Đề thi cuối kỳ 1 đại số tuyến tính

KIEÅM TRA PHAÂN LOAÏI – NHOÙM 12 – N Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017 2018 Thời gia Đề thi cuối kỳ 1 năm học 2017 2018 Thời gian 90 phút Môn học Đại số tuyến tính Sinh viên không được sử dụng tài liệu Đề.

Đề thi cuối kỳ năm học 2017-2018 Thời gia Đề thi cuối kỳ năm học 2017-2018 Thời gian: 90 phút Mơn học: Đại số tuyến tính Sinh viên không sử dụng tài liệu Đề số  1   1 0     1/ Tìm ma trận X cho X  B A  A  X , với A   2 , B     2       1   1    4   2/ Tìm tất giá trị thực m cho det(A) = 2, với A   m    3 5  3/ Trong R3 với tích vơ hướng  T   x, y     x1, x2 , x3  ,  y1, y2 , y3    x1 y1  x1 y2  x1 y3  x2 y1  x2 y2  x2 y3  x3 y1  x3 y2  x3 y3 , cho không gian F   x   x1; x2 ; x3  x1  x2  x3  0 a/ Tìm sở số chiều khơng gian F  b/ Tìm hình chiếu vng góc véctơ v   2; 1;1 lên không gian F 4/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 Giả sử f (1;1; 2)  (2;1; 2), f (2;3; 5)  (1; 2; 3), f (3; 4; 6)  (5; 4; 7) Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f  3    5/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết A   4  ma trận ánh xạ f sở  7    E    1;1;1;  ,  2;1;1 ,  1;2;1  a/ Tính f  2; 1;3 b/ Tìm sở số chiều ảnh Im f ánh xạ tuyến tính 6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f phép quay quanh trục Oz góc    ngược kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Oz Gọi A ma trận ánh xạ tuyến tính sở E    1;0;1 ,  0;1;1 ,  1;1;1  Chéo hóa (nếu được) ma trận A 7/ Đưa dạng toàn phương Q( x, x)  Q( x1 , x2 , x3 )  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 dạng tắc nêu rõ phép đổi biến (thí sinh dùng biến đổi trực giao biến đổi sơ cấp (biến đổi Lagrange)) -  n: 90 phút Môn học: Đại số tuyến tính Sinh viên khơng sử dụng tài liệu Đề số  1   1 0     1/ Tìm ma trận X cho X  B A  A  X , với A   2 , B     2       1   1    4   2/ Tìm tất giá trị thực m cho det(A) = 2, với A   m    3 5  3/ Trong R3 với tích vơ hướng  T   x, y     x1, x2 , x3  ,  y1, y2 , y3    x1 y1  x1 y2  x1 y3  x2 y1  x2 y2  x2 y3  x3 y1  x3 y2  x3 y3 , cho không gian F   x   x1; x2 ; x3  x1  x2  x3  0 a/ Tìm sở số chiều khơng gian F  b/ Tìm hình chiếu vng góc véctơ v   2; 1;1 lên không gian F 4/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 Giả sử f (1;1; 2)  (2;1; 2), f (2;3; 5)  (1; 2; 3), f (3; 4; 6)  (5; 4; 7) Tìm sở số chiều nhân ánh xạ tuyến tính f  3    5/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết A   4  ma trận ánh xạ f sở  7    E    1;1;1;  ,  2;1;1 ,  1;2;1  a/ Tính f  2; 1;3 b/ Tìm sở số chiều ảnh Im f ánh xạ tuyến tính 6/ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f phép quay quanh trục Oz góc    ngược kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Oz Gọi A ma trận ánh xạ tuyến tính sở E    1;0;1 ,  0;1;1 ,  1;1;1  Chéo hóa (nếu được) ma trận A 7/ Đưa dạng toàn phương Q( x, x)  Q( x1 , x2 , x3 )  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 dạng tắc nêu rõ phép đổi biến (thí sinh dùng biến đổi trực giao biến đổi sơ cấp (biến đổi Lagrange)) -  Đáp án đề số môn Đại số tuyến tính 2017 Đề số Cách chấm điểm: 1/ Có nhiều cách giải tốn, nên Thầy cô cẩn thận, cách cho điểm theo mức độ hoàn thành 2/ Nếu sinh viên dùng cơng thức, khơng nêu cách giải khơng giải thích cơng thức cho điểm tối đa lớp chứng minh cơng thức 3/ Ở tơi trình bày chi tiết nên tốn trang giấy hết buổi sáng để đánh máy!! Các Thầy bỏ bớt in cho riêng để tiện lúc chấm Thang điểm: Câu 1: 1.5đ, câu 2: 1đ; câu 3: đ, câu 4: 1.5đ, câu 5: 1.5đ, câu 6: 1đ, câu 7: 1.5 đ   T T T 1/ PT  XA  B A  A  X  X  A  I   2B A  A  X  2A  B A  A  I  1 (0.5đ + 0.5đ)  20 8  X   42  24 18  2/ det  A   3 2   8 0  5 (0.5đ) 1 4 1  m 3 1 1 1 1 1 1 1  3 m   1 m  m2 2 3 2 det  A   (1)   4m  20   4m  17   m  15 / (1đ) 3/ a/ Tìm sở số chiều không gian F     y1   x, y    x1 x2 x3   1 y2   xMyT  1  y     f   a; b; c   F  a  2b  c   c  a  2b  f   a; b; a  2b   a  1;0;1  b  0;1; 2   E   f1   1;0;1 , f   0;1; 2   tập sinh F (0.5đ)  f1MxT   x  f1   f1 , x   x   x1 , x2 , x3   F  x  F      FMx T  T  f , x    x  f2  f Mx   11  1  4    Trong F    Hệ    X   X   9   2   9   7         Khi x   11 ;9 ;7     11;9;7  Cơ sở F :   11;9;7   , dim F  (0.5đ) b/ Tìm hình chiếu vng góc véctơ v   2; 1;1 lên không gian F E độc lập tuyến tính nên E sở F v  f  g , với f  F , g  F  v  x1 f1  x2 f  g Lấy tích vơ hướng hai vế với f1 , f , có hệ  x  f1 x    f , v   x1  f1 , f1   x2  f1 , f    g , f1    FMvT  FMF T     f , v   x1  f , f1   x2  f , f    g , f  x  f2  x1  x      FMF T  x1    1 x  FMv  prjF (v )  F   F T FMF T  x1  T T   1  13  1  FMv   3  (0.5đ) 12    19  T 4/ Tìm f ( x) x   x1; x2 ; x3   R3 Giả sử      x1       x   x1 ; x2 ; x3    (1;1; 2)   (2;3; 5)    3; 4; 6       x2   2 5 6    x                     2    Khi f  x   1 (0.5đ)   x1   x1      1    x2   E x2    5 6   x3    x3  f  x1; x2 ; x3    f (1;1; 2)   f (2;3; 5)   f  3; 4; 6    x1               1  f  x    (2;1; 2)   (1; 2; 3)   (5; 4; 7)       E  x2   2 3 7    2 3 7   x        3  x1   1   x1      1  f  x   f  E  E  x2    1  x2  (0.5đ)  x   5 1 2   x   3    x   x1 ; x2 ; x3   Kerf  f  x    x    ;  ; 3     1;1; 3  (0.5đ) Cơ sở Kerf:   1;1; 3  ,dim  Kerf   (0.5đ) 5/ a/ Tính f  2; 1;3 Theo định nghĩa, ma trận       A   f  e1   E  f  e2   E  f  e3   E  E 1 f  e1  E 1 f  e2  E 1 f  e3   E 1 f  e1  f  e2  f  e3  1 1 1 Giả sử f  x   Mx  A  E  