Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.

Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-PHẠM BÁCH KHOA

KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL

CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA

CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu

và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được các đồngtác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ mộtcông trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 9 năm 2010

Tác giả Luận văn

Phạm Bách Khoa

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Trương MinhĐức, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu và hướng dẫn tận tìnhtrong suốt thời gian thực hiện Luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy, KhoaVật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tìnhgiúp đỡ tôi, đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Tổ Vật lý - Công nghệ và Trường THPTSơn Mỹ đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình họctập

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè, đặcbiệt là bố, mẹ, vợ, con đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện Luận văn

Huế, tháng 9 năm 2010

Tác giả Luận văn

Phạm Bách Khoa

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Danh sách các hình vẽ 5

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN 10 1.1 Các trạng thái kết hợp 10

1.1.1 Khái niệm 10

1.1.2 Tính chất 11

1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha 13

1.2.1 Khái niệm 13

1.2.2 Tính chất 14

1.3 Trạng thái nén 16

1.4 Các kiểu nén bậc cao 17

1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel 17

1.4.2 Nén kiểu Hillery 18

Chương 2 TÍNH CHẤT NÉN TÍNH PHẢN KẾT CHÙM -TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG

2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát 21

2.1.1 Bậc k = 4n 23

2.1.2 Bậc k = 4n + 1 23

2.1.3 Bậc k = 4n + 2 25

2.1.4 Bậc k = 4n + 3 27

2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát 30

2.2.1 Bậc 4n − 1 và 4n 31

2.2.2 Bậc 4n + 1 33

2.2.3 Bậc 4n + 2 35

2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát 37

Chương 3 -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA 39 3.1 Khảo sát 39

3.1.1 Nén bậc 2 41

3.1.2 Nén bậc 4 42

3.1.3 Nén bậc 6 453.1.4 Nén bậc 8 493.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén

Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái

kết hợp vuông pha 53

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC P.1

2.7 Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi φ = 0 . 32

2.8 Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b)

φ = π . 32

2.9 Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0 . 33

2.10 Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và

(b) φ = π . 34

2.11 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0 . 35

2.12 Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và

(b) φ = π . 36

3.1 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|2 với các

giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2

(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) . 423.2 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|2 với các

giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2

(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) . 453.3 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 là hàm của |α|2 với các

giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2

(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) . 483.4 Hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 là hàm của |α|2 với các

giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = π/2

(đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) 533.5 Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén SN

kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|2 khi φ = 0 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quantrọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở đểnghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quanglượng tử, thông tin lượng tử [13] và máy tính lượng tử Do đó, các tínhchất phi cổ điển của các trạng thái cho trước rất được các nhà khoa họcquan tâm Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng tháikết hợp Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái niệmtrạng thái kết hợp khi nghiên cứu tính chất của chùm sáng laser Trạngthái kết hợp là trạng thái cổ điển do trong biểu diễn Glauber-Sudarshan[7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái này làhàm Delta Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, là phân bố

mà phương sai của một đại lượng bằng trung bình số hạt của chúng Nếuphương sai của một đại lượng nhỏ hơn trung bình số hạt của chúng thìhàm phân bố ứng với trạng thái đó là sub-Poisson Các trạng thái tuântheo thống kê sub-Poisson là các trạng thái phi cổ điển do hàm phân bốxác suất P ứng với trạng thái đó là âm Một tính chất nữa thuộc tínhchất phi cổ điển đó là tính chất phản kết chùm (anti-bunching) Nếumột trạng thái có tính chất phi cổ điển thì sẽ thể hiện rất rõ tính chấtphản kết chùm hoặc tính thống kê sub-Poisson

Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] vàMandel [12] đã đưa ra khái niệm trạng thái phi cổ điển trong đó trạng

thái phi cổ điển được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén Trong trạngthái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thănggiáng mà trạng thái kết hợp cho phép Khi trạng thái nén được khámphá nó mở ra một phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy

ra từ hệ thức bất định Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq vàShutian Liu [13] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng

thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi,

|Ψi = √N

2(|αi + eiΦ|iαi),

trong đó N là hệ số chuẩn hóa Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq

và Shutian Liu [13] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạngthái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi nhưng chỉ dừnglại ở bậc thấp như hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậcmột và tính chất phản kết chùm bậc một Năm 2009, tác giả NguyễnThị Bích Ngân [3] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạngthái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi với các bậccao hơn như hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống

kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm bậc hai đến bậc mười Tínhđến thời điểm hiện tại, trong các bài báo và các tài liệu mà chúng tôicập nhật được, chưa có tác giả nào đề cập đến việc khảo sát quá trìnhnén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chấtphản kết chùm tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng tháichồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha Vì vậy, trong Luậnvăn này tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kêsub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát và quá trìnhnén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha |Ψi, rồi sau đó chúng tôi so sánh tính chất nén Hillery vàHong-Mandel của trạng thái này Đó chính là lý do tôi chọn đề tài "Khảo sát quá trình nén Hong- Mandel của trạng thái chồng chất haitrạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu.

2 Mục tiêu của đề tài

Khảo sát các tính chất của quá trình nén Hillery tổng quát và quátrình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợpvuông pha

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quátcủa trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha

sub Khảo sát quá trình nén Hongsub Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong Luận văn này chỉ khảo sát quá trình nén Hillery tổng quáttính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùmbậc cao tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng

chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với các bậc N = 2, 4, 6, 8.

5 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này chúng tôi sử dụng một số phương pháp

cơ bản như sau:

- Phân tích, tổng hợp tài liệu

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Vận dụng các kiến thức đã học để tính toán đưa ra các biểu thức

cụ thể, vẽ đồ thị và tính số

6 Bố cục luận văn

Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm baphần: mở đầu, nội dung và kết luận Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đềtài, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp và phạm vi nghiên cứu Phần nộidung chia làm ba chương, trong đó chương 1 trình bày các kiến thức tổngquan; chương 2 khảo sát quá trình nén Hillery, tính chất phản kết chùm,tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạngthái kết hợp vuông pha; chương 3 khảo sát quá trình nén Hong-Mandelcủa trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Phần kếtluận nêu lên kết quả đạt được của Luận văn

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN

Để đảm bảo tính logic và dễ hiểu, trước khi trình bày về trạng tháichồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và tính chất phi cổđiển của chúng, chúng ta nhắc lại một cách khái quát trạng thái kết

hợp Trạng thái kết hợp, kí hiệu |αi, được Glauber [7] và Sudarshan [14]

đưa ra lần đầu tiên vào năm 1963 khi dùng trạng thái này để mô tảtính chất của chùm sáng laser Sau đó chúng ta sẽ đề cập đến trạng tháichồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, kí hiệu |Ψi và một

số tính chất phi cổ điển (như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson

và tính chất phản kết chùm) của nó nhưng chỉ ở bậc nhỏ đã được RanZeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đưa ra năm 2007 và tácgiả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] phát triển thêm vào năm 2009

1.1 Các trạng thái kết hợp

1.1.1 Khái niệm

Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra khái niệm trạng

thái kết hợp |αi khi khảo sát tính chất của chùm sáng laser- chùm sáng

có độ đơn sắc cao và cường độ lớn Tính chất đặc biệt của chùm laser làtính kết hợp, cường độ càng cao thì tính kết hợp càng lớn Vì thế, trạngthái dùng để mô tả nó có tên là trạng thái kết hợp

Ta có toán tử sinh hạt ba+ và hủy hạt ba tuân theo hệ thức giao hoán

[ba, ba+] = 1, (1.1)[ba, ba] = [ba+, ba+] = 0, (1.2)

và toán tử số hạt bn = ba+ba.

Trạng thái kết hợp |αi được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử

hủy boson ba Do đó |αi thỏa mãn phương trình

trong đó |ni là trạng thái Fock Thay (1.4) vào (1.3), ta được biểu thức

của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ cơ sở của các trạng thái Fock

Thay (1.7) vào (1.6), ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn

hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |ni có dạng như sau

Tính chất 3: Phân bố số hạt ở trạng thái |αi tuân theo phân bố

Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử sốhạt bằng nhau)

Ta có số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |αi

hbni = hα|bn|αi = hα|ba+

ba|αi = |α|2. (1.10)

Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |αi

h(4bn)2i = hα|(4 bn)2|αi = hα| bn2|αi − hα| bn|αi2 = |α|2. (1.11)

Từ (1.10) và (1.11), ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán

tử số hạt trong trạng thái kết hợp bằng nhau, nghĩa là

hbni = h(4bn)2i. (1.12)

Từ (1.12) chứng tỏ rằng trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson

Ta tính xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |αi

trong đó p(n) = exp(−|α|2)|α|n! là hàm phân bố Poisson Hàm phân bốPoisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân

bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Vì vậy, trạng thái kết hợp làtrạng thái cổ điển

Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp |αi, nó gợi cho

ta nghĩ đến khả năng tồn tại của các trạng thái có độ bất định nhỏ hơngiới hạn lượng tử chuẩn Những trạng thái này không thể là trạng thái

cổ điển Vì vậy, có thể xem chúng là một lớp các trạng thái phi cổ điển.Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu đến trạng thái chồng chất của haitrạng thái kết hợp vuông pha và tính chất của nó

1.2 Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết

hợp vuông pha

1.2.1 Khái niệm

Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra mộttrạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng tháikết hợp vuông pha vào năm 2007 Trạng thái chồng chất của hai trạng

thái kết hợp vuông pha có dạng như sau

Tính chất 1: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha đã được chuẩn hóa, nghĩa là [3]

Từ biểu thức (1.20), ta thu được hệ số chuẩn hóa N của trạng thái chồngchất của hai trạng thái kết hợp vuông pha

Tính chất 2: Các trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha không trực giao với nhau, nghĩa là [3]

Tính chất 3: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy boson ba2,nghĩa là [3]

ba2|Ψi = α2|Ψi. (1.24)

Tính chất 4: Phân giải đơn vị của trạng thái chồng chất của hai

trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi được viết như sau [3]

Z

với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn α = |α|eiϕ

và hàm µ(α) được xác định theo biểu thức [3]

chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, nghĩa là khi đó cáctrạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha lập thànhmột hệ đủ.

Tính chất 5: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha |Ψi tuân theo tính thống kê sub-Poisson bậc một và tínhchất phản kết chùm bậc một đến bậc chín [3], [13]

Tính chất 6: Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp

vuông pha |Ψi có hiệu ứng nén bậc một [13] và bậc hai, bậc ba, bậcnăm, bậc sáu, bậc bảy [3]

1.3 Trạng thái nén

Xuất phát từ hệ thức bất định cho 2 đại lượng vật lý A,B không đo được

đồng thời trong trạng thái |ϕi nào đó

V AV B ≥ 1

4|hϕ|[ ˆ A, ˆ B]|ϕi|

2

Nếu |ϕi = |αi là trạng thái kết hợp của hai đại lượng A,B thì hệ thức

bất định của chúng đạt đến độ bất định tối thiểu

Một trạng thái vật lý |ϕi của trường hạt boson cho hai đại lượng A,B

mà trong đó VA(hoặc VB) bé hơn giá trị giới hạn lượng tử chuẩn sao

cho nguyên lý bất định không bị vi phạm thì trạng thái |ϕi gọi là trạng

thái nén đối với đại lượng A(hoặc B) Trường hợp đặc biệt nếu trạng

thái nén của A(hoặc B) còn thỏa mãn điều kiện (V A)(V B) bằng độ bất

định tối thiểu thì nó được gọi là trạng thái nén lý tưởng

trong đó : : ký hiệu N-tích Khai triển các hàm mũ trong (1.31) dưới

dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có:

và do đó điều kiện để có nén bậc N kiểu Hong-Mandel là

SN =

PN −1 j=0

(N ) 2j

j!

C 2

j

h: (∆ ˆXa(ϕ))N −2j :i

(N − 1)!!CN /2 . (1.38)

Rõ ràng là hiệu ứng nén theo ˆXa(ϕ) xuất hiện khi ta có −1 ≤ SN < 0

và nén đạt cực đại khi SN = −1 Tương tự như vậy đối với ˆXa(ϕ + π/2).

boson, k là bậc của hiệu ứng nén (hiệu ứng nén bậc một khi k = 1), và

ϕ là một góc bất kỳ trong mặt phẳng phức Một trạng thái được gọi là

nén Hillery bậc cao nếu thỏa mãn bất đẳng thức

h(∆ bQk(ϕ))2i < 1

chúng ta đưa ra hệ số nén Hillery bậc cao

k!k (q)

(k−q)!q!h(ba+)k−qbak−qi .

(1.44)Vậy, điều kiện nén Hillery bậc cao của một trạng thái nào đó là hệ

số nén Sk phải nằm trong khoảng −1 ≤ Sk < 0 và trạng thái là nén lý

tưởng nếu Sk = −1

Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã đưa ra được dạng của trạngthái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha Xuất phát từtrạng thái kết hợp với các tính chất của nó đặc biệt lưu tâm đến tínhchất 5 là tính chất nêu lên trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bấtđịnh cực tiểu Từ trạng thái này, chúng tôi xây dựng trạng thái chồng

chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |αi và |iαi Trạng thái này

là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy Trạng thái này còn làtrạng thái phi cổ điển mà tính chất phi cổ điển của chúng thể hiện ởtính chất nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm.Trong chương này đã đề cập đến một số tính chất phi cổ điển (tính chấtnén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm) của trạngthái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha nhưng chỉ ở bậcnhỏ Chúng tôi cũng đề cập đến khái niệm trạng thái nén và các kiểunén bậc cao Đây là những kiến thức làm cơ sở để tổng quát tính chấtnén Hillery, tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chấtphản kết chùm bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kếthợp vuông pha trong chương 2 và khảo sát quá trình nén Hong-Mandelcủa trạng thái này trong chương 3.

CHƯƠNG 2

TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG

CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính chất nén Hilery tổngquát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha

Logic trình bày là đi từ tổng quát bậc k, sau đó suy ra tính chất từ bậc

một đến bậc 4 (nhằm so sánh với nghiên cứu của Ran Zeng, MuhammadAshfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3]).Sau đó chúng tôi trình bày tính phản kết chùm, tính thống kê sub-Poissontổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát

Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân đã khảo sát quá trình nénHillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông phanhưng mới chỉ dừng lại từ bậc hai đến bậc tám Trong mục này, chúngtôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của haitrạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nén nào Theo [3], ta có hệ

số nén Hillery bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết

hợp vuông pha khi k chẵn và k lẽ như sau:

− (1 − i2k)e−|α|2sin(φ + |α|2)sin(2kϕ)][1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]

− [(1 + e−|α|2cos(φ + |α|2) + i(k+1)e−|α|2sin(φ + |α|2))cos(kϕ)

− (i(k+1)(1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)) + e−|α|2sin(φ + |α|2))sin(kϕ)]2

o

,

(2.2)trong đó [3]

Khi dùng hai biểu thức (2.1), (2.2) để khảo sát các hiệu ứng nén Hillery

với các giá trị cụ thể của k thì sẽ gặp nhiều khó khăn vì sự tính toán giải

tích rất phức tạp và tốn nhiều thời gian và không thể thực hiện được

đối với các bậc nén k quá cao Do đó, để khảo sát quá trình nén Hillery

tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông

pha, chúng tôi chia bậc k thành 4 bậc tổng quát theo n (n là số nguyên)

Như vậy, không có hiệu ứng nén Hillery bậc 4n của trạng thái chồng

chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

Hình 2.1 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1

của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ

thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0 Từ hình vẽ 2.1 và kết quả tính số, ta nhận thấy vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ

0 đến 1.75, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ4.7 đến 7.85

Hình 2.1: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.

Hình 2.2a dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1

của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ

thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = π/2 Căn cứ hình vẽ 2.2a và kết quả tính

số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0 tương ứng

với vùng nén Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng

từ 0 đến 0.59 Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng

từ 3.1 đến 6.3 Hình 2.2b mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc

4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha

|Ψi phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3π/2 Căn cứ hình vẽ 2.2b và

kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0

tương ứng với vùng nén Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm

trong khoảng từ 0 đến 3.2 Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằmtrong khoảng từ 6.3 đến 9.4

Hình 2.2: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.

Từ các hình vẽ 2.1, 2.2a, 2.2b và kết quả tính số, ta đều nhận thấy:

với những giá trị nhỏ của n thì vùng nén thể hiện rõ rệt, khi n tăng thì hệ số nén Hillery bậc 4n + 1 sẽ tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+1 = 0)

2.1.3 Bậc k = 4n + 2

Thay k = 4n + 2 (n là số nguyên) và (2.3) vào (2.1) ta được biểu thức

hệ số nén Hillery bậc 4n + 2 như sau:

A2 =

4n−2X

q=1

(4n + 2)!(4n + 2)(q)(4n + 2 − q)!q! |α|

Hình 2.3 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2

của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ

thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0 Từ hình vẽ 2.3 và kết quả tính số,

ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+2 = 0 tương ứng với

vùng nén Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ

0 đến 1.75 Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ4.7 đến 7.85

Hình 2.3: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.

