(SKKN HAY NHẤT) khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học THCS

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TỐN HÌNH HỌC" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần I Mở đầu I lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học mang tính trừu tượng lơgíc cao,đồng thời cịn mơn học cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập môn học khác chương trình phổ thơng Hình học phân mơn quan trọng Toán học vừa rèn luyện khả đo đạc, tính tốn, suy luận lơgíc vừa phát triển tư sáng tạo cho học sinh.Khi nắm kiến thức học giỏi hình học cịn có tác dụng làm cho em phát huy tính độc lập sáng tạo,linh hoạt cách tìm lời giải cho tốn nói chung cịn có ý nghĩa thực tiễn cao việc vận dụng kiến thức vào sống sau Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi rút kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dưỡng HSG không đơn cung cấp cho em dạng toán từ đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả sáng tạo, tư trừu tượng suy luận lơgíc – phải biến điều thành kỹ cao hình thành phương pháp giải tốn, học tốn, ứng dụng kiến thức toán cho hiệu Muốn đạt điều trước hết người thầy giáo phải nắm chất loại tốn, từ vừa phân loại vừa liên kết dạng với phương pháp dạy học tốn nói chung việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng Trong nhiều dạng tốn mà dày công nghiên cứu, tập hợp hai mươi năm làm nghề dạy học qua nhiều tài liệu kênh thông tin khác từ SGK chương trình đến loại tài liệu tham khảo, đề thi : Toán phần nguyên, Toán diện tích, Tốn thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu tâp hợp thành dạng tốn sau liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy học tốn trinh bày Khai thác yếu tố trung điểm tốn hình học đề tài mà muốn xâydựng phương pháp học để đạt yêu cầu sau đây: - Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ toán có yếu tố trung điểm - Chứng minh nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy… - Biết yếu tố trung điểm có nhiều tốn : Chứng minh, dựng hình, quĩ tích, cực trị… - Vận dụng nhiều kiến thức giải toán cách hay để ơn cũ biết hình thành kỹ tư cho học sinh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thuận lợi : Trong năm gần chất lượng giáo dục nâng lên rõ rệt, nhà trường trọng vào việc đổi phương pháp dạy học đặc biệt quan tâm đến học sinh coi trọng lực tự học em Mơn Tốn mơn học mà học sinh thích, có nhiều em học giỏi lợi lớn để giáo viên tập trung tâm huyết trách nhiệm lịng u nghề Việc dạy cho em học kiến thức chương trình từ hình thành phương pháp học việc đưa vào chun đề tốn thơng qua hệ thống tài liệu tham khảo hướng dẫn giáo viên thuận lợi Các kỳ thi HSG quan tâm đạo cấp quản lý giáo dục thu hút quan tâm đông đảo PHHS Với hệ thống đề thi ngày phù hợp, vừa sát chương trình Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, việc quan tâm đến học hành hạn chế tinh thần vật chất dẫn đến hạn chế việc học hành em đặc biệt mơn tốn.Chinh cần phải rèn luyện, bồi dưỡng nhằm giúp cho em học sinh khả tự học, tự tìm tịi, sáng tạo việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh nghiệm sống mai sau Vì khiến tơi tâm huyết tìm tịi, nghiên cứu để giảng dạy có hiệu cao PHẦN II NỘI DUNG A PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trong đề tài khuôn khổ, giới hạn đề tài đưa số dạng , số tập khó nâng cao tốn có yếu tố trung điểm, tơi không đưa nhiều cách giải mà minh hoạ đường lối, phương pháp , thói quen thường gặp bậc THCS Đó gặp tốn có yếu tố trung điểm ta nghĩ đến việc tạo đường phụ theo hướng sau: + Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng để với đoạn cho có chung trung điểm từ sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm lớp 7, tính chất hình bình hành lớp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo đường trung bình tam giác, hình thang, tứ giác có nhiều đường trung bình liền tốt, từ sử dụng tính chất đường trung bình + Hướng 3: Nếu trung điểm trung