Me1 Me2 Me2   E ME  M  EAE    11 26 23    117        1  Suy f  2; 1;3  EAE  1   12 30 27 1  135   (0.5đ)    20 18   90         b/ Chọn sở tắc R3 : B    1;0;0  ,  0;1;0  ,  0;0;1  Tìm ảnh sở này: f  B    f  1;0;0  , f  0;1;0  , f  0;0;1     11;12;8  ,  26; 30; 20  ,  23; 27;18  Khi Im f   11;12;8  ,  26; 30; 20  ,  23;27;18   (0.5đ) Cơ sở Imf:   1;2;2  ,  0;3;2   , dim (Imf) = Im f   1;2;2  ,  0;3;2   (0.5đ) 6/ Ma trận ánh xạ tuyến tính sở tắc  cos  M   sin     sin  cos  0   1 0    0    1    1   0 1 1 2   Ma trận f sở E A  E ME   2   2 2 3    1 PTĐT:    1 (0.5đ)    1  Có hai trị riêng: 1  1 , BĐS  1   , 2  , BĐS  2   Tìm sở khơng gian riêng:    1 0       Ứng với 1  1 Xét hệ  A  1I  X   X          1              1  1           Cơ sở không gian riêng thứ nhất:  ,   BHH  1    1 1           1     Ứng với 2  Xét hệ  A  2 I  X   X       1        1      Cơ sở không gian riêng thứ hai:   BHH  2    1    BHH  1   = BĐS  1  , BHH  2   = BĐS  2  Suy A chéo hóa  A  PDP 1  1 0  1 1     D   1  P   1  với (0.5đ)  0 1  1 1       Có nhiều cách giải Ví dụ Qua phép quay véctơ có ảnh phương với véctơ ban đầu véctơ riêng Từ suy ánh xạ f có hai trị riêng 1  1  2   Các vécto riêng f ứng với 1 véctơ thuộc mặt phẳng Oxy, Các vécto riêng f ứng với 2 véctơ thuộc trục Oz  1    7/ Ma trận dạng toàn phương: A   2   1 2    PTĐT:        11  Có hai trị riêng: 1  5, 2  11 (0.5đ) Tìm sở trực chuẩn KGCR      Ứng với 1  Xét hệ  A  1I  X   X        2    1        Chọn véctơ X1    , tìm véctơ X      X1       2  Chọn   1    1    2           1       Suy X   1 Cơ sở trực giao KGCR thứ nhất:  , 1    1   1        1 /   /      Cơ sở trực chuẩn KGCR thứ  ,  1/       /  1/            Ứng với 2  11 Xét hệ  A  2 I  X   X   2        /     Cơ sở trực chuẩn KGCR thứ hai  /      1/     1/ 1/ 1/  5 0    A  PDPT , D    , P   / /       0 11  1/ 1 / 1 /      (0.5đ) Phép đổi biến X  PY Dạng tắc: Q  y1; y2 ; y3   YDY T  y12  y22  11 y32 (0.5đ) Phương pháp Lagrange Thầy tự chấm -  - Đề thi cuối kỳ năm học 2017 - 2018 Thời gian: 90 phút Môn học: Đại số tuyến tính Sinh viên khơng sử dụng tài liệu Đề số  T 1/ Tìm ma trận X thỏa A X  3B   1  1 1      A  X , với A   , B  2   8      2 1   A  2/ Tìm tất giá trị thực m để det(A) = 3, với    2 2 1  5 4 m 5  3 3/ Trong R3 với tích vô hướng  x, y     x1, x2 , x3  ,  y1, y2 , y3    x1 y1  x1 y2  x1 y3  x2 y1  x2 y2  x2 y3  x3 y1  x3 y2  x3 y3 , cho không gian F sinh họ véctơ   1;1;  ,  2;3;5  ,  3; 4;7   véctơ v   2; 1;3 a/ Tìm sở số chiều khơng gian F  b/ Tính khoảng cách từ véctơ v đến không gian F 4/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 biết ma trận f sở E   (1;1;1), (1; 2;1), (2;3;1)  1 2    A   3  Tìm sở số chiều nhân ánh xạ f  5    5/ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết f (1; 2;1)  (1; 2; 3), f (2;3;5)  (2; 3;1), f (3;5;7)  (3;1;5) b/Tìm ma trận A f sở a/ Tính f  1;5;  E   (1; 2;1), (2;5;3), (3;7;3) 6/ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f phép đối xứng qua mặt phẳng x  y  z  Gọi A ma trận ánh xạ tuyến tính sở E    1; 2;1;  ,  2;5;3 ,  3;7;5   Chéo hóa (nếu được) A 7/ Sử dụng phép biến đổi trực giao biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp), đưa dạng toàn phương Q( x, x)  Q( x1 , x2 , x3 )  x12  10 x22  x32  x1x2  x1x3  12 x2 x3 dạng tắc nêu rõ phép đổi biến -  Đáp án đề số môn Đại số tuyến tính 2017 Đề số 6/ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ánh xạ tuyến tính f phép đối xứng qua mặt phẳng x  y  z  Gọi A ma trận ánh xạ tuyến tính sở E    1; 2;1;  ,  2;5;3 ,  3;7;5   Chéo hóa (nếu được) A Cách chấm điểm: 1/ Có nhiều cách giải tốn, nên Thầy cẩn thận, cách cho điểm theo mức độ hoàn thành 2/ Nếu sinh viên dùng công thức, không nêu cách giải khơng giải thích cơng thức cho điểm tối đa lớp chứng minh cơng thức 3/ Ở tơi trình bày chi tiết nên tốn trang giấy hết buổi sáng để đánh máy!! Các Thầy cô bỏ bớt in cho riêng để tiện lúc chấm Thang điểm: Câu 1: 1.5đ, câu 2: 1đ; câu 3: đ, câu 4: 1.5đ, câu 5: 1.5đ, câu 6: 1đ, câu 7: 1.5 đ   T T T 1/ PT A X  3B  A  X  AX  AB  A  X   A  3I  X  A  AB  X   A  3I  (0.5đ + 0.5đ)  137 393 222    X   63 185 120  (0.5đ)  18 42  28   2 1 2 5 1  2/ det  A  m m6 2 det  A   3m  21    m  1  A  AB  1 1 2  m   m   3m  21 5 3 (1đ) 3/ a/ Tìm sở số chiều không gian F     y1   x, y    x1 x2 x3   1 y2   xMyT  1  y     F  f1   1;1;  , f   2;3;5  , f3   3; 4;7   tập sinh F (0.5đ) x   x1 , x2 , x3   F  1  Trong F   3    f1 , x    x  f1    x  F   x  f   f , x    FMxT  x  f    f , x   2  11   21        Hệ   19 26  X   X      27 12 37    7     15      Khi x   21 ;  ;15     21;1;15  Cơ sở F :   21;1;15   , dim F  (0.5đ) b/ Cơ sở F :  f1   1;1;  , f   0;1;1  v  f  g , với f  F , g  F  v  x1 f1  x2 f  g Lấy tích vơ hướng hai vế với f1 , f , có hệ  x  f1 x    f , v   x1  f1 , f1   x2  f1 , f    g , f1    FMvT  FMF T   (0.5đ)   f , v   x1  f , f1   x2  f , f    g , f  x  f2  x1   16 /    x  x1          FMF T FMvT  prjF (v)  F T   F T FMF T FMvT   37 / 35   x1   x1   15 /        T  6 /  128 70   T  Khoảng cách: d  v; F   v  prjF v   / 35   u  u Mu  (0.5đ) 35 35  6/7    4/ Theo định nghĩa, ma trận       A   f  e1   E  f  e2   E  f  e3   E  E 1 f  e1  E 1 f  e2  E 1 f  e3   E 1 f  e1  f  e2  f  e3  Giả sử f  x   Mx  A  E 1  Me1 Me2 Me2   E 1 ME  M  EAE 1  30 36    47 56   (0.5đ)  20 24    x   x1; x2 ; x3   Kerf  f  x    x   4 ; 4 ;3     4; 4;3  (0.5đ) Cơ sở Kerf:   4; 4;3  , dim  Kerf   (0.5đ) 5/ a/ Tính f  1;5;2  0   x1   x1       Theo trình bày đáp án đề 1, ta có f  x   f  E  E  x2    26 13  x2  (0.5đ)  x   38 14   x   3    1  0           f  1;5;2    26 13  5  43 (0.5đ)  38 14 2  46       b/ Theo trình bày đáp án đề 1, ta có 1 0    3 30 34  1 3         1 1 A  E  Me1 Me2 Me2   E ME    26 13 2  4 13 (0.5đ)  3  38 14 1 3  4 11         6/ Chọn sở B   b1   1;0;1 , b2   0;1;  , b3   1; 2; 1  gồm cặp véctơ phương mặt phẳng véctơ pháp tuyến mặt phẳng Khi f  b1   b1 , f  b2   b2 , f  b3   b3  x1   / 2 / 1/   x1      Suy f  x   f  B  B  x2    2 / 1/ /  x2   x   1/   / / 3   x3   3  Ma trận ánh xạ tuyến tính sở tắc  3 9 12    1 Ma trận f sở E A  E ME   8 / 5 8   8/3    1  PTĐT:    1 (0.5đ)    1  Có hai trị riêng: 1  , BĐS  1   , 2  1, BĐS  2   Tìm sở khơng gian riêng:    3 0         Ứng với 1  Xét hệ  A  1I  X   X          1      4    / 12     3             Cơ sở không gian riêng thứ nhất:  ,   BHH  1    1 3        3 /   3     Ứng với 2  1 Xét hệ  A  2 I  X   X                 2       Cơ sở không gian riêng thứ hai:   BHH  2    2     BHH  1   = BĐS  1  , BHH  2   = BĐS  2  Suy A chéo hóa  A  PDP 1 1 0  3 3     D    P    với (0.5đ)  0 1   1 3 2      Có nhiều cách giải Ví dụ Qua phép đối xứng véctơ có ảnh phương với véctơ ban đầu véctơ riêng Từ suy ánh xạ f có hai trị riêng 1  1  2    2    7/ Ma trận dạng toàn phương: A   10 6   2 6    PTĐT:    1    15  Có hai trị riêng: 1  1, 2  15 Tìm sở trực chuẩn KGCR (0.5đ)  3  2     Ứng với 1  Xét hệ  A  1I  X   X          3   3  2       X  9       Chọn véctơ X1   , tìm véctơ X   Chọn       0         3     1       Suy X    Cơ sở trực giao KGCR thứ nhất:  , 3    5   5         3 / 10   1/ 35        / 10 , / 35     Cơ sở trực chuẩn KGCR thứ        5 / 35              Ứng với 2  15 Xét hệ  A  2 I  X   X   3   2     / 14     Cơ sở trực chuẩn KGCR thứ hai  / 14      2 / 14    3 / 10 1/ 35 / 14  1 0    A  PDPT , D    , P  1/ 100 / 35 / 14   (0.5đ)     0 15   / 35 2 / 14      T Phép đổi biến X  PY Dạng tắc: Q  y1; y2 ; y3   YDY  y12  y22  15 y32 (0.5đ) Phương pháp Lagrange Thầy tự chấm -  - ... ? ?18  2/ det  A   3 2   8 0  5 (0.5đ) ? ?1 4 ? ?1  m 3 1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1  3 m   ? ?1 m  m2 2 3 2 det  A   (? ?1)   4m  20   4m  17   m  ? ?15 / (1? ?) 3/ a/ Tìm sở số. .. - Đề thi cuối kỳ năm học 2 017 - 2 018 Thời gian: 90 phút Mơn học: Đại số tuyến tính Sinh viên không sử dụng tài liệu Đề số  T 1/ Tìm ma trận X thỏa A X  3B   1? ??  1 ? ?1? ??     ... phương Q( x, x)  Q( x1 , x2 , x3 )  x12  10 x22  x32  x1x2  x1x3  12 x2 x3 dạng tắc nêu rõ phép đổi biến -  Đáp án đề số mơn Đại số tuyến tính 2 017 Đề số 6/ Trong không