tom tat ky thuyet on thi quoc gia mon toan tom tat ly thuyet on thi ky thi quoc gia

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn TĨM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH Phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c = với x1, x2 nghiệm A  B  b   A.C  B.D C  D  1 c Với A.B  ta có A>B   A B  ax2+ bx + c = a(x-x1)(x-x2);  với =b2- 4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) b    b' '   x1,   x1,    2a a    Nếu a+ b+ c=0 x1= 1; x2= c/a;  Nếu a – b+ c=0 x1= –1; x2= – c/a;  Định lý vi-et: S= x1+ x2 = – b/a; P = x1.x2= c/a d Với A, B ≥ 0, n  N : A  B  A 2n  B2n e Với A, B n  N : A  B  A 2n 1  B2n 1 f A > B ≥  A  B g A > B  A  B Bất đẳng thức Cơ si (Cauchy) cho hai số khơng âm: ab Cho a ≥ b ≥ 0, ta có:  ab Dấu “=” xảy  a = b Bất đẳng thức Cơ si cho ba số khơng âm: Cho ba số a  , b  , c  ta abc có :  abc Dấu “=” xảy  a = b = c * Các chuyển dạng bất đẳng thức Cơ si : 1 1 (1) (a  b)     , a, b  a b 1 11 1 hay   hay     a b ab ab 4a b Dấu “=” xảy  a = b 1 1 (2) (a  b  c)      , a, b, c  a b c 1 11 1 hay    hay      a b c abc a bc 9a b c 2 Tam thức bậc hai f(x)= ax +bx+c   B B > C  A > C b A > B  A + C > B + C c Nếu C > A > B AC > BC d Nếu C < A > B  AC < BC Các hệ quả: A  B  AC  BD a  C  D Chú ý: Khơng trừ hai bất đẳng thức chiều (a  b2 )(c2  d )  (ac  bd) a b  c d b Bất đẳng thức Bunhiacopski cho số: Dấu “=” xảy  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a b c Với số thực   ta có: x y z (a  b2  c2 )(x  y2  z )  (ax  by  cz) D a b c ấu “=” xảy    x y z tan a  tan a cot a   cot 2a = cot a  tan 2a = d Cơng thức hạ bậc:  cos 2a  cos2a =  cos 2a  sin2a =  cos 2a  tan2a =  cos 2a c Các chuyển dạng bất đẳng thức Bunhiacopski a b2  a  b  (1)   , a, b  R x, y  x y xy a b2 c2  a  b  c     , (2) x y z xyz (a, b,c  R x, y, z  0) e Cơng thức biến đổi tổng thành tích: ab a b  cos a + cos b = cos cos 2 ab a b  cos a–cos b =  2sin sin 2 ab a b  sin a + sin b=2 sin cos 2 ab a b  sin a – sin b = cos sin 2 sin  a  b   tan a  tan b  cos a.cos b sin  b  a   cot a  cot b  sin a.sin b    sinx+cosx= sin  x   = cos(x- ) 4     sinx–cosx= sin(x– )= – cos  x   4  f Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b   cos a.sin b  sin  a  b   sin  a  b   sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a A  B  A  B b A  B  A  B Dấu “=” xảy  A.B ≥ CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC: a Cơng thức : sin a  cos a  tan a.cot a  sin a   tan a cos a cos a cos a cot a    cot a sin a sin a b Cơng thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b  cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b  sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b tan a  tan b  tan(a+b) =  tan a.tan b tan a  tan b  tan (a - b )=  tan a.tan b cot a.cot b   cot ( a + b) = cot b  cot a cot a.cot b   cot ( a – b )= cot b  cot b tan a  PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Phƣơng trình LG bản: c Cơng thức nhân đơi:  sin 2a = sin a.cos a  cos 2a = cos2a - sin2a = cos2a-1 = 1-2sin2a Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn * sin x  sin  * cos x  cos  Điều kiện để pt(3) có nghiệm a  b  c  x    k2   x      k2 * sin x  m ( m  1)  x    k2   x    k2 * cos x  m ( m  1) Phƣơng trình bậc hai sinx cosx:  x  arcsin m  k2   x    arcsin m  k2 * sin u(x)  sin v(x)  x  arccos m  k2   x   arccos m  k2 * cos u(x)  cos v(x) * Với cosx = 0: ta kiểm tra x   u(x)  v(x)  k2   u(x)    v(x)  k2 * sin x   x  k  u(x)  v(x)  k2   u(x)   v(x)  k2  * cos x   x   k * cos x   x  k2 Lưu ý: Nếu cosx = sin x =1 a sin x  bcos2 x  c.sin x.cos x  d  (1)   k , k  Z có phải nghiệm pt (1) khơng * Với cosx  0: chia vế pt (1) cho cos2x ta pt: a tan x  b  c tan x  d(1  tan x)   Phƣơng trình đối xứng sinx  k2 cosx:  * cos x  1  x    k2 a Dạng phương trình đối xứng: * sin x  1  x    k2 a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = (1) * tan x  tan  * cot x  cot  b Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = (2)  x    k  x    k PP: * tan x  m * cot x  m  Giải (1): Đặt t  sin x  cos x  sin(x  )  x  arctan m  k  x  arc cot m  k * tan u(x)  tan v(x) (1) * cot u(x)  cot v(x) (1)    t  t   2sin x.cos x ÐK : cos u(x)  ÐK : sin u(x)   Giải (2): Đặt t = sin x  cos x  sin(x  ) (1)  u(x)  v(x)  k (1)  u(x)  v(x)  k k  Z    t  t   2sin x.cos x * sin x   x  Phƣơng trình bậc hai hàm số lƣợng giác asin2x+bsinx+c = (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = (đặt t= cotx) QUY TẮC ĐẾM – HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc A thực theo k phương án A1, A2, …, Ak Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực Khi cơng việc A thực n1 + n2 +… + nk cách Quy tắc nhân: Giả sử thực cơng việc A bao gồm k cơng đoạn A1, A2, …, Ak Mỗi cơng đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực Khi cơng việc A thực n1 n2 … nk cách Lưu ý: * Khi thực cơng việc, có nhiều phương án, phương án ta thực xong cơng việc Khi ta dùng quy tắc cộng (cộng tất số cách thực phương án) ta số cách thực cơng việc * Khi thực cơng việc mà phải trải qua nhiều bước xong cơng việc ta dùng quy tắc nhân (nhân tất số cách thực cho Phƣơng trình bậc sinx cosx: asinx + bcosx = c (1) với a  b  * Chia hai vế pt(1) cho a  b ta được: a b c sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 (2) * Ta xác định   [0; 2) cho: a b sin   , cos   2 a b a  b2 Khi ta phương trình: c sin  sin x  cos  cos x  a  b2 c  cos(x  )  (3) a  b2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn bước) ta số cách thực cơng việc Hốn vị a) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hốn vị phần tử tập A (Gọi tắt hốn vị A hay hốn vị n phần tử) b) Số hốn vị tập hợp có n phần tử là: Pn  n!  n(n  1)(n  2) 2.1 Chỉnh hợp a) Cho tập hợp A có n phần tử cho số ngun k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k n) b) Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: n! A kn  n(n  1)(n  2) (n  k  1)  (n  k)! - Trong cơng thức (1) có n + số hạng - Số hạng thứ k + Ckn a n k bk - Các hệ số nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Ckn  Cnn k - Trong số hạng, tổng số mũ a b ln n 2) Các dạng đặc biệt nhị thức Newton: (1  x) n  C0n  C1n x  C2n x   C nn x n (1  x) n  C0n  C1n x  C2n x   (1) n C nn x n (x  1) n  C0n x n  C1n x n 1  C2n x n    C nn 2n  (1  1) n  C0n  C1n  Cn2   Cnn  (1  1) n  C0n  C1n  Cn2   (1) n C nn XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) |A| để số phần tử tập A * Nếu A  B =  n(AB) = n(A) + n(B) * Nếu A  B ≠  thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Tổ hợp a) Cho tập hợp A có n phần tử cho số ngun k với ≤ k ≤ n Mỗi tập hợp A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử tập A (Gọi tắt tổ hợp chập k A) b) Số tổ hợp chập k tập hợp n phần tử Ak n! là: C kn  n  k! k!(n  k)! Chú ý: Ann  Pn Phép thử khơng gian mẫu * Phép thử : thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng thể dự đốn trước - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy hành động * Khơng gian mẫu: Tập hợp kết phép thử T gọi KGM T kí hiệu  Biến cố - Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay khơng xảy A tùy thuộc vào kết T - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A * Biến cố chắn biến cố ln xảy thực phép thử T, mơ tả tập  * Biến cố khơng thể biến cố khơng xảy thực phép thử T, mơ tả tập  Quy ước: 0!  ; A0n  ; C0n  Với quy ước ta có: A kn  C kn  n! (n  k)! ; n! với  k  n (n  k)!k! Tính chất Ckn  Cnn k (0  k  n) Tính chất (hằng đẳng thức Pascal): Ckn 1  Ckn  Ckn 1 (1  k  n) NHỊ THỨC NEWTON 1) Cơng thức nhị thức Newton: (a  b) n  C0n a n  C1n a n 1b  C2n a n 2 b   C kn a n k b k n 1 n   C ab n 1 C b n n n Xác suất n( A ) n(  ) * Chú ý: ≤ P(A) ≤ , P() = 1, P() = * Xác suất biến cố A là: P( A )  (1) n (a  b) n   Ckn a n k b k k 0 Nhận xét: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố: “A B xảy ra”, ký hiệu AB gọi hợp hai biến cố A B Ta có: A  B   b Biến cố xung khắc - Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Vậy: AB =  c Biến cố đối - Cho A biến cố Khi biến cố “khơng A”, kí hiệu A , gọi biến cố đối biến cố A Ta nói A A hai biến cố đối - Ta có:  A   \  A  P( A )   P( A ) Lưu ý: Nếu hai biến cố đối xung khắc d Biến cố giao - Cho hai biến cố A B Biến cố: “A B xảy ra” , kí hiệu AB (hay AB) gọi giao hai biến cố A B e Hai biến cố độc lập * Hai biến cố gọi ĐỘC LẬP với việc xay hay khơng xảy biến cố khơng làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố * Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: A B ; B A ; A B hai biến cố độc lập f Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc Nếu A B hai biến cố xung khắc : P(AB) = P(A) + P(B) g Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập : Nếu A B hai biến cố độc lập với : P(A.B) = P(A).P(B) (cosx)’ = - sinx (tanx)’ = cos2 x (cotx)’ =  sin2 x x x (e )’ = e (ax)’ = ax.lna (lnx)’ = x (logax)’ = x ln a II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ : Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: Pttt M(x0,y0)  (C) : y = f(x) Tính : y’= y’(x0)= pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 @ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước  Gọi M(xo, yo) tiếp điểm  Tính f’(x)  Giải phương trình f’(xo) = k => xo, yo  Viết pttt: y = k(x-x0) + y0 Chú ý :  pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a  pttt  y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a @ Loại 3: Pttt đồ thị hàm số (C): y= f(x) biết tt qua M(x0,y0)  Ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+ y0  Điều kiện tiếp xúc :  f ( x)  k ( x  x0 )  y (1) Hệ pt  có nghiệm  f ' ( x)  k (2) Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt tìm x Thay vào (2) ta k vào pttt d ĐẠO HÀM : Qui Tắc: (u  v)’ = u’  v’ (u.v)’ = u’v + v’u '  u  u' v  v' u    v2 v (ku)’ = ku’ (k:const) Giao điểm đƣờng: Cho y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) + Ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) Số nghiệm phương trình số giao điểm (C1) (C2) + Bài tốn ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:  Biến đổi dạng f(x)=g(m)  Đặt y = f(x) đồ thị vẽ; y=g(m) đt //Ox Cơng thức: (xn)’ = nxn-1 ' 1    x x ( x )'  x (sinx)’ = cosx (cosu)’ = - u’sinu u' (tanu)’ = cos2 u u' (cotu)’ =  sin2 u u u (e )’ = u’e (au)’ = u’au.lna u' (lnu)’ = u u' (logau)’ = u ln a (un)’ = nun-1u’ ' u' 1    u u u' ' ( u)  u (sinu)’ = u’cosu Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Từ biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT CĐ)  f ( x)  g ( x) + Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:   f ' ( x)  g ' (x) có nghiệm Giải hệ, tìm hồnh độ tiếp điểm xo Dạng 1: Tìm cực trị hàm số: Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm CT : 1/ Quy tắc 1:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Tìm điểm xi thoả mãn điều kiện: xi  D nghiệm y' làm cho y' khơng xác định  B4: Lập bảng biến thiên hàm số D kết luận 2/ Quy tắc 2:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Giải phương trình y' = để tìm nghiệm xi  B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ; tính f''(xi) nhận xét dấu : + Nếu f ’’(x0) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 yCĐ = f(x0) + Nếu f ’’(x0) > hàm số f đạt cực đại điểm x0 yCT = f(x0) Đơn điệu: Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu hay biến thiên) hàm số PP : Cho hàm số y = f(x) + Tìm TXĐ hàm số + Tính y’ ( hay f’(x) ) giải pt: y’ = + Lập BBT + Kết luận Đặc biệt: f(x) = ax2 + bx + c Ta có a  + f ( x)  x  R     a  + f ( x)  x  R     Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị xo  Tìm y’  ycbt → y’(xo) = 0( 1)  giải (1) = > tìm m = mo  Thử lại: Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = mo, ta lập BBT, nhận xét cực trị từ kết luận Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = mo, ta tính y’’(xo) Nếu y’’(xo) > hs đạt cực tiểu Nếu y’’(xo) < hs đạt CĐ Từ kết luận (Chú ý: y’’(xo) = thử lại cách lập BBT) Dạng 2: Tìm điều kiện m để hàm số đơn điệu khoảng cho trƣớc PP : + f(x) đồng biến D  f ’(x) ≥ , x  D + f(x) nghịch biến D  f ’(x) ≤ ,x  D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Lƣu ý: *** Hàm số y = ax3+bx2+cx+d - Để hs tăng R a   y '  0, x  R    y '  - Để hs giảm R a   y '  0, x  R    y '  ax  b d ***Hàm số y  , D = R\{  } cx  d c - Hàm số đồng biến khoảng xđ  y '  0, x  D  ad – cb >0 Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực trị Một số hàm đặc biệt: Loại 1: hàm bậc có cực trị + Tìm D y’ + ycbt  y’= có nghiệm y’ đổi dấu qua nghiệm  ax  bx  c  có nghiệm pb    → giải, tìm m a  (Chú ý: ycbt tìm m để hàm số có cực trị xét thêm trường hợp a = 0) - Hàm số nghịch biến khoảng xđ  y '  0, x  D  ad – cb 0; P>0; S>0 - Đồ thị cắt Ox điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; t2 = 9t1 ( t = x2 ) sử dụng đlý Vi-et ax  b Hàm biến y  cx  d d    Tập xác định D=R\  c ad  bc  Tính y '  cx  d 2  TCĐ x   d c ( lim  y  () lim  y  () ) GTLN, GTNN: a Trên (a,b)  Tính y’  Lập bảng biến thiên (a ; b )  KL: max y  yCD , y  yCT  a ;b     a ;b  b Trên [a;b] Tính y’ Giải pt y’ = tìm nghiệm x0   a; b  x   Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn M ,KL: max y  M  a ;b  Chọn số nhỏ m , KL: y  m  a ;b  x   c d a ) c TCN y  a c ( lim y    Bảng biến thiên Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với trục Ox, Oy Đồ thị (nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng) x   Hàm hữu tỷ ( nâng cao ): ax  bx  c  y x   dx  e dx  e e Tập xác định D = R\  d   Tính y’=   x  Bảng biến thiên: x    III KHẢO SÁT HÀM SỐ: Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d Hàm trùng phƣơng y = ax4+bx2+c:  Tập xác định: D = R  Đạo hàm : y’= y’=  x = ? lim y  ? lim y  ? c d  d dx  e2  mx  nx  p dx  e2 Gia sư Thành Được   www.daythem.edu.vn 1/ Tập xác định: D = R 2/ Đạo hàm: (a x ) '  a x ln a , (e x )'  e x , y' = tìm cực trị (hoặc khơng có.) e TCĐ x   ( lim  y  () , d x e Hàm hợp: (a u )'  u '.ln a.a u d (e u )'  u '.e u 3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng < a < 1: hsố giảm lim  y  () ) x      e d TCX y  x   Bảng biến thiên Điểm đặc biệt (4 điểm) Đồ thị  Hàm số lơgarit: y = loga x 1/ Tập xác định:D = (0; + ∞) 1 2/ Đạo hàm: (log a x)'  (ln x)'  x ln a x u' Hàm hợp: (log a u )'  u ln a u' (ln u )'  u 3/ Các tính chất: a > 1: hsố tăng < a < 1: hsố giảm * Một số kết quan trọng: - Đthị nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng - Nếu xi cực trị giá trị cực trị 2axi  b yi  Suy phương trình đường d thẳng qua điểm cực trị - Đthị cắt Ox điểm pb  ax2+bx+c=0 có e nghiệm pb   d Phƣơng trình mũ – logarit:  Dạng bản: ax= b ( a> , a  ) b  : pt vơ nghiệm b>0 : a x  b  x  loga b IV HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT: Cơng thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n  R ta có:  Một số phƣơng pháp giải: an  a nm ; a a =a ; m a 1 ( n =an ; a0=1; a1= ); a a n m n+m 1, Đưa số: af(x) = ag(x)  f(x) = g(x) ( a>0, a  ) 2, Đặt ẩn phụ:  A.a x  B.a x  C  Đặt t = ax, đk t>0  A.a x  B.(ab) x  C.b x  n a an (an)m =anm ; (ab)n=anbn ;    n ; b   a m n b  n am a Cơng thức logarit: logab = c  ac = b (0< a1; b>0) Với 0< a1, 00; R: loga(x1x2) = logax1+logax2 ; loga x1 = logax1logax2; x2 a loga x  x ; log a x  log a x ;  log x logax= b ; logb a logba.logax=logbx; logax= logax; nghịch biến đồ thị hàm số (logaax=x); (logab= x Đặt t    , đk t>0 b x  A.a  B.b x  C  [(ab) x  1] Đặt t = ax, đk t>0, b x  t Phương pháp logarit hóa 4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Phương pháp dựa vào tính đồng biến,  Dạng bản: log a x  b (a> , a  ) Điều kiện : x > loga x  b  x  ab ) logb a alogbx=xlogba  Một số phƣơng pháp giải: Đưa số: loga f(x) = loga g(x)  f(x) = g(x) ( điều kiện f(x) > hay g(x) > 0) Hàm số mũ hàm số logarit  Hàm số mũ: y = ax Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Các phương pháp lại ptrình mũ ax /  a dx  C ln a x /  cos xdx  sin x  C Bất PT mũ – logarit:  Dạng ax > b ( a> , a  ) /  sin xdx   cos x  C b  : Bpt có tập nghiệm R b>0 :  a x  b  x  loga b , a>1 dx   (1  tan x)dx  tan x  C cos x /  dx   (1  cot x)dx   cot x  C sin x dx xa  ln  C, a  10/  2 x a 2a x  a 8/  a x  b  x  loga b , < a < Dạng logax > b ( a> , a  , x>0 )    loga x  b  x  ab , a >1  loga x  b  x  ab , < a < 11/  tan xdx   ln cos x  C 12/  cot xdx  ln sin x  C  Lƣu ý: (ax  b) 1 1/  (ax  b) dx  C a (  1) dx 2/   ln ax  b  C ax  b a /  e ax b dx  e ax b  C a /  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 /  sin(ax  b)dx  cos(ax  b)  C a dx 1 6/  C (ax  b) a.(ax  b) 7/ dx   (1  tan (ax  b))dx cos (ax  b)  tan(ax  b)  C a 8/  dx   (1  cot (ax  b))dx sin (ax  b)   cot(ax  b)  C a Các phƣơng pháp tính tích phân: Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức *******Phƣơng pháp đổi biến số :  ▪ Nếu a > thì:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  ìï f ( x) > g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) Û ïí ïïỵ g ( x) > ▪ Nếu < a < thì:  af(x) > ag(x)  f(x) log a g ( x) Û ïí ï ïỵ f ( x) > V NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: 1.Định nghĩa: F(x) gọi ngun hàm hàm số y=f(x) khoảng (a;b)  F / x  f x , x  a; b  Ngun hàm hàm số sơ cấp: /  dx  x  C /  x  dx  3/  x  1  C  1 dx  ln x  C x b A   f x. / x.dx /  e dx  e  C x Ngun hàm hàm số thƣờng gặp: x a  Đặt : t =  x   dt   / x.dx  x  b  t  b  x  a  t  a  Đổi cận:  Gia sư Thành Được  Do đó: A  www.daythem.edu.vn b  ( Trong P(x) hàm đa thức ) f t .dt  F t a  b PP : a  Các dạng đặc biệt bản:  ex     dv =  Sinx  dx  v =    Cosx    a dx 2 a  x I     t    2  Đặt: x= a.tant    dx   a dt  a.(1  tan t ).dt cos t  du = P’(x).dx Đặt u = P(x) Áp dụng cơng thức tích phân phần b A = u.va  v.du  b  Đổi cận a a b J   a2  x dx Loại 2: B =  P( x).Ln(ax  b).dx  a    Đặt x  a sin t  t   2  PP:  dx = a.cost dt  Đổi cận  a dx ax  b du   Đặt u = Ln(ax+b)  Áp dụng cơng thức tích phân phần :  v = dv = P(x).dx MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP: Dạng ngun hàm Cách đặt biến số cần tìm b u.v   v.du b a B= a  f  sin x  cos xdx t  sin x  t  m sin x  n Diện tích hình phẳng:  f  cos x  sin xdx t  cos x  t  m cos x  n a) Diện tích hình phẳng giới hạn (C) : y = f(x), trục Ox hai đường x= a; x= b t  ln x  t  m ln x  n PP:  f  ln x  dx x  f  tan x  dx cos x  f  cot x  sin  f x  x k k 1 x dx dx  f  e  e dx x  t  tan x  t  m tan x  n b S   f ( x) dx t  cot x  t  m cot x  n  Hồnh độ giao điểm (C) trục Ox nghiệm phương trình: f(x) = t  x k  t  mx k  m  Nếu p.trình f(x) = vơ nghiệm có nghiệm khơng thuộc đoạn a; b thì: S Chú ý : Nếu hàm số dấu ngun hàm có chứa dấu   n (a < b) a t  e x  t  me x  n x DTHP cần tìm là: thường ta đặt : t  b  f ( x).dx a n  Nếu p.trình f(x) = có nghiệm thuộc đoạn a; b Giả sử x =  , x =  ****Phƣơng pháp tính tích phân phần   b   S   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx Loại 1: a e x  b   A=  P ( x). Sinx .dx a Cosx    S 10   b a    f ( x).dx +  f ( x).dx +  f ( x).dx Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Số phức liên hợp z = a + bi z  a  bi b) Diện tích hình phẳng giới hạn (C): y =f(x) trục hồnh: PP : HĐGĐ (C) trục hồnh nghiệm z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' ;  z  z   z z x  a phương trình: f(x) =   x  b b S   f ( x) dx  a z  với z  b  f ( x).dx z  z  z  z z số thực  z  z ; z số ảo  z   z = a; x = b:  Các phép tốn : DTHP cần tìm là: a  c  a+ bi = c + di   b  d  (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i  (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i  (a + bi)(c + di) a  bi  a  bi  c  di   c  di c2  d  i1  i, i  1, i  i, i  b S   f ( x)  g( x) dx a  z z ;  z z z  z ; zz  z z ; a c) Diện tích hình phẳng giới hạn đường (C1): y = f(x) (C ): y = g(x) hai đường x PP: , z   z  HĐGĐ hai đường (C1) (C2) nghiệm p.trình: f(x) – g(x) = Lưu ý: + Dạng dạng lập luận giống dạng + Có thể dùng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng i n  1, i n 1  i, i n   1, i n 3  i Thể tích vật thể: a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục Ox y = f(x) liên tục đoạn a; b 1  i  V  .  f ( x) dx + Đặt w = x + y i x  y  a Vì w = z nên  2 xy  b + Giải hệ, tìm x y Lƣu ý : Các bậc hai số thực a < : i a a b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục Oy x = g(x) liên tục đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục Oy tạo vật thể tích: b  2i ; 1  i   2i Căn bậc hai số phức: z = a + bi (a,bR) ( nâng cao) Khi (H) quay quanh trục Ox tạo vật thể tích: b 2 V  . g( y) dy Giải phƣơng trình bậc hai : a) ax2 + bx + c = ( a  ; a, b, c  R ) a VI SỐ PHỨC: Đặt   b2  4ac Các khái niệm :  Số i : i2 = -1  Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR ( a : phần thực, b : phần ảo )  Nếu  = phương trình có b nghiệm kép (thực) : x = 2a  Modun số phức : z  a  b2 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  Nếu  > phương trình có hai b   2a  Nếu  < phương trình có hai nghiệm thực : x1,2  nghiệm phức : x1,2  b  i  2a  Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az  bz  c  ( a, b, c  , a  ) có hai nghiệm z1 , z2 : b c z1  z2   z1 z2  a a  Định lý đảo định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1  z2  S z1 z2  P z1 , z2 nghiệm phương trình : z  Sz  P  b) ax2 + bx + c = (a ≠ ; a, b, c  ) ( nâng cao)  Tính ∆  Tìm bậc hai ∆ b   z1,  (với  2a bậc hai ∆) Dạng lƣợng giác số phức (nâng cao) a/ Argumen: góc  cho: a  cos  r với r  a  b  b sin    r b/ Dạng lượng giác: z  r (cos  i sin  ) c/ Nhân, chia dạng lượng giác: z1 z  r1 r2 [cos(1   )  i sin( 1   )] z1 r1  [cos(1   )  i sin(1   )] z r2 d/ Cơng thức Moivre: [r (cos  i sin  )] n  r n (cos n  i sin n ) e/ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:     r  cos  i sin  2  12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn TĨM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AC AB tan  = (ĐỐI chia KỀ) cot  = (KỀ chia ĐỐI) AB AC sin  = II HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VNG  B C H BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC 1 AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH   2 AH AB AC III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) AM AN MN ;   AB AC BC b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c A    2R sin A sin B sin C b) N M MN // BC AM AN  MB NC B C VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Cơng thức Hê-rơng) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a2 ; b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực a) Đường cao: h = Tam giác vng: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a2 (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a A Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có góc 30o 60o B 13 60 o 30 o C Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được b) BC = 2AB www.daythem.edu.vn c) AC = a d) S = a2 Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 đường chéo) Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C =  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 A N M G Đường cao: Giao điểm đường cao tam giác gọi trực tâm B P Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp (  ): a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp (  ) d  a; d  b  d  () Tức là: a  b a, b    ()  ()  b) ()  ()  a  d  (  ) a  d  ()  14 Lý thuyết Hình Học 12 C Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c) Đt d vng góc với mp (  ) d vng góc với đt nằm mp (  ) Góc  đt d mp (  ): d cắt (  ) O A  d AH  () ˆ =  Nếu  góc d (  )  hay AOH H  (  )  d A   Góc mp (  ) mp (  ): O d' H ()  ()  AB  Nếu  FM  AB; EM  AB  EM  ( ), FM  ()   F ˆ = góc (  ) (  )  hay EMF E B  Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) d(A, (  )) = AH IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối chóp: Tỉ số thể tích khối chóp: Diện tích xq hình nón tròn xoay: Thể tích khối nón tròn xoay: Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Thể tích khối trụ tròn xoay: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: M (với H  (  ))  A V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) V = Bh (diện tích đáy đa giác) VS.ABC SA SB SC  VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh (diện tích đáy đường tròn) Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) S = R (R: bk mặt cầu ) V = R (R: bán kính mặt cầu) PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15 Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy I Vectơ phƣơng, vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng: VTCP: Vectơ u  gọi VTCP đường thẳng (d) giá u // trùng (d) NX: - Nếu u vectơ phương đường thẳng (d) k u (k≠0) VTCP (d) - Một đường thẳng hồn tồn xác định biết điểm đ.thẳng VTCP VTPT: Ta gọi vectơ n VTPT đường thẳng (d) n  có giá vng góc với (d) NX: - Nếu vectơ n VTPT đường thẳng (d) k n (k≠0) VTPT (d) - Một đường thẳng xác định biết điểm đường thẳng VTPT - Nếu (d) có VTPT n  (a; b) (d) có VTCP u  (b; a ) hay u  (b; a ) II Phƣơng trình đƣờng thẳng: Phương trình tham số: Trong mpOxy, đường thẳng (d) qua điểm M( x o ; yo ) có VTCP  x  x o  at (t  R ) u  (a; b) Phương trình tham số d:   y  yo  bt  x  x o  at (t  R ) Phương trình tắc: Cho đường thẳng (d) có ptts   y  yo  bt x  x y  y0  Nếu a.b  d có phương trình tắc: (2) a b Phương trình tổng qt: Trong mpOxy, đường thẳng (d) qua điểm M( x o ; yo ) có VTPT n  (A; B) , (d) có phương trình tổng qt là: A( x  x o )  B( y  yo )   Ax  By  C  Các trường hợp riêng: Cho đường thẳng (d): ax + by + c = (1) - Nếu a = (1)  by +c = y = -c/b (khi (d) vng góc với Oy điểm A(0; -c/b) - Nếu b = (1)  ax +c = x = -c/a (khi (d) vng góc với Oy điểm B(-c/a;0) - Nếu c = (1)  ax + by = (khi (d) qua gốc tọa độ) III Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng (d) : Ax  By  C  (d ') : A'x  B' y  C'  a b  Nếu a’, b’, c’ ≠ ta có: a) (d) cắt (d’)  a ' b' a b c   b) (d) // (d’)  a ' b' c' a b c   c) (d) trùng (d’)  a ' b' c' IV Góc khoảng cách: Góc: Cho hai đường thẳng (d): Ax + By + C = (d’): A’x + B’y + C’ = tạo với góc  n n ' aa ' bb '  Ta có: cos   n n' a  b2 a '2  b '2 Khoảng cách: Cho đường thẳng d: ax + by + c = điểm Mo ( x o ; yo ) Ta có: d[M o ,(d )]  ax o  byo  c a  b2 Dấu biểu thức: Ax + By + C Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = hai điểm M( x M ; yM ) , N( x N ; y N ) Khi đó: * Hai điểm M, N nằm phía (d)  ( Ax M  ByM  C).( Ax N  By N  C)  16 Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn * Hai điểm M, N nằm khác phía (d)  ( Ax M  ByM  C).( Ax N  By N  C)  Điều kiện đường thẳng tiếp xúc đường tròn: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R Điều kiện cần đủ để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) d[I,(d)]  R PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN Phƣơng trình đƣờng tròn: a) Phương trình tắc: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R Khi (C) có phương trình: (x  a)2  (y  b)2  R (1) PT(1) gọi PTCT (C) b) Phương trình tổng qt: x  y  2ax  2by  c  (ðk : a  b  c  0) (2) PT(2) PTTQ 2 đường tròn tâm I(a;b) bán kính R  a  b  c Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng tròn: Cho đường tròn (C) tâm I , bán kính R đường thẳng d a) d[I,d]  R  d tiếp xúc (C) b) d[I,d]  R  d cắt (C) hai điểm phân biệt c) d[I,d]  R  d (C) khơng có điểm chung Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn: Cho đường tròn (C) có tâm I bán kính R a) Tiếp tuyến với (C) tiếp điểm M đường thẳng qua điểm M có vectơ pháp tuyến IM b) Điều kiện để đường thẳng d tiếp tuyến (C) là: d[I,d]  R PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ELIP Định nghĩa: Cho F1 , F2 cố định với F1F2 = 2c (c >0) M  (E)  MF1 + MF2 = 2a F1 , F2 : tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phƣơng trình tắc elip: x y2  1 (a  b  0, b  a  c2 ) a b2 y b -a a O -b x  Tọa độ tiêu điểm : F1 (–c ; 0) , F2 (c ; 0)  Với M (x; y)  (E) MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu điểm M c c MF1  a  , MF2  a  x a a Hình dạng elip:  (E) nhận trục tọa độ làm trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng  Tọa độ đỉnh : A1 (–a ; 0) , A2 (a ; 0), B1 (0; –b) , B2 (0; b)  Độ dài trục : trục lớn A1A2 = 2a , trục nhỏ B1B2 = 2b c  Tâm sai (E) : e  (0 < e Tọa độ điểm H    :  phương trình  với a12  a22  a32  Qui ƣớc: Nếu = x – x0 = Vấn Đề 5: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng   P.Pháp:  Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M lên mặt phẳng   ( vấn đề )  Vì H trung điểm MM/ => tọa độ điểm M/ B) CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP Vấn Đề 1: Tìm VTCP đƣờng thẳng  : giao tuyến mặt phẳng (P) (Q)  A x  B1 y  C1 z  D1  ( P) :   A2 x  B2 y  C z  D2  (Q) P.Pháp:  BC C A AB   có VTCP : a   1 ; 1 ; 1   B2 C C A2 A1 B2  Vấn Đề 6: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đƣờng thẳng (d) P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 Pd Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT  Gọi H   d  P  M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng (d) Nên H trung điểm đoạn M0 M/ Vấn Đề 2: Viết ptrình đƣờng thẳng  : P.Pháp:   Cần biết VTCP a  a1 ; a2 ; a3  điểm M x ; y0 ; z0     Viết ptrình tham số theo cơng thức (2)  Viết ptrình tắc theo cơng thức (3) Chú ý: Viết phương trình tham số tắc giao tuyến mặt phẳng Ta tìm:  - VTCP u  a1 ; a2 ; a3  vấn đề - Cho ẩn giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận  x0  x / xH   y0  y /  Ta có:  y H    z0  z/ z   H  => M/ Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình hình chiếu d mp   P.Pháp:  Gọi d/ hình chiếu d mp    Gọi   mp chứa d      Nên   có cặp VTCP : VTCP ud Vấn Đề 3: Viết ptrình đƣờng thẳng  qua điểm M x ; y0 ; z0  vng góc với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  P.Pháp:   Mp   có VTPT n   A; B; C   Đường thẳng   qua điểm M0 có VTCP n  Viết p.trình tắc => Ptrình tổng qt  d VTPT n mp    20    Mp   có VTPT n  ud , n  Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được   www.daythem.edu.vn Mp   qua điểm M0 d Viết phương trình tổng qt Mp      :  Phương trình đường thẳng d :    :  Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M x ; y0 ; z0  vng góc với hai đƣờng   P.Pháp:    có VTCP u1    có VTCP u2  /   Vấn Đề 13: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) vng góc (P) cắt hai đƣờng thẳng   P.Pháp:  Gọi   mp chứa  có VTCP d vng góc với   Nên d có    VTCP ud  u1 ,u2  nP ( VTPT mp (P) )  Gọi   mp chứa  có VTCP Vấn Đề 9: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A cắt hai đƣờng   P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình   nP ( VTPT mp (P) )  Đường thẳng d        A 1 , A    Gọi (P) mp qua điểm A chứa  Gọi (Q) mp qua điểm A chứa   P.tr đường thẳng d:  Vấn Đề 14: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0 vng góc với đƣờng thẳng  cắt đƣờng thẳng  P.Pháp:  Gọi   mp qua M0 vng góc  P : Q : Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  P cắt hai đƣờng   P.Pháp:  Gọi A    P     Gọi B    P Đường thẳng đường thẳng AB Gọi (Q) mp chứa  (Q) // d1  d  P  Q  Phương trình đường thẳng d  Gọi   mp qua điểm M0 chứa  Đường thẳng d       Vấn Đề 15: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua giao điểm đƣờng thẳng  mặt phẳng   d   , d P.Pháp:  Gọi A       Gọi   mp qua A vng góc với  Nên   có VTPT VTCP   Đường thẳng d       Vấn Đề 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 cắt hai đƣờng   P.Pháp  Gọi (P) mp chứa  (P) // d1  Lấy điểm B  d2  tọa độ điểm B theo t2 AB đường vuông góc chung  AB  a  AB.a      AB  b  AB.b  Giải hệ ta tìm t1 t2  tọa độ A B Viết phương trình đường thẳng AB V MẶT CẦU: P : Q : Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng chéo (d1) (d2) P.Pháp:  d1 có vtcp a , d2 có vtcp b  Lấy điểm A  d1  tọa độ điểm A theo t1 Mặt cầu (S) có phương trình : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (với điều kiện a2 +b2 +c2 – d > 0) (S) có tâm I( a; b; c) bán kính R  21 a2  b2  c2  d Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP VI KHOẢNG CÁCH: Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt cầu P.Pháp:  Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Khoảng cách hai điểm AB AB  Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = dM ,    Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB P.Pháp:  Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu Bán kính R   Viết phương trình mặt cầu dM , d   Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D = P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với   nên có bán kính R  d I ,    A  B C    u  Gọi u u / VTCP  /  qua điểm M0 , M 0/  / u, u .M M d,    u, u  / / / Vấn Đề 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng VII GĨC:   Góc hai vectơ a b   Gọi  góc hai vectơ a b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 a.b Cos     a.b a12  a22  a32 b12  b22  b32 x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = A, B, C, D thuộc (S).Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Kết luận Góc hai đƣờng thẳng (a) (b) Gọi  góc hai đường thẳng (a) (b) Vấn Đề 5: Lập phƣơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy P.Pháp:  Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I  Oxy  Ta có AI2 = BI2 = CI2 0    90  Đường thẳng (a) (b) có VTCP :   a  a1 , a2 , a3  , b  b1 , b2 , b3   a.b a1 b1  a2 b2  a3 b3 Cos     a.b a12  a22  a32 b12  b22  b32   Đặc biệt: ab  a.b   AI  BI Ta có Hpt  2  AI  CI  Giải Hpt  I  IA = R  M M , u /  Viết phương trình mặt cầu    A2  B  C Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo  / AxI  ByI  CzI  D Ax0  By0  Cz0  D Khoảng cách từ điểm M1 đến đƣờng thẳng d  Lấy M0 d   Tìm VTCP đường thẳng d u AB  x B  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2   Góc hai mp    /   : Ax + By + Cz + D = Kết luận 22 Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  : A/x + B/y + C/z + D/ = Gọi  góc hai mp     / + d/ có vtcp u / qua điểm / M / Cos  + Tính MM / AA/  BB/  CC / A2  B  C A /  B /  C / a/ d d/ trùng  u , u / MM / phương  u vàu/ cù ng phương / b/ d // d   ng cù ng phương  u vàMM / khô  u vàu/ khô ng cù ng phương  / c/ d cắt d   /  /   u,u  MM  d/ d d/ chéo   u,u/  MM /     Đặc biệt: ( )  ( ')  n n '  Góc đƣờng thẳng (d) mp    (d): có VTCP u = (a, b, c)   : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc nhọn (d)   Sin  Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c * Chú ý : d  d /  u  u / VIII VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI Vị trí tƣơng đối mp   mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp:  Tính d(I,   )  Nếu d(I,   ) > R =>   khơng cắt (S)  Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)  Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính Vị trí tƣơng đối 2mp  : A x  B1 y  C1 z  D1  Cho mp : 1  : A2 x  B2 y  C2 z  D2   1 cắt   A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D  1 //      A2 B2 C2 D2 A B C D  1       A2 B2 C2 D2 r  R2  dI ,   Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d /   Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng (d) mp   Gọi H  d /    H tâm đường tròn giao tuyến a/ Nếu a n   d cắt   Tọa độ giao điểm đƣờng thẳng  mặt cầu (S) P.Pháp: Cách 1: d có vtcp a ,   có vtpt n b/ Nếu a n =0  d//   hay d     M  ( )  d / /( ) Tìm M  d:   M  ( )  d  ( ) * Viết phương trình đường  dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t  Nếu ptr () vơ nghiệm =>  khơng cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) điểm  Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) hai điểm Thế t = vào p.tr tham số  => Tọa độ giao điểm Cách 2: Giải hệ pt d    Hệ có nghiệm  d cắt    Hệ vô nghiệm  d //    Hệ vô số nghiệm  d    Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng (d) đƣờng thẳng (d’) P.Pháp: + d có vtcp u qua điểm M 23 Lý thuyết Hình Học 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 24 Đề Ơn Tập Tốt Nghiệp Lớp 12 ... v' u    v2 v (ku)’ = ku’ (k:const) Giao điểm đƣờng: Cho y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) + Ptrình hồnh độ giao điểm là: f(x) = g(x) Số nghiệm phương trình số giao điểm (C1) (C2) + Bài tốn ứng... Học 12 Gia sư Thành Được Với M  (E) ta có : www.daythem.edu.vn MF1 MF2  e d(M, 1 ) d(M,  ) (e  1) PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 3) G trọng tâm ABC , ta có: I CƠNG THỨC VECTƠ: Trong... VII CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 A N M G Đường cao: Giao điểm đường