KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONGMANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - LỜI CAM ĐOAN PHẠM BÁCH KHOA KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu Luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2010 CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 44 01 Tác giả Luận văn LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Phạm Bách Khoa Người hướng dẫn khoa học TS TRƯƠNG MINH ĐỨC Huế, năm 2010 i ii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Đức, người giúp đỡ nhiều tài liệu hướng dẫn tận tình Lời cảm ơn iii suốt thời gian thực Luận văn Danh sách hình vẽ MỞ ĐẦU Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Trương Minh Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo giảng dạy, Khoa Vật lý, Phòng Sau Đại học - Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giúp đỡ tôi, giảng dạy suốt trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Tổ Vật lý - Công nghệ Trường THPT Chương - CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 Các trạng thái kết hợp 10 10 Sơn Mỹ tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất người thân bạn bè, đặc biệt bố, mẹ, vợ, động viên, giúp đỡ suốt trình 1.2 Khái niệm 10 1.1.2 Tính chất 11 Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha 13 Huế, tháng năm 2010 1.2.1 Khái niệm 13 Tác giả Luận văn 1.2.2 Tính chất 14 1.3 Trạng thái nén 16 1.4 Các kiểu nén bậc cao 17 1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel 17 1.4.2 Nén kiểu Hillery 18 học tập thực Luận văn Phạm Bách Khoa iii 1.1.1 Chương -TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM - 3.1.3 Nén bậc 45 TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON CỦA TRẠNG THÁI 3.1.4 Nén bậc 49 CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA 2.1 2.2 2.3 3.2 21 Khảo sát trình nén Hillery tổng quát 21 So sánh trình nén Hillery trình nén Hong-Mandel trạng chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha 53 2.1.1 Bậc k = 4n 23 KẾT LUẬN 56 2.1.2 Bậc k = 4n + 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 2.1.3 Bậc k = 4n + 25 PHỤ LỤC 2.1.4 Bậc k = 4n + 27 P.1 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát 30 2.2.1 Bậc 4n − 4n 31 2.2.2 Bậc 4n + 33 2.2.3 Bậc 4n + 35 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát 37 Chương -KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA 3.1 39 Khảo sát 39 3.1.1 Nén bậc 41 3.1.2 Nén bậc 42 3.1 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) 2.1 Hệ số nén S4n+1 hàm |α|2 n φ = 2.2 Hệ số nén S4n+1 hàm |α|2 n (a) φ = π/2 (b) φ = 3π/2 24 3.2 2.3 Hệ số nén S4n+2 hàm |α| n φ = 2.4 Hệ số nén S4n+2 hàm |α|2 n (a) φ = π/2 2.5 Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) 26 Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) (b) φ = 3π/2 27 Hệ số nén S4n+3 hàm |α|2 n φ = 28 3.4 giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 53 Hệ số nén S4n+3 hàm |α| n (a) φ = π/2 3.5 (b) φ = 3π/2 29 2.7 Tham số P4n hàm |α|2 n φ = 32 2.8 Tham số P4n hàm |α|2 n (a) φ = π/2 (b) 2.9 48 Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) 2.6 45 25 3.3 42 φ = π 32 Tham số P4n+2 hàm |α|2 n φ = 33 Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) hàm |α|2 φ = 54 2.10 Tham số P4n+2 hàm |α|2 n (a) φ = π/2 (b) φ = π 34 2.11 Tham số P4n+3 hàm |α|2 n φ = 35 2.12 Tham số P4n+3 hàm |α|2 n (a) φ = π/2 (b) φ = π 36 MỞ ĐẦU thái phi cổ điển nhắc đến trạng thái nén Trong trạng thái nén, thăng giáng lượng tử giảm xuống mức thăng giáng mà trạng thái kết hợp cho phép Khi trạng thái nén khám Lý chọn đề tài phá mở phương cách để vượt qua giới hạn lượng tử chuẩn suy từ hệ thức bất định Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq Việc nghiên cứu trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa quan trọng việc tăng độ xác phép đo làm sở để nghiên cứu áp dụng vào lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang Shutian Liu [13] đưa trạng thái phi cổ điển trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ , |Ψ = N √ (|α + eiΦ |iα ), lượng tử, thông tin lượng tử [13] máy tính lượng tử Do đó, tính N hệ số chuẩn hóa Ngoài Ran Zeng, Muhammad Ashfaq chất phi cổ điển trạng thái cho trước nhà khoa học Shutian Liu [13] khảo sát số tính chất phi cổ điển trạng quan tâm Các trạng thái phi cổ điển xuất phát điểm từ trạng thái thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ dừng kết hợp Năm 1963, Glauber [7] Sudarshan [14] đưa khái niệm lại bậc thấp hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậc trạng thái kết hợp nghiên cứu tính chất chùm sáng laser Trạng tính chất phản kết chùm bậc Năm 2009, tác giả Nguyễn thái kết hợp trạng thái cổ điển biểu diễn Glauber-Sudarshan Thị Bích Ngân [3] khảo sát số tính chất phi cổ điển trạng [7], [8], [14], hàm phân bố xác suất P tương ứng với trạng thái thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ với bậc hàm Delta Trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson, phân bố cao hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống mà phương sai đại lượng trung bình số hạt chúng Nếu kê sub-Poisson tính chất phản kết chùm bậc hai đến bậc mười Tính phương sai đại lượng nhỏ trung bình số hạt chúng đến thời điểm tại, báo tài liệu mà hàm phân bố ứng với trạng thái sub-Poisson Các trạng thái tuân cập nhật được, chưa có tác giả đề cập đến việc khảo sát trình theo thống kê sub-Poisson trạng thái phi cổ điển hàm phân bố nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson tổng quát, tính chất xác suất P ứng với trạng thái âm Một tính chất thuộc tính phản kết chùm tổng quát trình nén Hong-Mandel trạng thái chất phi cổ điển tính chất phản kết chùm (anti-bunching) Nếu chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Vì vậy, Luận trạng thái có tính chất phi cổ điển thể rõ tính chất văn khảo sát trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê phản kết chùm tính thống kê sub-Poisson sub-Poisson tổng quát, tính chất phản kết chùm tổng quát trình Vào đầu thập niên 80 kỷ 20, Hestrom [9], Hillery [10] nén Hong- Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp Mandel [12] đưa khái niệm trạng thái phi cổ điển trạng vuông pha |Ψ , sau so sánh tính chất nén Hillery Phương pháp nghiên cứu Hong-Mandel trạng thái Đó lý chọn đề tài " Khảo sát trình nén Hong- Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha" để nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài sử dụng số phương pháp sau: - Phân tích, tổng hợp tài liệu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử Mục tiêu đề tài - Vận dụng kiến thức học để tính toán đưa biểu thức Khảo sát tính chất trình nén Hillery tổng quát cụ thể, vẽ đồ thị tính số trình nén Hong-Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Bố cục luận văn Ngoài mục lục tài liệu tham khảo, Luận văn chia làm ba Nhiệm vụ nghiên cứu phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần mở đầu nêu rõ lý chọn đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp phạm vi nghiên cứu Phần nội - Khảo sát trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê subPoisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha - Khảo sát trình nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha dung chia làm ba chương, chương trình bày kiến thức tổng quan; chương khảo sát trình nén Hillery, tính chất phản kết chùm, tính thống kê sub-Poisson tổng quát trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha; chương khảo sát trình nén Hong-Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Phần kết luận nêu lên kết đạt Luận văn Phạm vi nghiên cứu Trong Luận văn khảo sát trình nén Hillery tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát, tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát trình nén Hong-Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với bậc N = 2, 4, 6, 8 CHƯƠNG Ta có toán tử sinh hạt a+ hủy hạt a tuân theo hệ thức giao hoán CÁC KIẾN THỨC TỔNG QUAN [a, a+ ] = 1, (1.1) [a, a] = [a+ , a+ ] = 0, (1.2) toán tử số hạt n = a+ a Để đảm bảo tính logic dễ hiểu, trước trình bày trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha tính chất phi cổ Trạng thái kết hợp |α định nghĩa trạng thái riêng toán tử hủy boson a Do |α thỏa mãn phương trình điển chúng, nhắc lại cách khái quát trạng thái kết a|α = α|α , (1.3) hợp Trạng thái kết hợp, kí hiệu |α , Glauber [7] Sudarshan [14] đưa lần vào năm 1963 dùng trạng thái để mô tả tính chất chùm sáng laser Sau đề cập đến trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, kí hiệu |Ψ α số phức không gian phức Khi khai triển thông qua trạng thái Fock |n trạng thái kết hợp |α biểu diễn dạng ∞ Cn |n , |α = số tính chất phi cổ điển (như tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson (1.4) n=0 tính chất phản kết chùm) bậc nhỏ Ran |n trạng thái Fock Thay (1.4) vào (1.3), ta biểu thức Zeng, Muhammad Ashfaq Shutian Liu [13] đưa năm 2007 tác trạng thái kết hợp biểu diễn theo hệ sở trạng thái Fock ∞ giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] phát triển thêm vào năm 2009 |α = C0 n=0 αn √ |n , n! (1.5) với C0 hệ số chuẩn hóa 1.1 Các trạng thái kết hợp 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính chất Trạng thái kết hợp có số tính chất sau Tính chất 1: Các trạng thái kết hợp chuẩn hóa, nghĩa Năm 1963, Glauber [7] Sudarshan [14] đưa khái niệm trạng α|α = thái kết hợp |α khảo sát tính chất chùm sáng laser- chùm sáng (1.6) có độ đơn sắc cao cường độ lớn Tính chất đặc biệt chùm laser Từ biểu thức (1.6), ta thu hệ số chuẩn hóa C0 trạng thái kết tính kết hợp, cường độ cao tính kết hợp lớn Vì thế, trạng hợp |α thái dùng để mô tả có tên trạng thái kết hợp 10 C0 = exp(− |α|2 ) 11 (1.7) 2n Thay (1.7) vào (1.6), ta biểu thức trạng thái kết hợp chuẩn p(n) = exp(−|α|2 ) |α|n! hàm phân bố Poisson Hàm phân bố hóa khai triển theo hệ sở trạng thái Fock |n có dạng sau Poisson mô tả tốt tính chất chùm sáng laser hàm phân ∞ n α √ |n |α = exp(− |α|2) n! n=0 (1.8) bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Vì vậy, trạng thái kết hợp trạng thái cổ điển Tính chất 2: Các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, nghĩa Tính chất 4: Hệ tất trạng thái kết hợp |α hệ đủ, nghĩa α|β = π (1.9) Tính chất 3: Phân bố số hạt trạng thái |α tuân theo phân bố Poisson (là phân bố mà số hạt trung bình phương sai toán tử số cực tiểu, nghĩa ( x)2 ( p)2 = Ta có số hạt trung bình trạng thái kết hợp |α (1.14) Tính chất 5: Trạng thái kết hợp |α trạng thái có độ bất định hạt nhau) + |α α|d2 α = (1.15) Đây tính chất quan trọng trạng thái kết hợp |α , gợi cho n = α|n|α = α|a a|α = |α| (1.10) ta nghĩ đến khả tồn trạng thái có độ bất định nhỏ giới hạn lượng tử chuẩn Những trạng thái trạng thái Phương sai toán tử số hạt trạng thái kết hợp |α cổ điển Vì vậy, xem chúng lớp trạng thái phi cổ điển ( n)2 = α|( n)2|α = α|n2 |α − α|n|α = |α|2 (1.11) Tiếp theo nghiên cứu đến trạng thái chồng chất hai Từ (1.10) (1.11), ta thấy số hạt trung bình phương sai toán trạng thái kết hợp vuông pha tính chất tử số hạt trạng thái kết hợp nhau, nghĩa n = ( n)2 (1.12) 1.2 Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết Từ (1.12) chứng tỏ trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson hợp vuông pha Ta tính xác suất tìm hạt trạng thái kết hợp |α 1.2.1 Khái niệm p(n) = n|α α|n ∞ = exp(−|α|2 ) αm √ n| m m! m=0 = exp(−|α|2 ) |α|2n , n! ∞ (α∗ )m √ m| n m! m=0 (1.13) Ran Zeng, Muhammad Ashfaq Shutian Liu [13] đưa trạng thái phi cổ điển trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha vào năm 2007 Trạng thái chồng chất hai trạng 12 13 thái kết hợp vuông pha có dạng sau N |Ψ = √ (|α + eiφ |iα ), Từ biểu thức (1.20), ta thu hệ số chuẩn hóa N trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha (1.16) N = [1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]− (1.21) trạng thái kết hợp |α biểu diễn theo hệ sở trạng Thay (1.21) vào (1.19) ta có biểu thức trạng thái chồng chất hai thái Fock |n có dạng sau trạng thái kết hợp vuông pha chuẩn hóa khai triển theo hệ sở ∞ αn √ |n , |α = exp(− |α|2) n! n=0 (1.17) trạng thái Fock |n