Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 chất lượng mới nhất theo chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 theo chuyên đề, đảm bảo chất lượng Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC I Cơ sở lí thuyết Để giải tốt tốn tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau: • o o o • • o o • • • • • • • Trong tam giác: Tổng số ba góc tam giác Biết hai góc ta xác địn góc cịn lại Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với Trong tam giác cân: biết góc ta xác định hai góc cịn lại Trong tam giác vng: Biết góc nhọn, xác định góc cịn lại Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo Trong tam giác vng cân: góc nhọn có số đo Trong tam giác đều: góc có số đo Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo Hai đường phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo Hai đường phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo Hai góc đối đỉnh Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc cung phía, … Khi giải tốn tính số đo góc cần ý: Vẽ hình xác, với số liệu đề để có hường chứng minh Phát tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân hình vẽ Chú ý liên hệ góc tam giác, liên hệ cạnh góc tam giác, phát cặp tam giác Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ góc đặc biệt, cặp góc Trong đường phụ vẽ thêm, vẽ đường phân giác, đường vng góc, tam giác đều, … Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ góc Xét đủ trường hợp số đo góc xảy (ví dụ góc nhọn, góc tù, …) (Tham khảo tốn nâng cao lớp 7, tập – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng suy kết Tuy nhiên, đứng trước tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đưa trường hợp mà có nhiều địi hỏi người đọc phải tạo "điểm sáng bất ngờ" đường kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ học trước giải Chúng ta xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán II Một số dạng tốn hướng giải Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác Bài tốn Cho có có , lấy cho Tính số đo Nhận xét Ta cần tìm thuộc có mà Ta thấy có liên hệ rõ nét góc góc , mặt khác Từ đây, ta thấy yếu tố xuất hiệ liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Cách (Hình 1) Vẽ (D, A phía so với BC) Nối A với D Ta có (c.c.c) => Lại có (c.g.c) => => Cách (Hình 2) Vẽ (M, D khác phía so với AC) Ta có (c.g.c) => (1) => cân D, => (2) Từ (1) (2) suy Từ hướng giải thử giải Bài toán1 theo phương án sau: • • • Vẽ (C, D khác phía so với AB) Vẽ (B, D khác phía so với AC) Vẽ (D, C khác phia so với AB) ………………………… Lập luận tương tự ta có kết Bài tốn Cho cân A, Đường cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC cho Tính Hướng giải Vẽ (B, D khác phía so với AC) cân A, (gt) => mà (gt) => , => cân F => , mặt khác , FD chung Do AH đường cao tam giác cân BAC => , (vì đều), (gt) => (g.c.g) => => cân A mà Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ giả thiết mối liên hệ suy từ cân F Với hướng suy nghĩ giải Bài tốn theo cách sau: Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1) • Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2) ………………… • (H.1) (H.2) Bài tốn (Trích tốn nâng cao lớp – Vũ Hữu Bình) Cho , Điểm E nằm cho Tính Nhận xét Xuất phát từ biết, ta có cân E Với yếu tố giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ tam giác Hướng giải Vẽ (I, B phía so với AE) Ta có (c.g.c) mà ( đều) => Khai thác Chúng ta giải Bài toán theo cách sau: Vẽ (D, E khác phía so với AC) • Một số toán tương tự Bài toán 3.1 Cho , Kẻ tia Kẻ AD cho (B, D phía so với AC) Tính Bài tốn 3.2 Cho , (B, H khác phía so với AC) Tính Bài tốn 3.3 Cho Điểm M nằm tam giác cho Tính Bài tốn Cho M điểm nằn tam giác cho Tính Nhận xét Xuất phát từ giả thiết liên hệ góc với ta có Từ nghĩ đến giải pháp dựng tam giác Hướng giải Cách (H.1) Vẽ (A, D phía so với BC) Dễ thấy (c.g.c) (g.c.g) cân B, Cách (H.2) Vẽ (D, A khác phía so với BC) cân A Từ có hướng giải tương tự Bài tốn Cho Kẻ tia cho Trên tia lấy điểm D cho (A, D khác phía so với BC) Tính Nhận xét Ta thấy xuất góc mà , đồng thời với Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ tam giác Hướng giải Cách Vẽ (I, A phía so với BC) Ta thấy (c.g.c) (c.g.c) Cách Vẽ (E, B khác phía so với AC) Từ ta có cách giải tương tự Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền Bài tốn Tính góc tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Phân tích +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc cân A (Đường cao đồng thời phân giác) đồng thời trung tuyến +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến liên quan đến HM = HB = BM = MC Kẻ MK AC K Khi có sơ sơ đồ phân tích Hướng giải Vì K Xét có AH đường cao ứng với BM AH đường phân giác ứng với cạnh BM (vì ) Nên cân đỉnh A => H trung điểm BM Xét có AM cạnh huyền chung (gt) (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) Xét có , KM = MC ta tính Vậy Bài tốn Cho Đường cao AH AH = BC D trung điểm AB Tính Hướng giải cân C => CD phân giác => Nhận xét Suy nghĩ chứng minh cân xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ vng có AH = BC Thực hai yếu tố giúp ta nghĩ đến tam giác vng có góc Bài tốn Cho có ba góc nhọn Về phía ngồi ta vẽ tam giác ABD ACE I trực tâm , H trung điểm BC Tính Phân tích nửa tam giác =>, vẽ thêm đường phụ để xuất nửa tam giác (còn lại) => Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Hướng giải Trên tia đối tia HE lấy điểm F cho HE = HF Ta có Ta có IA = IB (vì đều) Mà cân I mà Khai thác Với cách giải nhiều em phát đề xuất cách vẽ đường phụ sau: Lấy K đối xứng với I qua H (H.1) • Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) ……………………… • (H.2) (H.1) Bài tập dạng: Cho , vẽ (E, D nằm tam giác) I, P trung điểm AD CE Điểm F nằm BC cho BF = 3FC Tính Dạng Tính số đo góc qua việc phát tam giác vng cân Bài toán Cho , M trung điểm BC, Tính Phân tích Khi đọc kĩ tốn ta thấy , quan sát hình vẽ nhận dạng tốn ta biết có nguồn gốc từ Bài toán Mặt khác , điều giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân Hướng giải Cách Hạ (Dễ chứng minh tia CB nằm hai tia CA CK) Ta có vng cân K (vì ) Vẽ vng cân S (K, S khác phía so với AC) Do vng K => KM = BC = MC cân M Dễ thấy => AS = SM = AK cân A Cách Lấy D đối xứng B qua AM => cân A Mà Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), () Mà Mặt khác xét có 99 6.816 ˆ = nOz ˆ = yOz ˆ = 900 = 450 yOn 2 ˆ yOz 6.817(vì 6.818Mà On tia p/g ˆ = mOy ˆ + yOn ˆ mOn 6.819Thay 6.820 ) (vì tia Oy nằm Om On) ˆ = 150 ; yOn ˆ = 450 mOy ta được: ˆ = 150 + 450 = 600 mOn 6.821 6.822 6.823 3.Bài tập áp dụng BÀI :Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F giao điểm AE BC Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE P 6.824 6.825 Chứng minh CP phân giác góc CBE 6.826 BÀI :Cho hình bình hành ABCD phân giác góc A cắt đường chéo BD E phân giác góc B cắt đường chéo AC F 6.827 6.828 Chứng minh : EF // AB 6.829 BÀI :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm Đường phân giác AD BE cắt I 6.830 6.831 Tính : BD CD 6.832 BÀI 4:Gọi G trọng tâm tam giác ABC chứng minh : IG // BC tính IG 6.833 cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm BC =7cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC E 6.834 99 100 6.835 Tính EB EC 6.836 ˆ = 1000 xOy BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết góc xOy,Ot’là tia phân giác góc x’Oy 6.837 Gọi Ot tia phân giác ˆ ; xOt ˆ '; tOt ˆ ' x ' Ot 6.838 Tính 6.839 6.840 6.841 6.842 6.843 Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 6.844 1.Kiến thức cần nhớ 6.845 +Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng 6.846 + Định lý 2(định lý đảo): điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng 6.847 Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng 6.848 Ứng dụng: 6.849 Ta vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB thước compa sau: 6.850 -Lấy A làm tâm vẽ cung trịn bán kính lớn 100 AB 101 6.851 -Lấy B làm tâm vẽ cung trịn có bán kính cho hai cung trịn có điểm chung ,gọi C D 6.852 -Dùng thước vẽ đường thẳng CD Đường thẳng CD đường trung trực đoạn thẳng AB 6.853 2.Các dạng tập 6.854 Dạng 1: Chứng minh đường thằng đường trung trực đoạn thẳng 6.855 Cách giải: 6.856 Cách 1:chứng minh đường thẳng vng góc với đoạn thẳng tai trung điểm đoạn thẳng 6.857 Cách 2: chứng minh điểm thuộc đường thẳng cách đầu mút đoạn thẳng 6.858 6.859 Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D 6.860 Chứng minh CD đường trung trực đoạn thẳng AB 6.861 Giải: 6.862 *Phân tích tốn: để chứng minh CD đường trung trực AB 6.863 Ta chứng minh C D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB C 6.864 6.865 6.866 6.867 Tam giác ABC cân đỉnh C (gt) A => CA=CB =>C nằm đường trung trực đoạn thẳng AB 101 B 102 6.868 6.869 Tương tự D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB D =>CD đường trung trực đoạn thẳng AB 6.870 6.871 Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng để giải tốn khác 6.872 6.873 Ví dụ 1:Tam giác ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt AB ˆ ACB D Biết CD tia phân giác góc ,Tính góc tam giác ABC 6.874 A 6.875 Giải: 6.876 Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân D Aˆ = Cˆ 6.877 6.878 6.879 6.880 Cˆ = Aˆ => (1) Cˆ = Bˆ Tam giác ABC cân A => Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180 Tam giác ABC có D (3) Aˆ = 360 Từ 1,2,3 suy B Bˆ = Cˆ = 720 6.881 6.882 6.883 6.884 6.885 (2) 3.Bài tập áp dụng 102 C 103 6.886 BÀI : Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Vẽ điểm D, E cho đường AB, AC lần lược đường trung trực DH, EH 6.887 Chứng minh tam giác ADE tam giác cân Đường thẳng DE cắt AB, AC M N chứng minh tia HA phân giác góc NHM Chứng minh : 6.888 BÀI : 6.889 Cho tam giác ABC cân A hai tia phân giác góc B C cắt I Chứng minh tam giác BIC cân I Chứng minh AI đường trung trực BC 6.890 BÀI : Cho tam giác ABC cân A gọi M trung điểm BC hai đường trung trực AB AC cắt D chứng minh : 6.891 DB = DC A, M, D thẳng hàng 6.892 6.893 BÀI 4: Cho d đường trung trực AC Lấy điểm B cho A B bên đường thẳng d BC cắt d I điểm M di động d 6.894 So sánh MA + MB với BC Tìm vị trí M d để MA + MB nhỏ 6.895 BÀI : 103 104 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho BM = AB tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AC Vẽ đường cao BH tam giác ABM đường cao CK tam giác ACN, hai đường cao cắt O chứng minh : 6.896 Điểm O nằm đường trung trực MN AO phân giác góc BAC 6.897 6.898 6.899 6.900 6.901 6.902 6.903 6.904 6.905 6.906 6.907 6.908 6.909 6.910 6.911 6.912 104 105 6.913 6.914 6.915 6.916 6.917 6.918 6.919 6.920 6.921 6.922 6.923 6.924 6.925 6.926 6.927 6.928 6.929 6.930 6.931 6.932 105 106 6.933 6.934 Ví dụ :Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox,vẽ tia Oy,Ot cho ˆ = 1300 ; xOt ˆ = 650 xOy ˆ xOy 6.935 Chứng minh : Ot tia phân giác 6.936 *Phân tích tốn: Để chứng minh Ot tia phân giác góc xOy ta cần áp dụng cách chứng minh 6.937 6.938 ta sử dụng cách chưa có điều kiện tia Ot nằm Ox Oy t 6.939 6.940 Chứng minh: 6.941 Trên nửa mặt phẳng bở chứa tia Ox x ˆ < xOy ˆ (650 < 1300 ) xOt y 6.942 Ta có: 6.943 =>tia Ot nằm Ox Oy (1) 6.944 6.945 6.946 6.947 => ˆ + tOy ˆ = xOy ˆ xOt Thay Ta được: => (gt) ˆ = 1300 650 + tOy ˆ = 1300 − 650 tOy ˆ ˆ= 650 ˆ tOy xOt = tOy (2) => 6.948 6.949 ˆ = 1300 ; xOt ˆ = 650 xOy O Mà ˆ = 650 ( gt ) xOt 106 107 6.950 ˆ xOy Từ (1)và (2)=> Ot tia phân giác 6.951 6.952 DẠNG 2: Sử dụng tính chất tia phân giác góc để giải tốn khác 6.953 6.954 6.955Ví dụ: tia Oy Oz nằm nửa mặt phẳng có bở tia Ox ˆ = 300 ; xOz ˆ = 1200 xOy ˆ xOy 6.956 Om tia phân giác ˆ yOz 6.957 On tia phan giác ˆ yOz 6.958 Tính 6.959 ˆ mOn Giải: 6.960 6.961*Phân 6.962Sử tích tốn: dụng tính chất kề bù tia phân giác góc để tính góc 6.963 6.964Ta có: 6.965Thay 6.966 ˆ + yOz ˆ = xOz ˆ xOy ˆ = 300 ; xOz ˆ = 1200 xOy ta được: 6.967hay (vì tia Oy nằm Ox Oz) n (gt) ˆ = 1200 300 + yOz z ˆ = 1200 − 300 yOz 107 y 108 ˆ = 900 yOz m 6.968b)Tính ta có: 6.969 6.970 ˆ =? mOn x ˆ = mOy ˆ = xOy ˆ = 300 = 150 xOm 2 O ˆ xOy 6.971(vì 6.972 6.973 Om tia p/g Lại có: ˆ = nOz ˆ = yOz ˆ = 900 = 450 yOn 2 6.974(vì 6.975Mà On tia p/g ˆ = mOy ˆ + yOn ˆ mOn 6.976Thay 6.977 ) ˆ yOz ) (vì tia Oy nằm Om On) ˆ = 150 ; yOn ˆ = 450 mOy ta được: ˆ = 150 + 450 = 600 mOn 6.978 6.979 6.980 3.Bài tập áp dụng BÀI :Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F giao điểm AE BC Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE P 6.981 6.982 Chứng minh CP phân giác góc CBE 6.983 BÀI :Cho hình bình hành ABCD phân giác góc A cắt đường chéo BD E phân giác góc B cắt đường chéo AC F 6.984 108 109 6.985 Chứng minh : EF // AB 6.986 BÀI :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm Đường phân giác AD BE cắt I 6.987 6.988 Tính : BD CD 6.989 BÀI 4:Gọi G trọng tâm tam giác ABC chứng minh : IG // BC tính IG 6.990 cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm BC =7cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC E 6.991 6.992 Tính EB EC 6.993 ˆ = 1000 xOy BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết góc xOy,Ot’là tia phân giác góc x’Oy 6.994 Gọi Ot tia phân giác ˆ ; xOt ˆ '; tOt ˆ ' x ' Ot 6.995 Tính 6.996 6.997 6.998 6.999 6.1000 Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 6.1001 1.Kiến thức cần nhớ 6.1002 +Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng 109 110 6.1003 + Định lý 2(định lý đảo): điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng 6.1004 Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng 6.1005 Ứng dụng: 6.1006 Ta vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB thước compa sau: 6.1007 -Lấy A làm tâm vẽ cung trịn bán kính lớn 6.1008 -Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính cho hai cung trịn AB có điểm chung ,gọi C D 6.1009 -Dùng thước vẽ đường thẳng CD Đường thẳng CD đường trung trực đoạn thẳng AB 6.1010 2.Các dạng tập 6.1011 Dạng 1: Chứng minh đường thằng đường trung trực đoạn thẳng 6.1012 Cách giải: 6.1013 Cách 1:chứng minh đường thẳng vng góc với đoạn thẳng tai trung điểm đoạn thẳng 6.1014 Cách 2: chứng minh điểm thuộc đường thẳng cách đầu mút đoạn thẳng 6.1015 6.1016 Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D 110 111 6.1017 Chứng minh CD đường trung trực đoạn thẳng AB 6.1018 Giải: 6.1019 *Phân tích tốn: để chứng minh CD đường trung trực AB 6.1020 Ta chứng minh C D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB C 6.1021 6.1022 Tam giác ABC cân đỉnh C (gt) 6.1023 B A => CA=CB 6.1024 =>C nằm đường trung trực đoạn thẳng AB 6.1025 Tương tự D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB 6.1026 =>CD đường trung trực đoạn thẳng AB D 6.1027 6.1028 Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng để giải tốn khác 6.1029 6.1030 Ví dụ 1:Tam giác ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt AB ˆ ACB D Biết CD tia phân giác góc ,Tính góc tam giác ABC 6.1031 A 6.1032 Giải: 6.1033 Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân D Aˆ = Cˆ 6.1034 Cˆ = Aˆ => (1) Cˆ = Bˆ Tam giác ABC cân A => (2) 111 D 112 6.1035 6.1036 6.1037 Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180 Tam giác ABC có (3) Aˆ = 360 Từ 1,2,3 suy B Bˆ = Cˆ = 720 6.1038 6.1039 6.1040 6.1041 6.1042 3.Bài tập áp dụng 6.1043 BÀI : Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Vẽ điểm D, E cho đường AB, AC lần lược đường trung trực DH, EH 6.1044 Chứng minh tam giác ADE tam giác cân Đường thẳng DE cắt AB, AC M N chứng minh tia HA phân giác góc NHM Chứng minh : 6.1045 BÀI : 6.1046 Cho tam giác ABC cân A hai tia phân giác góc B C cắt I Chứng minh tam giác BIC cân I Chứng minh AI đường trung trực BC 6.1047 BÀI : Cho tam giác ABC cân A gọi M trung điểm BC hai đường trung trực AB AC cắt D chứng minh : 6.1048 112 C 113 DB = DC A, M, D thẳng hàng 6.1049 6.1050 BÀI 4: Cho d đường trung trực AC Lấy điểm B cho A B bên đường thẳng d BC cắt d I điểm M di động d 6.1051 So sánh MA + MB với BC Tìm vị trí M d để MA + MB nhỏ 6.1052 BÀI : Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho BM = AB tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = AC Vẽ đường cao BH tam giác ABM đường cao CK tam giác ACN, hai đường cao cắt O chứng minh : 6.1053 Điểm O nằm đường trung trực MN AO phân giác góc BAC 6.1054 6.1055 6.1056 113 ... ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 315 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 245 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=120k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=80k; 66 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN... ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7= 140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG... ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 315 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 245 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=120k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN