1.0) ⇒ ADH Gọi K = CJ ∩ DH Trong (SDH ) kẻ KP √ ⊥ SD P Ta có d(CJ, SD √ ) = KP (0.5) a 30 a 30 DK = ⇒ KP = Vậy d(CJ, SD ) = (0.5) DH 20 20 Câu (4 điểm)Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A Cạnh SA ⊥ ( ABC ) biết √ SA = AC = a 3, AB = a a) Tính góc hợp cạnh SB với mp(SAC) b) Dựng AH ⊥ BC H Chứng minh (SAH ) ⊥ (SBC ) c) Tính góc hợp (SBC ) ( ABC ) d) Gọi I trung điểm SA Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC ) Lời giải S K I L C A H B a) Ta có BA ⊥ AC BA ⊥ SA ⇒ BA ⊥ ( ABC ) ⇒ AB hình chiếu SB lên ( ABC ) ‘ (0.5) (Ô SB, (SAC )) = Ÿ (SB, AS) = BSA √ AB a Ta có tan BSA = = √ = SA a ⇒ BSA = 30◦ (0.5) 780 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC b) Ta có SA ⊥ BC Mà AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAH ) ⇒ (SBC ) ⊥ (SAH ) (0.5) c) Ta có BC ⊥ (SAH ) ⇒ BC ⊥ AH BC SH Ô ((SCB ), ( ABC )) = (⁄ SH, AH ) = SH A (0.5) Trong tam giác SAH vng√tai A ta có: 1 a SA ’ = + ⇒ AH = tan SH A = = ⇒ SH A = arctan (0.5) 2 2 AH AH AB AC d) Từ I dựng IK ⊥ SH Ta có (SBC ) ⊥ (SAH ) ⇒ IK ⊥ (SBC ) ⇒ IK khoảng cách từ A đến (SBC ) (0.5) Gọi AL đường cao tam giác √ SAH ta có 1 a = + ⇒ AL = √ 2 AL AS AH √ AL a ⇒ IK = ⇒ IK = √ (0.5) 2 B ĐỀ SỐ 1B Câu (6 điểm)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh AB = a Mặt bên (SAD ) tam giác vng góc với mặt đáy Gọi I, M trung điểm AD, AB a) Chứng minh SI ⊥ ( ABCD ); (SAD ) ⊥ (SCD ) b) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC ) ( ABCD ) c) Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD ) khoảng cách hai đường thẳng CM SB Lời giải S Q P M A B K H F I D O C a) Ta có tam giác SAD  có I trung điểm AD  (SAD ) ⊥ ( ABCD ) Nên SI ⊥ AD (SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) (0.5)   SI ⊂ (SAD ) Ta có CD ⊥ SI AD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SAD ) ⇒ (SAD ) ⊥ (SCD ) (0.5) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 781 b) Gọi H ® trung điểm BC H I ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SH I ) ⇒ BC ⊥ SH (0.5) Ta có: SI ⊥ BC Ô M (SBC ) ( ABCD ) = BC ⇒ ((SBC ), ( ABCD )) = (Ÿ SH, H I ) √ (0.5) √ ‘I = SI = Ta có tam giác SH I vng I, có SI = a ; I H = a, tan SH HI ◦ ‘ ⇒ SH I ≈ 41 (0.5) Ô Vy ((SBC ), ( ABCD )) ≈ 41◦ c) Ta có: OI CD ⊂ (SCD ) ⇒ OI (SCD ) ⇒ d(O, (SCD )) = d( I, (SCD )) (0.5) (SAD ) ⊥ (SCD ), (SAD ) ∩ (SCD ) = SD , (SAD ) kẻ IF ⊥ SDtại F ⇒ IF ⊥ (SCD ) ⇒ d( I, (SCD )) = IF (0.5) 1 16 Tam giác SID vng I có IF đường cao nên = + = 2 IF SI ID 3a √ a ⇒ IF = (0.5) √ a Vậy d (O, (SCD )) = ’ = ABI ‘ Mà BCM ’ + BMC ’ = 90◦ Ta có: ∆CBM = ∆BAI ⇒ BCM ‘ + BMC ’ = 90◦ ⇒ CM ⊥ BI CM ⊥ SI ⇒ CM ⊥ (SBI ) (1.0) ⇒ ABI Gọi K = CM ∩ BI Trong √ (SBI ) kẻ KP ⊥ SB P Ta có d(CM, SB) = KP (0.5) a 30 DK = ⇒ KP = DI √20 a 30 Vậy d (CM, SB) = (0.5) 20 Câu √ (4 điểm)Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh a Cạnh SA ⊥ ( ABC ) SA = a a) Tính góc hợp cạnh SC với ( ABC ) b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh (SAI ) ⊥ (SBC ) c) Tính góc hợp (SBC ) ( ABC ) d) Gọi J trung điểm SA Tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC ) Lời giải S K H J C A I B 782 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC a) Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AC hình chiếu SC lên ( ABC ) ¤ ‘ (0.5) ⇒ (SC, ( ABCD ) = (Ÿ SC, AC ) = SCA √ SA Ta có tan SCA = = ⇒ SCA = 60◦ (0.5) AC b) Ta có BC ⊥ AI (vì ∆ABC đều) Mặt khác SA ⊥ BC (Vì SA ⊥ ( ABC )) ⇒ BC ⊥ (SAI ) ⇒ (SBC ) ⊥ (SAI ) (1.0) c) Ta có BC ⊥ (SAI ) BC AI v BC SI Ô ‘ ⇒ ((SCB ), ( ABC )) = (ÿ SI, AI ) = SI A (0.5) SA ‘ ‘ = ⇒ SI A = arctan (0.5) Trong tam giác SAI vuông tai A ta có tan SI A= AI d) Từ J dựng JK ⊥ SI Ta có (SBC ) ⊥ (SAH ) ⇒ JK ⊥ (SBC ) ⇒ JK khoảng cách từ A đến (SBC ) (0.5) Gọi AH đường cao tam giác √ SAI ta có √ 1 a a AH = + ⇒ AH = √ ⇒ JK = ⇒ IK = √ (0.5) AH AS2 AI 5 C ĐỀ SỐ 2A Câu Cho hình thang ABCD vng A (AB CD), AB = AD = a, CD = 2a O trung điểm CD Trên đường thẳng qua O vng góc với ( ABCD ), lấy điểm S cho SA tạo với đáy ( ABCD ) góc 45◦ Chứng minh BD vng góc với mặt phẳng (SAO) Chứng minh mặt phẳng (SBD ) vng góc với mặt phẳng (SAO) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD ) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD BC Lời giải Vẽ hình [1 điểm] S H I C O B D J A ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 783 ’ = 90◦ ) Vì O trung điểm CD ⇒ CO = DO = a = AB ⇒ ABOD hình vng ( BAD ⇒ AO ⊥ BD J [1 điểm] Vì BD ⊥ AO, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAO) [1 điểm] Vì BD ⊥ (SAO) BD ∈ (SBD ) ⇒ (SBD ) ⊥ (SAO) [1 điểm] Vì ABOD hình vng nên AB ⊥ OB Mà AB ⊥ SO (do SO ⊥ ( ABCD )) nên AB ⊥ (SBO) ⇒ AB ⊥ SB [0,5 điểm] Lại có (SAB) ∩ ( ABCD ) = AB, AB ⊥ SB, AB ⊥ OB, SB ⊂ (SAB), OB ⊂ ( ABCD ) nên góc ‘ [1 điểm] (SAB) ( ABCD ) SBO √ Vì ABOD hình vng cạnh a ⇒ AO = a Do SA tạo với ( ABCD ) góc 45◦ nên √ ’ = 45◦ ⇒ SO = a [0,5 điểm] SAO √ ‘ ≈ 54, 76◦ [1 điểm] ‘ = SO = ⇒ SBO Xét tam giác SOB vng O có tan SBO OB BC ⇒ √ d ⊥ BD Từ O kẻ OI ⊥ d ( I ∈ d) ⇒ a DJOI hình vng DI ⊥ (SOI ) ⇒ OI = DJ = [1 điểm] Kẻ OH ⊥ SI ( H ∈ SI ) ⇒ OH ⊥ (SID ) ⇒ OH = d(O; (SID )) [0,5 điểm] Xét ∆SOI vng tại√O có √ √ a 1 a SO = a 2, OI = ⇒ = + ⇒ OH = √ [1 điểm] OH SO2 OI d(C, (SDI )) CD Có CO cắt (SDI ) D ⇒ = =2 d(O, (SDI )) √OD 2a ⇒ d( BC, SD ) = d(C, (SDI )) = 2OH = √ [0,5 điểm] Trong ( ABCD ), kẻ đường thẳng d qua D, d D ĐỀ SỐ 2B Câu Cho hình thang ABCD vuông A (AB SA tạo với đáy ( ABCD ) góc 60◦ CD), AB = AD = a, CD = 2a, SD ⊥ ( ABCD ) Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (SBD ) Gọi O trung điểm CD Chứng minh mặt phẳng (SBD ) vng góc với mặt phẳng (SAO) Tính góc hai mặt phẳng (SBC ) ( ABCD ) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) Lời giải Vẽ hình [1 điểm] 784 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC S H O D A C B ’ = 90◦ ) [0,5 Vì O trung điểm CD ⇒ CO = DO = a = AB ⇒ ABOD hình vng ( BAD điểm] ⇒ AO ⊥ BD ⇒ AO ⊥ (SBD ) (vì SD ⊥ ( ABCD )) [0,5 điểm] Vì AB = OC, AB OC ⇒ ABCO hình bình hành ⇒ AO BC ⇒ BC ⊥ (SBD ) [1 điểm] Vì BD ⊥ AO, SD ⊥ AO ⇒ AO ⊥ (SBD ) Mà AO ⊂ (SAO) ⇒ (SBD ) ⊥ (SAO) [1 điểm] Vì BC ⊥ (SBD ) ⇒ BC ⊥ SB Lại có BC AO, AO ⊥ BD ⇒ BC ⊥ BD ⇒ góc hai mặt ‘ phẳng (SBC ) ( ABCD ) SBD √ [1 điểm] Xét hình vng ABOD cạnh a có BD = a [0,5 điểm] √ ’ = 60◦ ⇒ SD = AD tan 60◦ = a [1 điểm] Xét tam giác SDA vng D có SAD √ ‘ = SD = √3 ⇒ SBD ‘ ≈ 50, 79◦ [1 điểm] Xét tam giác SDB vuông D có tan SBD SB Vì BC ⊥ (SBD ) ⇒ (SBC ) ⊥ (SBD ) [0,5 điểm] Trong mặt phẳng (SBD ), kẻ DH ⊥ SB ⇒ DH = d( D; (SBC )) √ [1 điểm] 1 a Xét tam giác SDB vng D có = + = ⇒ DH = √ [1 điểm] 2 DH SD BD 6a E ĐỀ SỐ 3A Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu vng góc O lên đường thẳng AB AC Chứng minh BC ⊥ (OAI ) Chứng minh ( AOI ) ⊥ (OHK ) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC Tính cosin góc α đường thẳng OA mặt phẳng ( ABC ) Tính tang góc ϕ hai mặt phẳng (OBC ) ( ABC ) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 785 Tính khoảng cách hai đường thẳng HK OI Lời giải A K E O H C ϕ I B Ta có OA ⊥ (OBC ); suy OA ⊥ BC (1) 0,75 điểm Ta có OB = OC I trung điểm BC nên BC ⊥ OI (2) 0,75 điểm Từ (1) (2) suy BC ⊥ (OAI ) 0,5 điểm Vì H, K trung điểm AB, AC nên HK BC 0,5 điểm Theo ý a) BC ⊥ (OAI ) nên HK ⊥ (OAI ) 0,5 điểm Từ O kẻ OE ⊥ AI (1) Ta có BC ⊥ (OAI ) nên BC ⊥ OE (2) 0,5 điểm Từ (1) (2) suy OE ⊥ ( ABC ), suy d(O, ( ABC )) = OE 0,5 điểm a 1 = + = + = suy OE = √ xét tam giác AOI vng O, ta có 2 OE OA OI a a a 0,5 điểm ’ Ta có OE ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu OA lên mặt phẳng ( ABC ) AE, góc α = OAE 0,75 điểm a OE Ta có tam giác OAE vng E OE = √ nên cos α = = √ 0,75 điểm OA 3 ‘ Góc ϕ = OI A 0,75 điểm Ta có tan ϕ = √ OA = 0,75 điểm OI Ta gọi F giao điểm HK AI,từ F kẻ FG ⊥ OI, mặt khác HK ⊥ (OAI )(cmt) suy FG ⊥ HK, ta có FG đoạn vng góc chung HK OI 0,75 điểm Xét tam giác OAI vng O, ta có F trung điểm AI FG OA suy FG = a OA = 0,75 điểm 2 Hình vẽ 1,0 điểm F ĐỀ SỐ 3B √ Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) 786 CHƯƠNG QUAN HỆ VNG GĨC Tính góc α SC mặt phẳng đáy, góc β SC mặt phẳng (SAB) Tính tang góc ϕ hai mặt phẳng (SBD ) ( ABCD ) Tính khoảng cách từ điểm A đến SBC, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SC BD Lời giải S K H D E A O B C Ta có tam giác SAB SAD tam giác vng SA ⊥ AB SA ⊥ AD 0,5 điểm Ta có SA ⊥ CD CD ⊥ AD suy CD ⊥ (SAD ), suy CD ⊥ SD, tam giác SDC vuông D 0,5 điểm Ta có SA ⊥ BC BC ⊥ AB suy BC ⊥ (SAB), suy BC ⊥ SB, tam giác SBC vng B 0,5 điểm Ta có BD ⊥ SA SA ⊥ ( ABCD ) BD ⊥ AC suy BD ⊥ (SAC ) 0,5 điểm Do (SAC ) ⊥ (SBD ) 0,5 điểm ‘ 0,5 điểm Ta có CA hình chiếu vng góc √ SC lên ( ABCD ) góc α = SCA Vì tam giác SAC có SA = AC = a suy α = 45◦ 0,5 điểm ‘ 0,5 Ta có BC ⊥ (SAB) suy hình chiếu SC lên mặt (SAB) SB, góc β = BSC điểm a Vì tam giác SBC vng B, ta có tan β = √ = √ suy β = 30◦ 0,5 điểm a 3 Gọi O giao điểm AC BD Ta có AC ⊥ BD SO ⊥ BD góc ϕ (SBD ) ’ 0,75 điểm ( ABCD ) SOA SA Tam giác SAO vng A, ta có tan ϕ = = 0,75 điểm AO Kẻ AH ⊥ SB suy AH ⊥ (SBC ), d( A, (SBC )) = AH √ 0,5 điểm 1 1 a = + = + = suy AH = 0,5 điểm 2 AH SA AB 2a a 2a √ a Kẻ AK ⊥ SD suy d( A, (SCD )) = AK = 1,0 điểm Ta có ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 787 Từ O kẻ OE ⊥ SC, BD ⊥ (SAC ) suy BD ⊥ OE, d(SC, BD ) = OE 0,75 điểm OE a suy OE = 0,75 điểm OC Hình vẽ 0,5 điểm ‘ = Xét tam giác vuông OEC ta có sin SCA ... A Tóm tắt lý thuyết 169 B Dạng toán tập 170 Ví dụ 170 Dạng 1.1 Bài tốn sử dụng quy tắc cộng 170 Dạng 1.2 Bài toán sử dụng quy tắc nhân 171 Dạng 1.3 Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ 172 Bài tập... A Tóm tắt lý thuyết 108 B Ví dụ tập 109 Ví dụ 109 Bài tập áp dụng 114 Bài tập rèn luyện 119 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4) 121 A Tóm tắt lý thuyết 121 B Ví dụ 122 C Bài. .. 301 301 A Tóm tắt lý thuyết 301 B Dạng toán tập 301 Dạng 1.1 Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n 301 Ví dụ 301 Bài tập áp dụng 304 Bài tập rèn luyện 308 Dãy số 314 A Tóm tắt lý thuyết 314