điểm cạnh huyền tam giác vuông đăc biệt lại cạnh huyền chung nhiều tam giác vng ta kẻ thêm đường trung tuyến thuộc cạnh huyền để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông + Hướng 4: Nếu trung điểm trung điểm dây cung đường trịn ta kẻ đường kính đường trịn qua trung điểm để sử dụng tính chất đường kính qua trung điểm dây cung đường trịn Sau tơi xin giới thiệu số toán minh họa cho kinh nghiệm mà tơi có năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi B MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC TRONG CHƯƠNG TRÌNH Trong chương trình tốn nghiên cứu trường hợp tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh toán sau: Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại có độ dài nửa cạnh Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất trung điểm cách: Trên tia đối tia NM lấy điểm P cho NP = NM, A M B P N C Khi hai đoạn AC MP có chung trung điểm N, từ tính chất trung điểm chung ta có cặp tam giác (ANM, CNP) (AMP, MBC) dẫn đến hai đoạn MP, BC song song từ ta có điều cần chứng minh Sau chứng minh xong, ta cho học sinh chứng minh toán ngược lại Qua học sinh hình dung tính chất đường trung bình tam giác Cũng vây ta cho học sinh làm toán sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền Ta hướng dẫn cho học sinh tạo trung điểm M trung điểm chung hai đoạn BC AD Khi sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC CDA để có hai đoạn BC AD nhau, từ ta có điều cần chứng minh toán B D M C A Sau ta cho hoc học sinh chứng minh toán ngược lại Từ toán ta cho học sinh chứng minh toán sau: Bài tốn 3: Chứng minh tam giác vng có góc 60° cạnh kề góc nửa cạnh huyền Để giải ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB có góc B 60° suy MAB tam giác ngược lại, từ cạnh AB nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB dẫn đến góc B 60° Cũng từ tốn ta lại có tốn sau: Bài tốn 4: Một tam giác có góc 60° mà hai cạnh kề góc có cạnh nửa cạnh tam giác vng B A C D Ta hướng dẫn cho học sinh làm sau: Ta lấy điểm D cho A trung điểm BD xét đặc điểm tam giác CBD với trung tuyến CA quan hệ cho ta có điều cần chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp làm tốn sau: Bài tốn 5: Cho tam giác ABC vng A có AM trung tuyến Chứng minh góc BAM lớn góc CAM cạnh AB bé cạnh AC Hướng làm: Xét hình tốn 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM cạnh AB với cạnh AC ta so sánh góc ADC với góc DAC cạnh CD với cạnh AC tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh góc đối diện tam giác) Bài toán 6: Chứng minh rằng: tam giác độ dài đường trung tuyến bé nửa tổng hai cạnh lại Hướng làm: Cũng tương tự hình tốn 2, sử dụng bất đẳng thức tam giác tam giác ACD ta có điều cần chứng minh Đến ta khẳng định giá trị to lớn tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm Từ việc sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta chứng minh tính chất đường trung bình tam giác, tứ ta chứng minh tính chất đường trung bình hình thang, tính chất “ Đường trung bình tứ giác” Bài tốn 7: Chứng minh đường trung bình hình thang song song với cạnh đáy có độ dài nửa tổng hai đáy Hướng làm: Xét thêm trung điểm I đường chẻo AC,Ta có IM,IN đường trung bình tam giác ADC vầ ABC A M D B I N C Khi sử dụng tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh tốn Bài tốn 8: Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm cạnh AD, BC Chứng minh độ dài đoạn MN Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất hình thang ta có MN nửa tổng AB CD LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cịn AB khơng song song với CD, ta lấy I trung điểm AC B A N M I D C Khi MI, NI đường trung bình tam giác ACD ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh tam giác MNI ta có điều cần chứng minh Từ toán toán ta cho học sinh làm sau: Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối nửa tổng hai cạnh cịn lại Cũng với tính chất đường trung bình tam giác, ta có tốn sau: Bài tốn 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Việc giải tốn khơng khó với học sinh lớp cịn với học sinh lớp ta thay đổi số tên gọi cho phù hợp trở nên hấp dẫn, với học sinh lớp việc chứng minh toán phải sử dụng nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song nhau, hai tam giác nhau, Từ tốn học sinh có thêm tính chất hình học: Các “đường trung bình tứ giác” gặp trung điểm chúng Cũng từ toán 10 ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H trung điểm đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC Chứng minh đường MN, PQ, EF, GH đồng quy C CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN I BÀI TOÁN CHỨNG MINH LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác vng cân A ABM ACN Chứng minh đường thẳng chứa trung tuyến AI tam giác ABC chứa đường cao AH tam giác AMN Hướng làm: Đây tốn khó học sinh lớp 7, toán lại gặp lớp 8, nên lớp ta dùng ngôn ngữ sau: Do có trung điểm I BC nên ta nghĩ đến việc tạo I trung điểm chung hai đoạn, cụ thể tia đối tia IA lấy điểm D cho I trung điểm AD N H M A B C I D Khi từ tính chất trung ơiểm chung I hai đoạn AD , BC ta có hai đoạn CD AB song song từ ta có hai tam giác ACD, MAN nhau, sử dụng góc hai tam giác tính chất góc đỉnh A ta có AH vng góc với MN Từ tốn ta có tốn sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACHF, vẽ hình bình hành AEQF, Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy Q F E H A D B C P Hướng làm: Theo 12 ta có QA vng góc với BC, ta cần chứng minh BH vng góc với QC CD vng góc với QB (bằng cách xét cho tam giác AQC , CBH tam giác AQB, BCD nhau) QA, HB, DC chứa ba đường cao tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy Tương tự ta có tốn sau: Bài tốn 14: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC,Dựng phía ngịai hình vng ABDE, ACHF có tâm I, J Chứng minh tam giác MIJ vuông cân Hướng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC ABF hai đoạn EC, BF vng góc với mà MI, MJ đường trung bình hai tam giác BEC CBF nên ta chứng minh hai đoạn MI, MJ băng F vng góc với E A J H I D LUAN VAN CHAT LUONG download C: add luanvanchat@agmail.com M B Từ toán ta có loạt tốn sau: Bài tốn 15 :Cho hình bình hành ABCD, phía ngồi hình bình hành tam giác ABM vuông cân M; ACN vuông cân N; BDP vuông cân P; CDQ vuông cân Q Chứng minh tứ giác NMPQ hình vng N A M B C I Q D Hướng làm: Từ kết tốnP14 ta có tam giác IMN, INQ, IQP, IPM vuông cân I từ suy tứ giác MNQP hình vng Từ tốn ta lại đưa tốn sau: Bài tốn 16: Cho hình bình hành ABDC, phía ngồi hình bình hành hình vng ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H tâm hình vng N Chứng minh tứ giác SGHR hình vng F A G M S E B C L H P R D K LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Q Tiếp tục toán trên, Nếu tứ giác ABCD khơng phải hình bình hành mà tứ giác liệu tứ giác SGHR có tính chất khơng? Ta có tốn sau: Bài tốn 17: Cho hình tứ giác ABCD, phía ngồi tứ giác dựng hình vng ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K tâm hình vng Chứng minh KS = VJ KS VJ Hướng làm: Do có V, S, J, K trung điểm đường chéo hình vng nên để sử dụng đường trung bình tam giác ta xét thêm trung điểm I AC Từ kết tốn 14 ta có IV, IK vng góc hai đoạn IS, IJ vng góc Từ hai tam giácIKS IVJ Suy hai đoạn thẳng KS VJ vng góc với M N Q V F E B A S K R P I C D J H G Đối với tốn việc vẽ đường phụ quan trọng.ngồi việc biết khai thác yếu tố trung điểm nêu học sinh cần áp dụng kiến thức hai tam giác nhau, kiến thức tam giác cân, tam giác , học vào giải toán.Từ học sinh tư tìm tịi lời giải Giáo viên không nên đưa lời giải mà phải hướng dẫn để học sinh tìm lời giải cho toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 18: Cho tam giác ABC cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho BM = CN, gọi E, F trung điểm đoạn BC, MN Chứng minh EF song song với phân giác góc A Hướng làm: Trong tốn có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy thêm trung điểm để với hai trung điểm cho tao đường trung bình tam giác giúp ta giải toán, cụ thể sau: Gọi I trung điểm BM IE, IF đường trung bình tam giác BCM MBN, Từ tính chất đường trung bình tam giác giả thiết tốn ta có tam giác IEF cân I Từ đặc điểm góc tam giác IEF góc đỉnh A ta có EF song song với phân giác góc BAC A N F I M B E C Ta biết từ tốn chúng đưa nhiều u cầu hay như: + Chứng minh đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AB, AC góc + Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm đoạn MN nằm đường cố định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 19: Chứng minh tam giác Trọng tâm, Trực tâm Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơ le) Hướng làm: Có nhiều cách chứng minh tốn này, cách sử dụng tính chất trung điểm để tạo đường trung bình tam giác để chứng minh: Khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh ln gấp đơi khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh (HA = OM) A K G H O I C M B Sau lại sử dụng tính chất đường trung bình IK tam giác GAH để chứng minh hai tam giác: GIK GOM từ có ba điểm G, H, O thẳng hàng ( Xin phép khơng trình bày chi tiết phép chứng minh tốn điển hình mà biết) B Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF M A có M, N, P, I, K, L trung I điểm cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA C Chứng minh hai tam giác MNP IKL L có chung trọng tâm X G N S F Y D P K E LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng làm: Từ kết tốn 10, gọi S trung điểm đoạn BE hai đoạn MP LS hai đoạn IK SN có chung trung điểm X Y, NX LY đường trung tuyến tam giác MNP IKL, đồng thời NX LY đường trung tuyến tam giác SNL mà NX LY cắt G nên G trọng tâm tam giác Vậy hai tam giác MNP IKL có chung trọng tâm Bài tốn 21: Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD.Trên đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, đường thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC E, F, G, H Chứng minh: + + + Hướng làm: Do có trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đường trung bình, mà tốn lại có tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ buộc ta phải nghĩ đến việc tạo đường thẳng song song cụ thể qua A, B, C, D kẻ đường thẳng song song với MN chúng cắt đường thẳng d A’, B’, C’, D’ Khi IM, IN đường trung bình hình thang ABB’A’, DCC’D’, sử dụng tính chất đường trung bình hình thang định lý Talet ta có biểu thức vế trái thay tổng sau: + + + = (A’A + B’B)( + ) = Đến ta sử dung tính chất đường trung bình hình thang bất đẳng thức Cơsi ta có kêt cần chứng minh Nhiều thành kỹ sử dụng trung điểm, mà tốn khơng cho trung điểm dự đốn tạo trung điểm, toán sau: Bài toán 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O có BN đường phân giác Từ A kẻ đường thẳng vng góc với tia BN, cắt BC H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm đường trịn Đối với tốn xảy hai trường hợp hình vẽ Trường hợp 1: H O nằm phía với AC Hình Trường hợp 2: H O nằm khác phía với AC Hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi có đường phân giác tam giác ta tạo tam giác cân để đường phân giác đường cao, đường trung tuyến từ ta làm sau: Hướng làm:(Trường hợp 1) Qua A kẻ đường vng góc với phân giác góc ACB ABC có giao điểm hình vẽ.Khi IK đường trung bình tam giác APH từ ta có góc IKC góc KCB, mà tứ giác AIOK nội tiếp nên góc IKO góc OAI từ ta có hai góc OAH OCH Do bốn điểm A,O,H,C nằm đường trịn Bài tốn 23:Cho đường tròn hai dây AB, CD cắt M, đường thẳng qua M trung điểm N BD cắt AC K Chứng minh: = AA D K C Q M I N P B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng làm: Ta thấy có trung điểm N BD nên ta kẻ qua C đường song song với MN cắt AB P, từ P lại kẻ đường song song với BD cắI MN, CD I, Q Ta có I trung điểm PQ dẫn đến M trung điểm CQ, từ ta có tứ giác ACPQ nội tiếp MA.MP = MC.MQ = MC Khi : = MP = = MA : = Bài tốn 24: Cho đường trịn tâm O hai đường kính AB, CD Trên đường kính CD lấy hai điểm M,N cho O trung điểm MN, tia