Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Båi dìng to¸n ƠN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A  B hay B  A Nếu A  B B  A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.D¹ng 1: RÌn kĩ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài 1: Cho tập hợp A chữ cụm từ Thành phố Hồ Chí Minh a.Hãy liệt kê phần tử tập hợp A b.Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông b A c A h A Bài 2: Cho tập hợp chữ X = {A, C, O} a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc trng cho phần tử X Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử vừa thc A võa thc B d/ ViÕt tËp hỵp F phần tử thuộc A thuộc B Bài 4: Cho tËp hỵp A = {1; 2; a; b} a/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử b/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải tập hợp A không? Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hái tËp hỵp B có tất tập hợp con? *Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số Hỏi tập hợp A có phần tử? Bài 2: Hãy tính số phần tử tập hợp sau: http://NgocHung.name.vn Bồi dỡng toán a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có chữ số b/ Tập hợp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296 c/ Tập hợp C số 7, 11, 15, 19, , 283 Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 256 Hỏi em phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? C.HNG DN V NH: Bài 1.Hãy xác định tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp a, A tập hợp chữ số số 2002 b, B tập hợp chữ cụm từ cách mạng tháng tám c, C tập hợp số tự nhiên có chữ số d, D tập hợp số tự nhiên có hai chữ khác và có chữ số tận Bài Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông N 1,2,3,4 N N* N N*  N* N* Bài Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = 1;3;5;7; ;49 b B = 11;22;33;44; ;99 c C =  3;6;9;12; ;99 d D =  0;5;10;15; ;100 Bài Hãy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trng phần tử thuộc tập hợp a A = 1;4;9;16;25;36;49 b B = 1;7;13;19;25;31;37 A   1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100 B 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90 Bài toán 5: Cho a) A   x �N x M2; x M3; x  100   A  x �N x  ab; a  3.b C �  xNΣ x 11.n 3; n N ; x 300 b) B   x �N x M6; x  100 B  x N 20Mx c) Hãy viết tập hợp A, B cách liệt kê phần tử Bài Tìm số phần tử tập hợp sau ®©y a A =   b B =  x  N / x 2 ;  x 100 c C =  x  N / x  0 d D =  x  N / x Bài Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp a Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < http://NgocHung.name.vn Bồi dỡng toán c Tập hợp C số tự nhiên x mà x = x + d Tập hợp D số tự nhiên x mµ x : = x : e Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = x Bµi Cho A = 1 ; ;3 Tìm tất tập hợp tập hợp A Bài Ta gọi A tËp hỵp thùc sù cđa B nÕu A  B A B Hãy viết tập hợp thực tập hợp B = 1;2;3;4 Bài Cho tËp hỵp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cđa A cã phần tử b Viết tập A có hai phần tử c Có tập hợp cđa A cã ba phÇn tư d Cã tập hợp A có bốn phần tử e Tập hợp A có tập hợp Bài 11 Gọi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số, B tập hợp số tự nhiên có ba chữ số , C tập hợp số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D tập hợp số tự nhiên có ba chữ số tận Dùng kí hiệu sơ đồ để biểu thị quan hệ tập hợp Bài 12 Cho tËp hỵp A =  4;5;7 , h·y lập tập hợp B gồm số tự nhiên có ba chữ số khác từ phần tử tập hợp A Bảo tập hợp A tập hợp tập hợp B hay sai? Tìm tập hợp chung hai tập hợp A B Bài 13 Tìm tập hợp tập hợp sau a A = 9;5;3;1;7 b B tập hợp số tự nhiên x mµ x = c C lµ tập hợp số lẻ nhỏ 10 d D tập hợp số tự nhiên x mà x : = Bµi 17 Trong mét líp học , học sinh học tiếng Anh tiÕng Ph¸p Cã 25 ngêi häc tiÕng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, 18 ngời học hai thứ tiếng Hỏi lớp học có học sinh Bài 18 Kết điều tra líp häc cho thÊy : cã 20 häc sinh thÝch bóng đá ; 17 học sinh thích bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá bơi;13 học sinh thích bơi bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền; 10 học sinh thích ba môn ;12 học sinh không thích môn nào.Tìm xem lớp học có häc sinh Bµi 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thích văn a Nếu có học sinh không thích toán văn có học sinh thích hai môn văn toán b Có nhiều học sinh thích hai môn văn toán c Có học sinh thích hai môn văn toán Bài toán 1: Cho tËp hỵp A   a, b, c, d , e a) Viết tập hợp A có phần tử b) Viết tập hợp cđa A cã hai phÇn tư http://NgocHung.name.vn Båi dìng toán c) Có tập hợp A cã ba phÇn tư ? cã phÇn tư ? d) Tập hợp A có tập hợp ? Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có tập hợp tập hợp B không trờng hợp sau a) A 1;3;5 ; B   1;3;7 b) A   x, y ; B   x, y , z  c) A tập hợp số tự nhiên có tận 0, B tập hợp số tự nhiên chẵn Bài toán 3: Ta gọi A tËp thùc sù cña B nÕu A ̹̹ B; A B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cđa tËp hỵp B   1; 2;3 B   3; 4;5 Bài toán 4: Cho tập hợp A 1; 2;3; ; Viết tập hợp vừa tập hợp A, vừa tập hợp B Bài toán 5: Cho tập hợp A   1; 2;3; 4 a) ViÕt c¸c tập hợp A mà phần tử số chẵn b) Viết tất tËp hỵp cđa tËp hỵp A N * / x 12 Bài toán 6: Cho tập hợp A   1;3;6;8;9;12 vµ B =  x Σ� a) Tìm tập hợp C phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D phần tử thuộc hai tập hợp A Hoặc tập hợp B Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 Hãy nêu tập hợp tËp M gåm nh÷ng sè: a) Cã mét ch÷ sè b) có hai chữ số c) Là số chẵn Bài to¸n 11: Cho A   x �N x M2; x M4; x  100 ; B   x �N x M8; x  100 a) H·y liƯt kª phần tử tập hợp A ; tập hợp B b) Hai tËp hỵp A, B cã b»ng nahu không ? Vì ? Bài toán 13: Cho A tập hợp số tự nhiên đầu tiên, B tập hợp số chẵn a) CMR: B �A b) ViÕt tËp hỵp M cho B M , M A Có tập hợp M nh vËy  xNΣ x 7.q 3; q N ; x 150 Bài toán 14: Cho A a) Xác định A cách liệt kê phần tử ? b) Tính tổng phần tử tập hợp A Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 T×m x; y �M biÕt 30  x  y  40 B   1;3;5 Bµi to¸n 10: Cho a) A   1; 2 ; b) A   x, y ; B   x, y , z , t  H·y viÕt c¸c tập hợp gồm phần tử phần tử thuộc A, phần tử thuộc B Các phép to¸n N http://NgocHung.name.vn Båi dìng to¸n Tính chất giao hoán phép cộng phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng không đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac  Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia NÕu a b= th× a = b = II Bài tập *.Dạng 1: Các toán tính nhanh http://NgocHung.name.vn Bồi dỡng toán Bài 1: Tính tổng sau cách b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 hỵp lý nhÊt c) (321 +27)+ 79 a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 + 87 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: a/ 17 125 f) 347 + 418 + 123 + 12 b/ 37 25 Bài 3: Tính nhanh cách hợp lí: Bài 8: Tính cách hợp lí nhất: a/ 997 + 86 a) 125 41 b/ 37 38 + 62 37 b) 25 10 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 d/ 67 99; c) 12 125 d) 36 25 50 đ, 998 34 c/ 43 11 67 101 Chó ý: Quy tắc đặt thừa số chung Bi 4: Tính nhanh c¸c phÐp tÝnh: : a b+ a.c = a (b+ c) hc a b + a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 a c + a d = a.(b + c + d) b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 e) 25 + 37 + 38 12 Bµi 5: TÝnh nhanh: Bµi 9: Tính cách hợp lí nhất: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 b) 12.53 + 53 172– 53 84 Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 15.302 38 63 + 37 38 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + b) 34 11 c) 47 101 d) e) 125.18 g) 123 1001 65.45 d, 39.8 + 60.2 + 21.8 Bµi 7: Thùc hiƯn phÐp tÝnh b»ng c¸ch e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + hỵp lÝ nhÊt: 64.41 a) 463 + 318 + 137 + 22 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta *Chú ý: muốn nhân số có chữ số cộng chữ số ghi kết váo chữ với 101 kết số có số Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị cách viết chữ số lần khít váo cộng vào chữ số hàng chục vd: 84 101 =8484 vd : 34 11 =374 =759 ; 69.11 101 =6363 ; 63 ; *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 1001 kết số có http://NgocHung.name.vn Båi dìng to¸n cách viết chữ số lần khít a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ Ví dụ:123.1001 = 123123 203 *.Dạng 2: Các toán có liên quan c) C = + 11 + 16 + 21 + + ®Õn d·y sè, tập hợp 301 1:Dãy số cách đều: + + 351 VD: TÝnh tæng: S = + + + + Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + + 49 14 + Ta tÝnh tỉng S nh sau: a)T×m sè hạng thứ100 tổng Bài 1:Tính tổng sau: d) D =8 + 15 + 22 + 29 b) TÝnh tæng 100 số hạng đầu a) A = + + + + + 100 Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050 tiªn Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách - số đầu b) B = + + + + + 100 a số thứ 100 = (100-1) – = 292 số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 c) C = + + 10 + 13 + + 301 + 22 + d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 Bài 2: Tính tổng: a)Tìm số hạng tứ50 tổng b) Tính tổng 50 số hạng Bài 5:Tính tổng tất số tự nhiên x, biết x số có hai chữ số 12 < x < 91 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên a , biết a có ba chữ số 119 < a < 501 Tính tổng chữ số a Bµi 7: TÝnh + + + + 1998 + 1999 Bµi 8: TÝnh tỉng cđa: a/ Tất số tự nhiên có chữ số b/ Tất số lẻ có chữ số b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bµi 9Tính tổng a/ Tất số: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ Tất số: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: http://NgocHung.name.vn Båi dìng to¸n a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, H·y tìm công thức biểu diễn dãy số Ghi chú: Các số tự nhiên lẻ số không chia hÕt cho 2, biĨu diƠn lµ 2k  , k N Các số tự nhiên chẵn số chia hết cho 2, công thức biểu diễn 2k , k N) *Dạng 3: Tìm x http://NgocHung.name.vn Bài 1:Tìm x �N biết a) (x –15) 15 = c) 315+(125-x)= 435 b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x �N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 Bµi 3:Tìm x �N biết : a) x –105 :21 =15 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số 1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu? Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c Cho bảng vng gồm vng hình vẽ điền vào ô bảng số tự nhiên từ đến 10 10 (mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 ô vuông ô người ta viết số tự nhiên biết bốn ô tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào ô bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 viết lần.) cho tổng số hàng, 23 cột , đường chéo 17 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bơ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số 27 số liên tiếp tùy ý.chứng minh tổng số số dãy cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số 12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 Bµi 22 : Chøng minh r»ng (210 1)10 M25 Bài 23: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số a) Chøng minh r»ng: bMa b) Gi¶ sư b=k.a Chøng minh k ớc 10 c) Tìm số ab nói Phơng pháp 6: để chứng minh AMb ta biĨu diƠn A  A1  A2  An chứng minh Ai (i 1, n)Mb Bài 1: CMR: { M3 a) n N A  2.n  11 nc / s1 n {  n).bM9 b) a, b, n �N th× B  (10  1).a  (11 nc / s1 {   nM9 c) 88 nc / s Bài 24: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng minh aM9 Bài 25: Tìm chữ số x, y để 1994 xyM72 Các toán tổng hợp: Bài 1: Tìm n N để a) n 6Mn b) 4.n  5Mn c) 38  3nMn d) n  5Mn  e) 3n  4Mn  g) 2n 1M16 3n Bài 2: Tìm n N ®Ó: a) 3n  2Mn  b) n  2n  Mn  c) n  1Mn  d) n  8Mn  e) n  6Mn  g) 4n  5M2n  h) 12  nM8  n i) 20Mn k) 28Mn  l) 113  nM7 m) 113 nM13 n N Bài 3: Tìm để phân số sau có giá trị số tự nhiªn a) n2 b) n 1 c) n 1 n 1 d) 2n  n  5 Bài 4: Tìm n N để a) 4n 5M13 b) 5n  1M7 c) 25n  3M53 d) 18n 3M7 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho phân số sau có giá trị sè tù nhiªn 3n  n 1 2n  13 d) n 1 a) n  13 n 1 3n  e) n2 b) 3n  15 n 1 6n  g) 2n  c) Bµi 6: Tìm số tự nhiên n cho a) n  11Mn  b) 7nMn  c) n  2n  6Mn  d) n  n  1Mn  Bµi 4: Chøng minh r»ng: 88  220 M17 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m  4nM13 � 10m  n M13 m, n N Bài 6: Có hay không hai số tự nhiªn x, y cho ( x  y)( x  y )  2002 Bµi :Chøng minh r»ng ab cd M11 abcd M11 Bài : Cho hai số tự nhiên abc deg chia 11 d Chøng minh r»ng sè abc deg M 11 Bµi 10 : Cho abc  deg M13 Chøng minh r»ng: abc deg M13 Bµi 11:Cho biÕt sè abcM7 Chøng minh r»ng: 2a  3b  c M7 Bài 12 : Cho số abcM4 a, b chữ số chẵn Chứng minh rằng: a) cM4 b) bacM4 Bài 13: Tìm chữ số a, b cho a  b  4;7a5b1M3 Bµi 14: Cho 3a  2b M17(a, b �N ) Chøng minh r»ng: 10a  bM17 Bµi 15:Cho a  5b M17(a, b �N ) Chøng minh r»ng: 10a  bM17 Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10n  18M27 n N Bài 17: Chứng minh rằng: abcd M99 ab cd M99 ngợc lại Bài 3: Biết a  bM7 Chøng minh r»ng: abaM7 Bµi 4: BiÕt a  b  c M7 Chøng minh r»ng: nÕu abcM7 b=c Bài 5: Tìm số tự nhiên ab cho 567a9bM45 Bài 6: Tìm cặp số tự nhiªn (a,b) cho a) 1 b   a b) a   b Bµi 7: Cho sè N  dcba Chøng minh r»ng: a) N M4 � a  2b M4 b) N M8 � a  2b  4c M8 c) N M16 � a  2b  4c 8d M16 với b chẵn Bài 8: Chứng minh r»ng: a) x  y M17 � x  y M17 b) a  4bM13 � 10a  b M13 c) a  2bM17 � 10a  bM17 Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 10n  72n  1M81n �N { M81 b) 11 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè có hai chữ số chia hết cho tổng chữ số hàng chục lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho Bài 12: Với a, b chữ số khác Chøng minh r»ng: a) abbaM11 b) aaabbbM37 c) abababM7 d) abab  baba M9 vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho số tự nhiên A, Ngời ta đổi chỗ chữ số số A để đợc số B gÊp ba lÇn sè A Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 27 SỐ NGUYÊN TỐ – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác đònh số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M laø (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: D¹ng 1: Bài 1: Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hỵp sè: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 225 Bài 2: Chứng tỏ số sau hợp số: a/ 297; 39743; 987624 b/ 1111 có 2001 chữ số 2007 chữ sè c/ 8765 397 639 763 Híng dÉn a/ Các số chia hết cho 11 Dùng dấu hiệu chia hết cho 11 đê nhận biết: Nếu số tự nhiên có tổng chữ số đứng vị trí hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ ( số thứ tự đợc tính từ trái qua phải, số số lẻ) số chia hết cho 11 Chẳng hạn 561, 2574, b/ Nếu số có 2001 chữ số tổng chữ số 2001 chia hết cho Vậy số chia hết cho Tơng tự số có 2007 chữ số số ®ã còng chia hÕt cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 hợp số Bài 3: Chứng minh tổng sau hợp số a/ abcabc  b/ abcabc  22 c/ abcabc  39 Híng dÉn a/ abcabc  = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + V× 1001M7 � 1001(100a + 101b + c) M7 vµ M7 Do ®ã abcabc  M7, vËy abcabc  hợp số b/ abcabc 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001M11 � 1001(100a + 101b + c) M11 vµ 22 M11 Suy abcabc  22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hết cho 11 abcabc 22 >11 nên abcabc 22 hợp số c/ Tơng tự abcabc 39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc  39 >13 nên abcabc 39 hợp số Bài 4: a/ Tìm số tự nhiên k để số 23.k số nguyên tố b/ Tại số nguyên tố ch½n nhÊt? Híng dÉn a/ Víi k = 23.k = không số nguyên tố với k = 23.k = 23 số nguyên tố Với k>1 23.k M23 23.k > 23 nên 23.k hợp số b/ số nguyên tố chẵn nhất, có số chẵn lớn số chia hết cho 2, nên ớc số có ớc nên số hợp số Bài 5: Tìm số nguyên tố, biết số liền sau số nguyên tè Híng dÉn Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiếp có số chẵn số lẻ, muốn hai số nguyên tố phải có số nguyên tố chẵn số Vậy số nguyên tố phải tìm Dạng 2: Dấu hiệu để nhận biết số nguyên tố Ta cã thĨ dïng dÊu hiƯu sau ®Ĩ nhËn biÕt mét số có số nguyên tố hay không: Số tự nhiên a không chia hết cho số nguyên tố p mà p < a a số nguyên tố VD1: Ta biết 29 sè nguyªn tè Ta cã thĨ nhËn biÕt theo dÊu hiệu nh sau: - Tìm số nguyên tố p mà p2 < 29: số nguyên tè 2, 3, (72 = 49 19 nªn ta dừng lại số nguyên tố 5) - Thử phép chia 29 cho số nguyên tố Rõ ràng 29 không chia hết cho số nguyên tố số 2, 3, Vậy 29 số nguyên tố VD2: Hãy xét xem số tự nhiên từ 1991 đến 2005 số số nguyên tố? Hớng dẫn - Trớc hết ta loại bỏ số chẵn: 1992, 1994, ., 2004 - Loại bỏ tiếp sè chia hÕt cho 3: 1995, 2001 - Ta cßn phải xét số 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 ố nguyên tố p mà p < 2005 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Số 1991 chia hết cho 11 nên ta loại - Các số lại 1993, 1997, 1999, 2003 không chia hết cho số nguyên tố tên Vậy từ 1991 đến 2005 có số nguyên tố 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số nguyên tố,hợp số Bài tập Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100 M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) =  1; 2;3;6;9;18; 27;54 Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1)Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2)Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3)Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + vaø p + 10 b) P + 10 vaø p + 20 4) Cho p laø số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n �N*, biết anM5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba daïng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên toá) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia heát cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 (1) p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k � N) Daïng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 (2) Từ (1) (2) suy p + M6 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k �N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia heát hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có anM5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 Bài 1: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 2005 Bài 2: Tìm số nguyên tố p để p 11 số nguyên tố nhỏ 30 Bài 3: Cho A 52 5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số b) Số A có số phơng không ? Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) A 13.15.17  91 b) B  2.3.5.7.11  13.17.19.21 c) C  12.3  3.41  240 d) D  45  36  72  81 e) E  91.13  29.13  12.13 g) G  4.19  5.4 h) H   3.17  34.3 i) I    73   75 k) A  1.3.5.7 13  20 l) B  147.247.347  13 { { Bµi 5: Cho n �N * Chøng minh số A 11 1211 hợp số nc / s1 nc / s1 Bµi 6: a) Cho n số không chia hết cho Chứng minh r»ng: n chia d b) Cho p số nguyên tổ lớn Hỏi p 2003 số nguyên tố hay hợp số ? Bµi 7: Cho n �N ; n  n không chia hết cho Chứng minh rằng: n n đồng thời số nguyên tố Bài 8: Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng tỏ rằng: p có dạng 6k 6k  víi k �N * b) BiÕt p số nguyên tố Chứng minh rằng: p hợp số Bài 9: Cho p p số nguyên tố (p>3) Hỏi p+100 số nguyên tố hay hợp số Bµi 10: Cho n  29k víi k �N Với giá trị k n: a) Là số nguyên tố b) Là hợp số c) Không số nguyên tố không hợp số Bài 11: Chứng minh rằng: 8p-1 p số nguyên tố 8p+1 hợp số Bài 12: Tìm tất số nguyên tố p, q cho p q pq 11 số nguyên tố Bài 13: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 14: Tìm sè nguyªn tè p cho a) p  số nguyên tố b) p+8 p+10 số nguyên tố Bài 16: Cho n 2.3.4.5.6.7 CMR: số tự nhiên liên tiếp sau hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bài 17: Tìm số nguyên tố p cho p 6; p  8; p  12; p  14 số nguyên tố Bài 18:Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: ( p  1)( p  1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p 2p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 4p+1 hợp số Bài 20:Cho p 10p+1 hai số nguyên tố (p>3) Chứng minh rằng: 5p+1 hợp số Bài 21:Chứng minh với mäi sè nguyªn tè p >3, ba sè p, p+2, p+4 đồng thời số nguyên tố Bµi 22: Hai sè 2n  vµ 2n  với n >2 đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số đợc không ? Bài 23: Tìm số nguyên tố p để có a) p+10 p+14 số nguyên tố b) p+2; p+6 p+8 số nguyên tố c) p+6;p+12; p+24; p+38 số nguyên tố d) p+2; p+4 số nguyên tố Bài 24: Tìm sè nguyªn tè a, b, c cho 2a  3b  6c  78 Bµi 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 hợp số Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho p 44 số nguyên tố Bµi 27: CMR: Hai sè 1994100  vµ 1994100 đồng thời số nguyên tố Bài 28: Tìm số nguyên tố p cho p 94 p+1994 số nguyên tố Bài 29: Tìm tất số nguyên tố p để p p số nguyên tố Ước chung bội chung, ƯCLN, BCNN A/ Mục tiêu: - Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập - Vận dụng thành thạo tính chất chia hết vào tập - RÌn lun cho häc sinh thãi quen tù ®äc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1- TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan a m a n => a  m.n (m,n)=1 a.b  m => b m (a, m) =1 Bài 1: Tìm ƯCLN cđa VËy ¦CLN (144, 120, 135) = a/ 12, 80 56 c/ ƯCLN(150,50) = 50 150 chia hÕt b/ 144, 120 vµ 135 cho 50 c/ 150 50 d/ ƯCLN(1800,90) = 90 1800 chia d/ 1800 vµ 90 hÕt cho 90 Híng dÉn Bµi 2: T×m a/ 12 = 22.380 = 24 56 = 33.7 a/ BCNN (24, 10) VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = b/ BCNN( 8, 12, 15) b/ 144 = 24 32 120 = 23 Híng dÉn 135 = 33 a/ 24 = 23 ; 10 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 b/ = 23 ; 12 = 22 ; 15 = 3.5 5/ Tìm số tự nhiên a lớn biết 480  a 600  a Hướng dẫn : 480  a 600  a a lớn Nên a  ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết 126  x 210  x 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vì 126  x 210  x 15 < x < 30 nên x  Ư C (126,210) 15 < x Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do Ư C (126,210) =ƯC (42) = 1,2,3,6,7,.14,21,42 Vì 15 < x < 30 nên x =21 7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a  15 a  18 Hướng dẫn : Vì a  15 a  18 a nhỏ khác nên a  BCNN(15,18) Ta có 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 90 8/ Tìm bội chung 15 25 mà nhỏ 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nên BCNN(15,25) = B(75) =  0,75,150,225,300,375,450,  Các bội chung 15 25 mà nhỏ 400 0, 75, 150, 225,300, 375 Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a dư 4, chia 48 cho a dư Giải Chia 39 cho a dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , chia363 cho a dư 43 D¹ng 3: Các toán thực tế Bài 1: Một lớp học có 24 HS nam 18 HS nữ Có cách chia tổ cho số nam số nữ đợc chia vào tổ? Bài 2: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 ngời, 25 ngời, 30 ngời thừa 15 ngời Nếu xếp hàng 41 ngời vừa đủ (không có hàng thiếu, hàng) Hỏi đơn vị có ngời, biết số ngời đơn vị cha đến 1000? Hớng dẫnGọi số ngời đơn vị đội x (x �N) x : 20 d 15 � x – 15 M20 x : 25 d 15 � x – 15 M25 x : 30 d 15 � x – 15 M30 Suy x – 15 lµ BC(20, 25, 35) Ta cã 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k �N) x – 15 = 300k � x = 300k + 15 mà x < 1000 nên 300k + 15 < 1000 � 300k < 985 � k < 17 (k �N) 60 Suy k = 1; 2; ChØ cã k = th× x = 300k + 15 = 615 M41 Vậy đơn vị ®éi cã 615 ngêi Bµi 3: khèi – – theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh – 252 häc sinh xÕp hµng däc để điều hành cho hàng dọc khối nh Cã thĨ xÕp nhiỊu nhÊt thµnh mÊy hµng däc để khối không lẻ ? kho khối có hàng ngang? Bài 4: Có 100 90 bút chì đợc thởng cho số học sinh lại 18 bút chì không đủ chia Tính số học sinh Giải: Gọi số học sinh a: => 100  a ; 90 – 18  a Bµi 5: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 đợc số d 13 Giải Gọi số phải tìm a => a-  15 => a – + 30  15 a – 13  35 a – 13 + 35  35 => a + 22 35 a + 22 15 Bài 6: Tìm dạng chung số tự nhiên a cho chia 4; 5; lần lợt có số d 3; 4; chia hết cho 13 Giải ; a +  BC (4; 5; 6) => a +  60 => vµ a  13 a + – 300  60 => a – 299  60 a – 13 23  13 a – 299  13 => a – 299  BCNN (60; 13) a – 299  780 => a = 780b + 299 (b N) Bài 7: Tìm số tự nhiên nhá nhÊt chia cho 5; cho 7; d lµ 3; 4; Giải ; Gọi số phải tìm A => 2a chia cho 5; 7; ®Ịu d 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315  2a – = 315 => a = 158 Bài 8: Số HS trờng khoảng từ 2500 đến 2600 Nếu toàn thể HS trờng xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn Tính số HS cđa trêng ? Lêp gi¶i: Gäi sè HS cđa trêng lµ x (x �N, 2500 < x < 2600) Từ giả thiết suy a + số chia hết cho 3, 4, Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng d 403 2601 chia 420 d 81 nên a + = 420.6 tøc lµ a = 2518 VËy sè HS cđa trêng lµ 2518 em Bµi 9: Mét thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 625 bíp lúc 10h sáng kêu hỏi lúc kêu (10h 31p) Bµi 10: Sè HS cđa mét trêng THCS lµ sè tự nhiên nhỏ có chữ số mà chia số cho cho 6, cho d Gọi số HS trờng x (x �N) x : d � x – M5 x : d � x – M6 x : d � x – M7 Suy x – lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (k �N) x – = 210k � x = 210k + mµ x sè tự nhiên nhỏ có chữ số nên x � 1000 suy 210k + � 1000 � k 53 (kN) nên k nhỏ k = 70 Vậy số HS trờng x = 210k + = 210 + = 1051 (häc sinh) Bµi 11 Có 100 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số phần thưởng gôm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như lại 18 bút bi chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Bµi 12 Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách Bµi 13 Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ cho số nam nữ chia cho tổ Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy? Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho khơng dư a) Tìm số nhỏ có tính chất a) Tìm dạng chung số có tính chất Giải a) Gọi x số phải tìm x –  ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 , 181,241,301,… Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301 a) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n  N*) x  ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n  ,do để x  phải có 4(n + 2)  hay n +  dặt n + = 7k n = 7k – (k  N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, … Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, Ngọc trực nhật lần.lần đầu ba em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần? Bµi 18 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp Tính khống cách lớn hai liên tiếp (Khoảng cách số tự nhiên với đơn vị mét ) Khi tổng số ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cách liên tiếp a (mét) góc vườn có khoảng cách liên tiếp lớn nên 105  a 60  a a lớn  => a ƯCLN(105,60) Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn liên tiếp 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số 330 : 15 = 22 9/ Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm a (0