GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7

Ngày soạn: Ngày giảng: Ôn tập số hữu tỉ, số thực Phần 1: Lý thuyết 1,Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ Với x= a b , y= ( a,b,m ∈ Z m ≠ ) m m a b a+ b x +y = + = m m m a b a− b x −y = − = m m m a c x = , y = ( y ≠0) b d a c a.c x y = = b d b.d a c a d a.d x: y = : = = b d b c b.c 2,Giá tri tuyệt đối số hữu tỉ +/ Với x ∈ Q Ta có  x x ≥ x=   -x x < Nhận xét : Với x ∈ Q, ta có: x≥ 0, x= -xvà x≥ x +/ Với x,y ∈ Q Ta có x + y ≤ x + y ( Dấu xảy dấu nghĩa x.y ≥ ) x − y ≥ x − y ( // … // ) Phần II: Bài tập vận dụng Bài Thực phép tính: ( ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 −3 −5 −7 − −49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 −(12.50 +25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 2: Thực phép tính: A= A= 212.35 −46.9 ( 3) +8 212.35 −46.9 ( 22.3) +84.35 − − 510.73 −255.49 ( 125.7 ) +59.143 510.7 −255.49 ( 125.7 ) +59.143 10 212.35 −212.34 510.73 −5 = 12 − 3 +212.35 +59.23.7 212.34 ( −1) 510.7 ( −7 ) = 12 − ( +1) 59.73 ( +23 ) : 10 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = Bài a) Tìm x biết: 2x + = x + b) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi Giải a) Tìm x biết: 2x + = x + Ta có: x + ≥ => x ≥ - + Nếu x ≥ - 2x + = x + => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - ≤ x < => x = - Thì 2x + = x + => - 2x - = x + 2 (Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A >1 + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ≤ x ≤ 2007 Cách : Dựa vào hai số đối có giá trị tuyệt đối - GV: Gọi học sinh trình bày Bài 4: Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) − ( x − 7) =0 - GV: Hướng dẫn giải a, 4 −16 x − + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 x +1 x +11 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x − = ⇔  13  x− =−2   x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3  b) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   ⇔ ( x − 7) ( x +1) 1 − ( x − ) 10  =     x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0   ⇔  x −7=010⇒ x =7  ( x −7) =1⇒ x=8 1,11 + 0,19 − 1,3.2 1 −( + ):2 2, 06 + 0,54 Bài tập nhà : Bài 1,Cho 23 B = (5 − − 0,5) : 26 A= a, Rút gọn A B b, Tìm x ∈ Z để A < x < B Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x − 2002 + x − 2001 Ngày soạn: Ngày giảng: Luỹ thừa số hữu tỉ A Lý thuyết n 1, x m x n = x m+ n 2, x m : x n = xm− (x ≠ 0, m ≥ n) 3, ( x m ) n = x m n 4, ( x y ) m = xm.y m x m xm ) = m (y ≠ 0) y y n 6, = a− an 5, ( - GV: Cho học sinh ghi lại nội dung cơng thức Dang1: Tìm chữ số tận cùng: Tìm chữ số tận An, n ¹ *Nhận xét: “Nếu chữ số tận A b, chữ số tận A n chữ số tận bn” Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A có chữ số tận 0, 1, 5, A n có chữ số tận tương ứng 0, 1, 5, 2)Nếu A có chữ số tận 4, A2k có chữ số tận tương ứng 6, 3)Nếu A có chữ số tận 2, 3, 7, A 4k có chữ số tận tương ứng 6, 1, 1, *Áp dụng: VD1: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau: 192008; 12100; 12103 Lời giải: a) 192008 =192.1004 =(192)1004 =3611004 3611004có tận ⇒ 192008 có tận b) 12100=124.25=(124)25 124 có tận ⇒ (124)25 có tận Vậy 12100 có tận c) 12103=123 12102 có tận VD2: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau: 172007, 1921; 131003 Lời giải: Ta tìm cách liên hệ luỹ thừa với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng ý nhận xét đ ây Thật vậy, 172007=17 172006=17 174.501 =17.(174)501 174 có tận (174)501 có tận 17.(174)501 có tận Vậy 172007có tận Tương tự 1921=19 192.10 suy 1921 có tận 131003=133 134.250 suy 131001 có tận VD3: Chứng minh 3366 +7755 – chia hết cho Lời giải: Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận sau vận dụng dấu hiệu chia hết cho Thật vậy, 3366 có chữ số tận với 66, mà 366=933=9.92.16 suy 366 có tận 9, 77 55có chữ số tận với 55, 755=73.74.13 nên 755 có tận Do 3366, 7755 có chữ số tận 9, suy 33 66 +7755 – tận (đpcm) Bài tập: 1/ a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhận thấy luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đ trình bày lại luỷ thừa mà số 2, , , , , 2/Tìm chữ số tận của: a) 71992 (HD: = 74 tận 1) b) 9101 c) 24100 d) 19451945 ; e) 21000 f) 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 3: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau : a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận lũy thừa bậc n số tự nhiên phụ thuộc vào chử số tận số tự nhiên mà thơi (cơ số) Như tố thực chất toán a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6.1292 = M b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3 c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C )499 1234 = G d) 12371997 = 12374 499 +1 = (12374) 499 1237 = (D1) 499 1237 = X Dạng 2: Chứng minh Chia hết Vận dụng vào toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chữ số tận giống thực phép trừ có chữ số tận ta có toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu số có tận số có tận chẳng hạn ta có tốn chứng minh tổng hai số chia hết cho (vì chữ số tận tổng 4) Các toán cụ thể : Hãy chứng minh a) 12921997 + 33331997  Theo tốn ta có 12921997 = M 33331997 = D3 tổng hai số có tận ⇒ 12921997 + 33331997  a) Chứng minh 16281997 + 12921997  10 Áp dụng qui tắc tìm chữ số tận ta có 16281997 có tận M 12921997 Sẽ Có tận N Như 16281997 + 12921997  10 (vì chữ số tận tổng 0) Ta vận dung hiệu hai số tích hai số để toán chứng minh tương tự a) 4343-1717 chia hết cho 10 b) 3636 -910 chia hết cho 45 c) 71000 -71000 chia hết 10 d) (210+ 211+212) chia hết cho e) 810-89-88 chia cho 45 số tự nhiên Giải: a) 4343 = 434)10.433 = (số có tận 1)10.( số có tận 7)= (số có tận 1717 = 174.173 ( 1)4 = ( 7) = số có tận Vậy 4343-1717 có tận nên chia hết cho 10 b) 3636 có tận có tổng chữ số chia hết cho 910= (81)5 có tận chia hết cho Vậy sơ có tận => chia hết cho 5, số hạng chia hết tổng chia hết cho Số vừa chia hết cho vừa chia hết chia hết cho 45 c) 71000 =(74)250 = ( 1)250 = tận 31000 = (34)250 =( 1)250 tận Vậy hiệu tận nên chia hết cho 10 d) Đặt thừa số chung e) Đặt thừa số chung f) Chứng minh: 175+244-1321 M10 g) Chứng minh: 71999-43M100 h) Chứng minh rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho 77 i) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: j) S = 3n + − 2n + + 3n − 2n chia hết cho 10 Ngày soạn: Ngày giảng: Luỹ thừa số hữu tỉ (tiếp) Dạng 3: So sánh hai lũy thừa I Phương pháp : Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu hai luỹ thừa có số ( lớn ) luỹ thừa có số mũ lớn lớn Nếu m > n am > an ( a > ) - Nếu hai luỹ thừa có số mũ ( lớn ) luỹ thừa có số lớn lớn Nếu a > b an > bn ( n > ) - Ngồi để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu ( Nếu a > b b > c a > c ) , tính chất đơn điệu phép nhân ( Nếu a > b ac > bc với c > ) II Các ví dụ Ví dụ : So sánh 1619 825 - Cách giải : Ta thấy số 16 khác luỹ thừa nên ta tìm cách đưa 1619 825 luỹ thừa số - Giải : So sánh 1619 825 Ta có : 1619 = ( 24 )19 = 24.19 = 276 825 = ( 23 )25 = 23.25 = 275 Vì 276 > 275 nên 1619 > 825 Ví dụ : So sánh 2300 3200 - Cách giải: Ta thấy số mũ 300 200 chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa số 2300 3200 số có luỹ thừa bậc 100 - Giải: So sánh 2300 3200 Ta có : 2300 = 23.100 = 8100 3200 = 32.100 = 9100 Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 Ví dụ 3: So sánh 3111 1714 - Cách giải: Ta thấy tốn khơng dùng cách ví dụ ví dụ được, nên phải tìm cách so sánh gián tiếp qua số khác ( thêm, bớt, vận dụng số tích chất khác ) - Giải: : So sánh 3111 1714 Ta có : 3111 < 3211 Mà : 3211 = (25)11 = 255 Vậy 3111 < 255 1714 > 1614 Mà : 1614 = (24)14 = 256 Vậy 1711 > 256 Mà 256 > 255 Nên 3111 < 1714 III Các tập: So sánh hai số sau a) 25 125 ; 536 1124 ; 32n 23n ( n số tự nhiên khác 0) b) 523 6.522 ; 7.213 216 ; 339 1121 c) 10750 7375 ; 291 535 ; 544 2112 ; 421 647 ; 530 12410 Dạng : Thực phép tính Tính tổng: G= + 32 + 33 + 34 +32008 Lời giải: 3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009 2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35 +32009) – (3 + 32 + 33 + 34 +32008) = 32009 – ⇒ G= 2009 − Ta tổng quát toán thành toán sau: Tính tổng: G= a + a2 + a3 + a4+…+an (với a n số nguyên dương a ≠ 1) Lời giải: aG = a2 + a3 + a4 +a5+ +an (a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+ +an+1) –( a + a2 + a3 + a4+ +an) = an+1 – a a n +1 − a a −1 ⇒ G= Bài toán 3: Tính tổng: H = 1 1 + + + + 2008 5 5 Ta tính tổng H theo tốn cách đặt = a H = a + a2 + a3 + a4+…+a2008 Tuy ta cịn có cách khác phù hợp hơn: 5.H = + 1 1 + + + + 2007 5 5 4H=5H –H = (1 + 1 1 1 1 + + + + 2007 ) –( + + + + 2008 ) 5 5 5 5 = 1- 2008 ⇒ H= = 2008 − 2008 2008 − 4.5 2008 Ta tổng quát toán thành toán sau: Tính tổng:H = 1 1 + + + + a (với a n số nguyên dương a ≠ 1) a a a a Bài giải: a.H= + (a-1)H = aH – H = ( + 1 1 + + + + a −1 a a a a 1 1 1 1 + + + + a −1 ) – ( + + + + a ) a a a a a a a a 10 b x+4 = ⇒28 + x = 28 + y 7+ y x y x+ y ⇒ = = 4+7 x y 22 ⇒ = = =2 11 x ⇒ = 8; y = 14 0,5 0,5 0,5 0,5 A I M B C H K E Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC (2 góc có vị trí so le tạo = MEB đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · ( ∆AMC = ∆EMB ) MAI = MEK AI = EK (gt ) · Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) Suy ra: ·AMI = EMK · Mà ·AMI + IME = 1800 ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 1800 ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng µ = 900 có HBE · Trong tam giác vng BHE ( H = 500 · · ⇒ HEB = 900 − HBE = 900 − 500 = 400 · · · ⇒ HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 · góc ngồi đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 150 + 900 = 1050 ( định lý góc tam giác ) Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa 56 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian chép đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) Số tiền trả cho người đánh máy thảo 410 000đ Người thứ làm việc 16 giờ, đánh trang, người thứ hai 12 giờ, đánh trang, người thứ ba làm 14 giờ, đánh trang Hỏi người nhận tiền ? (Biết số tiền đánh chi trả cho trang nhau) Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x thỏa mãn: 2x − − = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 2013 + − x Bài 3: (4,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = x  2 a) Tính f(1); f(1,5); f(2); f(3); f  − ÷  3 b) Tìm x, biết y = 3, y = - c) Điểm điểm sau không thuộc đồ thị hàm số:   A(-1; -6), B(0,5; 10), C(-0,5; -12), D  − ; −3 ÷   a b c Bài 4: (4,0 điểm) Biết = = (với a ≠ 0, b ≠ 0,c ≠ ) b c a a 670 b 672 c673 Tính giá trị biểu thức: a 2015 Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 90 0, M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MK = MB C/mr: a) KC vng góc với AC; b) AK//BC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung đánh giá - Số trang sách người thứ đánh được: 16 = 48 (trang) 57 Điểm 0,25 - Số trang sách người thứ hai đánh được: 12 = 60 (trang) - Số trang sách người thứ ba đánh được: 14 = 56 (trang) Gọi x, y, z số tiền tính theo đồng mà người thứ nhất, thứ thứ trả, theo ta có: x y z = = x + y + z = 410 000 48 60 56 Theo t/c dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+y+z 410000 = = = = = 2500 48 60 56 48 + 60 + 56 164 ⇒ x = 48.2500 = 120000; y = 60.2500 = 150000; z = 56.2500 = 140000 Vậy số tiền người thứ nhận 120 000 đ, người thứ hai nhận 150 000 đ, người thứ ba nhận 140 000 đ 1 11 a) 2x − − = ⇒ 2x − = + ⇒ 2x − = 2 11  2x − =  ⇒  2x − = − 11  13  2x =  ⇒  2x = −  13  x = ⇒ x = −  13 x = − 4 b) Áp dụng công thức: x + y ≥ x + y Vậy x = suy ra: A = x − 2013 + − x ≥ x − 2013 + − x = 2012 = 2012 Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ 2012 (x – 2013) (1 – x) dấu, tức ≤ x ≤ 2013 58 0,25 0,25 0,25 1,0 1,0 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Hàm số y = f(x) = x 6 6  2 = ; f(2)= = ; f(3)= = ; f  − ÷= a) f(1)= = ; f(1,5)= 1,5  3 = −9 − 6 b) y = ⇒ = ⇒ x = , y = - ⇒ = −2 ⇒ x = −3 x x = −6 (t/m) c) * A(-1; -6) ⇒ x = −1 y = - Mà f(-1) = −1 1 = 12 (không t/m) * B( ; 10) ⇒ x = y = 10 Mà f( ) = 1: 2 1 = −12 (t/m) * C (- ; - 12) ⇒ x = − y = -12 Mà f(- ) = −1: 2 1 = −18 (không * D(- ; -3) ⇒ x = − y = - Mà f(- ) = 3 −1: t/m) Vậy điểm A, C thuộc đồ thị hàm số y = f(x) = ; điểm B, x D không thuộc đồ thị hàm số y = f(x) = x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a +b+c = = = =1 b c a b+c+a a = 1⇒ a = b b b =1⇒ b = c c c =1⇒ c = a a ⇒a=b=c a 670 b 672 c673 a 670 a 672 a 673 a 2015 = = 2015 = Vậy a 2015 a 2015 a GT 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 µ = 900 ∆ ABC, A 0,5 59 MA = MC = MK = MB KL AC 1,0 a) KC ⊥ AC b) AK//BC 1,0 a) Xét ∆ AMB ∆ CMK có: MA = MC, 1,0 MK = MB (gt) · · (đối đỉnh) AMB = CMK 0,5 ⇒ ∆ AMB = ∆ CMK (c.g.c) · · ⇒ KCM = BAM = 900 ⇒ KC ⊥ AC b) Xét ∆ AMK ∆ CMB có: MA = MC, MK = MB (gt) · · (đối đỉnh) AMK = CMB ⇒ ∆ AMK = ∆ CMB (c.g.c) · · (Hai góc tương ứng) Mà góc vị trí so le ⇒ MAK = MCB nên suy AK//CB UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian chép đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI (Đề gồm 05 câu) Câu 1: (4 điểm) Thực phép tính  −1  a)  + ÷ :  3 1 + − 2003 2004 2005 b) 5 + − 2003 2004 2005 Câu 2: (4 điểm) − 2 + − 2002 2003 2004 3 + − 2002 2003 2004 a) Tính giá trị biểu thức A = 3x2 + 2x -1 x = 60 x −1 x − x − x − x − + + = + 19 18 17 16 Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng: 94260 – 35137 M5 Câu 4: (4 điểm) a b c a) Tìm a, b, c biết: = = a + 2b - 3c = -20 a c 5a + 3b 5c + 3d = b) ) Chứng minh = b d 5a − 3b 5c − 3d (giả thiết tỉ số có nghĩa) Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o b) Tìm x, biết: · · Tính HEM BME _HẾT _ (Giám thị coi kiểm tra khơng giải thích thêm) Câ u HƯỚNG DẪN CHẤM Thi chọn học sinh giỏi Mơn: Tốn Lớp: Nội dung Ý a b Điể m  −1     + ữ : = ữ ì 6 25 = × = 36 1,0 1,0 1 + − 2003 2004 2005 5 + − 2003 2004 2005 2 + − − 2002 2003 2004 3 + − 2002 2003 2004 1   1 1  + − + − ÷  2002 2003 2004  = 2003 2004 2005 − 1  1     + −  + − ÷ ÷  2003 2004 2005   2002 2003 2004  61 1,0 0,5 − 3 10 −7 − = = 15 15 15 = 0,5 1 Ta có x = suy x = x = − 3 +/ Thay x = vào biểu thức A ta A = 3x2 + 2x -1 x = 0,5 a 1 1 A =  ÷ +  ÷− 3 3 2 1+ − = 3× + −1 = + − = = =0 3 3 3 +/ Thay x = - vào biểu thức A ta 0,75 0,75 2  1  1 A =  − ÷ +  − ÷−  3  3 −2 −2 + (−2) + = 3× + −1 = + − = = 3 3 3 Vậy với x = A = với x = - A = 3 x −1 x − x − x − x − + + = + 19 18 17 16 x −1 x−2 x −3 x−4 x−2 −1 + −1+ −1 = −1+ −2 19 18 17 16 x − 20 x − 20 x − 20 x − 20 x − 20 + + = + 19 18 17 16 b x − 20 x − 20 x − 20 x − 20 x − 20 + + − − =0 19 18 17 16  1 1 1 ( x 20) ì + + ữ =  19 18 17 16  x - 20 = x = 20 Vậy x = 20 94260 – 35137 M5 Ta có: 9421 9422 9423 9424 9425 Chữ số tận 62 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 9426 … … 94260 0,5 => 94260 có chữ số tận 3511 3512 3513 … Chữ số tận 1 … => 35137 có chữ số tận Nên 94260 – 35137 có chữ số tận – = M5 Vậy 94260 – 35137 M5 35137 0,5 0,75 0,25 a b c = = a + 2b - 3c = -20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c a 2b 3c a + 2b − 3c −20 = = = = = = = =5 12 + − 12 −4 a a Từ = => a = 2.5 = 10 b = => b = 3.5 = 15 c = => c = 4.5 = 20 Vậy a = 10; b = 15; c= 20 a c a b Từ = => = c d b d b Theo tính chất dãy tỉ số ta có a b 5a 3b 5a + 3b 5a − 3b = = = = = c d 5c 3d 5c + 3d 5c − 3d 5a + 3b 5c + 3d = => (ĐPCM) 5a − 3b 5c − 3d 0,5 0,5 A I M B C 0,25 H K Ghi GT, KL E a Xét ∆AMC ∆EMB AM = EM (gt ) ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) => ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) ⇒ AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) 0,25 63 · · = MEB ( Hai góc tương ứng) ⇒ MAC · · Mà góc MAC , MEB có vị trí so le đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) => AC // BE b Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) MAI AI = EK (gt ) => ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · Suy ·AMI = EMK (Hai góc tương ứng) · Mà ·AMI + IME = 180o ( hai góc kề bù ) 0,5 0,5 0,5 · · ⇒ EMK + IME = 180o ( hai góc kề bù ) ⇒ Ba điểm I; M; K thẳng hàng c µ = 90o ) có HBE · Trong tam giác vng BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o ⇒ HBE · · · = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o ⇒ HEM · góc ngồi đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc tam giác ) 1 Lưu ý: Học sinh làm theo khác cho điểm tối đa UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian chép đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI ( Đề gồm câu) Câu 1( 4,0 điểm): Thực phép tính( tính nhanh có thể) −1 −4 1.1) ( + ) : + ( + ) : 11 11 1.2) (32)2 1 −2 – (-5)2 - ( ) 27 25 Câu 2( 2,0 điểm): 2.1) Tính: 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 64 3x − − 2.2)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu 3( 3,0 điểm): 3.1) Cho tỉ lệ thức 3.2) Tìm x, biết: a c ab a − b = Chứng minh rằng: = b d cd c − d − − 2x = 4 Câu 4( 3,0 điểm): 4.1) Tìm hai số x y biết x y = x + y = 20 4.2) Tính giá trị biểu thức: A = x + xy − y với x = 2,5; y = −3 Câu 5( 2,0 điểm): Cho A = + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Câu 6( 6,0 điểm): Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE = Câu Ý 2 AB + AC Hướng dẫn chấm Nội dung −1 −4 −1 −4 7 ( + ): + ( + ): =( + + + ): = 0: = 11 11 9 11 11 Điểm 1 −2 – (-5)2 - ( ) 27 25 1 = 81 -25 - 27 25 =3–1- = 3 2 2 + + + + 1.3 3.5 5.7 99.101 (32)2 65 1 1 1 = − + − + + − 3 99 101 100 = 1− = 101 101 3x − ≥ ⇒ 3x − ≥ ⇒ x − − ≥ −4 GTNN = -4 3x – = hay x = 1 a c = = k , suy a = bk , c = dk b d ab bk b kb b Ta có: (1) = = = cd dk d kd d a − b (bk ) − b b k − b b k − b = = = = (2) c − d (dk ) − d d k − d d k − d Đặt ( ( Từ (1) (2) suy ra: − − 2x = 4 1 − 2x = − 4 − 2x = 12 2x = − 12 2x = + TH : x = :2 x= 12 ) ) ab a − b (đpcm) = cd c − d − 2x = 12 0,5 −1 − 2x = 12 −1 2x = − 12 2x = + TH 2: x = :2 x= Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 66 1,5 x y x + y 20 = = = =4 2+3 x =4⇒ x =8 y = ⇒ y = 12 A = x + xy − y với x = 2,5; y = −3 −3 −3 A = 2.2,5 + 2.2,5 4 −15 =5+ + =5-3=2 4 −3 + TH 2: x = −2,5; y = −3 −3 A = 2.(-2,5) + 2.(-2,5) 4 15 −1 = -5 + + =-5+ = 4 2 −3 + TH 1: x = 2,5; y = A = + 32 + 33 + + 3100 3A = +3 + +3 101 2A = 3101- 101 -3+3=3 1 n 1 n=101 ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) ⇒ AE = AF + Kẻ BI // AC ⇒ ∆MBI = ∆CMF( c g c) · µ = AF · E ∆AEF cân A ⇒ BIE = ·ABF ( cặp góc đồng vị ) mà E µ = BEI · ⇒E ⇒ ∆ BEI cân B ⇒ BE = CF a) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC 1 AE = AF ⇒ AE = AB + AC hay AE = 67 AB + AC * Chú ý : Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa UBND HUYỆN TAM ĐƯỜNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian chép đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI (Đề gồm 06 câu) Câu (2,0 điểm) Thực phép tính: a) A = 212.35 −46.9 ( 3) +84.35 − 510.7 −255.49 ( 125.7 ) +59.143 b) B = 1+5+52+53+… +52008+52009 Câu (4,0 điểm) Tìm hai số x y biết: a) 3x − + y + = x b) y = Và 5x – 2y = 87 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức biết: B= 3x + 8, − 24, Câu (2,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n 3n+2 – 2n+2+3n –2n Chia hết cho 10 Câu (4,0 điểm) Ba lớp 7A1,7A2,7A3 có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A1 trồng cây, học sinh lớp 7A2 trồng cây, học sinh lớp 7A3 trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số trồng lớp Câu (6,0 điểm) Cho hình vẽ: Chứng minh O trung điểm AC BD 120o 60o 68 _HẾT _ (Giám thị coi kiểm tra khơng giải thích thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM Thi chọn học sinh giỏi Mơn:Tốn Lớp:7 Nội dung Câu Ý A= −4 12 ( 3) 6 +84.35 − −25 49 10 (125.7 ) Điểm 0.25 +59.143 10 212.35 −212.34 510.73 −5 = 12 − +212.35 59.73 +59.23.7 2.0 điể m a 212.34 ( −1) 510.7 (1 −7 ) = 12 − 3 ( +1) (1 +23 ) 510.7 ( −6 ) 212.34.2 = 12 − 59.73.9 = b a −10 − = 4.0 điể m  3x − = a) 3x − + y + = ⇔  y + =  3 x − = ⇔ 5 y + =  x= ⇔  y = −1 b b) x = y 0.25 0.25 B = 1+5+52+53+… +52008+52009 5B=5+52+53+… +52008+52009+52010 4B=52010 - B=(52010 - 1)/4 0.25 Và 5x – 2y = 87 0.25 0.25 0.5 0.5 1.0 0.25 x x y = ⇒ = y Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 0.25 0.75 x=3.7=21 y=3.3=9 Vậy x=21; y=9 0.25 0.25 0.25 x y x − y 87 = = = =3 35 − 29 69 2.0 điể m 2.0 điể m 0.5 B= x + 8, − 24, 3x + 8, ≥ (∀x ∈ ¡ ) Min 3x + 8, = ⇔ 3x + 8, = ⇔ x = −2,8 Min B = 3.(−2,8) + 8, − 24, = −24, 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n Chia hết cho 10 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n =( 3n+2 +3n )– (2n+2+ 2n) = 3n( 32 +1 )–2n (22+ 1) = 3n.10 –2n-1.10 Vậy với số tự nhiên n 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n Chia hết cho 10 Gọi số học sinh lớp x,y,z ( x, y, z ∈ N * ) 0.75 0.75 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 ta có: x+y+z=94 Theo đề ta có: 3x=4y=5z ⇔ x y z = = 1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bàng ta có: 4.0 điể m 6.0 điể m x y z x+ y+z ⇔ = = = 1 1 1 + + 5 94 = = 120 47 60 ⇔ x = 120 = 40 ⇔ y = 120 = 30 ⇔ z = 120 = 24 1.0 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 0.25 Vậy Lớp 7A1 có 40 học sinh, Lớp 7A2 có 30 học sinh, 0.25 Lớp 7A có 24 học sinh Viết GT-KL CM AB//CD CM ∆AOB = ∆COD( g c.g ) Suy OA=OC; OD=OB 0.5 2.0 2.0 1.5 (Học sinh làm cách khác xác chấm điểm tối đa) 70