AM, AN cắt đường tròn E, F, đường thẳng EF cắt CD S Chứng minh SB tiếp tuyến đường tròn (O) Hướng làm: Ta thấy tốn có O trung điẻm chung hai đoạn MN AB nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất trung điểm chung Cụ thể ta nối BM,BN đặt giao điểm P, Q (hình vẽ) Từ tính chất trung điểm chung, tính chất song song góc nội tiếp ta có BE // PQ tứ giác BQFP nội tiếp Góc BEF = Góc FBP = Góc BAF = Góc ABM mà: Góc ABM + Góc ABF = 90° Góc ABF + Góc FBP = 90° SB tiếp tuyến đường tròn (O) A C M O N D Q F S E R B P LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 25: Cho đường trịn tâm O, qua trung điển I dây cung AB kẻ hai dây cung CD MN, gọi P, Q giao điểm CN, DM với AB Chứng minh I trung điểm PQ Hướng làm: Đây toán “ Con bướm” tiếng ! Ta thấy tốn có trung điểm dây cung nên ta kẻ đường kính qua trung điểm I dây cung AB, ta kẻ đường kính qua trung điểm dây cung CD, MN (hình vẽ ) N D O E F B P I Q A C M Khi xét tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF từ tam giác đồng dạng ICN, IMD dẫn đến tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân O (vì có đường cao phân giác) từ suy I trung điểm PQ Bài toán “Con bướm” có tam giác: Bài tốn 26: cho tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC, đường trẳng d qua I cắt AB, AC M, N Đường thẳng d’ qua I cắt AB, AC P, Q Gọi E, F giao điểm MP, NQ với BC Chứng minh IE = IF LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán “Con bướm” tứ giác: Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD Qua giao điểm I hai đường chéo kẻ đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA M, N, P, Q Chứng minh rằng: I trung điểm MP I trung điểm NQ Việc kẻ thêm đường phụ có yếu tố trung điểm thực toán chứng minh, chứng ta thực tốn khác II TỐN DỰNG HÌNH Bài tốn 28: Dựng tam giác ABC vng A có AC = AB cạnh BC có độ dài a cho trước Hướng làm: việc phân tích tìm tịi lời giải ta thấy có điều kiện AC gấp đơi AB ta ln cho học sinh có thói quen “ có đoạn gấp đơi, gấp ba, , đoạn đoạn ta lấy điểm chia đơi, chia ba, “ Tong toán ta lấy I trung điểm AC để có AI = IC = AB B H K A C I Khi kẻ đường cao AH lấy thêm trung điểm K HC ta có hai tam giác ABH CIK nhau, từ suy ra: BH = IK = AH = HC Vây ta có cách dựng tam giác AHB từ dựng tam giác ABC Bài tốn 29: Cho tứ giác ABCD có M, P cạnh AB, CD Dựng hình bình hành MNPQ có N, Q BC, DA Hướng làm: Do tứ giác MNPQ hình bình hành nên trung điểm O MP trung điểm NQ, hay O tâm đối xứng hình bình hành MNPQ Từ ta dùng phép đối xứng tâm O để xác định N, Q đẻ có hình bình hành MNPQ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 30: Cho đường thẳng a, b, c, d (khơng có hai đường song song) điểm O Dựng hình bình hành ABCD nhận O tâm có đỉnh nằm đường thẳng cho Hướng làm: Do tâm O hình bình hành tâm đối xứng, nên ta xét phép đối xứng tâm O để xâc định điểm A, B, C, D, Bài toán 31: Cho góc xOy khác góc bẹt điểm A nằm góc Dựng đường thẳng qua A cắt hai cạnh góc xOy C, D cho A trung điểm CD Hướng làm: Đây toán quen thuộc lớp với học sinh lớp xem hấp dẫn ! Ta khai thác yêu tố trung điểm toán theo hướng: + Tạo A trung điểm chung hai đoạn OE CD ta có hai đoạn song song CE // OD DE // OC từ ta có cách dựng CD + Tao AI đường trung bình tam giác DOC ( AI // Ox) I trung điểm CD từ ta có cách xác định điểm D đường thẳng DC Bài toán 32::Cho tam giác nhọn ABC M điểm cạnh BC, gọi E, F hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M cho độ dài đoạn EF nhỏ A F I E B C M Hướng làm: ta thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền AEM AFM, nên ta nhanh chóng lấy thêm trung điểm I AM để có trung tuyến thuộc cạnh huyền hai tam giác vuông Từ đặc điểm tam giác cân IEF có góc EIF khơng đổi EF nhỏ AM nhỏ nhất, AM đường cao Bài tốn 33: Cho góc vng x xOy điểm A nằm góc Một góc vng đỉnh A quay xung quanh A cạnh góc cắt Ox, Oy M, N Xác định vị trí góc M vng đỉnh A để đoạn MN nhỏ A I N LUAN VAN CHAT LUONG download : addy luanvanchat@agmail.com