Đang tải... (xem toàn văn)
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. TailieuVNU.com.1[r]
(1)Đề thi Kết thúc môn học, Học kỳ năm học 2020-2021 Mơn: Đại số tuyến tính
Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội (Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (2 điểm) Cho hệ phương trình với tham sốm:
(m−1)x+3y+3z =3 6x+6y+12z =13 12x+9y−z =2
(a) Giải hệ phương trình vớim=3
(b) Biện luận số nghiệm hệ phương trình theo tham sốm Bài 2. (2 điểm) Cho ma trận hàngv= −1 a
,trong đóalà tham số
(a) Tìm kích cỡ (hay cấp) ma trận vvT vTv (trong vT ma trận chuyển vị củav) TínhvTv
(b) Tính định thức ma trận vTv−I,trong I ma trận đơn vị cấp Tìm điều kiện củaađểvTv−I khả nghịch
(c) Tìm ma trận nghịch đảo củavTv−I trường hợpa=0
Bài 3 (2 điểm) Cho ánh xạ tuyến tínhT :R3 →R2được xác định sau:
T(x,y,z) = (2x−y+z,−x+2y+4z)
(a) Tìm ma trận chuẩn tắc củaT(tức ma trận củaTđối với cặp sở chuẩn tắc (hay tắc) củaR3vàR2)
(b) Tìm sở khơng gian hạch (hạt nhân)ker(T)củaT (c) Tìm số chiều không gian ảnhim(T)(range(T))
(d) Tập{(x,y,z) ∈ R3 | T(x,y,z) = (1,−1)}có phải khơng gian của
R3không? Tại sao?
Bài 4 (2 điểm) Xét khơng gianR3với tích vơ hướng thơng thường (tích chấm)h·,·i.Cho hệ vectơ
{v1 := (a, 1, 0), v2 := (2, 2a, 2), v3 := (1, 2, 3a)},
với alà tham số
(a) Với giá trị củaathì
hv1,v2i.hv1,v3i =hv2,v3i
(b) Với giá trị anguyên tìm câu (a) (nếu có), dùng phương pháp Gram-Schmidt để đưa tập vectơ tập trực chuẩn
Bài 5. (2 điểm) Cho
A=
2 0 −1 −1
(a) Tìm tất giá trị riêng không gian riêng tương ứng A
(b) Tìm ma trận trực giao Pvà ma trận đường chéoD(nếu có) cho PTAP= D
Không sử dụng tài liệu, máy tính bảng, điện thoại thơng minh Cán coi thi khơng giải thích gì thêm.
1
(2)Đáp án: Đề số 2
Bài 1. (a) Vớim=3, hệ phương trình cho tương đương với
2x+3y+3z=3 6x+6y+12z=13
12x+9y−z=2
Ta có: A =
2 3 6 12 13 12 −1
→R2−3R1→R2,R3−6R1→R3
2 3
0 −3 −9 −19 −16
→R3−3R2→R3
2 3
0 −3 0 −28 −28
Do vậy, hệ có nghiệm là:x = 12,y = −31,z=1 (b) Ta có:
(1) A=
m−1 3 6 12 13 12 −1
R3−2R2→R3
−→
m−1 3
6 12 13
0 −3 −25 −24
R1↔R2;16R2→R2;−R3→R3
−→
1 136
m−1 3 3 25 24
R2−(m−1)R1→R2
−→
1 136
0 4−m 5−2m 31−613m
0 25 24
R2↔R3;13R2→R2
−→
1 136
0 253
0 4−m 5−2m 31−613m
R3+(m−4)R2→R3
−→
1 136 253 0 19m−3 85 35m−6161
Vớim= 8519 hệ vô nghiệm
Vớim6= 8519 hệ có nghiệm
Bài 2. (a) (0.5 điểm) Kích cỡ ma trậnvvT vàvTvlần lượt là1×1và3×3
Ma trậnvvT = (2+a2)
vTv=
1 −1 a −1 −a
t −a a2
(b) (1 điểm) Định thức củavTv−I là1+a2.[0.5 điểm]
Vìa2+1 > 0với tnên ma trận vTv−I khả nghịch với a (0.5 điểm)
(c) (0.5 điểm) Thaya =0vàovTv−Ita ma trận:
0 −1
−1 0 0 −1
(3)Ma trận nghịch đảo cần tìm là:
0 −1
−1 0 0 −1
Bài 3. (a) (0,5 điểm) Ma trận chuẩn tắc Tlà
2 −1
−1
(b) (0,5 điểm) Hạt nhân không gian nghiệm hệ:
2x−y+z=0
−x+2y+4z=0⇔
2x−y+z =0 3y+9z =0
Có nghiệm(x,y,z) = (−2t,−3t,t) với t ∈ R. Vậy hạt nhân có cở sở {(−2,−3, 1)}
(c) (0,5 điểm) Theo Định lý số chiều, chiều không gian ảnh bằngdimT(R3) =
3−dimkerT=2
(d) (0,5 điểm) TậpT−1(1,−1)không phải không gian khơng chứa vec-tơ
(0, 0, 0)
Bài 4. (a) Ta có:
◦ hv1,v2i =4a;
◦ hv1,v3i =a+2;
◦ hv2,v3i =2+10a
Vậy ()⇐⇒ 4a(a+2) =2+10a⇐⇒ 2a2−a−1 =0⇐⇒ a∈ {1;−1/2}
(b) Vớia = 1, ta có hệ{v1 = (1, 1, 0),v2 = (2, 2, 2),v3 = (1, 2, 3)} Ta trực chuẩn
hóa hệ theo phương pháp Gram-Schmidt: w1:=v1 := (1, 1, 0);
w2:=v2−
hv2,w1i
hw1,w1i
w1 = (2, 2, 2)−
4
2(1, 1, 0) = (0, 0, 2);
w3:=v3−
hv3,w1i
hw1,w1i
w1−
hv3,w2i
hw2,w2i
w2 = (1, 2, 3)−
3
2(1, 1, 0)−
4(0, 0, 2) =
−1
2, 2,
Vậy{u1,u2,u3}là hệ trực chuẩn củaR3với
u1=
w1
kw1k =
1
√
2,
√
2,
;
u2= w2
kw2k
= (0, 0, 1);
u1= w1
kw1k =
−√1
2,
√
2,
Bài 5. (a) Với
A=
2 0 −1 −1
(4)đa thức đặc trưng củaAlà
det(λI3−A) =
λ−2 0
0 λ−1
0 λ−1
= (λ−2)
λ−1
1 λ−1
=λ(λ−2)2
Suy đa thức đặc trưng củaAcó hai giá trị riêng0(bội 1) và2(bội 2) Vớiλ1=0,
λ1I3−A=
−2 0 −1 1 −1
Hệ
−2 0 −1 1 −1
x y z
=0
có nghiệm (x,y,z) = (0,t,t), t ∈ R Vậy không gian riêng tương ứng với λ1 =0làspan{
1 } Vớiλ2=2,
λI3−A=
0 0 1 1
Hệ
0 0 1 1
x y z
=0
có nghiệm(x,y,z) = (x,z,−z), x,z ∈ R Do khơng gian riêng tương ứng vớiλ2=2làspan{
0 , −1 }
(b) -Vớiλ1 =0ta lấy vector riêng đơn vị p1 =
√ √
-Vớiλ2 = ta có vector riêng
0 và −1
Hai vector trực giao
với nhau, sau trực chuẩn hóa, ta p2=
0
vàp3 = √ −1 √ ChọnPlà ma trận với cột p1,p2,p3, tức
P=
0
1/√2 1/√2 1/√2 −1/√2
Ta cóPlà ma trận trực giao
PTAP=
0 0 0
= D