(SKKN HAY NHẤT) sử DỤNG PHÉP NGHỊCH đảo để GIẢI các bài TOÁN HÌNH học PHẲNG TRONG các kì THI học SINH GIỎI

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN ********** Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Tốn lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ - 2014 đến - 2015 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Hoàng Cương Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: 239 đường Hưng Yên, phường Quang Trung, TP Nam Định Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Điện thoại: 0914521894 Đồng tác giả (nếu có): khơng Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 0350640297 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kì, phép vị tự đồng dạng phép biến hình bảo tồn tỉ số khoảng cách hai điểm Chúng biến đường thẳng thành đường thẳng, đường trịn thành đường trịn Ngồi phép dời hình, phép vị tự đồng dạng, phép biến hình khác với tính chất thú vị Đó phép nghịch đảo Phép nghịch đảo biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường trịn, biến đường thẳng thành đường tròn, đường tròn thành đường thẳng Đặc biệt bảo tồn góc hai hình Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh, nước, kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, có nhiều tốn hình học phẳng khó giải phương pháp thông thường Đặc biệt tốn hình học phẳng xuất nhiều đường trịn, hình vẽ rối, nhiều học sinh khơng biết vẽ hình Bên cạnh đó, nhiều tốn u cầu chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng khơng thể vẽ hình Nếu học sinh biết áp dụng phép nghịch đảo để làm toán với ảnh chúng suy tính chất tạo ảnh giải toán gọn gàng Phép nghịch đảo có số ứng dụng quan trọng việc giải tốn hình học phẳng II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN A Các khái niệm: Định nghĩa: a) Cho trước điểm O số thực k  , với điểm M khác O ta dựng điểm M’ đường thẳng OM cho OM OM '  k (1) Khi ta nói M’ ảnh điểm M qua phép nghịch đảo tâm O phương tích k (hoặc hệ số k ) ● O M M ’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương Khi M  O M’ điểm vơ cực kí hiệu  M điểm vơ cực  M’ trùng với O Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là: f O, k  : M  M ' b) Cho hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc H phép nghịch đảo f O, k  lập thành hình H’ gọi ảnh hình H (hình nghịch đảo H) kí hiệu: f O, k  : H  H’ Các khái niệm khác liên quan: a) Xét phép nghịch đảo f O, k  với k > Đường tròn tâm O, bán kính R  k gọi đường trịn nghịch đảo thực Nếu k < 0, đường trịn tâm O bán kính R  k gọi đường trịn nghịch đảo ảo Khi đó, điểm đường tròn nghịch đảo điểm bất động phép nghịch đảo b) Cho hai đường trịn (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Gọi d1 d2 tiếp tuyến hai đường trịn A Góc tạo d1 d2 gọi góc tạo hai đường trịn (O1) (O2) Nếu góc vng ta nói hai đường trịn (O1) (O2) trực giao (hoặc hai đường trịn vng góc với nhau) điểm A Ta nhận thấy góc tạo hai tiếp tuyến hai đường trịn B góc A Góc tạo đường thẳng đường trịn góc tạo đường thẳng với tiếp tuyến đường tròn điểm chung chúng B Các tính chất: Cho phép nghịch đảo f O, k  với k  Tính chất 1: Phép nghịch đảo f O, k  phép biến đổi - Tính chất 2: Phép biến đổi f  f O, k   f O, k  phép đồng Tính chất 3: Nếu A’, B’ ảnh A, B qua phép A' B'  k OA.OB f O, k  AB LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương Tính chất 4: Ảnh đường thẳng d qua tâm nghịch đảo đường thẳng d Tính chất 5: Ảnh đường thẳng d không qua tâm nghịch đảo O đường tròn qua tâm nghịch đảo O Tính chất 6: Ảnh đường trịn (C) qua tâm nghịch đảo O đường thẳng d không qua tâm nghịch đảo O song song với tiếp tuyến đường tròn (C) O Tính chất 7: Ảnh đường trịn   không qua tâm nghịch đảo O đường tròn  ' Đường tròn  ' ảnh đường tròn   qua phép vị tự VO ,   với   k , p phương tích O đường trịn   p Tính chất 8: Góc tạo đường thẳng d đường tròn   qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo Tính chất 9: Góc tạo hai đường trịn    ' qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo 10 Tính chất 10: Nếu đường thẳng d đường tròn   khơng qua tâm nghịch đảo O, góc tạo d   có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo 11 Tính chất 11: Góc tạo hai đường trịn    ' không qua tâm nghịch đảo O có số đo góc tạo ảnh chúng qua phép nghịch đảo *) Từ tính chất 8, 9, 10, 11 ta có kết quả: - Hai đường tròn tiếp xúc tâm nghịch đảo biến thành hai đường thẳng song song - Hai đường thẳng song song biến thành đường thẳng đường tròn tiếp xúc hai đường tròn tiếp xúc - Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn biến thành đường thẳng đường tròn tiếp xúc hai đường tròn tiếp xúc - Hai đường tròn trực giao biến thành hai đường tròn trực giao hai đường thẳng vng góc đường tròn  và đường   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương 12 Tính chất 12: Trong khơng gian có kết tương tự mặt phẳng - Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) qua tâm nghịch đảo (P) Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) không qua tâm nghịch đảo mặt cầu qua tâm nghịch đảo - Hình nghịch đảo mặt qua tâm nghịch đảo mặt phẳng - Hình nghịch đảo mặt cầu không qua tâm nghịch đảo mặt cầu, vị tự mặt cầu cho, tâm vị tự tâm nghịch đảo - Phép nghịch đảo bảo tồn góc mặt phẳng mặt cầu C Các toán áp dụng: I Dạng toán: Chứng minh tính chất hình học Bài 1: Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, điều kiện cần đủ là: AC.BD = AB.CD + AD.BC Phân tích: Qua phép nghịch đảo có tâm đường trịn (C) biến (C) thành đường thẳng Nhờ ý tưởng ta quy điều kiện điểm đường tròn điều kiện cho điểm thẳng hàng Từ ta có lời giải: D O C A B A' B' C' Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k > Phép nghịch đảo biến đường tròn qua biến D thành đường thẳng không qua D Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đường trịn A’, B’, C’, D’ đường thẳng (ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo) theo thứ tự  A’C’ = A’B’ + B’C’  k AC AB BC =k +k DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD = AB.CD + AD.BC (điều phải chứng minh) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 2: Cho đa giác A1 A2 An nội tiếp đường tròn (C) M điểm cung A1 An (cung không chứa đỉnh đa giác) Gọi d1 , d , ,d n khoảng cách từ M đến đường thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An A1 Chứng minh rằng: an n1   với độ dài cạnh Ai Ai 1 d n i 1 d i A n 1  A1  Giải: M d1 An an A1 a1 O A2 A4 A3 d A'1 A'4 A'3 A'2 Phân tích: Từ cơng thức khoảng cách hai điểm qua phép nghịch đảo mà chuyển việc xét khoảng cách điểm nằm đường tròn việc khoảng cách điểm đường thẳng Từ ta có lời giải: Gọi R bán kính đường trịn (C) Xét phép nghịch đảo tâm M phương tích k Khi phép nghịch đảo f M , k  biến đường trịn (C) thành đường thẳng d khơng qua M Trên đường thẳng d ta gọi Ai'  f  