Hình 2.4a mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 của

trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ

thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = π/2 Từ hình vẽ 2.4a và kết quả tính

số, ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong

khoảng từ 0 đến 0.59, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong

khoảng từ 3.1 đến 6.3 Hình 2.4b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 2

Hình 2.4: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.

của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ

thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3π/2 Căn cứ vào hình vẽ 2.4b và kết quả tính số ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm

trong khoảng từ 0 đến 3.2, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằmtrong khoảng từ 6.3 đến 9.4

Từ các hình vẽ 2.3, 2.4a, 2.4b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy:

khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần

đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+2 = 0)

2.1.4 Bậc k = 4n + 3

Thay k = 4n + 3 và (2.3) vào (2.2) ta được biểu thức hệ số nén Hillery bậc 4n + 3 như sau:

A3 =

4n+3X

q=1

(4n + 3)!(4n + 3)(q)(4n + 3 − q)!q! |α|

Hình 2.6a mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ thuộc vào |α|2 và

n ứng với φ = π/2 Phân tích hình vẽ 2.5a và kết quả tính số, ta nhận

thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén:

vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.59,

vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.1 đến 6.3

Hình 2.6b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng

Hình 2.6: Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2.

chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψi phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3π/2 Phân tích hình vẽ 2.6b ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén Vùng nén thứ nhất

chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 3.2 Vùng nén thứ hai

chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 6.3 đến 9.4

Từ các hình vẽ 2.5, 2.6a, 2.6b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy:

khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 3 tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần

đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+3 = 0)

Như vậy, sử dụng các biểu thức (2.4), (2.5), (2.8), (2.10) của các hệ

số nén kiểu Hillery S4n, S4n+1, S4n+2, S4n+3, ta có thể khảo sát tính chấtnén kiểu Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợpvuông pha đối với bất kỳ giá trị n nào Kết quả khảo sát quá trình nénHillery tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợpvuông cho thấy: bậc nén càng cao thì mức độ nén càng nhỏ và không có

hiệu ứng nén Hillery bậc 4n Dùng các biểu thức hệ số nén nêu trên, ta

cũng dễ dàng suy ra được tính chất nén từ bậc một đến bậc tám mà RanZeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của NguyễnThị Bích Ngân [3] đã khảo sát Điều này chứng tỏ rằng kết quả khảosát mà chúng tôi thu được là tổng quát, còn kết quả khảo sát của cáctác giả Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian Liu và Nguyễn Thị Bích

Ngân là trường hợp riêng với các giá trị n nhỏ (n = 0, n = 1).

2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao

tổng quát

Khái niệm thống kê sub-Poisson bậc cao được giới thiệu trong [5] Bằngcách sử dụng hbn(k)i = hbn(bn−1) (bn −k +1)i = hba+kbaki, với hbni = hba+bai, tham số Pk được định nghĩa như sau [16]

Pk = hba+kbaki

hba+baik − 1, (2.12)

với k là số nguyên dương.

+ Đối với tất cả các giá trị của k ≥ 2 , Pk = 0 dẫn đến phân bố Poisson

+ Với k = 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc một

và tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc một.

+ Với k > 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc cao và

tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc cao.

Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã đưa ra được biểuthức tham số

kết hợp vuông pha tổng quát, chúng tôi chia k thành bốn trường hợp theo n như sau:

trong đó: tham số P4n chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n − 1, tham số

P4n+1 chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n Dựa vào biểu thức (2.14),

ta nhận thấy tính thống kê sub-Possion bậc 4n − 1 và bậc 4n của trạng

thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha là hoàn toàn giốngnhau Do đó, ta chỉ cần khảo sát tính thống kê sub-Possion một trong

hai bậc: bậc 4n − 1 hoặc bậc 4n Hình 2.7 dưới đây mô tả tham số P4n

là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0 Căn cứ vào hình 2.7 và kết quả tính số ta nhận thấy: tại φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n − 1 thể hiện trong khoảng giá trị |α|2 từ 2.35 đến 5.5.

Hình 2.7: Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.

Hình 2.8a dưới đây mô tả tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và

n với φ = π/2 Khi φ = π/2 tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ

trong khoảng giá trị |α|2 từ 0.78 đến 3.93 và từ 7.1 đến 10.2 Hình 2.8b

Hình 2.8: Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π.

vẽ tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = π Khi φ = π tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ trong khoảng giá trị |α|2 từ

0 đến 2.35 và từ 5.5 đến 8.6 Từ các hình vẽ 2.7, 2.8a, 2.8b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy khi giá trị n càng lớn thì mức độ thống kê

Hình 2.9: Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0.

Hình 2.9 vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0 Căn cứ vào đồ thị và kết quả tính số, ta thấy khi φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết