NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
1.1.1 Sự biến thiên của hàm số a) Khái niệm đơn điệu của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y f x xác định trên K Ta nói
Hàm số y f x đồng biến trên K nếu với mọi cặp x x 1 , 2 K mà x 1 x 2 thì
Hàm số y f x nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x x 1 , 2 K mà x 1 x 2 thì
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K b) Định lý
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K
Nếu f x 0 x K thì hàm số đồng biến trên K
Nếu f' (x) < 0 với mọi x thuộc K, thì hàm số f đồng biến trên K Để lập bảng biến thiên của hàm số, cần tuân theo các quy tắc cụ thể.
Bước 1 Tìm tập xác định Tính f x
Bước 2 Tìm các điểm tại đó f x bằng 0 hoặc không xác định
Bước 3 Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
Giả sử u = g(x) là một hàm số xác định trên khoảng (a, b) và nhận giá trị trong khoảng (c, d) Hàm số y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c, d) và lấy giá trị trên R Khi đó, ta có thể lập một hàm số xác định trên (a, b) và nhận giá trị trên R theo quy tắc đã nêu.
Mô tả bằng hình vẽ như sau:
Khi đó ta gọi hàm số y f g x là hàm hợp của hàm y f u với hàm
1.1.3 Sự biến thiên của hàm hợp
Cho hàm số y f g x với x a b ; Hàm số này là hàm hợp của hàm
y f u với hàm u g x Giả sử u g x lấy giá trị trên khoảng c d ; Khi đó
Nếu u g x đồng biến trên a b ; và y f u đồng biến trên c d ; thì
Nếu u g x đồng biến trên a b ; và y f u nghịch biến trên c d ; thì
Nếu u g x nghịch biến trên a b ; và y f u đồng biến trên c d ; thì
Nếu u g x nghịch biến trên a b ; và y f u nghịch biến trên c d ; thì
Việc chứng minh các kết quả này hoàn toàn dựa vào định nghĩa Chẳng hạn, ta chứng minh kết quả thứ nhất như sau:
Giả sử u g x đồng biến trên a b ; và y f u đồng biến trên c d ;
Do u g x đồng biến trên a b ; và lấy giá trị trên c d ; g x 1 g x 2 và
Lại do y f u đồng biến trên c d ; f g x 1 f g x 2
Từ đó suy ra y f g x đồng biến trên a b ;
Bài toán hàm số là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt liên quan đến các chủ đề như tính đơn điệu, cực trị và tương giao Những chủ đề này chiếm tỷ lệ lớn trong các kỳ thi tốt nghiệp và đánh giá năng lực Trong đó, bài toán tính đơn điệu, cực trị và tương giao của hàm hợp mang tính ứng dụng cao, thể hiện rõ trong các bài thi.
Câu 48- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019 Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là
Câu 41- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong như hình dưới
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f f x 1 là
Câu 50- Đề minh họa lần 1 năm 2020 Cho hàm số f x Hàm số f x có đồ thị như hình sau:
Hàm số y f 1 2 x x 2 x nghịch biến trên khoảng nào?
Câu 2a- Đề HSG tỉnh Nghệ An 2021-2022 Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x ( ) f x 8 x 2
Câu 16- Đề HSG tỉnh Thái Bình 2021-2022 Cho hàm số y f x( ) xác định trên
, hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Hàm số y f 4 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Thực trạng
Trong chương trình lớp 12, học sinh được học về các kiến thức và bài toán liên quan đến hàm số như tính đơn điệu, cực trị và tương giao Tuy nhiên, các bài toán về hàm hợp thường không được đề cập trong sách giáo khoa và sách bài tập, dẫn đến khó khăn cho nhiều học sinh Nhiều em chưa xác định được hướng giải quyết và cảm thấy bối rối khi gặp phải loại bài toán này, do chúng có vẻ trừu tượng và phức tạp hơn so với các bài toán thông thường Kỹ năng tìm điều kiện cho biến mới, giải phương trình liên quan đến biến mới và vận dụng mối liên hệ giữa biến mới với biến cũ, cũng như giữa biến mới với đồ thị và bảng biến thiên còn hạn chế.
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số, đặc biệt là các hàm hợp Sự khó khăn này gây cản trở trong việc quan sát bảng biến thiên và đồ thị, từ đó ảnh hưởng đến khả năng tìm ra kiến thức cần thiết để giải quyết bài toán.
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên thường chỉ áp dụng các bài toán cho học sinh khá giỏi ở một số lớp chọn, trong khi học sinh đại trà gặp nhiều khó khăn hơn Khảo sát thực tế tại trường THPT Diễn Châu năm học 2021-2022 cho thấy học sinh khối 12 gặp trở ngại trong việc giải quyết các bài toán về tính đơn điệu, cực trị và tương giao của hàm hợp Để xác minh vấn đề này, tôi đã thực hiện một phiếu khảo sát.
Khi giải quyết bài toán liên quan đến hàm hợp y = f(ax + b), bạn đã nắm vững cách tìm khoảng đơn điệu, xác định số cực trị và điểm cực trị cũng như số nghiệm của phương trình chưa?
B Biết làm một số bài
C Biết cách làm nhưng khi giải bài toán thì vẫn gặp khó khăn
Khi giải bài toán về khoảng đơn điệu và số cực trị của hàm số y = f(u), với u là biểu thức bậc 2, bậc 3, căn thức hay hàm lượng giác, bạn đã nắm vững các phương pháp giải quyết chưa? Việc xác định các điểm cực trị và số nghiệm của phương trình liên quan là rất quan trọng trong việc phân tích hàm số.
B Biết làm một số bài
C Biết cách làm nhưng khi giải bài toán thì vẫn gặp khó khăn
Sau khi khảo sát 528 học sinh của khối 12 như sau:
Biết làm một số bài
Biết cách giải nhưng khi giải vẫn khó khăn
Bài kiểm tra được thiết kế với 10 câu hỏi tập trung vào hàm hợp, bao gồm 3 câu hỏi về tính đơn điệu, 3 câu hỏi về cực trị, 3 câu hỏi về tương giao, và 1 câu hỏi về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Mục tiêu của bài kiểm tra là đánh giá khả năng hiểu biết và áp dụng các khái niệm liên quan đến hàm hợp trong toán học.
Khảo sát khi chưa áp dụng sáng kiến của năm học 2020-2021 cho các đơn vị lớp 12A3, 12A6, 12D2:
Lớp Sĩ số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
