Thông tin tài liệu
LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC A Lý thuyết Định nghĩa bất đẳng thức - Ta gọi hệ thức dạng a b ( a b, a b, a b ) bất đẳng thức, đó: a b lầm gọi vế trái vế phải - Để chứng minh bất đẳng thức a b , ta xét hiệu a b chứng minh hiệu số dương Các tính chất a a b a c b c (cộng hai vế bất đẳng thức với số) b Nhân hai vế bất đẳng thức với số +) Nếu a b a.c b.c(c 0) +) Nếu a b a.c b.c(c 0) Tính chất bắc cầu Nếu a b b c suy được: a c *) Chú ý: Các tính chất cịn trường hợp dấu ; B Bài tập Bài 1: Cho a b , c d Chứng minh rằng: a c b d Lời giải a b ac bc ac bd c d b c b d Ta có: Bài 2: Cho a b c d Chứng minh ac bd Lời giải a b a.c b.c(c 0) ac bd c d b c b d ( b 0) Ta có: (đpcm) Bài 3: Cho a b Chứng minh ab a b Lời giải a a.b 2.b(b 0) ab ab 2b 2a 2ab 2( a b) ab a b b a b a ( a 0) Ta có: (đpcm) Bài 4: Cho a b Hãy so sánh a a ab b b ab 2 c a b Lời giải a) Ta có: a b a.a a.b a ab(1) b) Ta có : a b a.b b.b ab b (2) 2 c) Từ (1)(2) a b Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y ( x y) xy Lời giải Xét hiệu: x2 y ( x y)2 ( x y) ( x y)2 x2 y (1) 2 ( x y )2 ( x y )2 ( x y )2 xy 0 xy(2) 2 Xét hiệu: Từ (1)(2) x2 y ( x y)2 xy (đpcm) Bài 6: Cho số thực x Chứng minh rằng: a x 2 x x b Lời giải x 2 x x a) Ta có : b) Ta có x x ( x 1) 2 x 2x x x x ( x 1) 2 x 2x x x x Bài 7: Cho x, y hai số khác khác Chứng minh rằng: x y 2 a y x x, y dấu x y 2 b y x x, y khác dấu Lời giải x y ( x y)2 x y 2 0 2 xy y x a Xét y x x y ( x y)2 x y 2 2 xy y x b Xét y x Bài 8: x y yz zx 6 x , y , z z x y Cho số dương Chứng minh: Lời giải x y yz zx x z y z x y ( x z )2 ( y z )2 ( x y )2 ( 2) ( 2) ( 2) 0 z x y z x z y y x xz yz xy Xét: Bài 9: 2 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(a b c ) (a b c) 3(ab bc ca ) Lời giải 2 2 2 Xét hiệu: 3(a b c ) (a b c ) (a b) (b c ) (c a ) 0(1) 2 2 Xét hiệu: (a b c) 3( ab bc ca) ( a b) (b c) (c a) 0(2) 2 2 Từ (1)(2) 3(a b c ) (a b c) 3(ab bc ca) Bài 10: Chứng minh rằng: (a 1)(a 2)(a 3)(a 4) Lời giải Ta có: ( a 1)( a 2)( a 3)( a 4) ( a 1)( a 4)( a 2)( a 3) ( a 5a 4)( a 5a 6) (a 5a 4) 2(a 5a 4) (a 5a 5) 0(dpcm) Bài 11: 5 4 Cho x y Chứng minh rằng: x y xy x y (1) Lời giải (1) x y xy x y ( x5 x y ) ( y xy ) x ( x y ) y ( x y ) ( x y )( x y ) ( x y )( x y )( x y ) ( x y )2 ( x y )( x y ) Bài 12: 4 Cho a b Chứng minh rằng: a b Lời giải a b ( a b) a 2ab b Ta có: 2 2 2 2 2 Mà: (a b) a 2ab b (a 2ab b ) (a 2ab b ) 2a 2b a b ( a b ) a b 2a b 2 4 2 4 2 4 2 4 Lại có: (a b ) a b 2a b (a b 2a b ) (a b 2a b ) 2a 2b a b4 Bài 13: Với x, y, z chứng minh rằng: 2 a x y z xy yz zx 2 b x y z xy xz yz 2 c x y z 2( x y z ) Lời giải a x y z xy yz zx ( x xy y ) ( y yz z ) ( z xz x ) ( x y ) ( y z )2 ( z x) x y z 2 2 2 b x y z xy xz yz ( x y ) z ( x y ) z ( x y z ) 2 2 2 c x y z 2( x y z ) ( x 1) ( y 1) ( z 1) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức A 1 1 1, 2 n với n N , n Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; A 1(dpcm) 2 2.3 n ( n 1).n n n n Ta có: 1.2 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c số dương (a b )c (b c )a (c a )b 6abc Lời giải 2 2 Ta có: (a b) a b 2ab (a b )c 2abc(c 0) 2 2 Tương tự: (b c )a 2abc;(c a )b 2abc đpcm ... bất đẳng thức A 1 1 1, 2 n với n N , n Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; A 1(dpcm) 2 2.3 n ( n 1).n n n n Ta có: 1.2 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức sau... 2) ( 2) ( 2) 0 z x y z x z y y x xz yz xy Xét: Bài 9: 2 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(a b c ) (a b c) 3(ab bc ca ) Lời giải 2 2 2 Xét hiệu: 3(a b c )... ab(1) b) Ta có : a b a.b b.b ab b (2) 2 c) Từ (1)(2) a b Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 y ( x y) xy Lời giải Xét hiệu: x2 y ( x y)2 ( x y) ( x y)2
Ngày đăng: 12/10/2022, 12:43
Xem thêm:
