Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy ngay rằng “Để chứng minh một bất đẳng thức, ngoài việc sử dụng các tính chất thứ tự với phép cộng và phép nhân chúng ta còn có thể sử dụng các phép bi[r]
(1)LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG A BÀI GIẢNG
1 NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ
Trên tập số thực, với hai số a b xảy trường hợp sau: Số a số b, kí hiệu a b=
Số a nhỏ số b, kí hiệu a b< Số a lớn số b, kí hiệu a b> Từ đó, ta có thêm nhận xét:
Nếu a không nhỏ b a b= a b> , ta nói a lớn b, kí hiệu a b≥
Nếu a không lớn b a b= a b< , ta nói a nhỏ b, kí hiệu a b≤
Ví dụ Điền dấu thích hợp (=, <, >) vào vuông: 1,53 1,8
a b -2,37 -2,41
12
c
18
−
−
3 13
d 20 Giải Ta có ngay:
1,53 < 1,8
a b -2,37 > -2,41 c 12 =
18
− −
3 13
d <
5 20
2 BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức hệ thức có dạng: , , ,
A B A B A B A B> ≥ < ≤
3 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG
Ví dụ a Khi cộng -3 vào hai vế bất đẳng thức − <4 bất đẳng thức nào?
b. Dự đoán kết cộng số c vào hai vế bất đẳng thức − <4 bất đẳng thức nào?
Giải Ta có ngay:
3
− − < − + ⇔ − < − (đúng) dự đoán c− < +4 c Tính chất: Với ba số a, b c, ta có:
(2)Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho
Ví dụ So sánh −2004 ( 777)+ − −2005 ( 777)+ − mà khơng tính giá trị biểu thức Giải
Ta có −2004> −2005 nên cộng hai vế bất đẳng thức với -777, ta 2004 ( 777) 2005 ( 777)
− + − > − + −
Ví dụ Dựa vào thứ tự so sánh 2+ Giải
Ta có 3< nên cộng hai vế bất đẳng thức với 2, ta 2 5+ < B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? ( 2)
a − + ≥ b − = 2.( 3)−
( 8) 15 ( 8)
c + − < + − d x + ≥ 12 Giải a Khẳng định ( 2) 2− + ≥ sai
b Khẳng định − =6 2.( 3)−
c Khẳng định ( 8) 15 ( 8)+ − < + − d Khẳng định x + ≥2 1 1 vì:
2 0, 1, 2
x ≥ ∀ ⇔x x + ≥ ∀x Ví dụ Cho a b< , so sánh:
a a +1 b +1 b a −2 b −2 Giải a Ta có:
1
a b< ⇔ + < +a b b Ta có:
2
a b< ⇔ − < −a b
Ví dụ Hãy so sánh a b nếu:
a a− ≥ −5 b b 15+ ≤a 15+b Giải a.Ta có:
5 5 5
a− ≥ − ⇔ − + ≥ − + ⇔ ≥b a b a b b Ta có:
(3)PHIẾU BÀI LUYỆN
Bài 1: Mỗi khẳng định sau hay sai?
a) 5 ( 8) b) ( 3) ( 7) ( 5) ( 4) c) ( 7) 9 ( 10) ( 4) c) x2 1 1 x Bài 2: Cho a b so sánh
a) a 3 b3 b) a 2 b 2 c) a b 1 d) a 2 b 1
Bài 3: So sánh a b; nếu:
a)a 4 b b) 5 a b
c) a 9 b c) a17 b 17 Bài 4: Sắp xếp số sau từ lớn đến bé biểu diễn trục số:
a) − − − −7; 8; 1; 5;0,3,8; b) 1; ;0; 2; 5;1
−
−
Bài 5: Cho x 8 Chứng minh x 3 20 Bài 6: Cho x 5 15 Chứng minh x 2 Bài 7: So sánh x trường hợp sau: a) x − ≤ −8 8; b) x2 x x2
Bài 8: Cho a b Chứng minh a 2 1820b 108 Tự luyện:
Bài 1: Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao?
a) −3.(2) 6> b) 1
5
− < − +
c) − + ≤4 7; d) − − ≤x2 1 0 Bài 2: So sánh x y trường hợp sau:
a) 5 ;
3
x− ≤ −y b) − − > − −5 x y
Bài 3: Cho a b so sánh
a) a 26 b 26 b) a 4 b 4 c) a b 4 d) a 6 b 3 TRẮC NGHIỆM
Hãy chọn chữ đứng trước câu trả lời ( trừ câu 2) Câu 1: Số a khơng lớn số b Khi ta kí hiệu
A a b B a b C a b D.a b
(4)Câu 3: Biết bạn An nặng bạn huy Huy, gọi trọng lượng bạn An a(kg), trọng lượng bạn Huy b Khi ta có:
A a b B.a b C.a b D a b
Câu 4: Các bất đẳng thức sau hay sai?
Nội dung Đ S
A
3B 4
7 13
7 C 3 2.
1D a 2 2 2
Câu 5: Một bạn giải toán sau:
Cộng -2006 vào hai vế bất đẳng thức 20052006 ta suy
2005 2006 2006
2006
phương án điền vào ô trống là:A ‘ ’ B ‘ ’ C ‘ ’ D ‘ ’ Câu 6: Cho bất đẳng thức 20072006 2006 Khi 20072006 gọi A Đẳng thức B Biểu thức C.Vế trái D Vế phải Câu 7: Phương án bất đẳng thức
A 2a b B 2a b C 2a b 2a+b D :a b
Câu 8: Cho hình vẽ , coi a,b,c khối lượng vật nặng.khi ta biểu diễn:
A a b c B b c a C b c a b +c=a D Tất trường hợp sai
a c
b
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI LUYỆN Bài 1: a) Đúng 5 ( 8)
3b) Đúng ( 3) ( 7) 21 ( 5) ( 4) 20 c) Đúng ( 7) 9 40 ( 10) ( 4) 40
(5)a) a3 < b3 (cùng cộng với 3) b) a 2 b (cùng cộng với
2 c) a1 < b1 (cùng cộng với 1)Vậy a a b a b (tính chất bắc cầu) d) Tương tự có: a 2 a b
Bài 3: HD: a) a 4 b a b (cùng cộng với 4) b) 5 a b a b( cộng với
5c) a 9 b a b (cùng cộng với
9 ) d) a 17 b 17 a b(cùng cộng với 17) Bài 4: HD:a) Thứ tự xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8 (tự biểu diễn)
b) Thứ tự xếp: 5; 2;1;0; 3; − −
Bài 5: HD: x 8 x 1111 9 x 20 Bài 6: HD: x 5 15 x
7 15
7 xBài 7: HD: a) x− ≤ − ⇔ − + ≤ − + ⇔ ≤8 x 8
( )
8 xb) x2 x x2 x2 x x2 x2 x x2 x2 x2 x 0
Bài 8: HD: Tính tổng: 2 18 20
20 2
: 20 : 11.10 110
108 108 110 108
a b a b a b
(6)LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A BÀI GIẢNG
1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN VỚI SỐ LƯỢNG
Ví dụ a Nhân hai vế bất đẳng thức − <2 với 5091 bất đẳng thức nào?
b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức − <2 với số c dương bất đẳng thức nào?
Giải Ta có ngay:
2.5091 3.5091 10182 15273
− < ⇔ − < (đúng) dự đoán − <2c 3c với c dương Tính chất 1: Với ba số a, b c >0, ta có:
Nếu a b> a c b c > a bc c>
Nếu a b≥ a c b c ≥ a b c c≥
Nếu a b< a c b c < a b c c<
Nếu a b≤ a c b c ≤ a b≤ c c
Khi nhân chia hai vế bất đăng thức với số dương ta bất đẳng thức mới chiều với bất đẳng thức cho
Ví dụ Điền dấu thích hợp (<, >) vào ô vuông: −
( 15,2).3,5 (-15,08).3,5
a
□
4,15.2,2 (-5,3).2,2
b
□
Giải a Ta có cách điền:
( 15,2).3,5 < (-15,08).3,5−
Vì ln có −15,2< −15,08 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 3,5 0>
b Ta có cách điền: 4,15.2,2 > (-5,3).2,2
Vì ln có 4,15> −5,3 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 2,2 0> 2 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN SỐ ÂM
(7)b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức − <2 với số c âm bất đẳng thức nào?
Giải Ta có ngay: − −2.( 345) 3.( 345)< − ⇔690< −1035, sai
Tức dấu bất đẳng thức cần đổi chiều dạng 690> −1035 dự đoán − >2c 3c với c âm Tính chất 2.: Với ba số a, b c <0, ta có:
Nếu a b> a c b c < a b c c<
Nếu a b≥ a c b c ≤ a b c c≤
Nếu a b< a c b c > a b c c>
Nếu a b≤ a c b c ≥ a b c c≥
Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho
Ví dụ Cho −4a> −4b, so sánh a b
Giải Bằng cách chia hai bất đẳng thức với -4, ta a b<
Ví dụ Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác sao? Giải
Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác thì: Dấu bất đẳng thức không thay đổi a >0
Dấu bất đẳng thức đổi chiều a <0 3 TÍNH CHẤT BẮC CẦU CỦA THỨ TỰ
Tính chất: Với ba số a, b c, a b> b c> a c> B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? ( 6).5 ( 5).5
a − < −
( 6).( 3) ( 5).( 3) b − − < − −
( 2003).( 2005) ( 2005).2004
c − − ≤ −
2 -3 d x ≤
(8)( 6).5 ( 5).5− < −
Là đúng tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức − < −6 5với 0> b Ta có bất đẳng thức
( 6).( 3) ( 5).( 3)− − < − −
Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức − < −6 với − <3 c Ta có bất đẳng thức
( 2003).( 2005) ( 2005).2004− − ≤ −
Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −2003 2004≤ với −2005 0< d Ta có bất đẳng thức
2 3x
− ≤
Là đúng tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức x ≥2 0 với − <3 0 Ví dụ a So sánh ( 2).3− -4,5
b Từ kết câu a), suy bất đẳng thức sau: ( 2).30− < −45; ( 2).3 4,5 0− + <
Hướng dẫn: Lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải
a Ta ln có − < −2 1,5 nên cách nhân hai vế với 3, ta được: ( 2).3− < −4,5 (1)
b Ta xây dựng:
Bất đẳng thức ( 2).30− < −45được hình thành cách nhân hai vế (1) với 10
Bất đẳng thức ( 2).3 4,5 0− + < hình thành cách cộng hai vế (1) với 4,5 Ví dụ Cho a b< , so sánh:
2a 2b; 2a a b+ ; -a –b
Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương đương cho bất đẳng thức ban đầu Giải
Ta thấy: 2
a b< ⇔ a< b, cách nhân hai vế với 2
a b< ⇔ a a b< + , cách cộng hai vế với a a b< ⇔ − > −a b, cách nhân hai vế với -1 Ví dụ Số a số âm hay dương nếu:
12a<15 ?a 4a<3 ?a −3a> −5 ?a Hướng dẫn: Sử dụng phép so sánh hai bất đẳng thức đầu cuối
(9)12 15 0 12a 15a a <
⇒ >
<
4 0
4a 3a a >
⇒ <
<
3 0
3a 5a a
− > −
⇒ >
− > −
Ví dụ Hãy xác định dấu số a, biết:
a a> a
2 a b a ≤
Giải a Ta viết lại:
6a>3a⇔6.a>3.a
Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức 3> với a Vậy, từ chiều hai bất đẳng thức suy a >0
b Ta viết lại:
1
1
2
a
a≤ ⇔ a≤ a
Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức 1
> với a Vậy, từ ngược chiều hai bất đẳng thức suy a ≤0
Ví dụ Cho a b< , chứng tỏ: 3
a a+ < b+ b 2− a− > − −5 2b Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức sở để biến đổi
Giải Ta có:
3 3
a b< ⇔ a< b⇔ a+ < b+
2 2 5
a b< ⇔ − a> − b⇔ − − > − −a b
Ví dụ Cho bất đẳng thức m >0 Nhân hai vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức
m >
Giải Với bất đẳng thức giả thiết:
0
m > nhân hai vế bất đẳng thức với 12
m , ta được:
2
1 1
0
m
m m > m ⇔ > Ví dụ Cho a b< , chứng tỏ:
3
(10)Giải Ta có: a b< ⇔2a<2b⇔2a− <3 2b−3 (1)
3 2b 2b
− < ⇔ − < + (2)
Từ (1) (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a− <3 2b+5 Ví dụ Cho a b< , chứng minh 2a− <3 2b+6
Giải Với bất đẳng thức giả thiết:
a b<
Nhân hai vế bất đẳng thức với 2, ta được: 2a<2b
Tiếp tục, cộng hai vế bất đẳng thức với -3, ta được:
2a− <3 2b−3 (1)
Cộng hai vế bất đẳng thức − <3 với 2b, ta được:
2b− <3 2b+6 (2)
Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra: 2a− <3 2b+6, đpcm
Ví dụ 10 Cho ∆ABC Các khẳng định sau hay sai?
a A B C+ + >1800 b A B+ <1800 c B C+ ≤1800 A B+ ≥1800 Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức A B C+ + =180 , , ,0 A B C >0
Giải
a Sai b Đúng c Sai khơng thể có dấu “=” d Sai Ví dụ 11 Chứng minh:
4.( 2) 14 4( 1) 14 a − + < − +
( 3).2 ( 3).( 5) b − + < − − +
Hướng dẫn: Cần lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải
a Từ bất đẳng thức:
2 4.( 2) 4.( 1) 4( 2) 14 4.( 1) 14
− < − ⇔ − < − ⇔ − + < − + , đpcm b Từ bất đẳng thức:
2> − ⇔ −5 ( 3).2 ( 3).( 5)< − − ⇔ −( 3).2 ( 3).( 5) 5+ < − − + , đpcm Ví dụ 12 So sánh a b nếu:
5
a a+ < +b b 3− a> −3b 6
(11)Giải a Ta có biến đổi:
5
a+ < + ⇔ <b a b b Ta có biến đổi:
3a 3b a b − > − ⇔ < c Ta có biến đổi:
5a− ≥6 5b− ⇔6 5a≥5b⇔ ≥a b d Ta có biến đổi:
2a 2b 2a 2b a b − + ≤ − + ⇔ − ≤ − ⇔ ≥ Ví dụ 13 Cho a b< , so sánh:
a 2a +1 2b +1 b 2a +1 2b +3 Giải
a Ta có biến đổi:
2 2
a b< ⇔ a< b⇔ a+ < b+ (1) b Ta có:
1 3< ⇔2b+ <1 2b+3 (2) Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a+ <1 2b+3
Ví dụ 14 Cho a b> >0, chứng tỏ rằng:
a a2 >ab b a3 >b3
Giải a Với bất đẳng thức giả thiết:
a b>
Nhân hai vế bất đẳng thức với a >0, ta được:
a >ab, đpcm (1)
b Với bất đẳng thức giả thiết: a b> (*)
Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với a >2 0, ta được:
a >a b (2)
Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với b >0, ta được:
ab b> (3)
Từ (1) (3) suy ra: a2 >b2 (4) Nhân hai vế bất đẳng thức (4) với b >0, ta được:
2
a b b> (5)
(12)Chú ý: Bất đẳng thức a2 >ab với điều kiện: a b> a >0 (hoặc a b< a <0) Bất đẳng thức a3 >b3 với điều kiện a b> Ví dụ 15 Cho a b> >0, chứng tỏ 1
a b< Giải
Từ giả thiết a b >, suy ra: ab ab > ⇔ >
Với bất đẳng thức giả thiết: a b> nhân hai vế bất đẳng thức với
ab, ta được:
1 1 1
a b
ab > ab ⇔ > ⇔ <b a a b, đpcm
Nhận xét: Ta có kết tổng qt “Nếu a b>
< >
> <
1
nÕu ,
1
nÕu , a b a b
a b a b
”
Ví dụ 16 Cho a b< c d< , chứng tỏ a c b d+ < + Giải
Với bất đẳng thức giả thiết: a b<
Cộng hai vế bất đẳng thức với số c, ta được:
a c b c+ < + (1)
Với bất đẳng thức giả thiết: c d<
Cộng hai vế bất đẳng thức với số b, ta được:
b c b d+ < + (2)
Từ (1) (2) suy ra: a c b d+ < + , đpcm Nhận xét:
1 Bất đẳng thức phát biểu “Khi cộng theo vế hai bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều với hai bất đẳng thức cho”
2 Ta cịn có kết “Nếu a b< < c d< < a c b d < ” Ví dụ 17 Cho a, b bất kì, chứng tỏ rằng:
a a b2+ 2−2ab≥0 b 2
a b+ ≥ab
(13)a Biến đổi tương đương bất đẳng thức:
2 2 0 ( )2 0
a b+ − ab≥ ⇔ a b− ≥ , b Với bất đẳng thức giả thiết:
2
2
a b+ ab
≥ , nhân hai vế bất đẳng thức với 2, ta được: 2+ ≥2
a b ab
Cộng hai vế bất đẳng thức với −2ab, ta được:
2 2 2 2 ( )2 0
a b+ − ab≥ ab− ab⇔ a b− ≥ , Nhận xét:
1 Qua ví dụ trên, nhận thấy “Để chứng minh bất đẳng thức, việc sử dụng các tính chất thứ tự với phép cộng phép nhân cịn sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức ngược lại (xuất phát từ bất đẳng thức biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh)”
2 Xuất phát từ kết 2
a b+ ≥ab
, đặt x a y b= 2, = 2 (khi x y ≥, 0) ta nhận bất đẳng thức dạng:
2
x y+ ≥ xy
, với x y ≥,
Bất đẳng thức gọi Bất đẳng thức Côsi PHIẾU TỰ LUYỆN
Bài 1: Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao?
a) ( 13).( 5) ( 13).2;− − > − b) 0; x ≥
c) 3 ;5
5
− < d) 7 ( 3).5 7 ( 5).( 3).