có dạng sau trạng thái kết hợp |iα biểu diễn theo hệ sở trạng thái |Ψ = [1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]− − |α|2 √ e 2 ∞ n=0 αn + eiφ (iα)n √ |n n! (1.22) Fock |n có dạng sau Tính chất 2: Các trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp ∞ (iα)n √ |n |iα = exp(− |α|2 ) n! n=0 (1.18) vuông pha không trực giao với nhau, nghĩa [3] Ψ|Ψ = (1.23) Thay (1.17) (1.18) vào (1.16) ta thu biểu thức trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha khai triển theo hệ vuông pha trạng thái riêng bình phương toán tử hủy boson a2 , sở trạng thái Fock |n có dạng sau nghĩa [3] ∞ αn + eiφ (iα)n N √ |n , |Ψ = √ exp(− |α|2 ) 2 n! n=0 Tính chất 3: Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp (1.19) với N hệ số chuẩn hóa a2|Ψ = α2 |Ψ (1.24) Tính chất 4: Phân giải đơn vị trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ viết sau [3] 1.2.2 Tính chất dµ(α)|Ψ Ψ| = (1.25) Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha có số với α số phức không gian phức nên ta chọn α = |α|eiϕ tính chất sau hàm µ(α) xác định theo biểu thức [3] |α0| Tính chất 1: Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp 2πµ (α)N d|α|α2n+1 exp(−|α|2 )[1 + cos(φ + vuông pha chuẩn hóa, nghĩa [3] nπ ) = n! (1.26) Như vậy, tồn hàm µ(α) cho thỏa mãn điều kiện (1.26) với Ψ|Ψ = 14 (1.20) n khai triển hàm dạng trạng thái 15 chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, nghĩa cho nguyên lý bất định không bị vi phạm trạng thái |ϕ gọi trạng trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha lập thành thái nén đại lượng A(hoặc B) Trường hợp đặc biệt trạng hệ đủ thái nén A(hoặc B) thỏa mãn điều kiện (V A)(V B) độ bất Tính chất 5: Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp định tối thiểu gọi trạng thái nén lý tưởng vuông pha |Ψ tuân theo tính thống kê sub-Poisson bậc tính 1.4 chất phản kết chùm bậc đến bậc chín [3], [13] Các kiểu nén bậc cao Tính chất 6: Trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp 1.4.1 Nén kiểu Hong-Mandel vuông pha |Ψ có hiệu ứng nén bậc [13] bậc hai, bậc ba, bậc năm, bậc sáu, bậc bảy [3] Các trạng thái nén đơn mode bậc cao đưa Hong Mandel vào năm 1985 [11] gọi kiểu nén Hong-Mandel 1.3 Trạng thái nén Cho hai toán tử biên độ trực giao có giao hoán tử Xuất phát từ hệ thức bất định cho đại lượng vật lý A,B không đo (1.27) Nếu |ϕ = |α trạng thái kết hợp hai đại lượng A,B hệ thức ˆ a(ϕ)x) = exp(∆X ˆ a(ϕ)x) : exp( x2 C), : exp(∆X (1.31) : : ký hiệu N-tích Khai triển hàm mũ (1.31) ˆ a(ϕ))2N V N Xa(ϕ) ≡ (∆X (1.28) N −1 = đồng thời chứng minh phương sai A phương sai B giá trị gọi giới hạn lượng tử chuẩn ˆ B]|ϕ ˆ |, V A = V B = | ϕ|[A, (1.30) dạng chuỗi theo x đồng hai vế, ta có: bất định chúng đạt đến độ bất định tối thiểu ˆ B]|ϕ ˆ |2 , V AV B = | ϕ|[A, C : số thực Hong-Mandel sử dụng đồng thức Campbell-Bake-Hausdorff đồng thời trạng thái |ϕ ˆ B]|ϕ ˆ V AV B ≥ | ϕ|[A, |2 ˆ a (ϕ), X ˆ a (ϕ + π/2)] = 2iC, [X (1.29) Một trạng thái vật lý |ϕ trường hạt boson cho hai đại lượng A,B j=0 (2N )2j C j ˆ a(ϕ))2(N −j) : + (2N − 1)!!C N , (1.32) : (∆X j!2j N (j) ≡ N (N − 1) (N − j + 1); Ở trạng thái kết hợp, tất số hạng (2N )! N !2N (1.33) ˆ a(ϕ)x)2(N −j) : : (∆X = nên (2N − 1)!! ≡ mà VA(hoặc VB) bé giá trị giới hạn lượng tử chuẩn V N Xa(ϕ) = (2N − 1)!!C N , 16 17 (1.34) −1 < S2 < cho ta thấy hiệu ứng nén, cụ thể, phần đường cong đường S2 = tương ứng với vùng nén Tại φ = 0, từ |α| = đến Ta có ˆ 1)4 : |Ψ − Ψ| : (X ˆ 1)3 : |Ψ Ψ| : X ˆ : |Ψ + ˆ 1)4 : |Ψ = Ψ| : (X Ψ| : (∆X |α| = 1.7 chứa giá trị hệ số nén bậc nhỏ nhiều so với 0, ˆ : |Ψ − Ψ| : X ˆ : |Ψ ˆ 1)2 : |Ψ Ψ| : X + Ψ| : (X nghĩa mức độ nén rộng Các vùng nén khác xuất từ |α| = 4.7 đến |α|2 = 7.8 chứa S2 nhỏ gần đến Các đường cong giá trị φ có đặc điểm tương tự, độ rộng vùng nén khác biểu diễn đồ thị Hình 3.1 hoàn toàn tương (3.17) ˆ 1)4 : |Ψ Ψ| : (X ˆ 1)3 : |Ψ Bây ta tính Ψ| : (X ˆ 1)4 : |Ψ = Ψ|(ˆ Ψ| : (X a4e−4iϕ + a ˆ+4 e4iϕ ) 16 tự với hình báo Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian ˆ+ a ˆ3 e−2iϕ ) + 6ˆ a+2 a ˆ2 |Ψ + 4(ˆ a+3 ae2iϕ + a Liu [13] đưa năm 2007 hoàn toàn trùng khớp với hình vẽ 2.1 = luận văn Nguyễn Thị Bích Ngân [3] Như hiệu ứng nén 16 +8 (3.18) Ψ|ˆ a4 e−4iϕ |Ψ + ˆ3e−2iϕ |Ψ + Ψ|ˆ a+2a ˆ2 |Ψ Ψ|ˆ a+ a Hong-Mandel bậc hai hiệu ứng nén Hillery bậc trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống Tìm giá trị kỳ vọng (3.18) lấy phần thực nó, ta thu kết Ψ|ˆ a4e−4iϕ |Ψ = N 2|α|4 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ, Ψ|ˆ a+ a ˆ3 e−2iϕ |Ψ = −N |α|4 e−|α| cosβsin2ϕ, ˆ2 |Ψ = N |α|4(1 − e−|α| cosβ) Ψ|ˆ a+2a (3.19) (3.20) (3.21) Thay (3.19), (3.20),(3.21) vào (3.18) ta ˆ 1)4 : |Ψ = N |α| 2(1 + e−|α|2 cosβ)cos4ϕ − 8e−|α|2 cosβsin2ϕ Ψ| : (X 16 + 6(1 − e−|α| cosβ) (3.22) Hình 3.1: Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) ˆ 1)3 : |Ψ Tương tự trên, ta tìm Ψ| : (X ˆ+3 e3iϕ ) + 3(ˆ a+2a ˆeiϕ + a ˆ+ a ˆ2 e−iϕ )|Ψ Ψ|(ˆ a3e−3iϕ + a = Ψ|ˆ a3e−3iϕ |Ψ + 6Re Ψ|ˆ a+a ˆ2 e−iϕ |Ψ (3.23) ˆ 1)3 : |Ψ = Ψ| : (X 3.1.2 Nén bậc 42 43 Tìm giá trị kỳ vọng (3.23) lấy phần thực nó, ta thu có đường cong nằm đường S4 = tương ứng với vùng nén kết Tại φ = vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 1.34 N2 |α| + e−|α| (cosβ + sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ), (3.24) N2 + −iϕ −|α|2 |α| − e ˆ e |Ψ = (cosβ + sinβ) (cosϕ + sinϕ) Ψ|ˆ a a (3.25) Ψ|ˆ a3e−3iϕ |Ψ = 3.03 đến 4.6 Tại φ = π/2 vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 0.41 6.3 đến 9.4 Tại φ = 3π/2 vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 2.5 3.6 đến 6.3 Thay (3.24), (3.25) vào (3.23) ta ˆ )3 : |Ψ = Ψ| : (X N |α|3 [1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) (3.26) Thay (3.14), (3.15) (3.22), (3.26) vào (3.17) thay vào (3.6) ta tìm tham số nén Hong-Mandel bậc sau S4 = 2N |α|4 2 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 4e−|α| cosβsin2ϕ + 3(1 − e−|α| cosβ) 4N |α|4 [1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) − −|α|2 + 3[1 − e Hình 3.2: Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) M 