PHÂN THỨC đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức đại số có dạng A B , A B đa thức khác , A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay mẫu) Chú ý: Mỗi đa thức coi phân thức với mẫu thức Hai phân thức Hia phân thức A B C D gọi A.D = B.C Chú ý : - Các tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số phân số cho phân thức - Các giá trị chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị gọi giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định B Bài tập vận dụng dạng tốn Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức *) Chú ý : Các phân thức xác định mẫu thức nhận giá trị khác Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau a c 5x − x2 − x b 2018 x ( x − 1) ( x − ) x+ y x2 − − x2 + 4x − d ( x + 3) Lời giải x ≠  x − x ≠ ⇔ x ( x − 1) ≠ ⇔   x ≠ 2 a) Điều kiện xác định + ( y − 2) b) Điều kiện xác định x ( x − 1) ( x − ) ≠ ⇔ x ∉ { 0;1; 2} − x + x − = − ( x − ) − ≤ −1 < c) Ta có d) Điều kiện xác định x = −3; y = với x nên phân thức cho ln có nghĩa khơng đơng thời xảy Bài 2: x + 2y x − 2x2 + y4 + Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa Lời giải ( ) x4 − x2 + y + = x2 −1 + y +1 ≥ > Ta có x, y Vậy với biểu thức ln có nghĩa Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức sau a c x2 − x − 16 b 2x2 − x2 − d e g ( x + 1) ( x − 3) f x + y2 h 5x + y x + x + 10 k 3x + y l ( x − 1) x2 + y 2x 2x +1 x − 5x + 2 i 3x − x − 4x + + y2 m Lời giải x2 y + 2x x2 − 2x + 2x + y x2 − 2018 x + 2019 y x − 24 x + 16   x ≠ x − 16 ≠ ⇔ ( x − ) ( x + ) ≠ ⇔  x ≠  a) Điều kiện xác định −4 x2 − 4x + ≠ ≠ ( x − 2) ≠ ⇔ x ≠ 2 b) Điều kiện xác định x − ≠ ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≠ ⇔ x ≠ ±1 c) Điều kiện xác định 2x ≠ ≠ x ≠ d) Điều kiện xác định x ≠ x ≠ ( x − 1) ( x − 3) ≠ ⇔  e) Điều kiện xác định f) Điều kiện xác định x ≠ x − x + ≠ ⇔ ( x − 3) ( x − ) ≠ ⇔  x ≠ x g) Điều kiện xác định y không đồng thời x − x + ≠ ⇔ ( x − 1) ≠ ⇔ x ≠ h) Điều kiện xác định x + x + 10 = ( x + 3) + > i) Ta có với x Nên phân thức cho xác định với giá trị x − ≠ ⇔ ( x − ) ( x + ) ≠ ⇔ x ≠ ±2 k) Điều kiện xác định l) Điều kiện xác định x x = 1; y = không đồng thời xảy x − 24 x + 16 ≠ ⇔ ( x − ) ≠ ⇔ x ≠ m) Điều kiện xác định Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Thực theo bước - Bước 1: Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái Cách 3: Biến đổi đồng thời vế - Bước 2: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử - Bước 3: Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, từ suy điều phải chứng minh Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau a) 2x −1  1 =  x ≠ −2; x ≠ ÷ x + 2 x + 3x −  2 b) y2 − y + y2 − 3y + = ( y ≠ 2; y ≠ ) y−4 y−2 c) 3a − 10a + 3 = a − ( a ≠ 3) ( a − 3) 2 d) b + 3b + b − ( b ≠ 2; b ≠ 3) b3 − 27 b − 5b + Lời giải VP = 2x −1 = = VT ⇒ dpcm x + 3x − x + VT = y − y + ( y − 1) ( y − ) y − y + ( y − 1) ( y − ) = = y − 1; VP = = = y − ⇒ VT = VP y−4 y−4 y−2 y−2 VT = 3a − 10a + ( 3a − 1) ( a − ) 3a − = = = a − = VP ⇒ dpcm ( a − 3) a −3 2 VT = b + 3b + b−2 = ;VP = = ⇒ VT = VP ⇒ dpcm b − 27 b −3 b − 5b + b − a) Ta có b) Ta có c) Ta có d) ta có Bài 2: Chứng minh đẳng thức a) c) xy x y = 35 x y b) x ( x + 3) x = x( x + 3) x+3 d) x − ( x − 2) = x+2 x −4 x2 − 8x + x2 − 6x − = x −1 x +1 Lời giải xy 35 x y = 7.5 x y = 35 x y ⇒ a) Ta có: x − ( x − 2) ( x − 2) ( x − 4) = ( x − 2) ( x + 2) ⇒ x + = x2 − b) Ta có: x ( x + 3) ( x + 3) = x ( x + 3) ⇒ c) Ta có: xy x y = 35 x3 y x ( x + 3) x = x( x + 3) x+3 ( x2 − 8x + ) ( x + 1) = ( x − x − ) ( x − 1) ⇒ d) Ta có: x2 − 8x + x2 − 6x − = x −1 x +1 Bài 3: Ba phân thức sau có khơng A= 2x + x − 13x − 24 10 x + 11x − ;B = ;C = 15 15 x − 20 75 x − 30 Lời giải Ta có Lại có ( x + 3) ( 15 x − 20 ) = ( x + 3) ( x − ) = 15 ( x −13 x − 24 ) ⇒ A = B ( 1) ( x + 3) ( 75 x − 30 ) = 15 ( x + 3) ( x − ) = 15 ( 10 x + 11x − ) ⇒ A = C ( ) Từ (1)(2) ⇒ A= B=C Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Cách giải: Thực theo hai bước sau Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử hai vế Bước 2: Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cầm tìm Bài 1: Tìm đa thức a) c) A để phân thức sau 3x = A x +1 b) x − 3x3 A = ( x − 3)( x + 3) x + d) A x + 3x = x −1 x2 −1 7( x + y ) x − y = A Lời giải a) Ta có b) Ta có c) Ta có 3x 3x( x + 1) = ⇒ A= = x( x + 1) A x +1 A x2 + 3x (6 x + x)(2 x − 1) = ⇒ A = = 3x x −1 x2 − x2 −1 x + ) x ( x − 3) ( x − 3x A = ⇒ A= ⇒ A = x3 ( x − 3)( x + 3) x + ( x − 3)( x + 3) ( d) Ta có ) x − y 7( x + y ) x − y = ⇒ A= ⇒ A = 4( x − y) A 7( x + y ) Bài 2: Tìm đa thức a) c) A để phân thức sau A x + 3x  3 = x ≠ ± ÷ 2x − 4x −  2 ( b) y −1 1   =  y ≠ ; y ≠ 1; y ≠ ÷ y − 3) B y − y +   b − 3b b + 3b  −3  = ; b ≠ ±3 ÷ b ≠ 2b − 3b − A   a −1 B = ( a ≠ 2) a + 2a + a − d) Lời giải a) Cách 1: Ta có A x + 3x A x = ⇒ = ⇒ A= x 2x − 4x − 2x − 2x − A= Cách 2: Ta có ( 2x ) + x ( x − 3) 4x − = x ( x + 3) ( x − ) ( x + 3) ( x − ) = x⇒ A= x b) Ta có : c) Ta có b ( b − 3) b ( b + 3) b − 3b = = ⇒ A = 2b + 9b + 2b − 3b − ( 2b + 3) ( b − 3) A y − y + = ( y − 1) ( y − 3) ⇒ B = y − y + d) Ta có : ( ) a − = ( a − ) a + 2a + ⇒ B = a − 3a + Bài 3: Tìm cặp đa thức P ( x + 1) P = ( x − 1) Q Q x2 − thỏa mãn đẳng thức x2 − 4x + ( x ≠ ±2 ) Lời giải ( x + 1) P = ( x − 1) Q x2 − x2 − 4x + ⇒P= Ta có : Chọn ( x − 1) ( x + ) Q ( x + 1) ( x − ) Q = ( x + 1) ( x − ) ⇒ P = ( x − 1) ( x + ) Bài 4: Cho đẳng thức x2 −1 x +1 = ( x ≠ −2;1;3) ( x − x + 1) A ( x − x − ) B Hãy tìm cặp đa thức mãn đẳng thức Lời giải x − x + = ( x − 1) ; x − x − = ( x + ) ( x − 3) ⇒ B = Ta có: Chọn A = ( x + ) ( x − 3) ⇒ B = x − x −1 A ( x + ) ( x − 3) A B thỏa Dạng 4: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Cách giải: Thực theo hai bước sau Bước 1: Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất phân thức Bước 2: Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề cho để lập luận Bài 1: Cho hai phân thức P Q R S thỏa mãn P R = ( P ≠ Q) Q S Chứng minh R≠S P R = Q+P R+S Lời giải Điều cần chứng minh P R P R = ⇔ P ( R + S ) = R ( P + Q ) ⇔ PS = RQ ⇔ = ( dpcm ) Q+P R+S Q S Bài 2: Chứng minh đẳng thức P −Q R − S = Q S với hai phân thức Lời giải Ta có: P R P R P −Q R − S = ⇒ −1 = −1 ⇒ = ( dpcm ) Q S Q S Q S P Q R S thỏa mãn P R = Q S BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau a) x − x − 3x + = ( x ≠ ±1) x +1 x2 −1 b) y − y −2 y − y  1 = y≠ ÷ − 10 y 2  Hướng dẫn a) Gợi ý: b) Gợi ý: x − x + = ( x − 1) ( x − ) ; x − = ( x − 1) ( x + 1) ⇒ dpcm y − y = y ( y − 1) ( y + 1) Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau a) −u + 3u − u − 4u + = ( u ≠ ±2; u ≠ 1) − u2 ( u + ) ( u − 1) b) v + 27 = v+3 v − 3v + Hướng dẫn a) Gợi ý: b) Gợi ý : −u + 3u − = ( − u ) ( u − 1) ; u − 4u + = ( − u ) ( v + 27 = ( v + 3) v − 3v + ) Bài 3: Tìm đa thức M đẳng thức sau 10 a) 3x − x − 3x −  3 =  x ≠ −1; x ≠ ÷ M 2x −  2 b) x2 + 3x − M = ( x ≠ ±2 ) x −4 x − 4x + Hướng dẫn a) Đáp số: b) Đáp số: M = ( x + 1) ( x − 3) M = ( x − 1) ( x − ) Bài 4: Tìm đa thức a) N đẳng thức sau x + x2 − 2x + = ( x ≠ −1; x ≠ −2 ) N x3 + ( x − 3) N b) 3+ x = x − x − x + 36 ( x ≠ ±3; x ≠ −2 ) 2+ x Hướng dẫn a) Đáp số: b) Đáp số: N = ( x + 1) ( x + ) N = ( x + 3) ( x − 3) Bài 5: Cho hai phân thức A B C D E F thỏa mãn A C E = = B D F Chứng minh Hướng dẫn Ta có: Mà A+C − E A = ⇒ CB − EB = DA − FA B+D−F B A C A E = ⇒ AD = BC ; = ⇒ A.F = B.E ⇒ B D B F đpcm Bài 6: Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên 11 A+C − E A = B+D−F B a) 2x −1 x +1 b) x − x +1 c) Hướng dẫn a) Vì b) Vì x ngun nên 2x −1 x nguyên nguyên nên x +1 c) Vì x ngun ngun nên x − x +1 2x −1 nguyên ⇔ x − 1∈ U ( 3) = { ±1; ±3} ⇔ x ∈ { −1;0;1; 2} x2 + nguyên x =  x2 + =  x2 = ⇔ ⇔ ⇔  x =  x + =  x =  x = −2 x2 − x + nguyên  x ( x − 1) =  x2 − x + = ⇔ x − x +1 > ⇔  ⇔ x ∈ { −2;0;1;3} ( x − 3) ( x + ) =  x − x + = ( nguyên ) Bài 7: A= a) Tính giá trị biểu thức b) Tính giá trị biểu thức 3x − y 3x + y x− y B= x+ y , biết , biết x + y = 20 xy x + y 10 = xy 0< x< y Hướng dẫn a) Vì y < 3x < nên ( 3x − y ) = ( 3x + y ) 3x − y > A Ta có ⇒ A= −1 (vì A