Bài 2: Cho a b , so sánh:
a) 3a4 3b b) 23a 23b c) 2a 3 2b 3 d) 2a 4 2b 5 Bài 3: Số a âm hay dương nếu:
a) 8a 4 ;a b) 6a 12 ;a c) 6a 12 ;a d) 5a 15a Bài 4: So sánh a b nếu:
(14)Bài 5: Cho a, b, c, d, e thuộc Chứng minh rằng:
a) a2 –a 1 0 b)
a 1
a2
a 3
a4
1 0 c) (a b)2 2(a2 b2) d) a2 b2 c2 3 2
a b c
.Bài 6: Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) ab a b a b
2 2 2
2
+ +
≤ ≤
b)
a3 b3 a b
2
+ +
≥
; với a, b ≥ c) a4+b4 ≥a b ab3 + d) a4+ ≥3 4a
Bài 7: Cho a, b, c, d > Chứng minh ab <1 a a c b b c + <
+ (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a b c
a b b c c a 1< + + <2
+ + + b)
a b c d
a b c b c d c d a d a b
1< + + + <2
+ + + + + + + +
Tự luyện
Bài 1: Số a số âm hay dương nếu:
a)123 124 a a b)345a 346a
c)
n67
a
n68
a d)
n2 87
a n2 88
a Bài 2: Cho m bất kỳ, chứng minh :a) m− > −3 m b) 2m− <5 2m+1 c) 3− m<3 3
(
−m)
Bài 3: Cho a b> >0 chứng minh 1) a2 >ab 2) ab b> 2 3) a2 >b2
Bài 4: Cho x y< so sánh :
a) 1x + 2y +1 b) 2 3x− 2 3y− c)
3x + 3y +5
Bài 5: Cho a b> chứng minh :
a) 2a− >3 2b−3 b) 2a− >5 2b−8 c) 3− a<3 3
(
−b)
Bài 6: Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
1) a2+b2−2ab≥0 2) 2
2
a +b ≥ab
3) a2+b2−ab≥0
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: a) Khẳng định 65 26 b) Khẳng định x2 0 x
c) Khẳng định
5 d) Khẳng định sai 8 22 Bài 2: a) a b 3a 3b 3a 4 3b
(15)c) a b 2a 2b 2a 3 2b3 d) 2a 4 2b 4 2b5
Bài 3: HD:a) 8 8a 4a a 0
b) a 0 c) a 0 d) a 0
Bài 4: a) a b b)a b c) a b d) a b
Bài 5: a) ( 1)2 3 0,
2 4
a a
b)
a 1
a2
a 3
a4
1(a2 5a 4).(a2 5a 5) 1Đặt a2 5a 4 t, ta t t
1
1 1 ( 1)2 0,2
t t t t
c)(ab)2 2(a2 b2)
Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (a b)2 (1.a 1 )b (12 1 )(2 a2 b2)2(a2 b2) Dấu “=” xảy a b
d) a2 b2 c2 3 2
a b c
.Ta có : a2 2 1a
a – 1
2 0 a2 12a Tương tự: b2 1 2 ; b c2 1 2cNên: a2 b2 c2 3 2 2a b c 2
a b c
Dấu “=” xảy a b cBài 6: HD:
a)
2 2
( ) 0
2
a b ab a b
;
2
2 ( )2
0
2
a b a b a b
b) ⇔ 3( )( )2 0 a b a b c) ⇔ (a3 b a b3)( ) 0 d) ⇔ (a 1) (2 a2 2a3)0
Bài 7: HD: a< ⇒ <a b b
⇔
a b c–
ac bc ac ab bc ab a b.( c) b a( c) a a cb b c
a) Sử dụng (1), ta được: a a a c a b c a b a b c
+ < <
+ + + + + ;
b b b a
a b c b c a b c + < <
(16)c c c b a b c c a a b c
+ < <
+ + + + +
Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a a a b c d a b c a c+ + + < + + < +
Tương tự: b b b
a b c d b c d b d+ + + < + + < + ;
c c c
a b c d c d a a c+ + + < + + < + ;
d d d
a b c d d a b d b+ + + < + + < +
Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm