Đề thi và lời giải đại số tuyến tính các năm

LỜI MỞ ĐẦU Bồ đề kèm lời giải thực nhu cầu muốn bạn sinh viên có nguồn tham khảo cách tư việc giải câu đề thi năm môn đại số tuyến tính Các đề thu thập từ đề thi năm khoa Toán – Tin học, trường Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh Trong lúc thực có sai sót cách suy luận xuất lỗi đánh máy, xin bạn đọc bỏ qua cho Mọi góp ý đề thi lời giải xin gửi email dpthienphu@gmail.com Chúc bạn có lợi ích xem xét phần đề kèm lời giải Chúng hi vọng nhận phản hồi tích cực từ bạn Để ủng hộ cho công việc sản xuất sản phẩm học tập tương lai, bạn ủng hộ cho chúng tơi thơng qua hình thức sau: 1) Ngân hàng: - Ngân hàng Tiên Phong (TP Bank) - Số tài khoản: 0347 1177 301 - Tên: DONG PHUC THIEN PHU 2) Ví điện tử Momo: 0903.052.809 Trân trọng! MỤC LỤC PHẦN I: ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ???? – ???? ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2009 – 2010 ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2019 – 2020 PHẦN II: ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2009 – 2010 10 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2011 – 2012 11 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2012 – 2013 12 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2013 – 2014 13 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2014 – 2015 14 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2015 – 2016 15 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 16 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 17 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 18 ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2019 – 2020 19 PHẦN III: LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ???? – ???? 20 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2009 – 2010 25 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 27 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 31 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 35 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2019 – 2020 39 PHẦN IV: LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2008 – 2009 46 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2011 – 2012 50 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2012 – 2013 53 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2013 – 2014 57 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2014 – 2015 62 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2015 – 2016 66 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 72 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 76 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 82 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2019 – 2020 88 Đề thi kỳ đại số tuyến tính ???? – ???? Câu 1: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 3𝑥 + 𝑥3 + 6𝑥4 = −2 { 5𝑥1 + 7𝑥2 + 9𝑥3 + 8𝑥4 = − 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = Câu 2: Giả sử 𝐴 ma trận khả nghịch Chứng minh điều sau: a) 𝐴2 ≠ b) 𝐴𝑘 ≠ với 𝑘 > Câu 3: Tính định thức sau: a) 𝑚 𝐴 = [𝑚 − 3] 𝑚+1 b) −1 0 −1 −1 ] 𝐵=[ −1 −1 0 −1 Câu 4: Cho 𝐴 = [4 ] 0 a) Tìm ma trận phụ hợp adj(𝐴) 𝐴 b) Từ đó, tính 𝐴−1 Đề thi kỳ đại số tuyến tính 2009 – 2010 −1 −4 ] 𝐶 = [ ] Tồn hay không ma trận 𝐴 Câu 1: Cho ma trận 𝐵 = [ −2 −1 −6 cho 𝐴𝐵 = 𝐶? Nếu có tìm tất ma trận 𝐴 Câu 2: Cho ma trận 𝑎 2] 𝐴=[ −2 −1 𝑎 ∈ ℝ tham số a) Tính định thức 𝐴 b) Tìm giá trị tham số 𝑎 để ma trận 𝐴 khả nghịch? [ Câu 3: Cho 𝐴 = 3] 𝐵 = 𝐴 − 𝐼3 0 a) Hãy tính 𝐵𝑛 , với 𝑛 số nguyên ≥ b) Áp dụng phần a) để tính 𝐴𝑛 , 𝑛 ≥ Đề thi kỳ đại số tuyến tính 2016 – 2017 1 2 −1 ] Câu 1: Cho ma trận 𝐴 = [ −1 a) Xác định dạng bậc thang tìm hạng ma trận 𝐴 b) Giải hệ phương trình tuyến tính 𝐴𝑋 = Câu 2: Tìm nghịch đảo ma trận 𝐴 = [3 2] Câu 3: Giải biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑚𝑥3 = 𝑥3 = 𝑚 {𝑥1 + 𝑚𝑥2 + ( ) 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑚 − 𝑥3 = − 2 Câu 4: Cho ma trận 𝐴 = [3 2] Tìm ma trận 𝐵 ≠ cho 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = Đề thi kỳ đại số tuyến tính 2017 – 2018 −2 1 −1 Câu 1: Cho ma trận 𝐴 = [2 3] ; 𝐵 = [ −1 ] 2 −1 1 −1 a) Tìm ma trận nghịch đảo 𝐴 𝐴 b) Tìm ma trận 𝑋 cho 𝑋𝐴 = 𝐴𝐵 1 −1 −1 ] Câu 2: Cho ma trận 𝐴 = [ −7 −4 a) Xác định dạng bậc thang tìm hạng ma trận 𝐴 b) Giải hệ phương trình 𝐴𝑋 = Câu 3: Giải biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau: 𝑥1 + 𝑥2 + (1 − 𝑚)𝑥3 = 2𝑥3 = 𝑚 + {𝑥1 − 𝑚𝑥2 + 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = Câu 4: Cho 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ), thỏa mãn 𝐴𝐵 = 2𝐴 − 3𝐵 Chứng minh 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 Đề thi kỳ đại số tuyến tính 2018 – 2019 𝑚 −2 Câu 1: Cho ma trận 𝐴 = [ 𝑚 3] 2 a) Tính định thức ma trận 𝐴 Suy giá trị 𝑚 để 𝐴 khả nghịch b) Tìm ma trận nghịch đảo 𝐴 trường hợp 𝑚 = 1 Câu 2: Cho ma trận 𝐴 = [1 4] −1 −3 a) Xác định dạng bậc thang tìm hạng ma trận 𝐴 b) Giải hệ phương trình 𝐴𝑋 = Câu 3: Giải biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau: 2𝑚𝑥1 + (𝑚 − 3)𝑥2 = { (3𝑚 + 1)𝑥1 + (𝑚 − 5)𝑥2 = 𝑚 + Câu 4: Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) thỏa mãn 𝐴2 = 3𝐴 Chứng minh 𝐴 + 𝐼𝑛 ma trận khả nghịch Ta có 𝑥1 + 𝑦1 = 2𝑥1 + 𝑧1 ; 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥2 + 𝑧2 Vậy ta kiểm tra 𝛼𝑢 + 𝑣 = (𝛼𝑥1 + 𝑥2 ; 𝛼𝑦1 + 𝑦2 ; 𝛼𝑧1 + 𝑧2 ) Ta chứng minh 𝛼𝑥1 + 𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝑦2 = 2(𝛼𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝛼𝑧1 + 𝑧2 Ta có VT = 𝛼𝑥1 + 𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝑦2 = 𝛼(𝑥1 + 𝑦1 ) + (𝑥2 + 𝑦2 ) = 𝛼(2𝑥1 + 𝑧1 ) + 2𝑥2 + 𝑧2 = 2(𝛼𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝛼𝑧1 + 𝑧2 = VP (đpcm) Vậy 𝑊 không gian ℝ3 Gọi 𝑢; 𝑣 ∈ 𝑊 ′ , với 𝑢 = (𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 ); 𝑣 = (𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ) Ta chứng minh 𝛼𝑢 + 𝑣 ∉ 𝑊 hay 𝛼𝑢 + 𝑣 khơng thỏa 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 Ta có 𝑥1 𝑦1 = 2𝑥1 𝑧1 ; 𝑥2 𝑦2 = 2𝑥2 𝑧2 Vậy ta kiểm tra 𝛼𝑢 + 𝑣 = (𝛼𝑥1 + 𝑥2 ; 𝛼𝑦1 + 𝑦2 ; 𝛼𝑧1 + 𝑧2 ) Ta chứng minh (𝛼𝑥1 + 𝑥2 )(𝛼𝑦1 + 𝑦2 ) ≠ 2(𝛼𝑥1 + 𝑥2 )( 𝛼𝑧1 + 𝑧2 ) Ta có VT = (𝛼𝑥1 + 𝑥2 )(𝛼𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝛼 𝑥1 𝑦1 + 𝛼𝑥2 𝑦1 + 𝛼𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2 = 2𝛼 𝑥1 𝑧1 + 𝛼𝑥2 𝑦1 + 𝛼𝑥1 𝑦2 + 2𝑥2 𝑧2 Ta có VP = 2(𝛼𝑥1 + 𝑥2 )( 𝛼𝑧1 + 𝑧2 ) = 2𝛼 𝑥1 𝑧1 + 2𝛼𝑥2 𝑧1 + 2𝛼𝑥1 𝑧2 + 2𝑥2 𝑧2 ≠ VT Vậy 𝑊 ′ không không gian ℝ3 77 Câu 3: Trong ℝ3 , cho 𝑢1 = (1; 1; 2); 𝑢2 = (2; 1; 1); 𝑢3 = (1; 3; 7) ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } a) Chứng minh ℬ sở ℝ3 tìm tọa độ vector 𝑢 = (5; 4; 6) theo sở ℬ b) Tìm 𝑚 để 𝑣 = (1; 3; 𝑚) tổ hợp tuyến tính 𝑢1 ; 𝑢2 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, xác định dạng biểu diễn tuyến tính 𝑣 theo 𝑢1 𝑢2 c) Xác định sở ℬ ′ = {𝑢1′ ; 𝑢2′ ; 𝑢3′ } ℝ3 cho ma trận chuyển sở từ ℬ ′ sang ℬ −1 ( ℬ ′ → ℬ ) = [0 0] −1 Hướng dẫn: a) Cho 1 𝐵 = [2 1 ] ⇒ det 𝐵 = ≠ Vậy ℬ sở ℝ3 Cách 1: [1 2 1 −𝑑1 𝑑𝑑2 ≔𝑑 ≔𝑑3 −2𝑑1 | ] [ → 34 76 𝑑2 ≔−𝑑2 𝑑3 ≔−𝑑3 [0 → +2𝑑2 𝑑𝑑1 ≔𝑑 ≔𝑑3 −3𝑑2 | ] [ → −1 −1 −1 −3 −4 0 𝑑1 ≔𝑑1 −5𝑑3 𝑑 ≔𝑑 +2𝑑 2 [0 1 −2|1] → 0 1 |−1] −1 −1 −2 0| ] 1 Nên −2 [𝑢 ]ℬ = [ ] Cách 2: 1 −1 [ 𝑢 ] 𝐵 = 𝐵 ⊤ 𝑢 ⊤ = [2 1 ⊤ 1] −1 [5 ]⊤ = [1 2 1 −1 −4 ] [ ] [ = −1 −1 −13 b) Ta tính hệ phương trình theo Gauss [1 2 −𝑑1 𝑑𝑑2 ≔𝑑 ≔𝑑3 −2𝑑1 | ] [ → 1𝑚 2 𝑑3 ≔𝑑3 −3𝑑2 | ] [ | → −1 −1 ] −3 𝑚 − 0 𝑚−8 Vậy 𝑣 tổ hợp tuyến tính 𝑢1 ; 𝑢2 𝑚−8=0 ⇒𝑚 =8 Với 𝑚 = ta có [0 78 𝑑1 ≔𝑑1 +2𝑑2 𝑑2 ≔−𝑑2 [0 −1|2] → [0 −1|2] → 0 0 0 1|−2] 0 5 −2 ] [ ] [ = −2 3] −1 Vậy 𝑣 = 5𝑢1 − 2𝑢2 = 5(1; 1; 2) − 2(2; 1; 1) c) Với ( ℬ ′ → ℬ ) = [0 −1 1 0] −1 Ta có (ℬ ′ → ℬ ) = (ℬ ′ → ℬ0 )(𝐵0 → ℬ ) = (ℬ0 → ℬ ′ )−1 (𝐵0 → ℬ ) −1 −1 ⇒ (𝐵0 → ℬ ′ ) = (𝐵0 → ℬ )(ℬ ′ → ℬ )−1 = [1 3] [0 0] −1 1 1 1 = [1 ] [ ] = [4 ] 1 10 Vậy ℬ ′ = {𝑢1′ ; 𝑢2′ ; 𝑢3′ } = {(2; 4; 9); (4; 5; 10); (1; 1; 2)} Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ4 ; ℝ3 ) xác định bởi: 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑡; 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2𝑡; 𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡) a) Tìm sở không gian Im 𝑓 sở không gian Ker 𝑓 b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp sở ℬ0 , ℬ; ℬ0 sở tắc ℝ4 ℬ = {(1; 0; −1); (0; 1; 0); (0; −1; 1)} sở ℝ3 Hướng dẫn: a) Với 𝐴 = [1 1 −1 −1 −3 −1 2] −4 Cơ sở Im 𝑓 sở dòng 𝐴⊤ 𝑑2 ≔− 𝑑2 𝑑3 ≔ 𝑑3 𝑑4 ≔ 𝑑4 𝑑2 ≔𝑑2 −𝑑1 1 1 𝑑3 ≔𝑑3 +𝑑1 1 −1 𝑑4 ≔𝑑4 +𝑑1 −2 ]→ [ ]→ 𝐴⊤ = [ −1 −3 −2 −3 −1 −4 [ 0 1 1 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑2 −1 𝑑4 ≔𝑑4 −𝑑2 ]→ [ −1 −1 1 −1 ] 0 0 Vậy dim Im 𝑓 = sở Im 𝑓 {(1; 1; 1); (0; 1; −1)} 79 Cơ sở Ker 𝑓 sở nghiệm hệ phương trình 𝐴𝑋 = −𝑑1 1 −1 −1 𝑑𝑑2 ≔𝑑 ≔𝑑3 −𝑑1 [0 𝐴 = [1 −1 ]→ −3 −4 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4 = ⇒{ −2𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑥1 = − 𝛽 ⇒ 𝑥2 = 𝛼 + 𝛽 𝑥3 = 𝛼 , 𝛼∈ℝ {𝑥4 = 𝛽, 𝛽∈ℝ −2 −1 −2 −1 𝑑3 ≔𝑑3 +𝑑2 1 −1 −1 [0 −2 ]→ 3] −3 0 0 Vậy dim Ker 𝑓 = sở Ker 𝑓 {(0; 1; 1; 0); (− ; ; 0; 1)} 2 b) Đặt 𝐵 = [0 0 −1 −1 0] Ta có [𝑓]ℬ0 ; ℬ = (ℬ0 → ℬ )−1 ∙ [𝑓]ℬ0 = (𝐵⊤ )−1 ∙ 𝐴 = ([0 = [1 −1 −1 ⊤ 0] ) −1 0 1 1] [1 −1 1 1 −1 [1 −1 1 −3 −1 −1 1 ] = [3 −3 −4 −1 ]=[ −4 −1 −1 −1 −3 −3] −4 −5 −1 −1] [1 1 −1 −1 −3 −1 2] −4 Câu 5: Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) thỏa mãn 𝐴3 + 3𝐴2 + 3𝐴 + 𝐼𝑛 = Chứng minh 𝐴 khả nghịch 𝐴 + 𝐼𝑛 khơng khả nghịch Hướng dẫn: Ta có 𝐴3 + 3𝐴2 + 3𝐴 + 𝐼𝑛 = ⇒ −𝐴3 − 3𝐴2 − 3𝐴 = 𝐼𝑛 ( ) ⇒ 𝐴 −𝐴 − 3𝐴 − 3𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 Vậy 𝐴 khả nghịch Ta có 𝐴3 + 3𝐴2 + 3𝐴 + 𝐼𝑛 = ⇒ (𝐴 + 𝐼𝑛 )3 =0 80 Do (𝐴 + 𝐼𝑛 )3 = nên ta có det(𝐴 + 𝐼𝑛 )3 = ⇒ (det(𝐴 + 𝐼𝑛 ))3 = ⇒ det(𝐴 + 𝐼𝑛 ) =0 Vậy (𝐴 + 𝐼𝑛 ) không khả nghịch 81 Lời giải đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2018 – 2019 Câu 1: Trong không gian ℝ3 , cho tập hợp ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } 𝑊 khơng gian sinh ℬ, 𝑢1 = (1; 2; −2); 𝑢2 = (1; 4; 𝑚 − 4); 𝑢3 = (1; 𝑚 − 2; −𝑚) a) Tìm giá trị 𝑚 để 𝑊 = ℝ3 b) Trong trường hợp 𝑊 ≠ ℝ3 , biểu diễn 𝑢3 theo 𝑢1 ; 𝑢2 tìm sở cho không gian 𝑊 Hướng dẫn: a) Đặt 𝐵 = [1 𝑚−2 −2 𝑚 − 4] −𝑚 Để 𝑊 = ℝ3 𝐵 phải độc lập tuyến tính tức det 𝐵 ≠0 −2 ⇒ |1 𝑚 − 4| ≠ 𝑚−2 −𝑚 ⇒ −𝑚 + 4𝑚 − ≠0 ⇒𝑚 ≠2 b) Khi 𝑊 ≠ ℝ3 𝑚 = 2, ta tìm 𝛼; 𝛽 ∈ ℝ cho 𝑢3 = 𝛼𝑢1 + 𝛽𝑢2 Ta xét ma trận −2𝑑1 1 1 𝑑𝑑2 ≔𝑑 ≔𝑑3 +2𝑑1 [2 [0 | ]→ −2 −2 −2 1 𝑑2 ≔1𝑑2 [0 2|−2] → 0 1 𝑑1 ≔𝑑1 −𝑑2 [0 1|−1] → 0 Vậy nên { 𝛼= 𝛽 = −1 Vậy suy 𝑢3 = 2𝑢1 − 𝑢2 Với 𝑚 = 2, ta có [1 −𝑑1 −2 𝑑𝑑2 ≔𝑑 ≔𝑑3 −𝑑1 [0 −2] → −2 2 −2 −𝑑2 −2 𝑑𝑑1 ≔𝑑 ≔𝑑3 +𝑑2 ] [ → 0 0 Vậy sở 𝑊 {(1; 0; −2); (0; 2; 0)} 82 −2 0] 0 1|−1] 0 Câu 2: Trong không gian ℝ4 , cho tập hợp ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } 𝑊 khơng gian sinh ℬ, 𝑢1 = (1; 1; 1; 2); 𝑢2 = (1; 2; 2; 1); 𝑢3 = (1; −1; −2; 1) a) Chứng minh ℬ sở 𝑊 𝑢 = (2; 6; 7; 3) ∈ 𝑊 b) Tìm 𝑚 để 𝑣 = (2; 1; 𝑚; 𝑚) ∈ 𝑊 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, xác định tọa độ vector 𝑣 theo sở ℬ c) Xác định sở ℬ ′ = {𝑢1′ ; 𝑢2′ ; 𝑢3′ } 𝑊 cho ma trận chuyển sở từ ℬ ′ sang ℬ 0 ( ℬ ′ → ℬ ) = [0 1 ] 1 Hướng dẫn: a) Ta kiểm tra 𝛼1 𝑢1 + 𝛼2 𝑢2 + 𝛼3 𝑢3 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 𝛼 + 2𝛼2 − 𝛼3 = ⇒{ 𝛼1 + 2𝛼2 − 2𝛼3 = 2𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 𝛼1 = ⇒ { 𝛼2 = 𝛼3 = Vì 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 độc lập tuyến tính nên ℬ sở ℝ3 Để 𝑢 ∈ 𝑊 tồn 𝛼; 𝛽; 𝛾 ∈ ℝ cho 𝑢 = 𝛼𝑢1 + 𝛽𝑢2 + 𝛾𝑢3 Ta xét ma trận sau [𝑢1⊤ 𝑢2⊤ 1 𝑢3⊤ |𝑢𝑇 ] = [ 2 𝑑2 ≔𝑑2 −𝑑1 𝑑1 ≔𝑑1 −𝑑2 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑1 1 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑2 𝑑 ≔𝑑 −2𝑑 −1|6] 4 [0 −2| ] 𝑑4 ≔𝑑4 +𝑑2 [0 → → −2 −3 −1 −1 −1 𝑑1 ≔𝑑1 +3𝑑3 𝑑2 ≔𝑑2 −2𝑑3 𝑑4 ≔𝑑4 −3𝑑3 → [ 0 0 | ] −1 0 𝑑3 ≔−𝑑3 → [ 0 0 −2 −2 | ] −1 −3 0 | ] −1 0 Vậy ta suy 𝛼= {𝛽 = 𝛾 = −1 Vậy nên 𝑢 = 𝑢1 + 2𝑢2 − 𝑢3 nên suy 𝑢 ∈ 𝑊 b) Ta có 83 [𝑢1⊤ 𝑢2⊤ 1 𝑢3⊤ |𝑣 𝑇 ] = [ 2 𝑑2 ≔𝑑2 −𝑑1 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑1 −1| ] 𝑑4 ≔𝑑4 −2𝑑1 [0 → −2 𝑚 𝑚 𝑑1 ≔𝑑1 +3𝑑3 𝑑2 ≔𝑑2 −2𝑑3 𝑑4 ≔𝑑4 −3𝑑3 → [ 0 𝑑1 ≔𝑑1 −𝑑2 1 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑2 𝑑4 ≔𝑑4 +𝑑2 −2 −1 | ] → [ −3 𝑚 − −1 −1 𝑚 − 0 0 3 −2 −1 | ] −1 𝑚 − −3 𝑚 − 0 0 3𝑚 −2𝑚 + | ] −𝑚 + −2𝑚 − 3𝑚 −2𝑚 + | ] −1 𝑚 − −2𝑚 − 𝑑3 ≔−𝑑3 → [ 0 Để 𝑣 ∈ 𝑊 −2𝑚 − = ⇒𝑚 = −1 Khi 𝑚 = −1 −3 [𝑣 ]ℬ = [ ] c) Đặt [ 𝐵= 1 −1 −2 1] Ta có (ℬ0 → ℬ ′ ) = (ℬ0 → ℬ )(ℬ → ℬ ′ ) = 𝐵⊤ ∙ (ℬ ′ → ℬ )−1 1 1 1 −1 0 −1 −1 −1 ] [0 1 ] = [ ] [−1 0] =[ −2 −2 1 1 0 1 1 0 −3 1 ] =[ −4 1 −1 Vậy sở ℬ ′ = {𝑢1′ ; 𝑢2′ ; 𝑢3′ } {(0; −3; −4; 0); (0; 1; 1; −1); (1; 1; 1; 2)} Câu 3: Cho 𝑓 toán tử tuyến tính ℝ4 xác định bởi: 𝑓 (𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡) = (𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 2𝑡; 𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 − 3𝑡; 𝑥 − 𝑦 − 𝑧; 𝑥 + 𝑧 − 𝑡) a) Tìm sở không gian Im 𝑓 sở không gian Ker 𝑓 b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp sở ℬ = {𝑢1 = (1; 0; −1; 0); 𝑢2 = (0; 1; −1; 0); 𝑢3 = (0; 1; 0; −1); 𝑢4 = (1; −1; 0; 1)} ℝ4 Hướng dẫn: a) Với 1 𝐴=[ 1 84 −1 −1 −2 −3 ] −1 Cơ sở Im 𝑓 sở dòng 𝐴⊤ 1 𝐴⊤ = [ −2 −3 −1 −1 𝑑2 ≔𝑑2 −𝑑1 𝑑3 ≔𝑑3 −3𝑑1 1 𝑑 ≔𝑑 +2𝑑 4 1 −2 ]→ [ −4 −1 −1 𝑑3 ≔𝑑3 −2𝑑2 −1 𝑑4 ≔𝑑4 +𝑑2 ]→ [ −2 1 1 −2 0 0 −1 ] 0 Vậy dim Im 𝑓 = sở Im 𝑓 {(1; 1; 1; 1); (0; 1; −2; −1)} Cơ sở Ker 𝑓 sở nghiệm hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝑑2 ≔𝑑2 −𝑑1 1 −2 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑1 1 −3 𝑑4 ≔𝑑4 −𝑑1 ]→ [ 𝐴=[ −1 −1 0 1 −1 𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = ⇒{ 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 𝑥1 = − 𝛼 + 𝛽 𝑥 = −2𝛼 + 𝛽 ⇒{ 𝑥3 = 𝛼 , 𝛼∈ℝ 𝑥4 = 𝛽, 𝛽∈ℝ 1 −2 −1 −4 −2 −2 𝑑3 ≔𝑑3 +2𝑑2 −1 𝑑4 ≔𝑑4 +𝑑1 ]→ [ 1 0 −2 −1 ] 0 0 Vậy dim Ker 𝑓 = sở Ker 𝑓 {(−1; −2; 1; 0); (1; 1; 0; 1)} b) Đặt 𝐵=[ 1 −1 −1 −1 0 0 ] −1 Ta có [𝑓]ℬ = (ℬ0 → ℬ )−1 [𝑓]ℬ0 (ℬ0 → ℬ ) = 𝐵⊤ −1 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵⊤ −1 0 1 −2 0 1 −1 −3 1 −1 ] [ ][ ] =[ −1 −1 0 −1 −1 −1 −1 0 0 −1 1 −1 0 −1 −1 −1 −1 −2 −2 −2 −5 1 −4 −3 −4 −4 −4 −4] ][ ]=[ =[ 1 −1 −4 −5 −4 −1 1 1 −4 −6 −4 Câu 4: Cho 𝑉 không gian vector hữu hạn chiều ℝ 𝑊 không gian 𝑉 cho dim 𝑊 = dim 𝑉 − Chứng minh tồn sở 𝑉 mà khơng có vector nằm 𝑊 Hướng dẫn: Xét {𝑤1 ; ⋯ ; 𝑤𝑛−1 } sở 𝑊 với 𝑛 = dim 𝑉 Do {𝑤1 ; ⋯ ; 𝑤𝑛−1 } không sở 𝑉 nên ∃𝑤𝑛 ∉ 〈𝑤1 ; ⋯ ; 𝑤𝑛−1 〉 = 𝑤 85 Đặt 𝑣1 = 𝑤1 + 𝑤𝑛 ; 𝑣2 = 𝑤2 + 𝑤𝑛 ; ⋯ ; 𝑣𝑛−1 = 𝑤𝑛−1 + 𝑤𝑛 ; 𝑣𝑛 = 𝑤𝑛 86 Ta cần chứng minh hệ độc lập tuyến tính Xét phương trình 𝑛 ∑ 𝛼𝑖 𝑣𝑖 =0 𝑖=1 𝑛−1 ⇒ ∑ 𝛼𝑖 𝑣𝑖 + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 =0 𝑖=1 𝑛−1 ⇒ ∑ 𝛼𝑖 (𝑤𝑖 + 𝑤𝑛 ) + 𝛼𝑛 𝑤𝑛 = 𝑖=1 𝑛−1 𝑛 ⇒ ∑ 𝛼𝑖 𝑤𝑖 + (∑ 𝛼𝑖 ) 𝑤𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 Ta thấy ∑ 𝛼𝑖 = ∑ 𝛼𝑖 ≠ suy 𝑤𝑛 ∈ 〈𝑤1 ; ⋯ ; 𝑤𝑛−1 〉 𝑖=1 𝑖=1 𝑛−1 Nên suy ∑ 𝛼𝑖 𝑤𝑖 = hay 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛−1 = dẫn tới 𝛼𝑛 = 𝑖=1 Vậy hệ {𝑣1 ; ⋯ ; 𝑣𝑛 } độc lập tuyến tính sở 𝑉 Ta có 𝑣𝑛 = 𝑤𝑛 ∉ 𝑊, ta chứng minh 𝑣𝑖 ∉ 𝑊 với 𝑖 ∈ {1; ⋯ ; 𝑛 − 1} Thật vậy, giả sử 𝑣𝑖 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑤𝑛 + 𝑤𝑖 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑤𝑛 ∈ 𝑊 (vô lý) Vậy {𝑣1 ; ⋯ ; 𝑣𝑛 } ⊄ 𝑊 87 Lời giải đề thi cuối kỳ đại số tuyến tính 2019 – 2020 Câu 1: Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số thực 𝑚: 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 2𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 3𝑥4 = { 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 10𝑥4 = − 4𝑥1 + 5𝑥2 − 6𝑥3 + 7𝑥4 = 𝑚 Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp Gauss ta có [ 𝑑2 ≔𝑑2 −2𝑑1 −1 𝑑3 ≔𝑑3 −3𝑑1 1 −1 𝑑3 ≔𝑑3 +2𝑑2 𝑑 ≔𝑑 −4𝑑 𝑑4 ≔𝑑4 −𝑑2 −4 4 1 −2 −1 | ]→ [ | ]→ [ 1 10 −5 −2 4 −8 −6 𝑚 −2 −1 𝑚 − Với 𝑚 ≠ hệ phương trình vơ nghiệm Với 𝑚 = ta có hệ phương trình [ 0 1 0 −1 −2 0 −1 | ] −2 0 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = ⇒{ 2𝑥4 = −2 𝑥1 𝑥 ⇒{ 𝑥3 𝑥4 = 1− 𝛼 = + 2𝛼 = 𝛼, = −1 𝛼∈ℝ Câu 2: Trong không gian ℝ3 , cho vector 𝑢1 = (1; 3; 0); 𝑢2 = (2; 7; 1); 𝑢3 = (3; 10; 2) a) Chứng minh ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ) sở ℝ3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ ℬ sang sở tắc ℬ0 ℝ3 c) Tìm tọa độ vector 𝑢 = (5; 16; 3) sở ℬ d) Tìm vector 𝑣 ∈ ℝ3 biết [𝑣]ℬ = ( ) −1 Hướng dẫn: a) Đặt 𝐴 = [2 3 1] 10 Nên det 𝐴 = |2 88 1| = ≠ 10 1 0 −1 −2 0 −1 | ] −2 𝑚−7 Vậy ℬ sở ℝ3 b) Ta có (ℬ → ℬ0 ) = (ℬ0 → ℬ )−1 ⊤ −1 =𝐴 = [3 −1 ] [ = 10 −6 −1 −1 −1 −1] c) [𝑢]ℬ = (ℬ0 → ℬ )[𝑢]ℬ0 = [3 10] [16] = [−1] 2 [𝑣]ℬ0 = (ℬ0 → ℬ )[𝑣]ℬ = [3 10] [ ] = [ ] −1 −1 d) Ta có Vậy 𝑣 = (1; 3; −1) Câu 3: Cho 𝑓 toán tử tuyến tính ℝ3 định 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (6𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧; 18𝑥 − 6𝑦 + 13𝑧; 6𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧) a) Tìm số chiều sở cho không gian Im 𝑓 ; Ker 𝑓 b) Chứng minh Im 𝑓 ∩ Ker 𝑓 = {0} c) Tìm ma trận biểu diễn 𝑓 theo sở ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } cho Câu Hướng dẫn: a) Với −2 𝐴 = [18 −6 13] −2 Cơ sở Im 𝑓 sở dòng 𝐴⊤ 𝑑2 ≔𝑑2 + 𝑑1 𝑑3 ≔𝑑3 − 𝑑1 18 𝐴⊤ = [−2 −6 −2] → 13 18 [0 0 1 𝑑1 ≔ 𝑑1 𝑑2 ↔𝑑3 ]→ −1 [0 1 −1] 0 Vậy dim Im 𝑓 = sở Im 𝑓 {(1; 3; 1); (0; 1; −1)} 89 Cơ sở Ker 𝑓 sở nghiệm hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝑑2 ≔𝑑2 −3𝑑1 𝑑3 ≔𝑑3 −𝑑1 −2 𝐴 = [18 −6 13] → −2 3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = ⇒{ 𝑥3 = 𝑥1 = 𝛼, 𝛼∈ℝ ⇒ {𝑥2 = 3𝛼 𝑥3 = [0 −2 0 𝑑1 ≔ 𝑑1 𝑑3 ≔𝑑3 +𝑑2 ]→ −1 [0 −1 0 1] Vậy dim Ker 𝑓 = sở Ker 𝑓 {(1; 3; 0)} b) Lấy 𝑥 ∈ Im 𝑓 ∩ Ker 𝑓 nên tồn 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ ℝ cho 𝑥 = 𝑎(1; 3; 0) = 𝑏(1; 3; 1) + 𝑐 (0; 1; −1) 𝑎 =𝑏 ⇒ {3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑏−𝑐 =0 𝑎= 𝑏 ⇒ { 𝑐 = −6𝑏 𝑐= 𝑏 𝑎=0 ⇒ {𝑏 = 𝑐=0 ⇒𝑥=0 Vậy nên Im 𝑓 ∩ Ker 𝑓 = {0} c) Đặt 𝐵 = [2 3 1] 10 Ta có [𝑓]ℬ = (ℬ → ℬ0 ) ∙ [𝑓]ℬ0 ∙ (ℬ0 → ℬ ) = 𝐵−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 −1 −1 −2 = [−6 −1] [18 −6 13] [2 1] −1 −2 3 10 0 0 0 = [−6 −1] [2 1] = [0 25 72] −2 10 0 Câu 4: Cho 𝑉 không gian vector 𝑛 chiều, 𝑆 tập sinh 𝑉 𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 ∈ 𝑉 𝑛 − vector độc lập tuyến tính Chứng minh tồn 𝑢 ∈ 𝑆 cho {𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 ; 𝑢} sở 𝑉 Hướng dẫn: Vì {𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 } khơng sở nên ∃𝑢 ∈ 𝑆 cho 𝑢 ∉ 〈𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 〉 Vì ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ∈ 〈𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 〉 ⇒ 〈𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 〉 ⊃ 𝑆 = 𝑉 (vô lý) 90 Xét họ {𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 ; 𝑢} Hệ phương trình tạo nên từ họ độc lập tuyến tính có số vector dim 𝑉 = 𝑛 Vậy họ {𝑢1 ; ⋯ ; 𝑢𝑛−1 ; 𝑢} sở 𝑉 91 ... KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ???? – ???? 20 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2009 – 2010 25 LỜI GIẢI ĐỀ THI GIỮA KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 27 LỜI... KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2008 – 2009 46 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2011 – 2012 50 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2012 – 2013 53 LỜI... KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 72 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 76 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2018 – 2019 82 LỜI GIẢI ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH