ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Cho ma trận A = +2 i −i +2 i +2 i −1 −2 Caâu : Cho hai ma traän A = −1 vaø B = −3 T Tìm ma trận X thỏa I + AX = B Câu : Giải hệ phương trình x1 x1 x1 x1 √ z Đặt z =det( A) Tính + x2 + x2 + x2 + x2 − x3 − x3 − x3 − x3 −2 − x4 − x4 − x4 − x4 = = = = 0 0 Caâu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 Tìm độ dài vécto u = ( , , −1 ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( , , ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 ) Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Caâu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 − x1 x2 + x22 dạng tắc biến đổi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1 , X2 , X3 ∈ IR3 vécto cột, độc lập tuyến tính Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X3 , A · X3 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A3 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA √ √ +6 i + i) z + = iz + ( + i) ( − i) Tính 10 z +i 1 −2 Caâu : Cho hai ma traän A = vaø B = 1 Tìm ma trận X thỏa B + AX = I, I ma trận đơn vò cấp Câu : Cho z thỏa phương trình ( Câu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + x3 y3 Tìm khoảng cách hai vécto u = ( , , −1 ) vaø v = ( , , ) Câu : Tìm x1 x x x1 sở + + + + số x2 x2 x2 x2 chiều không gian − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = − x3 − x4 = nghiệm hệ 0 0 Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế t ma trận củ a f sở −1 E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = Tìm ma trận f sơ E1 = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân f sinh hai vécto ( , , ) , ( , , ) vaø f ( , , ) = ( −1 , −1 , ) Tìm tất trò riêng vécto riêng ánh xạ f Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 veà dạng tắc biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp) Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1 , X2 ∈ IR2 hai vécto cột, độc lập tuyến tính Bieát A · X1 = X2 , A · X2 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A100 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu lại điểm Nếu cách làm mà đáp án sai, cho điểm tùy theo mức độ √ Câu det ( A) = −5 + i = ( c o s ( π/4 + i s in π/4 ) √ √ π/4 + k2 π π/4 + k2 π z = zk = 10 c o s + i s in , k = , , , 5 −1 −2 −4 1 −1 −5 Caâu X = A−1 B T − I , A−1 = Suy X = −1 −3 1 −4 Câu Đưa bậc thang, giải nghiệm tổng quát X = ( α + β, −α − β, α, β) √ √ Caâu Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = + + + + = Câu Có nhiều cách làm Tìm f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( −1 , −5 , −8 ) , f ( , , ) = −1 −1 −5 −8 ( −1 , −8 , −5 ) , suy ma trận f tắc A = 1 −8 −5 Ứng với trò riêng λ1 = , giải hệ ( A − I) X = , ta có nghiệm X = ( α, α − β, β) T Suy tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = X = ( α, α − β, β) Caâu f ( , , ) = ( , , ) , suy [f ( , , ) ]E = ( −1 , , −4 ) T ; f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) T −1 1 T f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) Ma trận cần tìm: A = −4 −2 Câu Ma trận dạng toàn phương: A = Chéo hóa trực giao A = P DP T , −2 √ √ 5 D = , P = −2 √ √ 5 Dạng tắc cần tìm: f ( y1 , y2 ) = y12 + y22 Phép đổi biến X = P Y Câu Ta có A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 Suy X1 laø vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Tương tự vécto X2 , X3 vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học λ1 Suy A3 có trò riêng A3 = I ðáp án ðề ñại số tuyến tính 2011 – Ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm, câu lại điểm Nếu cách làm đúng, đáp án sai, cho ñiểm tùy theo mức ñộ − 3i π π = cos − + i sin − −i 12 12 π π − + k 2π − + k 2π 12 ⇒ 10 z = 10 cos 12 + i sin ,k 10 10 −3 −6 3 − Câu 2: AX = I − 3B = −9 −3 ⇒ X = A ( I − 3B ) = −1 −3 −12 −5 −1 Câu 1: z = = 0,1, , −1 −1 −3 −6 33 −10 −9 −3 = −16 −3 −12 −5 −10 −9 Câu 3: v − u = (1, −1, ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 1 Câu 4: Viết dạng ma trận: 7 5 −1 −2 1 −1 −2 x1 = − x4 −3 −5 0 −1 −1 −1 x2 = x4 → ⇒ −8 −13 0 x3 = −2 x4 −7 −12 0 0 0 x4 ∈ R Câu 5: Gọi P ma trận chuyển sở từ E sang E1 Tìm P ta giải hệ: 1 1 1 1 2 1 1 1 suy P = −1 suy ma trận f sở E1 là: 1 1 1 −1 0 2 B = P −1 AP = −6 Câu 6: Ta có: f −3 −1 −2 11 (1,1, ) = 0, f (1, 2,1) = suy (1,1,2)T (1,2,1)T VTR ứng với TR λ = f (1,1, ) = − (1,1, ) nên (1,1,0)T VTR ứng với TR λ = −1 T T T Vì vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng nên: E = (1,1, )T , (1, 2,1)T λ =0 T Eλ =−1 = (1,1, ) (khơng trị riêng khác nữa) Câu 7: x 32 15 f = x1 − + x3 + x2 + x3 − x3 2 15 15 19 x1 = y1 + y − 15 y 15 32 Phép biến ñổi: x = y − y Dạng tắc: f = y12 + y22 − y3 2 15 15 x3 = y x2 y1 = x1 − + x3 y2 = x2 + x3 Hoặc phép biến ñổi 15 y = x3 Câu 8: ta có: A2 X = X 1, A2 X = X nên X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 A2, X1,X2 vecto riêng ứng với TR λ=1 ma trận A100 Vì X1,X2 đltt nên A100 khơng TR khác Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X , X ...ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA √ √ +6... X1 , X2 ∈ IR2 hai vécto cột, độc lập tuyến tính Biết A · X1 = X2 , A · X2 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A100 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca Thang điểm:... X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học λ1 Suy A3 có trò riêng A3 = I ðáp án ðề đại số tuyến tính 2011 – Ca Thang ñiểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 ñiểm, câu lại điểm Nếu cách làm đúng, ñáp án sai, cho