Tom tat ly thuyet on thi THPTQG

KIẾN THỨC CƠ BẢN LỚP 10 Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN ① Giải biện luận phương trình: ax + b = (1) Hệ số Kết luận a�0 b x  a (1) có nghiệm b�0 (1) vơ nghiệm a=0 b (1) nghiệm với x ② Giải biện luận phương trình: ax2 + bx + c = (2) Trường hợp 1: Với a = 0, ta có phương trình bx  c  , phương trình có hệ số cụ thể nên kết luận nghiệm phương trình (2) Trường hợp 2: Với a�0 , ta tính biệt thức:   b  4ac + Nếu   : phương trình (2) vơ nghiệm b x0     a + Nếu : phương trình (2) có nghiệm kép + Nếu   : phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  b�  2a Kết luận: (tùy theo giá trị m ta kết luận tập nghiệm phương trình) Chú ý: Ta dùng  ’ Kết luận  '  b'2  ac '  b'�  ' x1,2  a (1) có nghiệm phân biệt '  b' x  a (2) có nghiệm kép ' (2) vơ nghiệm Chú ý: Phương trình trùng phương: ax + bx2 + c = ( a�0 ) đưa phương trình bậc hai cách đặt t = x ( t �0 ) x1,2  ③ Định lí Viet:- Cho phương trình bậc hai có hai ax + bx + c = � b x x  � �1 a � c �x x  a a� 0( ) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó: � - Ngược lại có hai số u v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P u v nghiệm phương trình: t  St  P  Chú ý: � u  t2 � v t � � u  t1 � vt t ,t  Nếu phương trình (3) có hai nghiệm �  Nếu đa thức f  x  ax2   bx  c có nghiệm f  x  a x  x1   x  x2  x1 , x2 f(x) phân tích thành ④ Dạng tốn: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm: x ,x Gọi nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c  Ta có x12  x22   x1  x2   x1x2  S2  2P * x13  x23   x1  x2   3x1x2  x1  x2   S3  3PS * 1 x12  x22 S2  2P 1 x2  x2 S   2     x12 x22 x1 x2 P2 x x x x P 2 * * Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số : Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm �a �0 �� x ,x � �0 phân biệt � �x1  x2  f  m � x x  g m Bước 2: Áp dụng định lí Viét ta �1 Bước 3: Khử m từ hệ ta hệ thức cần tìm Dạng 3: Sử dụng định lí Viét xét dấu nghiệm ax2  bx  c  0 a �0 phương trình bậc hai: c P   0� � x1   x2 a * Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu * Nếu � �0 � � �P  phương trình có hai nghiệm dấu * Nếu � �0 � �P  � � S � phương trình có hai nghiệm dương * Nếu � �0 � �P  � � S � phương trình có hai nghiệm âm �  x1 �x2  x1 ۣ x2  Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối:  A  B A B , Cách giải 1: Dùng định nghĩa để bỏ trị tuyệt đối: �A ne� u A �0 A � -A ne� uA0 � Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách giải 3: Dùng công thức AB � A  B�� A  B �   �B �0 � A  B � �� AB �� A  B �� II Phương trình chứa ẩn dấu căn:  A  B ,  A = B Cách giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Cách giải 2: Dùng cơng thức: �A �0 (hoặcB �0) �B �0 A  B� � A  B� � �A  B �A  B   III Phương trình hệ phương trình bậc nhiều ẩn: Phương trình bậc hai ẩn: ax + by + c = (2) Trong a, b, c hệ số, a b không đồng thời Cặp (x0; y0) gọi nghiệm phương trình (2) chúng nghiệm phương trình (2) �a1x  b1y  c1 � a x  b2y  c2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: �2 Cách giải: Có cách: Dùng phương pháp cộng đại số Dùng phương pháp a b c b a c D  1 Dx  1 Dy  1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 Dùng định thức: Đặt , , * Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm * Nếu D = 0, Dx ≠ Dy ≠ hệ vô nghiệm Dy Dx y D D * Nếu D �0 hệ có nghiệm �a1x  b1y  c1z  d1 � �a2x  b2y  c2z  d2 �a x  b y  c z  d 3 3 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn: �3 Cách giải:Khử dần ẩn số để đưa hệ phương trình trình �a1x  d1 � �a2x  b2y  d2 �a x  b y  c z  d 3 dạng tam giác: �3 (pp Gausse) Hệ phương trình gồm bậc bậc hai ẩn: 2 �x  3x  y  y  � 2x  y  Ví dụ: � Cách giải: - Từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn vào phương trình bậc hai ta phương trình bậc hai ẩn - Giải phương trình bậc hai ta tìm nghiệm, thay nghiệm vừa tìm vào phương trình bậc ta tìm nghiệm ẩn cịn lại Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà thay x y y x phương trình hệ khơng thay đổi 2 � �x  x  y  y  � xy x  y  Ví dụ: � � S  x y � P  xy Cách giải: - Đặt � , thay vào hệ phương trình ta hệ phương trình theo ẩn S, P Giải hệ ta tìm S,P - x,y hai nghiệm phương trình t  St  P  (nếu có) * Chú ý: Nếu (x;y) nghiệm (y;x) nghiệm Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà thay x y y x phương trình hệ trở � �x  2y  �2 y  2x  thành phương trình hệ, ngược lại Ví dụ: � x Cách giải: - Trừ vế hai phương trình ta phương trình Phân tích phương trình thành dạng x y �  x  y f  x; y  � �f x; y   � - Kết hợp với phương trình hệ ta hệ đơn giản Chủ đề 3: BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Bất Đẳng Thức: Bất đẳng thức có dạng: A > B, A < B, A �B, A �B Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề A  B � C  D ta nói BĐT C < D BĐT hệ BĐT A < B Bất đẳng thức tương đương: Nếu BĐT A < B hệ BĐT C < D ngược lại ta nói hai BĐT tương đương Kí hiệu: A  B � C  D Các tính chất: Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a  b va� b c � a  c Bắc cầu a  b � a  c  b c Cộng hai vế với số a  b � ac  bc c>0 Nhân hai vế với số a  b � ac  bc c 0, c> Nhân vế với vếcùng chiều 2n1 2n1 n ∈ ℕ* Nâng hai vế bất a b � a  b đẳng lên lũy thừa  a  b� a2n  b2n A>0 Khai hai vế a b � a  b bất đẳng thức a b � a  b Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a b khơng âm: Ta có: a b �2 ab Đẳng thức xảy a = b �2, a  a Các hệ quả:  ;  Cho x > 0, y > Nếu x + y không đổi x.y lớn x = y a  Cho x > 0, y > Nếu x.y khơng đổi x + y nhỏ x = y Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: i ) x �0, x �x, x � x ii ) x �a �  a �x �a, a  iii ) x � � a  x �a �hoa�  c x a, a iv) a b a b a b Các phương pháp chứng minh BĐT:  Dùng định nghĩa: Muốn chứng minh A > B ta chứng minh: A – B >  Phương pháp ương đương: A  B � A1  B1 � A  B2 � � An  Bn Trong đó: A > B bđt cần chứng minh, A n > Bn bđt biết  Dùng bất đẳng thức biết: BĐT Côsi, BĐT chứa giá trị tuyệt đối… II Bất phương trình hệ bất phương trình ẩn: Khái niệm bất phương trình ẩn: f (x) �g(x), f (x)  g(x), Bất phương trình có dạng: f(x) < g(x), f (x) �g(x) Điều kiện bất phương trình: điều kiện ẩn x để hai vế f(x) g(x) có nghĩa TXĐ: D = {x ∈  / f(x), g(x) có nghĩa) Hệ bất phương trình ẩn: Là hệ gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung chúng Mỗi giá trị x đồng thời nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu: � Các phép biến đổi tương đương: bất phương trình P(x) < Q(x) có TXĐ D a) Phép cộng (trừ): Nếu f(x) xác định D thì: P(x) < Q(x) � P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân (chia): i) Nếu f(x) > 0, x �D thì: P(x) < Q(x) � P(x).f(x) < Q(x).f(x) ii) Nếu f(x) < 0, x �D thì:P(x) < Q(x) � P(x).f(x) > Q(x).f(x) c) Phép bình phương: Nếu P(x) �0 , Q(x) �0,x �D thì: P(x) < Q(x) � P2(x) < Q2(x) Các ý giải bất phương trình: i) Khi biến đổi hai vế bất phương trình làm thay đổi điều kiện bất phương trình Vì vậy, để tìm nghiệm bất phương trình ta phải tìm giá trị x thoả mãn điều kiện bất phương trình nghiệm bất phương trình 5x   x x  3 x  1  4 VD: Giải bpt: ii) Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý dấu f(x) Nếu f(x) nhận giá trị dương lẫn âm ta phải xét hai trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình iii) Khi giải bất phương trình có ẩn mẫu ta quy đồng mẫu không bỏ mẫu phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm �1 VD: Giải bpt: x  iv) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế phải xét hai trường hợp: TH1: P(x) Q(x) khơng âm ta bình phương hai vế bất phương trình TH2: P(x) Q(x) âm ta viết P(x) < Q(x) � - Q(x) < P(x) bình phương hai vế bất phương trình 17  x VD: Giải bpt: III Dấu nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b a, b số ( a�0 ) Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b: Bảng Xét Dấu: Quy tắc: Phải – Trái trái x b  a � � a>0  + f(x) = ax + b a f(x) < B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x) B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm bất phương trình VD: Giải bất phương trình: (4x  1)(x  2) �0 �1 3x  a) b) 1 x * Chú ý: Vì tốn xét dấu tốn trung gian để giải nhiều toán khác việc xét dấu khơng cần thiết phải trình bày vào giải nên ta cần sử dụng bảng xét dấu thu gọn để tiết kiệm thời gian đảm bảo tính xác Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: �A A �0 i) A  � ii ) A  A , A � A A  iii ) x � �� a �� a x a, a 0 iv) x a� x a V x a, a � Chú ý: Phương pháp giải: ① Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối (phương pháp khoảng) B1: Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối giải bất phương trình miền xác định bất phương trình B3: Nghiệm bất phương trình hợp tập nghiệm miền xác định ② Dùng công thức   f (x) �a �  a �f (x) �a,a  A �  B � A B2 A B  A B �f (x) � a f (x) �a � � a  f (x) �a �  B �0 � � �B �0 A �B � � �2 � �A �B � � �B �0 A �B � � 2 �A �B   Bất phương trình chứa ẩn bậc hai: �B  � �B  �B �0 A  B ۳ �A �A �0 A  B� � V� A  B�� 2 � �A �0 �A  B �A  B �A  B    IV Dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax + bx + c ( a�0 ) Dấu tam thức: Cho tam thức f(x) = ax + bx + c ( a�0 ) có   b2  4ac TH1: Nếu   : f(x) dấu với a với x �R b   TH2: Nếu : f(x) dấu với a với x �R \{ 2a } TH3: Nếu   Bảng xét dấu: Quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng” � x x1 x2 � f(x) Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a�0 ) B1: Tính  tìm nghiệm tam thức (nếu có) B2: Lập bảng xét dấu biểu f(x) B3: Kết luận dấu tam thức * Chú ý: Khi xét dấu thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa Bất phương trình bậc hai ẩn: f (x) �0; f (x) �0 Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, với f(x) = ax2 + bx + c (a�0) @ Cách giải: B1: Đưa bất phương trình dạng f(x) > 0, f(x) < 0, f (x) �0; f (x) �0 B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x) B3: Nhận nghiệm ứng với dấu bất phương trình Các ứng dụng tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a�0) 10 Câu 48 Thể tích khối lập phương có cạnh a? V  K Câu 49 đều? Nêu số đặc điểm hình chóp tứ giác Trả lời S  Đáy ……  SA   K  K K , với K  K A D O B Câu 50 đều? C Nêu số đặc điểm hình chóp tam giác  Đáy ……  K K K  K  K , với H … ABC Câu 51 Nêu công thức tính số hình đa giác bản? Trả lời  Hình vng cạnh a S  K  Hình chữ nhật, có chiều rộng a chiều dài b SK d d  Hình thoi, có độ dài hai đường chéo S  K  Hình bình hành, có độ dài cạnh a đường cao hạ xuống cạnh h S  K  Hình thang có độ dài hai đáy a b , đường cao h SK  Nếu đáy tam giác cạnh a S  K NĨN - TRỤ - CẦU Câu 52 Nêu cơng thức hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l ?  Diện tích xung quanh: Trả lời Sxq  K  Diện tích đáy (hình trịn): Sđáy  K 36  Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  Sđáy  K Vnon�  S h  K đáy  Thể tích khối nón: Câu 53 Nêu cơng thức hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r? Trả lời  Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  K  Diện tích tồn phần hình trụ: Stp  Sxq  2.Sđáy  K V  Sđáy h  K  Thể tích khối trụ: Câu 54 Nêu cơng thức hình cầu? Trả lời Diện tích mặt cầu: SC  K VC  K Thể tích mặt cầu: Câu 55 Một số cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện? Trả lời  Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) � Tâm I , trung điểm của…… - Bán kính: nửa độ dài đường chéo � Bán kính: R  K  Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy S D A B C C R  K ……., với O A D O B 37 B tâm đường tròn nội tiếp đáy  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  K 38 HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ OXYZ Câu 56 Oxyz? Nêu cách biểu diễn toạ độ véctơ không gian r r u   x; y; z � u  trục r k   K ,K ,K  r r r i , j ,k …………………… Với véctơ đơn vị r r i   K ,K ,K  j   K ,K ,K  … ; ; Câu 57 Nêu cách tính chất véctơ không gian Oxyz? r r a   a1; a2 ; a3  b   b1;b2 ;b3  Cho hai véctơ , k số thực tùy ý, ta có: r r r r r r r • a b  K • a b  K • ka  K • a b� K rr r r K  ab  a b� K r r r a K   a phương b � K với b1, b2, b3 �0 r r K r r r r cos a;b  K với a �0, b �0 • Câu 58 Hãy nêu toạ độ điểm M(x; y; z) trường hợp đặc biệt?    M � Oxz � M  K ;K ;K   M μ�� Oy � M  ; ;    M � Oxy � M  K ;K ;K M �O � M  K ;K ;K  Trả lời:   M � Oyz � M  K ;K ;K M μ�� Ox � M  ; ;    M μ�� Oz � M  ; ;   Hãy nêu số công thức bốn điểm không Câu 59 đồng phẳng uuur • AB  K A ( xA ; yA ; zA ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) • uuur AB  K D ( xD ; yD ; zD ) I  K ;K ;K  • Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB r r � � G  K ;K ;K  a; b� •�Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC r G  K ;K ;K  • Tọa độ atrọng tâm G tứ diện ABCD Câu 60 Nêu ứng dụng tích có hướng hai véctơ? r b 39 r r � a ;b� K • � � r r r r �� � a;b� K � • a phương với b r r r r � a;b� K � a;b� K • � � , � � r r r r r r �� a;b� c  K a ; b ; c � � • Ba véctơ đồng phẳng uuur uuur uuuu r � � AB ; AC AD K � • Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện � SABCD  K • Diện tích hình bình hành: S K • Tính diện tích tam giác: ABC S K BC D • Tính thể tích hình hộp: ABCD A ���� V K • Tính thể tích tứ diện: ABCD Câu 61 Hình chiếu điểm M(xM; yM; zM) mặt phẳng tọa độ? r r � b ;a� K • � �  Oxy  M  K ;K ;K Câu 62 toạ độ? M  K ;K ;K    Oyz M  K ;K ;K ;   Oxz Điểm đối xứng M(xM; yM; zM) qua mặt phẳng  Oxy M  K ;K ;K  M  K ;K ;K  Câu 63 tọa độ? ;    Oyz M  K ;K ;K    Oxz Điểm đối xứng điểm M(xM; yM; zM) qua trục M  K ;K ;K  Ox M  K ;K ;K    Oy M  K ;K ;K   Oz Câu 64 Hình chiếu vng góc điểm M(xM; yM; zM) trục tọa độ? M  K ;K ;K  Ox M  K ;K ;K  Câu 65 độ?   Oy M  K ;K ;K   Oz Khoảng cách từ điểm M(xM; yM; zM) đến trục tọa 40 d M ;Ox  K đến trục Ox d M ;Oy  K đến trục Oy d M ;Oz  K đến trục Oy Câu 66 Khoảng cách từ điểm M(xM; yM; zM) đến mặt phẳng tọa độ? đến mặt phẳng đến mặt phẳng  Oxy  Oxz  Oyz là d� M ; Oxy � � � K d� M ; Oxz � � � K d� M ; Oyz � � K đến mặt phẳng � Tìm H hình chiếu M(xM; yM; zM) lên ( ): Ax + By + Cz +D=0 A  At  x   B  Bt  y   C  Ct  z   D  M M M Lập PT: Giải tìm t Tìm H hình chiếu M(xM; yM; zM) lên đường thẳng �x  xo  a1t  d :� �y  yo  a2 t �z  z  a t � o a �  x  a t   x � a � y  a t   y � a � z  a t   z � M � � M � 3� M � Lập PT: � Tổng{(Tọa độ VTCP đt d).[(Vế phải PT đt d) – (Tọa độ điểm M)] }=0 Giải tìm t (Dùng máy tính dị nghiệm) Thay t vào Phương trình tham số đường thẳng d  Tính tọa độ hình chiếu H KIẾN THỨC CẦN NHỚ MẶT CẦU ① Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: S I ; R  :  x  a   y  b   z  c  R2 Dạng 1: 2   x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  ĐK :a2  b2  c2  d  Dạng 2: I  a, b,c x, y, z a, b,c  Tâm : Tính cách lấy hệ số chia cho 2 2  Bán kính R  a  b  c  d ② Vị trí tương đối điểm với mặt cầu 41 � IA  R  Điểm A thuộc mặt cầu  Điểm A nằm mặt cầu � IA  R Điểm A nằm mặt cầu � IA  R ③ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu    : Ax  By  Cz  D  Aa Bb Cc  D (S):  x  a   y  b   z  c  R2 Cho 2   d  d I ;    A  B2  C Tính:  S mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung a) d  R : mặt cầu  S H b) d  R : mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu - Điểm H gọi tiếp điểm - Mặt phẳng ( ) gọi tiếp diện Tìm tiếp điểm H hình chiếu tâm I mặt phẳng ( ) : uu r uur u  n  Viết phương trình đường thẳng d qua I  ( ) : ta có d  Tọa độ H giao điểm d ( )  S theo giao tuyến c) d  R : mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu đường trịn Tìm bán kính r tâm H đường trịn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu:  Viết phương trình đường thẳng d qua I  mp ( ) : ta có uu r uur ud  n r  R2  d2  Tọa độ H = d  ( ) Bán kính với d  IH  d I ;  ④ Vị trí tương đối hai mặt cầu: I I  R1  R2  TH1: : Hai mặt cầu đựng (nằm nhau)  TH2: I 1I  R1  R2  TH3: R1  R2  I 1I  R1  R2  TH4: I 1I  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc : Hai mặt cầu cắt : Hai mặt cầu tiếp xúc 42  TH5: I 1I  R1  R2 : Hai mặt cầu ngồi Câu 67 R? Viết phương trình mặt cầu  S :K K K Trả lời: Câu 68 Tâm tâm I  a; b; c , bán kính bán cầu ( S) : ( x - a) +( y- b) +( z - c) = R ? kính mặt t� m I  K ;K ;K  � � b� n k� nh K Trả lời: � Câu 69 bán cầu 2 Tâm  S x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  ? kính mặt t� m I   K ;K ;K  � � b� n k� nh R  K Trả lời: � KIẾN THỨC CẦN NHỚ MẶT PHẲNG r r r n   (  ) ① Vectơ pháp tuyến mp : n �0 r r  k �0 vtpt ( ) Nếu n vtpt () k n r r ② Hai vectơ khơng phương a,b có giá song song nằm r r r r r r � n  a ,b� � � ( ) quan hệ vtpt n cặp a, b : Ax  By  Cz  D  ③ Phương trình mặt phẳng: (A  B2  C �0)  Mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  � có vtpt � n   A ; B ; C M  x0 ; y0 ; z0  n   A ; B ; C  Mặt phẳng ( ) qua có vtpt có phương trình : 43 ( ) : A(x  x0)  B(y  y0)  C(z  z0)   Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm x y z A  a;0;0 , B 0;b;0 ,C  0;0;c : a  b  c  1, abc �0  Phương trình mặt phẳng :  Oyz : x  0;  Oxz : y  0;  Oxy : z   Các trường hợp riêng: Các hệ số Phương trình () D0 Ax  By  Cz  A0 By  Cz D  B Ax  Cz  D  C0 Ax  By  D  A  B Cz  D  A C 0 By  D  Tính chất () ( ) qua gốc tọa độ O ( ) / /Ox ( ) �Ox ( ) / /Oy ( ) / /Oz ( ) �Oz ( ) / /  Oxy ( ) � Oxy ( ) / /  Oxz ( ) � Oxz B C  ( ) �Oy ( ) / /  Oyz Ax  D  ( ) � Oyz hoặc      ' : ④ Vị trí tương đối hai mp ( ) : Ax  By  Cz  D  ( ') : A ' x  B' y  C ' z  D '  Cho A B B C C A hay hay ( ) �۹ ( ') A : B : C A ' : B' : C ' ۹�� A ' B' B' C ' C' A '  ( )  ( ') � AA ' BB' CC '    ( ) �( ') � A B C D    A ' B' C ' D ' ( ) / /( ') � A B C D   � A ' B' C ' D ' 44 M  x0 ; y0 ; z0  Khoảng cách từ đến ( ): Ax0  By0  Cz0  D d M ,    A  B2  C Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng uu r uu r n1 ,n2 Góc hai mặt phẳng: cho vtpt ( ),( ) r r n n AA ' BB' CC ' cos( , )  r r2  � n1 n2 A  B2  C A '2  B'2  C '2 ( � ( ),( ) �90 ) Các hệ hay dùng:    //       có vtpt nr  nr với nr  vtpt mặt  ⑤    phẳng        đường thẳng r r r d    có vtpt n  ud với ud vtcp d uuur uuur  P  vuông góc với mặt phẳng  Q  � n   n   Mặt phẳng  P  chứa song song với đường thằng  Mặt phẳng P Q uuur uu r � n P   ud d uuur uuur � AB  n P   Hai điểm A , B nằm mặt phẳng r r n u (trong công thức ngầm quy ước vtpt, vtcp)  P  P  có véctơ pháp Câu 70 Phương trình mặt phẳng r n   A ; B;C   P  : ……………………… M ( x0 ; y0 ; z0 ) tuyến qua Câu 71 tuyến ………… Cho  P  : Ax  By  Cz  D  Véctơ pháp 45 Câu 72 B x2 ; y2 ; z2  Phương trình mặt phẳng qua điểm C  x3 ; y3 ; z3  , ? Trả lời A  x1; y1; z1  , Bước 1: Tính toạ độ vectơ … …… r VTPT n  K �  ABC  thoả mãn � � i qua K � Bước 2: Câu 73 Viết cơng thức tính khoảng cách từ điểm d� M ; P  � P  : Ax  By  Cz  D  � �  đến ? Trả lời: M ( x0 ; y0 ; z0 ) KIẾN THỨC CẦN NHỚ ĐƯỜNG THẲNG ① Vecto phương đường thẳng r r r r d � u / / d u nằm u �  Vectơ véctơ phương d r r  k �0 vtcp d  Nếu u vtcp d ku ② Phương trình tham số phương trình tắc Đường thẳng d qua M  x0 ; y0 ; z0  � có vtcp �x  xo  at � �y  y0  bt (t �R) �z  z  ct  Phương trình tham số: � x  x0 y  y0 z  z0   a b c  Phương trình tắc: u   a;b;c có: (abc �0) Câu 74 Viết phương trình tham số đường thẳng r u   a;b;c M ( x0 ; y0 ; z0 ) véctơ phương qua ?   có   có Trả lời: Phương trình tham số …………… Câu 75 Viết phương trình tắc đường thẳng r u   a;b;c M ( x0 ; y0 ; z0 ) véctơ phương qua ? Trả lời: Phương trình tắc …………… 46 ③ Vị trí tương đối hai đường thẳng M  x ;y ; z  Cho hai đường thẳng d qua 0 0 d' qua �x  x0  at � d : �y  y0  a2t �z  z  a t M  x'0 ; y'0 ; z'0  có phương trình tham số là: � �x  x'0  a'1 t' � d : �y  y'0  a'2 t ' �z  z'  a' t ' � r ur �a, a'cu� ng ph� � ng � ��x  at  x'0  a'1 t' � ��0 ��y0  a2t  y'0  a'2 t' ��z  a t  z'  a' t '  d / / d' ��0 (ẩn t,t’ ) vô nghiệm r ur r r ur r ur �� a 0 � � � �,a'� � ng ph� � ng ng ph� � ng �a, a'cu� �a, a'cu� r �r uuuuuuur � �r uuuuuuur � � M x ; y ; z � d ' a , M M ' � �   a , M M ' kho� n g cu� n g ph� � ng 0 ⇔� 0 0 ⇔� ⇔ �� 0 � r ur r �1� �x0  ta1  x0� ta � � � a , a '  �� � � he�y a2�(a� n t,t� ) co� vo� so�nghie� m �0  ta2  y0� t� � � M x ; y ; z � d ' � � � z  ta  z  t a 3 �  0 0 d  d ⇔ � ⇔ �0 r ur r �x0  ta1  x0� t� a1� �� a, a'� � �� ��0 � � y  ta  y  t a2� �0 �r ur uuuuuuur � � � a3� �a, a' M M '  �z0  ta3  z0� t�  d, d cắt nhau⇔ �� � 0 ⇔ có nghiệm r ur uuuuuuur r r uuuuuur � � a , a ' M M ' a , a� , M0 M0�kho� ng � o� ng pha� ng d, d chéo ⇔ � � 0 = ( ) r r rr 0  d  d  a  a� a.a� ④ Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng uu r M x ; y ; z u  (a;b;c)   Đường thẳng d qua 0 0 có vtcp d mặt r    : Ax  By  Cz  D  có vtpt n   A ;B;C  Khi đó: phẳng Phương pháp 1: uur uu r n u (  ) � Aa  Bb  Cc �  d cắt (  khơng vng góc với d ) 47 �Aa Bb Cc  uur d / /( ) � � Ax  By  Cz  D � n � 0  (  vng góc với M �( ) ) �Aa Bb Cc  uur d �( ) � � Ax  By  Cz  D  n � 0  (  vuông góc với M �( ) ) � r uur r uur d  ( ) � ud cung phuong n � � ud ,n � � �  Phương pháp Xét phương trình: A(x0  at )  B(y0  a2t)  C(z0  a3t)  (*) (  )  d //  (*) vơ nghiệm  d cắt ( )  (*) có nghiệm uu r ud uu r ud  d  ( )  (*) có vơ số nghiệm ⑤ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho : (S) :  x  a   y  b   z  c  R2  2 (1) mặt cầu �x  x0  at � y  y  a t � �z  z  a t � 2  S ta thay (1) vào (2), phương Để xét VTTĐ  trình (*)  S hai điểm phân biệt  d I ,   R  (*) có hai  d cắt nghiệm phân biệt 48 d I ,    R  S  d tiếp xúc với   (*) có nghiệm  S khơng có điểm chung  d I ,   R  (*) vô nghiệm  d Chú ý: Tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu  Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t  Thay t vào (1) tọa độ giao điểm ⑥ Góc  hai đường thẳng � � u u' cos  � � aa ' bb' cc'  a  b  c a'  b'  c' u u' 2 2 (0 � �900 ) ⑦Góc đường thẳng với mặt phẳng � � u n sin  � �  u.n ⑧ Khoảng cách từ điểm Aa Bb Cc A  B2  C a2  b2  c2 M  x1; y1; z1  đến đường thẳng  có � vtcp u :  Cách 1: M - Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua vng góc với  - Tìm tọa độ giao điểm H  mặt phẳng ( ) d M 1;    M 1H uuuuuur r � M M ,u� �1 � d M ,    r u M �  Cách 2: Sử dụng công thức: (với ) ⑨ Khoảng cách hai đường thẳng chéo 49 Cho hai đường thẳng chéo  qua M  x0 ; y0 ; z0  , có vtcp M '0  x'0 ; y'0 ; z'0  đường thẳng  ' qua , có vtcp u'  Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  song song với M '0 - Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( ) � u � - d( ,  ')  d(M '0 ,( )) ' r r ur uuuuuuu � u,u'� M 0M 0' � � d( ,  ')  r ur � u,u'� � �  Cách 2: Sử dụng công thức: ⑩ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ( ) Các kết hay dùng  Hai đường thẳng song song có vtcp  Đường thẳng vng góc mặt phẳng vtpt mặt phẳng vtcp đường thẳng 50 ... đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ( ) Các kết hay dùng  Hai đường thẳng song song có vtcp  Đường... ,    A  B2  C Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng uu r uu r n1 ,n2 Góc hai mặt phẳng:... n   Mặt phẳng  P  chứa song song với đường thằng  Mặt phẳng P Q uuur uu r � n P   ud d uuur uuur � AB  n P   Hai điểm A , B nằm mặt phẳng r r n u (trong công thức ngầm quy ước vtpt,