O Hướng làm: Ta thấy có hai tam giác vng chung cạnh huyền OMN AMN, nên ta nghĩ đến việc sử dụng trung tuyến thuộc cạnh huyền chung Khi độ dài đoạn MN IO + IA, xét quan hệ ba đoạn OA, AI, IO ta có MN nhỏ đoạn OA, I trung điểm đoạn OA từ ta có cách xác định vị trí điểm M N III TỐN QUỸ TÍCH Bài tốn 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi BC Tìm quỹ tích trung điển I AM ? Hướng làm: Bài toán khơng khó, yếu tố trung điểm khai thác trực quan qua số vị trí điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo đường trung bình tam giác khai thác tính chất đường trung bình để giải tốn Bài tốn 35: Cho góc vng xOy đoạn thẳng AB có độ dài cho trước thay đổi cho điểm A, B nắm tia Ox, Oy Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB ? Hướng làm: Trong tốn có trung điểm lại có tam giác vng mà cạnh huyền lại có độ dài khơng đổi, nên ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường trung tuyến thuộc cạnh huyền sử dụng tính chât trung tuyến thuộc cạnh huyền để tìm mối quan liên hệ điểm I điểm O đẻ có kết Bài tốn 36: Cho góc vng xOy điểm A nằm góc đó, góc vng có đỉnh A quay xung quanh A, cạnh góc cắt Ox, Oy M, N Tìm quỹ tích trung điểm I MN ? Hướng làm: Cũng 33 ta nối IO,IA sử dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông OMN, AMN để từ có : IO = IA trả lời toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 37: Cho tam giác ABC vng cân A, đường cao AH Điểm M thay đổi đường cao AH, đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC N Tìm quỹ tích trung điểm I NM ? B H M A I N K C Hướng làm: Từ giả thiết ta có MN song song với AC, tam giác vng HMN có HI trung tuyến thuộc cạnh huyền HI cắt AC tai trung điểm K AC từ ta có I thuộc đoạn HK Bài tốn 38: Cho hình vng ABCD, góc vng đỉnh A quay xung quanh A xAy Tia Ax cắt BC, CD M, N; tia Ay cắt BC, CD P, Q Tìm quỹ tich trung điểm I, K NP, MQ D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Ở miền hình vng ABCD lấy điểm E cho Góc EAB = Góc EBA = 150 Chứng minh : CDE tam giác Bài tập : Cho hình thang cân ABCD, (AB // CD) có O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N, P trung điểm OA, OD, BC, biết góc AOB 60° Chứng minh tam giác MNP Bài tập 3: Cho hình vng ABCD, O giao điểm đường chéo AC BD gọi M N trung điểm OB CD chứng minh A; M; N; D thuộc đường tròn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vng góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) E Chứng minh tam giác BDE tam giác cân Bài tập 5: Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác dựng hình vng ABEF; ACMN; BCPQ Chứng minh đường cao tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy Bài tập 6: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác BCA’, ABC’ Gọi M, N, P trung điểm AC, BC’, BA’ Chứng minh tam giác MNP Bài tập 7: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác BCA’, CAB’, ABC’ Gọi M, N, P trung điểm đoạn CA’, AB’, AC’.Chứng minh hai đoạn MN, CP tạo với góc 60° Bài tập 8: Cho tam giác ABC dựng phía ngồi hình vng Gọi I, J, K trung điểm cạnh hình vng đối diện với cạnh BC, CA, AB Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy Bài tập Chứng minh Một tứ giác nội tiếp đường thẳng đI qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy Bài tập 10: Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác, tia AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Gọi X, Y, Z trung điểm BC, CA, AB X’, Y’, Z’ trung điểm B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh XX’, YY’, ZZ’ đồng quy Bài toán 11: Cho tam diác ABC, dựng phía ngồi tam giác MBC, NCA, PAB tương ứng đồng dạng với Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC MNP có trọng tâm Bài tốn 12: Cho đa giác có chu vi 2p Chứng minh phủ kín đa giác hình trịn có đường kính p Bài tốn 13: Cho tanm giác ABC có góc B = 60°, góc C = 30° Lờy điểm d cạnh AC, điểm E cạnh AB cho góc ABD = 20°,góc ACE = 10° Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE.? Bài tốn 14: Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 45° Trong tam giác vẽ tia Bx cho góc CBx = 15°.Đường vng góc với AB A cắt tia Bx E Tính góc CBE ? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 15: Cho tam giác ABC có góc B = 75°, góc C = 45°, Trên cạnh BC lấy điểm D cho góc BAD = 45° Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác góc ADC E, Tình góc CBE ? Bài tốn 16; Cho tam giác ABC, Vẽ phía ngồi tam giác ABE ACF Gọi I trung điểm cạnh BC, K trực tâm tam giác ABE Tính góc tam giác IKF ? Bài tốn 17: Cho tam giác ABC cân A có góc A = 20°, Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC kẻ tia Cx cho góc ãC = 60°, tia Cx lấy điểm D cho CD = CB Tính góc ADC ? Bài tốn 18: Cho tam giác ABC vuông cân A, tam giác lấy điểm E cho tam giác EAC vuông cân E gốc đáy 15° Tính góc AEB ? Bài tốn 19: Cho tam giác ABC vng A có góc B = 75°,Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho BH = 2.AC Tính góc BHC ? Bài tốn 20:Cho tam giác ABC có điểm O tam giác cho góc OBA = góc OCA Gọi I, K hình chiếu O AB, AC.còn M trung điểm cạnh BC Chứng minh MI = MK Bài toán 21:Cho tam giác ABC cân A, có BD phân giác Qua D kẻ đường vng góc với BD cắt BC I Chứng minh BI = 2.DC Bài toán 22: Cho tam giác nhọn ABC có BD, CE đường cao tam giác Chứng minh : góc ADE = góc B; góc AED = góc C ( toán lớp 7) PHẦN III BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1- Đối với giáo viên: - Cần xác định yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi, vấn đề chất lượng học môn tốn, chất lượng học sinh giỏi tốn - Cần có tinh thần trách nhiệm cao, chăm lo đến chất lượng học sinh đặc biệt học sinh giỏi - Có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho đối tượng học sinh, có thời gian bồi dưỡng cụ thể, có chương trình bồi dưỡng phù hợp với đối tượng học sinh - Nắm vững kiến thức toán học, nội dung chương trình SGK, nắm vững phương pháp giảng dạy mơn tốn, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết đạt được: Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn, với cách làm mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Hầu hết em học sinh thực có hứng thú học toán, phấn đấu để trở thành học sinh giỏi, tự độc lập tìm tịi nhiều cách giải khác mà không cần gợi ý giáo viên , em mong muốn tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi PHẦN IV KẾT LUẬN Giảng dạy áp dụng sáng kiến mang lại hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hướng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần góp ý giáo viên Từ mang lại kết bất ngờ từ việc giải tốn thơng qua phương pháp sáng tạo tìm lời giải tốn cho học sinh Chính giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp, giúp em làm sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó Để làm giáo viên cần tìm tịi tham khảo nhiều tài liệu để tìm tốn hay, với nhiều cách giải khác để tung cho học sinh làm, phát cách giải hay Thông qua phương pháp giáo dục cho em lực tư độc lập, rèn tư sáng tạo tính tự giác học tập, có phương pháp giải toán nhanh, kỹ phát tốt Trên vài kinh nghiệm việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Rất mong bạn bè,đồng nghiệp, thầy cô giáo góp ý để kinh nghiệm áp dụng rộng rãi hoàn thiện Diễn Châu, tháng năm 2009 Người thực Phạm Quang Thăng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tơi trinh bày Khai thác yếu tố trung điểm tốn hình học đề tài mà tơi muốn xâydựng phương pháp học để đạt yêu cầu sau đây: - Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ tốn có yếu tố trung điểm - Chứng minh... TỐN QUỸ TÍCH Bài tốn 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi BC Tìm quỹ tích trung điển I AM ? Hướng làm: Bài tốn khơng khó, yếu tố trung điểm khai thác trực quan qua số vị trí điểm M, nên ta... tính chất đường trung bình hình thang bất đẳng thức Cơsi ta có kêt cần chứng minh Nhiều thành kỹ sử dụng trung điểm, mà tốn khơng cho trung điểm dự đoán tạo trung điểm, toán sau: Bài toán 22: Cho