TÓM tắt lý THUYẾT và các DẠNG bài tập đại số 9

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình: Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình đk Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra các nghiệm c

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0

b Đồ thị: Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4 Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

a Tính chất:

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

b Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm: 2 nghiệm phân biệt

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm: 1 có nghiệm kép

(d) và (P) không có điểm chung: vô nghiệm

7 Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)

Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn

 = b2 - 4acNếu  > 0 : Phương trình có hai

nghiệm phân biệt:

a

b x

2

2 1

' ' 1

' ' 2

x

' 2

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = c

a

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c

a



9 Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình ( đk)

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích

hợp với bài toán và kết luận

10 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm

0

'

a

11 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm.

 Điều kiện có một nghiệm:

 Điều kiện có một nghiệm:

15 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm

a

b S a

0

'

a

b S a

c P

16 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = có 2 nghiệm âm.

 Điều kiện có hai nghiệm âm:

a

b S a

0

'

a

b S a

c P

17 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm

trái dấu.

 Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 0

18 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm

x = x 1

 Cách giải:

- Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax1 2 + bx1 + c = 0  m

- Thay giá trị của m vào (*)  x1, x2

- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 =

1

x P

19 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = có 2 nghiệm x 1 ,

x 2 thoả mãn các điều kiện:

a x1 x2   b x12x22 k c n

x

x1  2 

1 1

) 1 (

2 1

2 1

P a

c x x

S a

b x x

x x

a

b x x

Thay x1, x2 vào (2)  mChọn các giá trị của m thoả mãn (*)

x 1 , x 2

Giải phương trình - b = nc tìm được m thoả mãn (*)

20 Giải phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0

 Đặt t = x2 (t0) ta có phương trình at2 + bt + c = 0

Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x

Bảng tóm tắt

at 2 + bt + c = 0 ax 4 + bx 2 + c = 0

1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau

2 nghiệm dương 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm

 Đặt

x

x  1 = t  x2 - tx + 1 = 0Suy ra t2 = (





x x

 Đặt

x

x  1 = t  x2 - tx - 1 = 0Suy ra t2 = (





x x

c by ax

 Các phương pháp giải:

+ Phương pháp cộng+ Phương pháp thế+ Phương pháp đặt ẩn phụ

) 2 ( 0

) ( )

( )

x g x f

x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1)

0 ) (

0 ) (

x g

x h

x f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x

) ( )

(

0 ) (

x g x

f

x g

 Phương pháp 2: Xét f(x)  0  f(x) = g(x)

Xét f(x) < 0  - f(x) = g(x)

 Phương pháp 3: Với g(x)  0 ta có f(x) =  g(x)

26 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

 Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

 Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.

 Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức

27 Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự tương giao của hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phương trình hoành độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung

- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung

28 Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) và có hệ số góc bằng k.

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b (*)

- Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình của (D)

29 Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ); B(x B ;y B )

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = ax + b

(D) đi qua A và B nên ta có:

b ax y

B B

A A

Giải hệ ta tìm được a và b suy ra phương trình của (D)

30 Lập phương trình của đường thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b

Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm được b và suy raphương trình của (D)

31 Lập phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm A(x A ;y A ) k và tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) là : y = kx + b

Phương trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép

Từ điều kiện này ta tìm được hệ thức liên hệ giữa a và b (**)

Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)

Từ (**) và (***)  a và b  Phương trình đường thẳng (D)

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

1 Bài toán 1: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:

-Quy đồng mẫu thức (nếu có)

-Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

-Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

-Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia

Như vậy ta chỉ việc tính như câu a rồi chia cho 2 là được kết quả câu b

Cách khác: kết quả câu b là một số âm Bình phương ta được:

* Phân tích bài toán: Ta thực hiện theo quy tắc thực hiện trong ngoặc trước, nhân sau

- Trong ngoặc ta rút gọn các biểu thức ( nếu được) rồi quy đồng mẫu

Ví dụ 6:

Bài giải

Gợi ý: Để rút gon ta biến đổi làm cho tử và mẫu có nhân tử chung

3 4

1 2

3

1 1

9) 4 8. 2 2 2. 2 2 2 10)8 2 2 2 3 2 2

Dạng 2: Bài toán tính toán

1 Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu

thức A

2 Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

-Rút gọn biểu thức A(x)

-Thay x = a vào biểu thức rút gọn

Bài 1: Cho biểu thức A = 2 1

c Tính giá trị của A tại x = 8 - 28

Chẳng hạn: Y2+Y+1 = (Y2+ Y+ ¼) +3/4 = (Y+1/2)2 +3/4 >=3/4 với mọi giá trị của Y, dấu = xảy ra khi Y =-1/2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ¾ khi Y=-1/2

Bài 2: Cho biểu thức P =

n4

4n42n

1n2n

3n

b Tính giá trị của P với n = 9

Bài 3: Cho biểu thức M = ( a b)2 4 ab a b b a

trước rồi thực hiện

Bài 4: Cho biểu thức : M = 

x

x x

x

1

1 1 :

1

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3

c) Tìm x sao cho M =1/2

 Gợi ý : Tập xác định của M là x>0, x 1, x 3 (1)

b) Viết x = 7 4 3 dưới dạng bình phương rồi thay vào biểu thưc M đã rút gọn

c) sau khi tìm x chú ý kết hợp với điều kiện (1) rồi kết luận xem x tìm được có thỏa mãnhay không

2

3 2

4

x

x x

x x

x x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x =

5 3

8

 bằng cách trục căn thức ở mẫu ta được x= 6-2 5

= ( 5 1) 2 ; thay vào P ta được P = 1-( 5 -1) = 2- 5

: 1

1 1

1 2

x x

x x

x x x

a) Rút gọn B

b) Tìm x để : 2.B < 1c) Với giá trị nào của x thì B x = 4/5







vì x   với mọi x nên 3 0 x   3 0 x  9

Đối chiếu với điều kiện tập xác định ta có x >0; x 1; x<9

1 : 3

1 9

7 2

x x

x

x x

x x

a) Rút gọn M

b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên

c) Tìm x sao cho : M > 1

M có giá trị nguyên nếu 2 chia hết cho x  3

Bài 8: Cho biểu thức : A = 1 : 

1 1

2 2

x x

x

x x

x

x x

1

1 : 1

1 1

1

x x

x x

x

x x

2

x

x x

x x x x

2 1

1

x

x x x

x x x x

x x

x

2

1 6

5 3

2

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A nếu x =

3 2

x x

x

x

3

1 2 2

3 6

5

9 2

a) Rút gọn M

b) Tìm x để M < 1c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên

Bài 15: Cho biểu thức : A = 

: 3

1 3

2

4

x

x x

x x

x

x x

2 4

4 2

2

x x

x x x

x x

x x

b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4

x x

x x

: 1

1 3 1

a) Rút gọn M

b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyênc) Tìm x thoả mãn M < 0

x x

x x

x

1

5 2 1

3 : 1 1

1 2

3a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi x =

5 3

8



c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiênd) Tìm x để P < -1

x x

x x

x

x

2

2 2

3 :

4

2 3 2

3 2

1 :

1 1 1

1

xy

x xy xy

x xy

x xy xy

x

a) Rút gọn Mb) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y =

3 1

1 3

6 6

3 2

3 2

y x xy

xy y

x xy

y x

y

Chứng minh : 109

y x

Bài 22: Cho biểu thức :

: 3

2 2

3 6

5

2

x

x x

x x

x x

x

x P

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

2

51





P

Bài 23 : Cho biểu thức :  

1

1 2 2

x x x

x

x x P

11

11

x x

x P

a) Rút gọn Pb) Tìm x để  2

x P

4 5 2

1

x

x x

x x

x

x x

P

a) Rút gọn Pb)*Tìm m để có x thoả mãn : Pmx x  2mx 1

2 2

x12

1xx1

1x

-Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

-Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

-Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Bài tập 1 Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0 Chứng minh hằng đẳngthức:

c b a c b

a

1 1 1 1 1

1

2 2

bc ab c

b a c

b a

-Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2  3  5là số vô tỉ

-HD.Giả sử: 2  3  5 a(a hữu tỉ ).Thế thì 2  3 a 5 Bình phương hai vế ta được:

2 5 6 5 2 5 6

2

6 5 4

a

a a

 là số hữu tỉ,vô lí Vậy 2  3  5là số vô tỉ

-Bài tập 3 Cho ba số thực a, b, c # 0 và ab  ac  bc Chứng minh rằng:

0 1

A=B

-Bài tập 4 Cho xyz xy yz  xz trong đó x, y, z là các số dương Chứng minhrằng:xyz.

-HD Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta được:

) (

2 ) (

2 x y z xy yz xz xz

yz xy z

y

z y x x

z z

y y

a a a

a a

n

n n

n

n n

a a a

a a a

a a a a a

a a VT

1 1

1

b)Với a 0  ,b 0bình phương hai vế ta được: abab 2 ab 2 ab 0  ab 0.c) Lập phương hai vế ta được:

0 ) (

3 3

yt y

y y

x x

xt t

yt y

t y y t y

;

x t

x t t x t

y   1  1  

;

y x

y x x y x

;

Nhân vế với vế ta được:

y x

y x x t

x t t y

t y x t t y y

) )(

t t y y x

hoặc x  y 0 ; y  t  0 ; t  x 0  xyt

Bài tập 7 Cho abc 0 và a,b,c # 0

Chứng minh rằng: 2 6 22 2 2 622 2 2 6 22 2

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

) (

3 2

6 2

6 2

6 2

6 2

6 2

abc

c b a ab

c ca

b bc

a ab

c ca

b bc

a

, 3

3 3

c b a A

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

-Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết.

-Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp.

-Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

1.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

A) Kiến thức cần nhớ:

Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức : A  B (*)

Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức (*) về một bất đẳng thứcphổ biến là đưa (*) về dạng:

- Các tổng bình phương: A  B  mX2 nY2 pZ2  0. Trong đó m, n, p là các số không âm

- Tích các thừa số không dấu: A  B  X Y  0(X, Y cùng dấu)

- Tích của một số không âm và một biểu thức dương(theo điều kiện)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e

Ví dụ 1.1.2.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Ví dụ 1.1.3.Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Ví dụ 1.1.4.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh

ab + 2bc + 3ac  0

Lời giải:

Theo giả thiết thì c = -a – b nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:

     

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0

Ví dụ 1.1.5.Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có:

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Ví dụ 1.1.6.Chứng minh rằng với mọi a > 0 ta có:

2 2

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1

Ví dụ 1.1.7.Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

Suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét Ngoài ra, ta cũng có một số hằng đẳng thức tương tự (mà từ chúng có thể suy rađược những bất đẳng thức rất khó)

-Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n.

-Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k k  suy ra được bất đẳng thức đúng với n = k +1

Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị đầu tiên của n

Bước 2:Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (gọi là giả thiết quy nạp), sau đó chứng minh bấtđẳng thức đúng với n = k + 1

Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã cho đúng

0 k k k k k 0

ab   a b b  a  b  (2)

Từ (1) và (2) ta có (**) đúng

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

2.4 PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN A.Kiến thức cần nhớ:

Ví dụ 1.4.1.Cho các số dương a, b, c, d, e Chứng minh rằng:

Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y

Chúng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 1.4.4.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n  *

Đó là điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 ta có:

(Ở đây kí hiệu n! được hiểu là “Giai thừa của số tự nhiên n” Ta có 0! = 1, n! = 1.2.3…n,

Xét bài toán phải chứng minh khẳng định (*) đúng

Phương pháp phản chứng tức là giả sử ngược lại, khẳng định (*) sai Sau đó bằng suy luận và các phép toán đi đến một mâu thuẫn Như vậy khẳng định (*) đúng, hay ta có điều phải chứng minh

Do đó: a(2 – a).b(2 – c).c(2 – c)  1 (mâu thuẫn)

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 1.5.3.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:

0 0 0

a b c

ab bc ca abc

Lại có a + b + c > 0 nên b + c > 0, suy ra a( b +c ) < 0

Theo giả thiết thứ hai ab + bc + ca > 0 ta có a b c  bc  0 bc 0

Vì thế a.bc < 0 (Mâu thuẫn với giả thiết thứ ba)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn (a + b + c)2

Vì (1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.5.5.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra

1.5.1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng trong ba số đó có đúng một số lớn hơn 2010

1.5.2.Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a2b2 c21 ab Chứng minh rằng a c

2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN

A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY.

Nếu a1, a2, … , an là các số thực không âm thì

  



Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trungbình nhân Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bấtđẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometricmean)

Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin– Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy Thật ra đây là một cách gọi tênkhông chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là ngườiđưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sáchgiáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinhnước ta Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị

Trong phạm vi chương trìnhToán THCS, chúng ta quan tâm đến ba trường hợp riêngcủa bất đẳng thức Cauchy là:

-Trường hợp n = 2 Lúc này bất đẳng thức được viết lại rằng: Nếu a, b là các số thựckhông âm, thì:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là