ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY Giải tích 1

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = √ x − x2 +∞ Câu 2: Tìm số thực m > để tích phân sau hội tụ I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng I = ln √ + x2 dx xm (1 + xm+1 ) dx (1 − e2x )ex Câu 4: Tính thể tích vật thể tạo cho miền D giới hạn √ y = − x, x = y, y = quay quanh trục Oy Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan y =x x thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Giải phương trình vi phân y − 3y + 2y = 2xe2x Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA 1) y= √ TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2) TCĐ: x = 0, x = ±2 x − x2 √ √ 4x2 − Cực đại (− 2, −1), cực tiểu ( 2, 1) y = x2 (4 − x2 )3 √ √ −2 −2 +2 x BBT: f (x) f (x) + −∞ − −1 || −∞ || +∞ ) Tìm m > để HT: I = − +∞ + Vẽ ĐT +∞ √ + x2 dx = xm (1 + xm+1 ) + +∞ = I1 + I2 Hàm f (x) > 0, ∀x > Suy I1 hội tụ m < xm 1 x → +∞ : f ∼ 2m Suy I2 hội tụ m > x Vậy I hội tụ < m < dx dt +∞ +∞ ) Tính I = ln x Đặt t = ex ⇒ I = 2x e (1 − e ) (1 − t2 )t2 +∞ 1 t+1 1 +∞ I= + dt = ln − I = − ln 1−t t t−1 t 2 √ ) Tính Vy , D : y = − x, y = x, y = 38π √ Cách 1: Vy = 2π x.xdx + 2π x − xdx(1đ) = 15 38π 2 Cách 2: Vy = π −1 [(2 − y ) − y ]dy(1đ) = 15 y ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy − y) arctan = x thỏa điều kiện y(1) = x y y y = y + x Đặt u = x arctan x dx arctan udu = =⇒ u arctan u − ln(1 + u2 ) = ln |x| + C x y y y2 Thay điều kiện: C = Vậy nghiệm arctan + ln(1 + ) = ln |x| x x x x → 0+ : f ∼ ) Giải y − 3y + 2y = 2xe2x Nghiệm y0 = C1 ex + C2 e2x yr = x(Ax + B)e2x =⇒ A = 1, B = −2 Vậy y = C1 ex + C2 e2x + (x2 − 2x)e2x ) Giải hệ phương trình vi phân x (t) = x(t) − y(t) + et , y (t) = x(t) + 3y(t) − Cách 1: Khử x y − 4y + 4y = et + =⇒ y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et + Suy x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2014-2015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/01/2015 Thời gian: 90 phút Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn Tốn - Ứng dụng CA Hình thức thi: TỰ LUẬN x2 − 2x + Câu 1: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x2 − Câu 2: Tìm tất giá trị m > để tích phân I = +∞ Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I = Câu 4: Cho miền phẳng D : y ≥ 0, y ≤ x3 + x dx hội tụ x2 + arctan xm √ x3 x dx +1 √ 3x, x2 + y ≤ Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh trục Ox Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy − y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = Câu 6: Tìm nghiệm phương trình y + 2y + y = cos x Câu 7: Giải hệ phương trình : x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Đề gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu Chủ nhiệm mơn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy Đáp án CA x2 − 2x + TXD: x = ±2 TCĐ: x = ±2, TCN: y = x2 − x2 − 5x + y =2 Cực đại (1, 0), cực tiểu (4, 43 ) (x − 4)2 ) x −∞ −2 1) y= BBT: f (x) + || +∞ f (x) || − + −∞ || −∞ || − +∞ +∞ + Vẽ ĐT x3 + x dx m x + arctan x Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta so sánh x → 0+ Lưu ý: Khơng nhận xét f dương trừ 0.25đ x3 α > : f ∼ = Suy Tp PK x x3 x3 α = : f ∼ Suy Tp PK 2x2 x3 α < : f ∼ α = α Suy HT α − < ↔ α < x 3 x −3 Vậy I hội tụ < α < √ +∞ +∞ +∞ 2t2 dt √ x π 3 ) Tính I = x ⇒ I = = dx Đặt t = = arctan t 3 x +1 t +1 √ ) Tính Vx , D : y ≥ 0, y ≤ 3x, x2 + y2 ≤ √ 8π 2 √ Vx = π x dx + − x2 dx = ) Tìm m > để HT: I = ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy − y(2y ln x − 1) = thỏa điều kiện y(1) = ln x y + y=2 y Đặt z = y −1 x x ln x ln x + Ta pt z − z = −2 =⇒ z = x +C x x x Thay điều kiện: C = −1 Vậy nghiệm y = (ln x + 1) − x ) Giải y + 2y + y = cos x Nghiệm ytn = C1 e−x + C2 xe−x yr = A cos x + B sin x =⇒ A = 0, B = Vậy y = C1 e−x + C2 xe−x + sin x x (t) = 7x(t) + 3y(t) − 2, y (t) = 3x(t) − y(t) + 8t Cách 1: Khử x, ta pt y − 6y + 16y = −56t + 23 11 =⇒ y(t) = C1 e−2t + C2 e8t + t − Suy x = −C1 e−2t + C2 e8t − t + 16 Cách 2: Khử y, ta pt x − 6x + 16x = 24t − Cách 3: Dùng TR - VTR ) Giải hệ phương trình vi phân P = −1 3 ,D = −2 0 , P −1 = P 10 X Y = P −1 x y → X Y −2t = C1 e + 65 t − 12 8t 1 C2 e80 − 10 t + 16 → x y =P X Y ... y(t) = C1 e2t + C2 te2t + et + Suy x = −C1 e2t + C2 (2t − 2)e2t − 2et + Cách 2: Khử y : x − 4x + 4x = −2et + ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY HKI -2 014 -2 015 Mơn Thi: Giải tích Ngày thi: 31/ 01/ 2 015 Thời... +∞ 1 t +1 1 +∞ I= + dt = ln − I = − ln 1 t t t 1 t 2 √ ) Tính Vy , D : y = − x, y = x, y = 38π √ Cách 1: Vy = 2π x.xdx + 2π x − xdx (1 ) = 15 38π 2 Cách 2: Vy = π 1 [(2 − y ) − y ]dy (1 ) = 15 ... 16 Cách 2: Khử y, ta pt x − 6x + 16 x = 24t − Cách 3: Dùng TR - VTR ) Giải hệ phương trình vi phân P = 1 3 ,D = −2 0 , P 1 = P 10 X Y = P 1 x y → X Y −2t = C1 e + 65 t − 12 8t 1 C2 e80 − 10