Ai  ta có: A1' An'  A1' A2'  A2' A3'   An' 1 An' (*) Do ta có i  1, n Ai' Ai'1  k k 2S MA A sin Ai MAi 1 i i 1 2S MA A d i i i 1 Thay vào (*) ta có: k k Ai Ai 1 Ai Ai 1 d i sin Ai MAi 1 k MAi MAi 1 MAi MAi 1 d i sin Ai MAi 1 sin Ai MAi 1 sin Ai MAi 1 k k di di Rd i n 1 an a a  n   i (đpcm) k Rd n Rd i d n i 1 d i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Với điểm A1' ,A2' , ,An' mặt phẳng ta có bất đẳng thức ' A1' An'  A1' A2' +A2' A3' + +An-1 An' Vì ta có tốn sau: Bài 3: Cho điểm: A, B, C, D nằm mặt phẳng hay không gian Chứng minh rằng: AD.BC + AB.CD  AC.BD Khi xảy đẳng thức (Tính cặp cạnh đối tứ diện tạo thành cạnh tam giác) Lời giải: Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k = a) Nếu điểm A, B, C, D đồng phẳng Với điểm A’, B’, C’ (ảnh A, B, C qua phép nghịch đảo ta có) Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’  AC AB BC  + DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD  AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy A’, B’, C’ thằng hàng B’ nằm hai điểm A’ C’  điểm A, B, C, D đường thẳngg theo thứ tự (cùng chiều ngược chiều kim đồng hồ) b) Nếu A, B, C, D không mặt phẳng Tồn mặt cầu (V) qua A, B, C, D Qua phép nghịch đảo mặt cầu (V) biến thành mặt phẳng (P) không qua D A’, B’, C’ nằm (P) Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’  AC AB BC  + DA.DC DA.DB DB.DC  AC.BD  AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy A’, B’, C’ đường thẳng theo thứ tự Điều khơng xảy A, B, C, D không đồng phẳng Bài 4: Trên mặt phẳng cho n + điểm A0, A1, …, An Chứng minh bất đẳng thức: A1 A2 A2 A3 An An-1 A1 An + + +  A0 A1 A0 A2 A0 A2 A0 A3 A0 An-1 A0 An A0 A1 A0 An Khi xảy dấu (Xét phép nghịch đảo tâm A0, phương tích k = 1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 5: Cho hai đường trịn (C1) có tâm O1 bán kính R1, đường trịn (C2) có tâm O2 bán kính R2 Điểm I khơng nằm hai đường trịn Gọi f phép nghịch đảo cực I phương tích k  , f C1 ; f C2  đường tròn ảnh C1 ; C2  Đặt: d  R12  R22  C1 , C2   với d  O1O2 Chứng minh rằng: R1 R2 Nếu I đồng thời nằm nằm ngồi hai đường trịn C1 ; C2   C1 , C2     f C1 , f C2  Nếu I nằm đường trịn nằm ngồi đường trịn  C1 , C2     f C1 , f C2  Giải: Gọi f C1   I1 , r1 ; f C2   I , r2  I1 I  r12  r22 Khi đó:   f C1 , f C2   2r1r2 Vì f C1   I1 , r1 ;  II1  k IO1 p1 k p1 f C2   I , r2  nên: I1  VI O1  I  VI II  k p2 O  k 2 IO2 (với p1  PI / C   IO1  R12 p2  PI / C   IO2  R22 ) p2 Khi ta có:  I1 I  I1 I  II  II1  2  k  k IO22 2  IO1   IO1  IO2  = k    IO1.IO2  p2 p2 p1 p2  p1   p1   p1  R12 p2  R22 IO12  IO22  O1O2   = k    2 p p p p 2   2  1 R12 R22 p1  p2  R12  R22  O1O2  R22 R12  R22  O1O2   R1   = k    = k      p p p p p p p p p p 2 2     k p1 Vì I1  VI O1  I  VI nên ta có: r1  k p2 O  ; f C1   I1 , r1 ; f C2   I , r2  k k R1 r2  R2 p1 p2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương Do đó: 2  r12 r22 R12  R22  O1O2  2 2 O1O2  R1  R2   I1 I  r1  r2  k I1 I  k    k k p p p1 p2   2 I1 I  r12  r22 k O1O2  R12  R22    f C1 , f C2    r1r2 2r1r2 p1 p2 = 2r1r2   kk  r1 p1 r2 p2 O1O2  R12  R22  2  O1O2  R1  R2      p p p1 p2   2r1r2  R1 R2    p1 p2 O1O2  R12  R22 pp = =  C1 , C2  p1 p2 R1 R2 p1 p2 Do đó: Nếu I nằm đồng thời ngồi hai đường trịn C1 ; C2  p1 p2  nên  C1 , C2     f C1 , f C2  Nếu I nằm đường tròn nằm ngồi đường trịn p1 p2  nên  C1 , C2     f C1 , f C2  Bài 6: Gọi I, r tâm bán kính đường trịn nội tiếp Cịn O, R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OI2 + R2 – 2Rr (Công thức Euler) Đây kết quen biết với học sinh, cơng thức có nhiều cách chứng minh Ở ta chứng minh cách sử dụng phép nghịch đảo, ý tưởng là: Ta biết cách tính bán kính đường trịn ảnh qua phép nghịch đảo Vậy cách khác, ta tính bán đường tròn ảnh (theo đại lượng khác) ta suy đẳng thức hình học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Lời giải: A L A' M I C' B' B K C Gọi A’, B’, C’, giao IA, IB, IC với ML, MK, KL (K, M, L tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh BC; AB; AC tam giác; (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích r2 Vì r 2=IA'.IA=IB'.IB= IC'.IC Nên A’, B’, C’ ảnh A, B, C qua phép nghịch đảo Vậy qua phép nghịch đảo trên, đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác A’B’C’ có bán kính R’ r Vì A’, B’, C’ trung điểm ML, MK, KL nên R'= Mặt khác, theo công thức bán kính đường trịn ảnh qua phép nghịch đảo: Ta có: R'= r R R -OI r r R  OI 2=R -2rR (Đpcm) Vậy: = 2 R -OI Trong số tốn liên quan đến đường thẳng, đường trịn, đặc biệt đường thẳng, đường tròn tiếp xúc Phép nghịch đảo tỏ công cụ mạnh Bài 7: Cho tam giác ABC không cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’ Gọi M, N, E giao điểm cặp đường thẳng: B’C’ BC; C’A’ CA; A’B’ AB Chứng minh điểm M, N, E thẳng hàng 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Vì X giao điểm BC UV Y giao điểm AD UV nên f biến điểm X , Y tương ứng thành điểm F , E với F giao điểm khác M đường tròn  AMD  UV ; E giao điểm khác M đường tròn  BMC  UV Khi ta có: k  MU MV  MX MF  MY ME  MU MV  MX MF  MY ME  k Do 1 1     MF  MU  ME  MV  FU  EV  EU  FV MX MV MY MU Gọi O1, O2 tâm đường tròn  BMC  ,  AMD  OO1  BC (1) Mặt khác ta có góc O2 M BC góc O2 M đường trịn  AMD  900 (vì phép nghịch đảo f biến O2 M thành nó) nên O2 M  BC (2) Từ (1) (2) suy OO1 || O2 M Chứng minh tương tự ta suy OO2 || O1M , tứ giác MO2OO1 hình bình hành có tâm N Gọi I , J hình chiếu vng góc O1O2 xuống UV tứ giác O1O2 JI hình vuông I , J Mà N trung điểm O1O2 nên suy NI  NJ Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng hai đường trung bình nên suy OE  OF (3) Mặt khác OU  OV (4) Nên từ (3) (4) suy EU  FV (đpcm) Bài 14: (Đề đề nghị thi Duyên hải đồng Bắc Bộ năm 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn (I) tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB P, Q, R Một đường tròn qua B, C tiếp xúc với (I) X Một đường tròn qua C, A tiếp xúc với (I) Y Một đường tròn qua A, B tiếp xúc với (I) Z Chứng minh đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương A X Q R I Y B Z P C Giải: Gọi f  I , R  phép nghịch đảo tâm I phương tích R Ta có N:X X PP Do f  I , R  biến đường tròn (IPX) thành đường thẳng PX Tương tự f  I , R  biến đường tròn (IQY) thành đường thẳng QY đường tròn (IRZ) thành đường thẳng RZ Mà đường tròn (IPX), (IQY), (IRZ) đồng quy tai I nên đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy Bài 15: Cho tam giác ABC Các điểm P, Q, R thuộc miền tam giác ABC cho tứ giác ABPQ, BCQR, CARP tứ giác nội tiếp Biết tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABPQ, BCQR, CARP Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng Euler tam giác PQR 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương A O3 O1 R Q I P B C Giải: Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABPQ, BCQR, CARP Ta có AP, BQ, CR trục đẳng phương đường tròn  O1   O2  ,  O2   O3  ,  O3   O1  Vì I tâm đẳng phương đường tròn O1  , O2  , O3  nên AP,BQ, CR đồng quy I Do AP,BQ, CR tương ứng đường phân giác góc BAC, ABC, ACB Từ ta có:  PI , QR    PI , PQ    PQ, QR    PA, PQ    PQ, QB    QB, QR  mod      BA, BQ    AP, AB    CB, CR    BA, BC  AC, AB  CA, CB    mod    2 Suy PI  QR Chứng minh tương tự ta có QI  RP, RI  PQ Do I trực tâm tam giác PQR       Đặt k  IA.IP  IB.IQ  IC.IR Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k ta có f  I , k  biến P, Q, R tương ứng thành A, B, C Do f  I , k  biến đường tròn  PQR  thành đường tròn  O  Suy tâm hai đường tròn  PQR  ,  O  ảnh qua phép vị tự tâm I nên chúng thẳng hàng hay đường thẳng IO qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Vậy tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng Euler tam giác PQR 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Một số tập đề nghị: Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với cắt A, B Lấy điểm C, D hai đường trịn cho CD khơng qua A, B Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD trực giao với Bài 2: Cho bốn đường tròn qua điểm P khơng có đường trịn chứa đường tròn Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) P, hai đường tròn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) P Các giao điểm khác P đường tròn A, B, C, D Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn hai đường thẳng (d1) (d2) vng góc với Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Các nửa đường trịn đường kính AB, BC, CA nằm nửa mặt phẳng bờ AC Chứng minh đường trịn (O) có đường kính khoảng cách từ O đến BC với (O) đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường tròn Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005) Cho đường tròn (O, R) Giả sử có đường trịn thay đổi nằm bên (O;R) (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng tiếp xúc với (O, R) A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đường tròn (I1) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I2), đường trịn (I2) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I3), đường trịn (I3) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I4), đường trịn (I4) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I5), đường trịn (I5) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I6), đường trịn (I6) tiếp xúc ngồi với đường trịn (I1) Chứng minh rằng: A1A2.A3A4.A5A6 = A2A3.A4A5.A6A1 Cho đường tròn (I , r) nằm bên (O; R) Gọi d = OI; chứng minh rằng: Tồn đường tròn (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất nêu đề đồng thời đường trịn lại tiếp xúc ngồi với đường trịn (I , r) R  r  d  Rr 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 5: (Đề thi VMO - 2003) Cho hai đường tròn cố định (k1), (k2) tiếp xúc P có tâm tương ứng K1, K2 bán kính R1, R2 (R1 < R2) Cho điểm K di động (k2) cho điểm K, K1, K2 không thẳng hàng Từ K kẻ tiếp tuyến KB, KC tới (k1) (với B, C tiếp điểm) Các đường thẳng PB, PC cắt đường tròn (k2) D, E tương ứng F giao điểm DE với tiếp tuyến đường tròn (k2) K Chứng minh F di động đường thẳng cố định Bài 6: (IMO Shortlist 2003) Cho  C1  ,  C2  ,  C3  ,  C4  bốn đường tròn phân biệt thỏa mãn  C1  ,  C3  tiếp xúc P ,  C2  ,  C4  tiếp xúc P Giả sử cặp đường tròn  C1   C2  ,  C2   C3  ,  C3   C4  ,  C4   C1  tương ứng AB.BC PB  cắt điểm A, B, C, D khác P Chứng minh AD.DC PD Bài 7: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Các nửa đường trịn C1  ,C2  có đường kính AB, BC thuộc nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB Một đường tròn  C  tiếp xúc với  C1  tiếp xúc với  C2  T khác C tiếp xúc với đường thẳng qua C vng góc với AB Chứng minh AT tiếp tuyến đường tròn  C2  II Dạng tốn: Tìm tập hợp điểm, chứng minh điểm thuộc đường cố định Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R điểm O cố định cho OI = 2R Gọi (C1), (C2) hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với đường tròn (C) trực giao với Gọi M giao điểm thứ hai (C1) (C2) Tìm quỹ tích điểm M 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: c1 P' P O I J M Q M' c2 Q' Phần thuận: Xét phép nghịch đảo f O, k  với k  PO / C   3R Khi đó: f  O,k  : C  C  ; C1   d1; C2  d2 Vì C ; C  trực giao với tiếp xúc với C  nên ta có d  d tiếp xúc với C  P' ; Q' thỏa mãn: OP.OP'  OQ.OQ'  3R với P, Q tiếp điểm C ; C  với C  Gọi M’ giao điểm hai đường thẳng d , d M '  f M  M giao điểm hai đường tròn C ; C  2 2 1 2 Mặt khác tứ giác IP’M’Q’ hình vng cạnh R    '  I , R   f     IM '  R  M ' I , R Gọi  ' đường tròn I , R  M   với  Vì M '  f M   OM OM '  3R  M  f M '   Ta có: PO /  '   OI  R  R  ON OM ' với N    3 3  OM OM '  ON OM '  OM  ON  M  VO2  N   M     VO2  ' 2 3R Gọi J , r  tâm đường tròn    OJ  OI r  hay J giao 2 điểm đường tròn C  đường thẳng OI 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Phần đảo: Lấy điểm M đường trịn   = J , r  Gọi M '  f M  Qua M’ kẻ tiếp tuyến M’P’, M’Q’ với đường trịn C  Khi f O, k  : C  C  ; M ' P'  C1  ; M ' Q'  C2  Ta phải chứng minh hai đường tròn C1 ; C2  qua M, tiếp xúc với C  trực giao với Thật vậy: f O, k  : C  C  ; M ' P'  C1  ; M ' Q'  C2  M '  f M  nên hai đường tròn C1 ; C2  qua M, tiếp xúc với C  k p O Ta có: M '  f M  nên M ' thuộc đường tròn C0   V    3R  R   Với p  PO /    OJ   2    OJ '  k  3R , J ' , r ' đường tròn C0   k k OJ  OJ r '  r  R  J '  I  C0   I , R p p   IM '  R nên tứ giác IP’M’Q’ hình vng cạnh R  M ' P'  M ' Q' Do hai đường trịn C1 ; C2  trực giao với  3R   với J giao điểm Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đường tròn  J ,   đường tròn C  đường thẳng OI Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi d1 tiếp tuyến (O) B Gọi (C) đường trịn thay đổi ln tiếp xúc với (O) d1 hai điểm phân biệt Gọi (C1), (C2) hai đường trịn (C) Biết (C1) (C2) tiếp xúc với M Tìm quỹ tích điểm M 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: *) Phần thuận: Gọi f B, k  phép nghịch đảo cực B, c1 (D) d1 phương tích k  4R Do B  d1 B O nên: (d) M c f B, k  biến: A J d1  d1 B H I O c'1 O  d  với d  AB H  f  A C1   C '1 ; C2   C '2  M' c' Do C ; C  tiếp xúc với (O) d  C' , C'  tiếp xúc với d , d  (1) Mặt khác C ; C  tiếp xúc M  C' , C'  tiếp xúc M’ (2)  M '  f M  Từ (1) (2) suy M ' thuộc đường thẳng D  vng góc với AB trung điểm 1 2 1 1 2 I BH Do M '  f M   M thuộc đường tròn C0  qua B ảnh đường thẳng D  qua phép f B, k  trừ điểm B Gọi J  f I  C0  đường trịn đường kính BJ *) Phần đảo: Lấy điểm M đường trịn d   f O C  Gọi M '  f M  , Vẽ hai đường tròn C '1 , C '2  tiếp xúc với d1 , d  tiếp xúc với Gọi C   f C'  ; C   f C'  Ta phải chứng minh hai đường tròn C ; C  tiếp 1 2 xúc với (O) , d1 tiếp xúc với M (Điều dễ dàng chứng minh được) *) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M đường trịn C0  đường kính BJ trừ điểm B Bài 3: Cho đường tròn  C  tâm O , bán kính R Điểm I nằm bên đường trịn  C  Một góc vng thây đổi đỉnh I cắt đường tròn A, B Hai đường tròn  C1  ,  C2  qua I , tiếp xúc với đường tròn  C  theo thứ tự A, B Chứng minh giao điểm thứ hai M hai đường trịn  C1  ,  C2  ln thuộc đường cố định 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Giải: Ta xét bổ đề sau: *) Bổ đề 1: Cho đường tròn  C  tâm I , bán kính R Điểm P nằm bên đường trịn  C  Một góc vng thây đổi đỉnh P cắt đường tròn M , N Khi trung điểm Q MN nằm đường trịn cố định Thật vậy, ta có M QI  QP2  QI  QM  IM  R2 Gọi O trung điểm IP O điểm cố định Q I QI  QP IP R IP Do OQ     4   R  IP  O P N Suy OQ  R  IP 2 Vậy Q thuộc đường trịn tâm O , bán kính OQ  R  IP cố định *) Bổ đề 2: Cho đường tròn Cho đường trịn  C  tâm O , bán kính R Điểm I nằm bên đường tròn  C  Một góc vng thây đổi đỉnh I cắt đường trịn A, B Khi giao điểm M hai tiếp tuyến với đường tròn  C  A, B thuộc đường tròn cố định Thật vậy, gọi N trung điểm AB O, M , N thẳng hàng A Theo bổ đề N thuộc đường trịn  C1  I O N M B tâm T, bán kính R  OI (với T trung điểm OI r Mặt khác OM ON  OA2  R nên tồn phép nghịch đảo f  O, R  biến N thành M Do M thuộc đường trịn C1'  ảnh  C1  qua phép f  O, R  27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương *) Trở lại tốn: d1 B' M' j A I d2 A' C1 O M C2 B Gọi A', B' giao điểm thứ hai IA, IB với đường tròn  C  , d1 , d2 tiếp tuyến với đường tròn  C  A, B ; M ' giao điểm d1 , d2 Đặt k  IA.IA'  IB.IB' Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k Ta có f  I , k  biến A', B' tương ứng thành A, B f  I , k  biến đường thẳng d1 , d2 tương ứng thành đường tròn  C1  ,  C2  Suy f  I , k  biến M ' thành M Theo bổ đề 2, M ' thuộc đường tròn  C3 '  ảnh  C0  qua phép f  O, R  với  C0  đường trịn tâm J , bán kính r  R  OI (với J trung điểm đoạn OI ) Do M thuộc đường tròn  C3  ảnh  C3 '  qua phép f  I , k  Vậy giao điểm thứ hai M hai đường trịn  C1  ,  C2  ln thuộc đường cố định 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Bài 4: (Tập chí Tốn học Tuổi trẻ) Cho hai đường tròn  K  ,  O  đường trịn  K  nằm bên đường tròn  O  Hai đường tròn  O1  ,  O2  thay đổi cho chúng tiếp xúc M , tiếp xúc với đường tròn  O  đồng thời tiếp xúc ngồi với đường trịn  K  Chứng minh điểm M ln thuộc đường trịn cố định O1 O M K O2 Hình S O A B E I1 M* I2 O*2 O*1 C H D K* Hình Giải: 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hồng Cương Lấy điểm I thuộc đường trịn  K  Xét f  I , k  phép nghịch đảo tâm I , phương tích k  PI / O  Ta có f  I , k  :  O    O  ;  O1    O1*  ;  O2    O2*  f  I , k  biến đường tròn K thành đường thẳng  K *  Suy f  I , k  biến điểm M thành điểm M * Khi  O  ,  K *  khơng có điểm chung; O  , O  tiếp xúc M * * * , tiếp xúc với  K *  C, D tương ứng tiếp xúc với  O  A, B tương ứng Gọi I1 , I tương ứng tâm  O1*  ,  O2*  , R1 , R2 , R bán kính đường tròn  O1*  ,  O2*  ,  O  ; H hình chiếu O đường thẳng  K *  ; S , E giao điểm OH đường tròn  O  (với E nằm S , H ) Vì  O1*  ,  O2*  tiếp xúc với  O  A, B tương ứng nên ta có: V R1   A,   R  Mà véc tơ OS V R1   A,   R  :  O    O1*  ; V R2   B,   R  :  O    O2*  ngược hướng với véc tơ : S  C; V R2   B,   R   I1C, I D nên suy : S  D hay A thuộc đoạn SC , B thuộc đoạn SD Mặt khác tứ giác AEHC, BEHD tứ giác nội tiếp nên PS / O  *  SA.SC  SE.SH  SB.SD  PS / O  * Mà PM * / O*  PM * / O*  nên suy SM * trục đẳng phương hai đường tròn  1  2 O  , O  Do SM tiếp xúc với O  , O    SM   SA.SC  SE.SH không đổi  M thuộc đường tròn  C  tâm S * * * * * * * bán kính r  SE.SH Do I thuộc đường trịn  K   K  nằm bên  O  nên I bên đường tròn  O  Do I   C0  Suy điểm M thuộc đường tròn  C  ảnh đường tròn  C0  qua phép nghịch đảo f  I , k  Vậy điểm M thuộc đường tròn cố định 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương Một số tập đề nghị: Bài 1: Cho đường tròn (O, R) điểm A cố định khác O, A khơng thuộc đường trịn (O) Xét đường tròn tâm O’ qua A trực giao với đường trịn (O) Tìm quỹ tích tâm O’ Gọi H giao điểm OO’ với dây cung chung hai đường trịn Tìm quỹ tích điểm H Bài 2: Cho đường tròn (O, R) hai đường thẳng , ' song song với nhau, khơng có điểm chung với đường tròn ' đường tròn (O) nằm hai phía đường thẳng  Dựng hai tiếp tuyến x, y đường tròn (O) song song với cắt , ' A, B, C, D Gọi I giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD Từ I kẻ tiếp tuyến IP, IQ với (O) (P, Q tiếp điểm) Gọi K giao điểm PQ OI Tìm tập hợp điểm K tiếp tuyến x, y thay đổi hướng Bài 3: Cho đường tròn (O, R) dây AB cố định Với điểm M đường tròn (O), dựng đường tròn (O1) qua M tiếp xúc với AB A, đường tròn (O2) qua M tiếp xúc với AB B Gọi M’ giao điểm thứ hai hai đường trịn (O1) (O2) Tìm quỹ tích điểm M’ M di động đường tròn (O) Tài liệu tham khảo: Các phép biến hình mặt phẳng - Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng - Đỗ Thanh Sơn Các tốn hình học phẳng - Tập - V.V Praxolov INVERSION IN GEOMETRY - ARTHUR BARAGAR Diễn đàn toán học Mathscope Đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Tạp chí Tốn học tuổi trẻ IMO Shortlist năm Các tài liệu Internet 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Qua số tập trên, thấy ứng dụng phép nghịch đảo kì thi học sinh giỏi Ngồi tập chứng minh tính chất hình học, phép nghịch đảo cịn ứng dụng tốn quỹ tích, chứng minh điểm thuộc đường cố định Trong khuôn khổ viết này, điều kiện thời gian có hạn, nghiên cứu số ứng dụng tốn chứng minh tính chất hình học nghiên cứu tiếp ứng dụng tốn quỹ tích Những ứng dụng tơi áp dụng để giảng dạy em học sinh lớp 10, 11 chuyên Toán em học sinh đội tuyển HSG Quốc gia em học sinh nhiệt tình đón nhận đồng thời đạt số kết định Tuy nhiên, kinh nghiệm chưa nhiều thời gian hạn chế nên viết cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để viết hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đánh giá, xếp loại quan, đơn vị Tác giả sáng kiến Nguyễn Hoàng Cương CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hoàng Cương SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... bảo tồn góc hai hình Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh, nước, kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, có nhiều tốn hình học phẳng khó giải phương pháp thông thường Đặc biệt tốn hình học phẳng xuất nhiều... 12: Trong khơng gian có kết tương tự mặt phẳng - Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) qua tâm nghịch đảo (P) Hình nghịch đảo mặt phẳng (P) không qua tâm nghịch đảo mặt cầu qua tâm nghịch đảo - Hình nghịch. .. tập trên, thấy ứng dụng phép nghịch đảo kì thi học sinh giỏi Ngồi tập chứng minh tính chất hình học, phép nghịch đảo ứng dụng tốn quỹ tích, chứng minh điểm thuộc đường cố định Trong khuôn khổ viết