2 2 + 4N |α|4 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ M − N |α|4M 3.1.3 Nén bậc + 4N |α|2 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ − 2N |α|2 M , (3.27) Ta có ˆ 1)6 : |Ψ = Ψ| : (X ˆ 1)6 : |Ψ − Ψ| : (X ˆ 1)5 : |Ψ Ψ| : (X ˆ ) : |Ψ + Ψ| : (∆X M = [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) ˆ 1) : |Ψ ˆ 1)4 : |Ψ Ψ| : (X + 15 Ψ| : (X Hình 3.2 mô tả giá trị hệ số nén Hong-Mandel bậc trạng thái ˆ 1)3 : |Ψ Ψ| : X ˆ : |Ψ + − 20 Ψ| : (X chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào |α|2 ˆ 1) : |Ψ − Ψ| : (X ˆ 1) : |Ψ ˆ 1)2 : |Ψ Ψ| : (X + 15 Ψ| : (X (3.28) ứng với giá trị khác φ Phân tích hình vẽ 3.2 ta nhận thấy 44 45 ˆ 1)6 : |Ψ Bây ta tìm Ψ| : (X ˆ 1)6 : |Ψ = Ψ| : (X Tìm giá trị kỳ vọng (3.35) lấy phần thực nó, ta thu Ψ|(ˆ a6e−6iϕ + ˆa+6 e6iϕ ) + 15(ˆ a+4 a ˆ2 e2iϕ + a ˆ+2 a ˆ4e−2iϕ ) 64 64 Ψ|a6 e−6iϕ |Ψ + 30 + 20 Ψ|ˆ a+3 ˆa3|Ψ + 12 N2 |α| + e−|α| (cosβ − sinβ) (cos5ϕ + sin5ϕ), (3.36) N2 + −3iϕ −|α|2 |α| + e ˆ e |Ψ = (cosβ − sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ), Ψ|ˆ a a (3.37) N2 +2 −iϕ −|α|2 |α| − e ˆ e |Ψ = (cosβ − sinβ) (cosϕ + sinϕ) Ψ|ˆ a a (3.38) Ψ|ˆ a5e−5iϕ |Ψ = ˆ3 + 6(ˆ a+5 a ˆe4iϕ + a ˆ+ a ˆ5 e−4iϕ )|Ψ + 20ˆ a+3 a = kết Ψ|a+2 a4e−2iϕ |Ψ Ψ|ˆ a+ a ˆ5e−4iϕ |Ψ (3.29) Tìm giá trị kỳ vọng (3.29) lấy phần thực nó, ta thu kết Thay (3.36), (3.37), (3.38) vào (3.35) ta −6iϕ Ψ|ˆ ae −|α|2 |Ψ = −N |α| e sinβsin6ϕ, ˆ4e−2iϕ |Ψ = N |α|6 e−|α| sinβsin2ϕ, Ψ|ˆ a+2a Ψ|ˆ a+3a ˆ3|Ψ = N |α|6 (1 + e−|α| sinβ), Ψ|ˆ a+ ˆa5e−4iϕ |Ψ = N |α|6 (1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ (3.30) + 20[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) (3.32) + 10[1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) (3.34) ˆ 1)5 : |Ψ theo biểu thức Bây ta khai triển Ψ| : (X ˆ 1)6 : |Ψ vào (3.7) ta tham số nén bậc sau Ψ| : (∆X S6 = 2N |α|6 2 15e−|α| sinβsin2ϕ − e−|α| sinβsin6ϕ 15 − 6N |α|6 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 20[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10[1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) M Ψ|ˆ a+2 ˆa3e−iϕ |Ψ 2 + N |α|6 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 8e−|α| cosβsin2ϕ ˆ4 e−3iϕ |Ψ Ψ|ˆ a+ a (3.35) 46 ˆ 1)6 : |Ψ , sau ta thay Ψ| : (∆X ˆ 1)2 : |Ψ , Ψ| : (∆X ˆ 1)4 : |Ψ , (∆X ˆe3iϕ + a ˆ+ a ˆ4 e−3iϕ )|Ψ + 5(a+4 a + 10 (3.39) + 10(1 + e−|α| sinβ) + 6(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ ˆ 1)5 : |Ψ = Ψ|(a5e−5iϕ + ˆa+5 e5iϕ ) + 10(a+3 a ˆ2 eiϕ + a ˆ+2 a ˆ3 e−iϕ ) Ψ| : (X 32 Ψ|ˆ a5 e−5iϕ |Ψ + 20 Thay (3.14), (3.15), (3.22), (3.26), (3.34), (3.39) vào (3.28) ta Ψ| : + 20(1 + e−|α| sinβ) + 12(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ 64 (3.33) ˆ 1)6 : |Ψ = N |α| 30e−|α|2 sinβsin2ϕ − 2e−|α|2 sinβsin6ϕ Ψ| : (X 64 = N 2|α|5 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) 64 (3.31) Thay (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) vào (3.29) ta Ψ| : (X1)5 : |Ψ = + 6(1 − e−|α| cosβ) M 47 − 4N |α|6 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) đến 1.07 2.5 đến 4.7 Tại φ = π/2 vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 0.306 5.4 đến 6.31 Tại φ = 3π/2 vùng nén + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ M 10 −|α|2 + 2N |α| − e −|α|2 sinβ − e chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 1.95 3.4 đến 5.45 N 12 |α|6 M sinβsin2ϕ M − 2 + N |α|4 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 8e−|α| cosβsin2ϕ + 6(1 − e−|α| cosβ) − 4N |α| −|α|2 [1 + e (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) Nén bậc Ta có + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ M 3.1.4 ˆ 1)8 : |Ψ − Ψ| : (X ˆ 1)7 : |Ψ Ψ| : (X ˆ ) : |Ψ ˆ 1)8 : |Ψ = Ψ| : (X Ψ| : (∆X + 12N |α|4 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ M − 3N |α|4M ˆ 1) : |Ψ ˆ 1)6 : |Ψ Ψ| : (X + 28 Ψ| : (X + 6N |α|2 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ − 3N |α|2M ˆ 1)5 : |Ψ Ψ| : X ˆ : |Ψ − 56 Ψ| : (X (3.40) ˆ 1)4 : |Ψ Ψ| : (X ˆ 1) : |Ψ + 70 Ψ| : (X ˆ 1)3 : |Ψ Ψ| : (X ˆ ) : |Ψ − 56 Ψ| : (X ˆ 1)2 : |Ψ Ψ| : (X ˆ 1) : |Ψ − Ψ| : (X ˆ 1) : |Ψ + 28 Ψ| : (X (3.41) ˆ 1)8 : |Ψ Bây ta tìm Ψ| : (X ˆ 1)8 : |Ψ = Ψ|(ˆ a8e−8iϕ + a Ψ| : (X ˆ+8 e8iϕ ) + 28(ˆ a+6 a2 e4iϕ + a ˆ+2 a ˆ6 e−4iϕ ) 256 ˆ5 e−2iϕ + a ˆ+5 a ˆ3 e2iϕ ) + 8(ˆ a+7 a ˆe6iϕ + a ˆ+ a ˆ7 e−6iϕ ) + 56(a+3 a + 70a+4 a4 |Ψ Hình 3.3: Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) Hình 3.3 mô tả giá trị hệ số nén Hong-Mandel bậc trạng = 256 + 56 Ψ|ˆ a8e−8iϕ |Ψ + 16 Ψˆ a+ ˆa7e−6iϕ |Ψ + ˆ6e−4iϕ |Ψ + 112 Ψ|ˆ a+2 a Ψ|ˆ a+3 ˆa5e−2iϕ |Ψ + 70 Ψ|ˆ a+4 ˆa4|Ψ |Ψ thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc vào (3.42) |α|2 ứng với giá trị khác φ Phân tích hình vẽ 3.3 ta nhận Tìm giá trị kỳ vọng (3.42) lấy phần thực nó, ta thu thấy có đường cong nằm đường S6 = tương ứng với vùng kết nén Tại φ = vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ 48 Ψ|ˆ a8e−8iϕ |Ψ = N |α|8 (1 − e−|α| cosβ)cos8ϕ, 49 (3.43) Ψ|ˆ a+ a ˆ7 e−6iϕ |Ψ = −N |α|8 e−|α| cosβsin6ϕ, Ψ|ˆ a+2 a ˆ6e−4iϕ |Ψ = N |α|8 (1 − e−|α| cosβ)cos4ϕ, Ψ|ˆ a+3 ˆa5e−2iϕ |Ψ = N |α|8 e−|α| cosβsin2ϕ, Ψ|ˆ a+4 ˆa4|Ψ = N |α|8 (1 + e−|α| cosβ) (3.44) (3.45) (3.46) (3.47) Thay (3.43 ), (3.44 ), (3.45 ), (3.46 ), (3.47) vào (3.42) ta ˆ 1)8 : |Ψ = Ψ| : (X N2 |α| − e−|α| (cosβ + sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ), (3.52) N |α|7 + e−|α| (cosβ + sinβ) (cosϕ + sinϕ) ˆ4 e−iϕ |Ψ = Ψ|ˆ a+3a (3.53) Ψ|ˆ a+2 ˆa5e−3iϕ |Ψ = Thay (3.50 ), (3.51 ), (3.52 ), (3.53 ) vào (3.49) ta ˆ 1)7 : |Ψ = Ψ| : (X N 2|α|8 2 2(1 − e−|α| cosβ)cos8ϕ − 16e−|α| cosβsin6ϕ+ 256 N |α|7 [1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos7ϕ − sin7ϕ) 128 + 7[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 56(1 − e−|α| cosβ)cos4ϕ + 112e−|α| cosβsin2ϕ + 21[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 70(1 + e−|α| cosβ) + 35[1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) (3.48) ˆ 1)7 : |Ψ Bây ta tìm Ψ| : (X ˆ 1)7 : |Ψ = Ψ| : (X Thay (3.14), (3.15), (3.22), (3.26), (3.34), (3.39), (3.48), (3.54) vào (3.41) Ψ|(ˆ a7e−7iϕ + a ˆ+7 e7iϕ ) + 7(ˆ a+6 a ˆe5iϕ + a ˆ+ a ˆ6 e−5iϕ ) 128 ˆ5 e−3iϕ + a ˆ+5 a ˆ2 e3iϕ ) + 21(ˆ a+2 a 128 Ψ|ˆ a7e−7iϕ |Ψ + 14 +2 −3iϕ ˆe Ψ|ˆ a a + 42 ˆ 1)2 : |Ψ , Ψ| : ˆ 1)8 : |Ψ sau thay Ψ| : (∆X ta Ψ| : (∆X ˆ 1)6 : |Ψ , Ψ| : (∆X ˆ 1)8 : |Ψ vào (3.8), ta ˆ 1)4 : |Ψ , Ψ| : (∆X (∆X tham số nén Hong-Mandel bậc sau ˆ3 eiϕ + a ˆ+3 a ˆ4 e−iϕ )|Ψ + 35(ˆ a+4 a = (3.54) S8 = Ψ|ˆ a+ a ˆ6 e−5iϕ |Ψ + +3 −iϕ |Ψ + 70 Ψ|ˆ a a ˆ e 2N |α|8 2 (1 − e−|α| cosβ)cos8ϕ − 8e−|α| cosβsin6ϕ 105 2 |Ψ |Ψ − (3.49) 8N |α|8 [1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cos7ϕ − sin7ϕ) 105 + 7[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) Tìm giá trị kỳ vọng (3.49) lấy phần thực nó, ta thu + 21[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) kết + 35[1 + e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) M N |α|7 + e−|α| (cosβ + sinβ) (cos7ϕ − sin7ϕ), (3.50) N2 + −5iϕ −|α|2 Ψ|ˆ a ˆa e |α| − e |Ψ = (cosβ + sinβ) (cos5ϕ + sin5ϕ), (3.51) Ψ|ˆ a7e−7iϕ |Ψ = 50 + 28(1 − e−|α| cosβ)cos4ϕ + 56e−|α| cosβsin2ϕ + 35(1 + e−|α| cosβ) + 8N |α|8 2 15e−|α| sinβsin2ϕ − e−|α| sinβsin6ϕ 15 2 + 10(1 + e−|α| sinβ) + 6(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ M − 8N |α|8 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ)+ 15 51 Hình 3.4 mô tả giá trị hệ số nén Hong-Mandel bậc + 5|α|5 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10|α|5 [1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) M trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ phụ thuộc 4N 10 |α|8 2 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 4e−|α| cosβsin2ϕ 8N 12 |α|8 2 + 3(1 − e−|α| cosβ) M − [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)] 15 vào |α|2 ứng với giá trị khác φ Dựa vào hình vẽ 3.4 kết + × (cos3ϕ − sin3ϕ) + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ M 8N 14 |α|8 N 16|α|8 2 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ M − M 15 15 8N |α| 2 15e−|α| sinβsin2ϕ − e−|α| sinβsin6ϕ + 15 + 2 + 10(1 + e−|α| sinβ) + 6(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ − 8N |α|6 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 5[1 + e−|α| (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10[1 − e−|α| (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) M Hình 3.4: Hệ số nén Hong-Mandel bậc hàm |α|2 với giá trị φ khác nhau: φ = (đường chấm chấm), φ = π/2 (đường gạch gạch), φ = 3π/2 (đường nét liền) + 8N |α|6 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ − 4e−|α| cosβsin2ϕ + 3(1 − e−|α| cosβ) M − 16N |α|6 [1 + e−|α| (cosβ − sinβ)] tính số, ta nhận thấy có đường cong nằm đường S8 = × (cos3ϕ − sin3ϕ) + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ M nằm khoảng từ đến 0.9 2.48 đến 2.92 4.7 đến 7.85 Tại + 8N 10 |α|6 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ M − φ = π/2 vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm khoảng từ đến 0.245 4N 12 |α|6 M + 4N |α|4 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ −|α|2 − 4e −|α|2 cosβsin2ϕ + 3(1 − e − 8N |α| −|α| [1 + e 3.25 đến 6.3 Tại φ = 3π/2 vùng nén chứa giá trị |α|2 nằm cosβ) khoảng từ đến 1.7 6.3 đến 9.4 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 3[1 − e−|α| (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ M −|α|2 + 24N |α| − e tương ứng với vùng nén Tại φ = vùng nén chứa giá trị |α|2 −|α|2 sinβ − e 3.2 sinβsin2ϕ M − 6N |α| M So sánh trình nén Hillery trình nén Hong-Mandel trạng chồng chất hai trạng + 8N |α|2 − e−|α| sinβ − e−|α| sinβsin2ϕ − 4N |α|2 M thái kết hợp vuông pha (3.55) 52 53 Hình vẽ 3.5 mô tả hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 hệ số Hong-Mandel giảm dần bậc nén tăng dần nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 hàm |α| φ = 0, Như vậy, nghiên cứu tính chất trình nén thể rõ giống khác kiểu nén Hong-Mandel Hong-Mandel từ bậc hai đến bậc tám trạng thái chồng chất hai kiểu nén Hillery bốn bậc nhỏ Căn vào đồ thị kết trạng thái kết hợp vuông pha Chúng trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel lớn bậc nén lớn, mức độ nén theo kiểu Hillery nhỏ bậc nén lớn nén kiểu Hillery bậc 4n Kết tính số vẽ đồ thị cho thấy độ rộng vùng nén kiểu Hong-Mandel giảm dần độ rộng vùng nén kiểu Hillery không thay đổi bậc nén tăng dần Kiểu nén Hong-Mandel bậc trùng với kiểu nén Hillery bậc trùng với kiểu nén thông thường Hình 3.5: Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) hàm |α|2 φ = tính số ta nhận thấy, tính chất nén Hillery bậc tính chất nén Hong-Mandel bậc hai trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống Đối với bậc nén khác hai kiểu nén hoàn toàn khác Điểm khác thứ kiểu nén Hillery kiểu nén Hong-Mandel trạng thái mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel lớn bậc nén lớn, mức độ nén theo kiểu Hillery nhỏ bậc nén lớn nén kiểu Hillery bậc 4n Điểm khác thứ hai kiểu nén Hillery kiểu nén HongMandel trạng thái độ rộng vùng nén theo kiểu Hillery thay đổi không đáng kể bậc nén tăng, độ rộng vùng nén theo kiểu 54 55 KẾT LUẬN mức độ nén Hong-Mandel lớn bậc nén lớn Tính chất trái ngược với kiểu nén Hillery Trong Luận văn này, trình bày cách khảo sát trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson bậc cao tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Chúng khảo sát trình nén HongMandel cách chi tiết từ bậc hai đến bậc tám Kết Với kết đạt trên, hy vọng tính chất phi cổ điển trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha áp dụng vào việc nghiên cứu lĩnh vực thông tin lượng tử máy tính lượng tử, lĩnh vực xem có tính cách mạng khoa học năm gần đề tài Luận văn: "Khảo sát trình nén Hong-Mandel trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha" phương pháp nghiên cứu lý thuyết thể rõ chương II chương III, tóm tắt sau: - Đưa biểu thức hệ số nén Hillery bậc cao tổng quát trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha theo n, cụ thể chương II mức độ nén Hillery nhỏ bậc nén lớn Riêng trường hợp bậc nén bội số trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha hiệu ứng nén kiểu Hillery - Đưa biểu thức tổng quát tham số P4n , P4n+1, P4n+2, P4n+3 hàm tương quan g (k) trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Chúng tính chất phản kết chùm tính thống kê sub-Poisson tăng bậc k tăng - Đưa biểu thức hệ số nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha khảo sát biến thiên hệ số nén theo |α|2 Chúng trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha 56 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Glauber R J (1963), "Photon correlation", Physical Review Letters 10, pp 84-86 Hestrom C W (1980), "Nonclassical states in optical communi- Tiếng Việt cation to a remote recceiver", IEEE Trans Inf Theory, 26, pp Võ Quốc Đạt (2007), Khảo sát tính chất trạng thái kết hợp 378-382 chẵn lẻ phụ thuộc tham số biến dạng, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế 10 Hillery M (1963), "Conservation laws and nonclassical states in nonlinear optical systems", Physical Review A, 31, pp 338-342 Nguyễn Thị Xuân Hoài (2006), Các tính chất phi cổ điển trạng thái kết hợp chẵn lẻ, Khóa luận tốt nghiệp, Trường ĐHSP Huế 11 Hong C K and Mandel L (1985), "Higher - order Squeezing of a quantum field", Physical Review Letters, 54(4), pp 323-325 - ĐH Huế Nguyễn Thị Bích Ngân (2009), Một số tính chất phi cổ điển trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế Ngô Tứ Thành, Lê Minh Thanh (2007), Thông tin lượng tử, NXB 12 Mandel L (1986), "Nonclassical sates of the electromagnetic field", Physica Scripta T, 12, pp 34-42 13 Rang Z., Ahmad M A and Liu S (2007), "Nonclassical state via superposition of two coherent states (π/2 out of phase) and related entangled states", Optics Communications, 271, pp 162-168 Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh 14 Sudarshan E C G (1963), "Equivalence of semiclassical anh quan- Daniel E., Vyas R and Surendra S (2001), "Higher-order subPoissonian photon statistics in terms of factorial moments", Optical Society of America, 19 (6), pp 1471 Dodonov V V (2002), "Nonclassical states in quantum optics: a squeezed review of the first 75 years", Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 4, pp R1-R33 Glauber R J (1963), "Coherent and Incoherent States of the Ra- tum mechanical descriptions of statistical light beams", Physical Review Letters, 10, pp 277-279 15 Truong M D and Nguyen B A.(2004), "Hillery-Type Squeezing in Fan States", Journal of the Korean Physical Society, 44, pp 14211426 16 Truong M D and Noh J (2008), "Higher-order properties of photonadded coherent states", Optics Communications, 281, pp.2842-2848 diation Field", Physical Review B, 131 (6), pp 2766-2788 58 59 PHỤ LỤC 2 × {2[1 − e−|α| sinβ][1 + e−|α| cosβ] − 2e−|α| sinβsin[2(4n + 1)ϕ 2 + 2e−|α| sinβcosβsin[2(4n + 1)ϕ] − [1 + e−|α| cosβ − e−|α| sinβ]2 Chứng minh (2.4) × [cos(4n + 1)ϕ + sin(4n + 1)ϕ]2 Thay k = 4n vào (2.1) ta |α| S4n = 4n (4n)!(4n)(q) q=1 (4n−q)!q! (a+ )4n−q a4n−q [1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2 )]2 + 2[1 + e 4n+1 (4n+1)!(4n+1)(q) q=1 (4n+1−q)!q! [1 + e−|α|2 cosβ]2 (a+ )4n+1−q a4n+1−q 2 × + 2e−|α| cosβ − 2e−|α| sinβ − 2e−|α| cosβsinβ × [2 + 2e−|α| cos(φ + |α|2 )][1 + e−|α| cos(φ + |α|2)] −|α|2 |α|8n+2 = 8n −|α|2 cos(φ + |α| )]cos(8nϕ)[1 + e 2 − 2e−|α| sinβsin[(8n + 2)ϕ] + 2e−|α| sinβcosβsin[(8n + 2)ϕ] cos(φ + |α| )] 2 2 − − 2e−|α| cosβ + 2e−|α| sinβ − e−2|α| + 2e−2|α| sinβcosβ − 4[1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]2 cos2(4nϕ) − sin[(8n − 2)ϕ] − 2e−|α| cosβsin[(8n + 2)ϕ] |α|8n = 4n (4n)!(4n)(q) q=1 (4n−q)!q! 2 2 × 2[1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]2 + 2[1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]2 cos(8nϕ) −|α|2 − 4[1 + e = 4n (4n)!(4n)(q) q=1 (4n−q)!q! × 2[1 + e (a+ )4n−q a4n−q [1 + + 2e−2|α| sinβcosβsin[(8n + 2)ϕ] |α|8n+2 = + cos(8nϕ) cos(φ + |α| )] |α|8n 2 −|α|2 + 2e−|α| sinβsin[(8n + 2)ϕ] − e−2|α| sin[(8n + 2)ϕ]+ [1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2 )]2 (a+ )4n−q a4n−q 4n+1 (4n+1)!(4n+1)(q) q=1 (4n+1−q)!q! 2 × − e−2|α| − sin[2(4n + 1)ϕ] + 2e−|α| cosβ + e−2|α| e−|α| cos(φ + |α|2 )]2 (A.2) 2 cos(φ + |α| )] [2 + 2cos(8nϕ) − − 2cos(8nϕ)] = (A.1) Theo [3], ta có (a+ )k ak = Chứng minh (2.5) N 2k |α| + e−|α| 2(−i)k cos(φ + |α|2 ) Thay k = 4n + vào (2.2) đặt β = φ + |α|2 ta S4n+1 = (a+ )4n+1−q a4n+1−q [1 + e−|α| cosβ]2 − ((−i)k − ik )ei(φ+|α| (A.3) ) |α|8n+2 4n+1 (4n+1)!(4n+1)(q) q=1 (4n+1−q)!q! (a+ )4n+1−q a4n+1−q 2 [1 + e−|α| cosβ]2 =⇒ (a+ )4n+1−q a4n+1−q = × {[2 − 2ie−|α| cosβ + 2ie−|α| cosβ − 2e−|α| sinβ][1 + e−|α| cosβ] N 2k |α| − e−|α| 2(−i)−q cosβ + i−q − (−i)−q eiβ (A.4) , − 2e−|α| sinβsin[2(4n + 1)ϕ][1 + e−|α| cosβ] 2 − [(1 + e−|α| cosβ − e−|α| sinβ)cos(4n + 1)ϕ 2 + (1 + e−|α| cosβ − e−|α| sinβ)sin(4n + 1)ϕ]2 P.1 N = (1 + e−|α| cosβ)−1/2 P.2 (A.5) Thay (A.5) vào (A.4) lấy kết thay vào (A.2) đặt 4n+1 A1 = q=1 2 (4n + 1)!(4n + 1)(q) 8n+2−2q |α| (4n + − q)!q! −|α|2 × − ie −q × − e−2|α| cos2β − e−2|α| sin2 β + cos[2(4n + 2)ϕ] 2 × + e−2|α| cos2β + 2e−|α| cosβ + e−2|α| sin2β (A.6) −q 2(−i) cosβ − (−i) −q +i (A.8) 2|α|8n+4 = 4n+2 (4n+2)!(4n+2)(q) q=1 (4n+2−q)!q! iβ e (a+ )4n+2−q a4n+2−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 × − e−2|α| + cos[2(4n + 2)ϕ] + 2e−|α| cosβ + e−2|α| 2|α| 8n+2 −2|α|2 1−e −|α|2 − sin[2(4n + 1)ϕ](1 + 2e S4n+1 = −2|α|2 cosβ + e ) Từ (A.3) ta có + e−|α|2 cosβ) A3(1 (A.7) (a+ )4n+2−q a4n+2−q = Chứng minh (2.8) N 8n+4) |α| + ie−|α| 2(−i)−q cosβ Thay k = 4n + vào (2.1) ta − (−i)−q + i−q eiβ (A.9) |α|8n+4 S4n+2 = 4n+2 (4n+2)!(4n+2)(q) q=1 (4n+2−q)!q! (a+ )4n+2−q a4n+2−q 2 [1 + e−|α| cosβ]2 Thay (A.5) vào (A.9) lấy kết thay vào (A.8) đặt × [2 − 2e−|α| cosβ][1 + e−|α| cosβ] −|α|2 + 2[1 + e −2|α| − 4e 4n−2 −|α|2 cosβ]cos2(4n + 2)ϕ[1 + e A2 = cosβ] q=1 (4n + 2)!(4n + 2)(q) 8n+4−2q |α| (4n + − q)!q! (A.10) × − e−|α| 2(−i)−q cosβ + i−q − (−i)−q eiβ sin βsin (4n + 2)ϕ , |α|8n+4 = 4n+2 (4n+2)!(4n+2)(q) q=1 (4n+2−q)!q! (a+ )4n+2−q a4n+2−q 2 [1 + e−|α| cosβ]2 ta × [2 − 2e−|α| cosβ][1 + e−|α| cosβ] 2 2 4|α|8n+4 − e−2|α| + cos[2(4n + 2)ϕ](1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| ) S4n+2 = + 2[1 + e−|α| cosβ]cos2(4n + 2)ϕ[1 + e−|α| cosβ] A1 (1 + e−|α|2 cosβ) (A.11) − 2e−2|α| sin2β [1 − cos[2(4n + 2)ϕ]] Chứng minh (2.10) |α|8n+4 = 4n+2 (4n+2)!(4n+2)(q) q=1 (4n+2−q)!q! (a+ )4n+2−q a4n+2−q [1 + e−|α| cosβ]2 − 2e = |α|8n+6 × − 2e−|α| cos2 β + 2[1 + e−|α| cosβ]2 cos[2(4n + 2)ϕ] −2|α|2 Thay k = 4n + vào (2.2) đặt β = φ + |α|2 ta −2|α|2 sin β + 2e sin βcos[2(4n + 2)ϕ] 2|α|8n+4 4n+2 (4n+2)!(4n+2)(q) q=1 (4n+2−q)!q! (a+ )4n+2−q a4n+2−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 P.3 S4n+3 = 4n+3 (4n+3)!(4n+3)(q) q=1 (4n+3−q)!q! (a+ )4n+3−q a4n+3−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 2 × [2 + 2ie−|α| cosβ − 2ie−|α| cosβ + 2e−|α| sinβ][1 + e−|α| cosβ] 2 − 2e−|α| sinβsin[2(4n + 3)ϕ] + e−|α| cosβ P.4 Từ (A.3) ta có − [(1 + e−|α| cosβ + e−|α| sinβ)cos(4n + 3)ϕ 2 − (1 + e−|α| cosβ + e−|α| sinβ)sin(4n + 3)ϕ]2 = (a+ )4n+3−q a4n+3−q = |α|8n+6 (4n+3)!(4n+3)(q) 4n+3 q=1 − (−i)−q + i−q eiβ (a+ )4n+3−q a4n+3−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 (4n+3−q)!q! 2 × 2(1 + e−|α| sinβ)(1 + e−|α| cosβ) − 2e−|α| sinβsin[2(4n + 3)ϕ] 2 4n+3 A3 = × [cos(4n + 3)ϕ − sin(4n + 3)ϕ] |α| 4n+3 (4n+3)!(4n+3)(q) q=1 (4n+3−q)!q! (A.13) Thay (A.5) vào (A.13) lấy kết thay vào (A.12) đặt + 2e−|α| sinβcosβsin[2(4n + 3)ϕ] − [1 + e−|α| cosβ + e−|α| sinβ]2 = N 8n+6 |α| + ie−|α| 2(−i)−q cosβ q=1 (4n + 3)!(4n + 3)(q) 8n+6−2q |α| (4n + − q)!q! −|α|2 8n+6 × + ie −q (A.14) −q 2(−i) cosβ − (−i) −q +i iβ e , (a+ )4n+3−q a4n+3−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 2 ta × + 2e−|α| cosβ + 2e−|α| sinβ + 2e−|α| cosβsinβ 2 −|α|2 − [1 + 2e −|α|2 cosβ + 2e −2|α|2 sinβ + e −2|α|2 + 2e S4n+3 = (A.15) Chứng minh (3.13), (3.20), (3.25), (3.33), (3.37), (3.44), (3.51) |α| 4n+3 (4n+3)!(4n+3)(q) q=1 (4n+3−q)!q! 8n+6 Ta có (a+ )4n+3−q a4n+3−q [1 + e−|α| cosβ]2 2 ∞ ˆk |Ψ = Ψ|ˆ a+ a × + 2e−|α| cosβ + 2e−|α| sinβ + 2e−|α| cosβsinβ 2 − 2e−|α| sinβsin[(8n + 6)ϕ] − 2e−|α| sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] −|α|2 − − 2e −|α|2 cosβ − 2e −|α|2 + sin[(8n + 6)ϕ] + 2e −2|α|2 sinβ − e −2|α|2 − 2e = sinβcosβ N −|α|2 (α∗n + e−iφ (iα)∗n )(αm + eiφ (iα)m ) √ √ e n|ˆ a+ a ˆk |m n! m! n,m=0 ∞ √ √ √ N −|α|2 e n m m − n,m=0 m − (k − 1) α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ n − 1|m − k n! m! iφ m ∗n ∗n e (iα) α + (iα) (iα)m √ √ n − 1|m − k + n! m! ∞ √ √ √ N −|α|2 e = n m m − m − (k − 1) n,m=0 × cosβsin[(8n + 6)ϕ] 2 + 2e−|α| sinβsin[(8n + 6)ϕ] + e−2|α| sin[(8n + 6)ϕ] + 2e−2|α| sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] 2 |α|8n+6 − e−2|α| + sin[(8n + 6)ϕ] + 2e−|α| cosβ + e−2|α| = A2(1 + e−|α|2 cosβ) sinβcosβ] × − sin[(8n + 6)ϕ] = |α|8n+6 − e−2|α| + sin[2(4n + 3)ϕ](1 + 2e−|α| cosβ + e−2|α| ) − 2e−|α| sinβsin[(8n + 6)ϕ] − 2e−|α| sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] 4n+3 (4n+3)!(4n+3)(q) q=1 (4n+3−q)!q! (A.12) P.5 α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ δn−1,m−k n! m! eiφ (iα)m α∗n + (iα)∗n (iα)m √ √ δn−1,m−k + n! m! × (a+ )4n+3−q a4n+3−q [1 + e−|α|2 cosβ]2 P.6 ∞ = N −|α|2 k−1 |α|2n + e−iφ (−i|α|2 )n α e (n − 1)! n=0 Ψ|ˆ a+a ˆ5 e−4iϕ |Ψ = N |α|6(1 − e−|α| sinβ)cos4ϕ Ψ|ˆ a+ a ˆ6e−5iϕ |Ψ = ik−1 eiφ (i|α|2 )n + ik−1 |α|2n + (n − 1)! N −|α|2 k−1 2 α e = |α|2e|α| − i|α|2e−iφ e−i|α| 2 iφ i|α|2 k + i |α| e e (A.16) (A.26) N2 |α| − e−|α| (cosβ + sinβ) (cos5ϕ + sin5ϕ) (A.27) ˆ7 e−6iϕ |Ψ = −N |α|8 e−|α| cosβsin6ϕ, Ψ|ˆ a+ a (A.28) k−1 |α|2 + |α| i e Chứng minh (3.31), (3.38), (3.45), (3.52) N k ∗ 2 α α (1 + ik−1 ) + e−|α| ik e−i(φ+|α| ) − ie−i(φ+|α| ) = Nhân vế (A.16) cho e−i(k−1)ϕ thay giá trị k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Ta có ∞ Ψ|ˆ a+2 ˆak |Ψ = đặt β = φ + |α|2 ta thu kết N2 2 Ψ|ˆ a+a |α| (1 − e−|α| sinβ) ˆ|Ψ = ˆ2 |Ψ e−iϕ = Ψ|ˆ a+a N2 ∗ |α| α (1 + i) − e−|α| (eiβ + ie−iβ ) e−iϕ 2 Ψ|ˆ a+ ˆa3|Ψ e−2iϕ = −iN |α|3 α∗ e−|α| cosβe−2iϕ ˆ4 |Ψ e−3iϕ Ψ|ˆ a+a (A.18) (A.19) N2 ∗ |α| α (1 − i) + e−|α| (eiβ − ie−iβ ) e−3iϕ (A.20) = 2 ˆ5 |Ψ e−4iϕ = N |α|5 α∗ (1 − e−|α| sinβ)e−4iϕ Ψ|ˆ a+a ˆ6 |Ψ e−5iϕ Ψ|ˆ a+a (A.17) (A.21) N2 ∗ |α| α (1 + i) − e−|α| (eiβ + ie−iβ ) e−5iϕ (A.22) = 2 Ψ|ˆ a+ ˆa7|Ψ e−6iϕ = −iN |α|7 α∗ e−|α| cosβe−6iϕ (A.23) Lấy phần thực biểu thức (A.18), (A.19), (A.20), (A.21), (A.22) (A.23) ta ˆ2 e−iϕ |Ψ = Ψ|ˆ a+a N2 |α| − e−|α| (cosβ + sinβ) (cosϕ + sinϕ) (A.24) ˆ3 e−2iϕ |Ψ = −N |α|4 e−|α| cosβsin2ϕ, Ψ|ˆ a+ a ˆ4 e−3iϕ |Ψ = Ψ|ˆ a+a N2 |α| + e−|α| (cosβ − sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ) (A.25) P.7 = N −|α|2 (α∗n + e−iφ (iα)∗n )(αm + eiφ (iα)m ) √ √ e n|ˆ a+2 ˆak |m n! m! n,m=0 ∞ √ √ √ √ N −|α|2 e n n − m m − n,m=0 m − (k − 1) α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ n − 2|m − k n! m! iφ m ∗n ∗n e (iα) α + (iα) (iα)m √ √ n − 2|m − k + n! m! ∞ √ √ √ √ N −|α|2 e = n n − m m − m − (k − 1) n,m=0 × α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ δn−2,m−k n! m! eiφ (iα)m α∗n + (iα)∗n (iα)m √ √ δn−2,m−k + n! m! ∞ N −|α|2 k−2 |α|2n + e−iφ (−i|α|2)n e α = (n − 2)! n=0 × ik−2 eiφ (i|α|2)n + ik−2 |α|2n (n − 2)! N −|α|2 k−2 2 e = α |α|4 e|α| − |α|4 e−iφ e−i|α| + − ik−2 |α|4eiφ ei|α| + |α|4ik−2 e|α| = N k ∗2 2 α α (1 + ik−2 ) − e−|α| ik−2 ei(φ+|α| ) + e−i(φ+|α| ) (A.29) P.8 Nhân vế (A.29 ) cho e−i(k−2)ϕ thay giá trị k = 3, 4, 5, đặt β = φ + |α|2 ta thu kết Ψ|ˆ a+2a ˆ3 e−iϕ |Ψ = N ∗2 |α| α (1 + i) − e−|α| (ieiβ + e−iβ ) e−iϕ , (A.30) 2 ˆ4 |Ψ e−2iϕ = iN |α|4 α∗2 e−|α| sinβe−2iϕ Ψ|ˆ a+2a (A.31) N ∗2 |α| α (1 − i) − e−|α| (−ieiβ + e−iβ ) e−3iϕ , Ψ|ˆ a+2 ˆa5e−3iϕ |Ψ = (A.32) ˆ6|Ψ e−4iϕ = N |α|6 α∗2 e−|α| cosβe−4iϕ Ψ|ˆ a+2a (A.33) α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ δn−3,m−k n! m! eiφ (iα)m α∗n + (iα)∗n (iα)m √ √ δn−3,m−k + n! m! ∞ |α|2n + e−iφ (−i|α|2 )n N −|α|2 k−3 e α = (n − 3)! n=0 × ik−3 eiφ (i|α|2 )n + ik−3 |α|2n (n − 3)! N −|α|2 k−3 2 = |α|6 e|α| + i|α|6e−iφ e−i|α| e α 2 − ik−2 |α|6 eiφ ei|α| + |α|6 ik−3 e|α| Lấy phần thực biểu thức (A.30), (A.31), (A.32), (A.33) ta ˆ4e−2iϕ |Ψ = N |α|6 e−|α| sinβsin2ϕ, Ψ|ˆ a+2a (A.34) N2 |α| − e−|α| (cosβ − sinβ) (cosϕ + sinϕ) (A.35) N2 +2 −3iϕ −|α|2 |α| − e |Ψ = (cosβ + sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ) Ψ|ˆ a ˆa e (A.36) +2 −4iϕ Ψ|ˆ a ˆa e −|α| |Ψ = N |α| (1 − e cosβ)cos4ϕ, 2 N k ∗3 α α (1 + ik−3 ) − e−|α| ik−2 ei(φ+|α| ) − ie−i(φ+|α| ) Nhân vế (A.38 ) cho e−i(k−3)ϕ thay giá trị k = 4, k = (A.37) đặt β = φ + |α|2 ta thu kết Ψ|ˆ a+3a ˆ4 |Ψ e−iϕ = N2 α |α| (1 + i) + e−|α| (eiβ + ie−iβ ) e−iϕ (A.39) 2 Ψ|ˆ a+3a ˆ5 |Ψ e−2iϕ = iN α2 |α|6 e−|α| cosβe−2iϕ ˆ4 e−iϕ |Ψ = Ψ|ˆ a+3a Ta có ∞ N −|α|2 (α∗n + e−iφ (iα)∗n )(αm + eiφ (iα)m ) √ √ e n|ˆ a+3 ˆak |m n! m! n,m=0 = N2 |α| + e−|α| (cosβ + sinβ) (cosϕ + sinϕ) (A.41) ˆ5|Ψ e−2iϕ = N |α|6 e−|α| cosβsin2ϕ Ψ|ˆ a+3 a (A.42) ∞ √ √ √ √ √ N −|α|2 e n n − n − m m − n,m=0 (A.40) Lấy phần thực biểu thức (A.39), (A.40) ta Chứng minh (3.46), (3.53) Ψ|ˆ a+3 ˆak |Ψ = = ˆ3 e−iϕ |Ψ = Ψ|ˆ a+2a (A.38) + α∗n αm + e−iφ (iα)∗n αm √ √ n − 3|m − k n! m! eiφ (iα)m α∗n + (iα)∗n (iα)m √ √ n − 3|m − k + n! m! ∞ √ √ √ √ √ N −|α|2 e n n − n − m m − = n,m=0 m − (k − 1) Chứng minh (3.21), (3.32), (3.47) Lần lượt thay k = 2, k = 3, k = vào (A.3) ta × P.9 ˆ2 |Ψ = N |α|4(1 − e−|α| cosβ), Ψ|ˆ a+2a Ψ|ˆ a+3a ˆ3|Ψ = N |α|6 (1 + e−|α| sinβ), m − (k − 1) Ψ|ˆ a+4 ˆa4|Ψ = N |α|8 (1 + e−|α| cosβ) P.10 (A.43) (A.44) (A.45) Chứng minh (3.12), (3.15), (3.19), (3.24), (3.30), (3.36), (3.43), (3.50) [e−ikϕ ak ] k chẵn N 2k |α| [(1 + ik )(1 + e−|α| cos(φ + |α|2 ))cos(kϕ) ak ] = (A.46) − (1 − ik )e−|α| sin(φ + |α|2 )sin(kϕ)] Theo [3], ta có [e−ikϕ Lần lượt thay giá trị k = 2, 4, 6, vào (A.46) đặt β = φ + |α|2 ta Ψ|ˆ a2e−2iϕ |Ψ = −N |α|2e−|α| sinβsin2ϕ, Ψ|ˆ a4e−4iϕ |Ψ = N |α|4 (1 + e−|α| cosβ)cos4ϕ, Ψ|ˆ a6e−6iϕ |Ψ = −N |α|6e−|α| sinβsin6ϕ, Ψ|ˆ a8e−8iϕ |Ψ = N |α|8 (1 − e−|α| cosβ)cos8ϕ, (A.47) (A.48) (A.49) (A.50) [e−ikϕ ak ] k lẽ N 2k [e−ikϕ ak ] = |α| [(1 + e−|α| cos(φ + |α|2 ) Theo [3], ta có + i(k+1) e−|α| sin(φ + |α|2 ))cos(kϕ) (A.51) − (i(k+1) (1 + e−|α| cos(φ + |α|2)) + e−|α| sin(φ + |α|2 ))sin(kϕ)] Lần lượt thay giá trị k = 1, 3, 5, vào (A.51) đặt β = φ + |α|2 ta N2 |α| + e−|α| (cosβ − sinβ) (cosϕ + sinϕ) (A.52) N2 |α| + e−|α| (cosβ + sinβ) (cos3ϕ − sin3ϕ), Ψ|ˆ a3e−3iϕ |Ψ = (A.53) N2 5 −5iϕ −|α|2 |α| + e |Ψ = (cosβ − sinβ) (cos5ϕ + sin5ϕ) Ψ|ˆ ae (A.54) N2 |α| + e−|α| (cosβ + sinβ) (cos7ϕ − sin7ϕ) Ψ|ˆ a7e−7iϕ |Ψ = (A.55) Ψ|ˆ ae−iϕ |Ψ = P.11 [...]... vuông pha 2.1 Khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân đã khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha nhưng mới chỉ dừng lại từ bậc hai đến bậc tám Trong mục này, chúng tôi sẽ khảo sát quá trình nén Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nén nào Theo [3], ta có hệ số nén. .. KẾT HỢP VUÔNG PHA nén bậc cao Đây là những kiến thức làm cơ sở để tổng quát tính chất nén Hillery, tổng quát tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính chất nén Hilery tổng phản kết chùm bậc cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha hợp vuông pha trong chương 2 và khảo sát quá. .. tâm đến tính chất 5 là tính chất nêu lên trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định cực tiểu Từ trạng thái này, chúng tôi xây dựng trạng thái chồng (1.40) chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |α và |iα Trạng thái này 19 là trạng thái riêng của bình phương toán tử hủy Trạng thái này còn là CHƯƠNG 2 trạng thái phi cổ điển mà tính chất phi cổ điển của chúng thể hiện ở tính chất nén, tính thống... tính chất phản kết chùm Trong chương này đã đề cập đến một số tính chất phi cổ điển (tính chất nén, tính thống kê sub-Poisson và tính chất phản kết chùm) của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha nhưng chỉ ở bậc nhỏ Chúng tôi cũng đề cập đến khái niệm trạng thái nén và các kiểu TÍNH CHẤT NÉN - TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON - TÍNH PHẢN KẾT CHÙM CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT... (2.17) của các tham số P4n, P4n+1 , P4n+2 , P4n+3, ta khảo sát được tính thống kê sub-Poisson của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nào Kết quả khảo sát tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha cho thấy: đối với các bậc càng cao thì tính thống kê sub-Poisson thể hiện càng rõ 2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm... thống kê sub-Poisson bậc cao nén kiểu Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đối với bất kỳ giá trị n nào Kết quả khảo sát quá trình nén Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã đưa ra được biểu thức tham số Hillery tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp 2 2 hiệu ứng nén Hillery bậc 4n Dùng các biểu thức hệ số nén nêu trên, ta N 2 [2 + e−|α|... vùng nén theo kiểu 54 55 KẾT LUẬN mức độ nén Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn Tính chất này là trái ngược với kiểu nén Hillery Trong Luận văn này, chúng tôi đã trình bày cách khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha Chúng tôi đã khảo sát quá trình nén HongMandel. .. hiện tính chất phản kết chùm và ngược lại Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đã thể hiện tính thống kê sub-Poisson bậc cao nên nó cũng sẽ thể hiện tính chất phản kết chùm bậc cao Trong mục 2.2 ta đã khảo sát tính thống kê sub-Poisson nên ta suy ra tính phản kết chùm cũng có những chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha đó là hiệu ứng nén Hillery,... hàm của |α| khi φ = 0, nó Như vậy, chúng tôi đã nghiên cứu các tính chất của quá trình nén thể hiện rất rõ sự giống nhau và khác nhau giữa kiểu nén Hong-Mandel Hong-Mandel từ bậc hai đến bậc tám của trạng thái chồng chất hai và kiểu nén Hillery ở bốn bậc nhỏ nhất Căn cứ vào đồ thị và kết quả trạng thái kết hợp vuông pha Chúng tôi đã chỉ ra rằng trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông. .. cao của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha khi k chẵn và k lẽ như sau: 20 21 Khi k chẵn thì Sk = tích rất phức tạp và tốn nhiều thời gian và không thể thực hiện được |α| k k!k(q) q=1 (k−q)!q! 2k đối với các bậc nén k quá cao Do đó, để khảo sát quá trình nén Hillery (a+ )k−q ak−q [1 + e−|α|2 cos(φ + |α|2 )]2 tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông