chuyên đề căn bậc hai PARABOL 2

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG I ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN) NGHỊCH BIẾN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Xét hàm số y = ax , a ≠ - Nếu a > hàm số đồng biến x > ) Nghịch biến x < - Nếu a < hàm số đồng biến x < ) Nghịch biến x > II VÍ DỤ Ví dụ Hàm số y = 3x có a = > nên : Hàm số số y = 3x đồng biến khi x > , Nghịch biến x < Ví dụ Hàm số y = −5x có a = −5 nên; 2 Hàm số số y = −5x đồng biến khi x < ) Nghịch biến x > y = ( m − 2) x Ví dụ Tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến x > y = ( m − 2) x Lời giải: Hàm số hàm số có dạng y = ax với a = m − y = ( m − 2) x Hàm số đồng biến x >  m − >  m > y = ( m − 2) x Vậy m > hàm số đồng biến x > y = ( − m) x2 Ví dụ Tìm giá trị tham số m để hàm số nghịch biến x > y = ( − m) x2 Lời giải: Hàm số hàm số có dạng y = ax2 với a = − m y = ( − m) x2 Hàm số nghịch biến khi x >  − m <  m > y = ( − m) x2 m > Vậy hàm số nghịch biến x > III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Trong hàm số sau hàm số đồng biến x > ? Vì sao? ( ) ( ) y = ( 4− 5) x f) y = − x2 a) y = 12x b) d) y = −8x 2 e) y = (m + 1)x c) y = − x2 Bài Trong hàm số sau hàm số nghịch biến x > ? Vì sao? a) y = −5x d) y = x ( ) b) y = ( − 3) x e) y = − 10 x 2 ( 5−3 3) x c) ( − 5) x f) 2 Bài Trong hàm số sau hàm số đồng biến x < ? Vì sao? ( ) y = 12 − x 2 a) y = 2x b) d) y = − x 2 e) y = (2m − 5)x ( ) y = ( 3+ 5) x f) c) y = − 11 x Bài Trong hàm số sau hàm số nghịch biến x < ? Vì sao? a) y = 3x b) ( ) y = − 26 x c) ( ) y = − x2 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI d) y = −6x 2 e) y = −(−2m − 1)x a) y = (m − 3)x y = (6 − m)x 2 b) y = (2m − 1)x 2 e) y = (m − 1)x ( d) Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số sau đồng biến x < d) ) y = − x2 c) ( ) y = m − x2 2 d) y = (3 − m )x Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số sau nghịch biến x < a) y = (2m + 3)x ( b) y = (1 − m)x ) y = − m x2 c) ( ) y = m − x2 d) e) y = (m − 5)x d) y = (9 − m )x Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số sau đồng biến x > a) y = −3mx ( 2 2 b) y = (m − 5)x ) y = − m x2 c) ( ) y = m + x2 d) e) y = (3m − 2)x d) y = (m + 1)x Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số sau nghịch biến x > a) y = (m − 1)x ( 2 ( m − 2) x c) y = ( − m) x d) y= b) y = 2mx ) y = − m x2 2 e) y = (m + 6)x d) Bài Hãy chọn đáp án Câu Hàm số y = - 100x2 đồng biến : A x > B x < 2 C x R D x ≠ y = − x nghịch biến khi: Câu Hàm số A x ∈ R B x > C x = Câu Hàm số hàm số sau đồng biến R: D x < y = − 2x y = x −1 y = x2 A B C D B, C Câu Trong hàm số sau đây) hàm số đồng biến x âm nghịch biến x dương ? y = − x2 C A y = 2x B y = −3x D y = 3.x Câu Trong hàm số sau đây) hàm số đồng biến x dương nghịch biến x âm ? A y= ( ) − x B y = − 3.x y = − x2 C D y= 2 x2 2 Câu Cho hàm số y = (k − k )x Điều kiện để hàm số đồng biến x < nghịch biến x > là: A k > B k − D m≥− CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI f (x ) = (a − 2)x , g(x ) = (a − 1)x Điều kiện để hàm số f (x ) đồng Câu Cho hai hàm số sau: biến hàm số g(x) nghịch biến x âm là: A ≤ a ≤ B a > C < a <  1 y =  m − ÷x 2  đồng biến x < nếu:  Câu Hàm số m< A B m = y = −x C m> D a < D m= 2 Câu 10 Hàm số đồng biến khi: A x > B x < C x ∈ R Câu 11 Hàm số đồng biến x < nghịch biến x > ? A y = −3x + B y = x − C y = x D x > D y = −3x DẠNG II TÌM CƠNG THỨC CỦA HÀM SỐ BIẾT (P) ĐI QUA ĐIỂM A( X0 ; Y0 ) I KIẾN THỨC CƠ BẢN + Đồ thị hàm số y = f (x) qua điểm A(x ; y ) ) ⇔ y = f (x ) + Thay x y ) vào cơng thức hàm số tìm a + Thay a vào công thức ban đầu tìm cơng thức hàm số II VÍ DỤ Ví dụ Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm A(4; −1) 2 Lời giải: Đồ thị hàm số y = ax qua điểm A(2; 2) ⇔ = a.(−1) ⇔ a = Vậy hàm số cho có cơng thức y = 4x 2 Ví dụ Tìm cơng thức hàm số y = (m − 2) x biết đồ thị hàm số qua điểm A(1; 2) 2 2 Lời giải: Đồ thị hàm số y = (m − 2)x qua điểm A(1; 2) ⇔ = (m − 2).1 ⇔ m − = 2 Vậy hàm số cho có cơng thức y = 2.x III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Viết phương trình parabol dạng y = ax qua điểm M(2; 4) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm A( −1; 2) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−2; −1) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm ( ; ) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−1; −1) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−1; −1) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−1; −1) Bài Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−3; −6) Bài Tìm công thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (1; 4) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài 10 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (2; −4) Bài 11 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (3; −1) Bài 12 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−2; 6) Bài 13 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−1; 3) Bài 14 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (2; −8) Bài 15 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−3; −9) Bài 16 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (−2; 3) Bài 17 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm (− ; −1) 1  ; 2÷  Bài 18 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm      − ; 1÷ Bài 19 Tìm cơng thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm   1 1  ; ÷ Bài 20 Tìm công thức hàm số y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm   DẠNG VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM I KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất: + Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) parabol có đỉnh O, nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thỡ đồ thị nằm phớa trờn trục hoành nhận O điểm thấp đồ thị + Nếu a < 0thỡ đồ thị nằm phớa trục hoành nhận O điểm cao đồ thị Cách vẽ : + Lập bảng số cặp giá trị tương ứng x y ( Thường cặp giá trị) x lấy giá trị giá trị số nguyên đối gần số 0) chẳng hạn −2 −1 x y = ax 4a a a 4a + Biểu diễn cặp giá trị tương ứng x y mặt phẳng tọa độ) vẽ đường cong qua điểm ta đồ thị hàm số cho II VÍ DỤ Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x Lời giải - Bảng số cặp giá trị tương ứng x y : x y = 2x -2 -1 2 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI - Đồ thị hàm số cho parabol qua điểm ( −2;8) ;( −1;2) ;( 0;0) ;( 1;2) ( 2;8) ( P ) : y = x đường thẳng ( d) : y = 3x − 2 Ví dụ Tìm toạ độ giao điểm parabol Lời giải d ( ) nghiệm hệ phương trình 2 Từ (1) (2) ta có: x = 3x − ⇔ x − 3x + = (3) Phương trình (3) có: a + b + c = 1− 3+ = c x1 = 1, x2 = = a Phương trình (3) có nghiệm: Toạ độ giao điểm ( P) x1 = y = x12 = 12 = ta có x =2 y = x22 = 22 = + Với ta có: P d 1; 1) , ( 2; 4) Vậy, toạ độ giao điểm ( ) ( ) là: ( x2 y= − đường thẳng (d): y = x − Ví dụ Cho parabol (P): a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính + Với Lời giải a) Xét x Ta có bảng giá trị: x −4 −2 y = − x2 −4 −1 ( P) : y = − −1 −4 y = x2 (1)  y = 3x − (2) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P ) qua điểm ( −4; −4 ) ; ( −2; −1) ; ( 0; ) ; ( 2; −1) ; ( 4; −4 ) Suy Xét y = x − Ta có bảng giá trị:Lập bảng giá trị hàm số y = x − x y = x −3 −3 b) Hoành độ giao điểm − ( P) ( d) nghiệm phương trình hoành độ: x − = x =  y = −1 x2 = x − ⇔ x2 + 4x − 12 = ⇔ ( x − ) ( x + ) = ⇔  ⇔ ⇒ x + =  x = −6  y = − Vậy ( P) ( d) cắt hai điểm ( 2;−1) và( −6;−9) III BÀI TẬP VẬN DỤNG VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài Vẽ đồ thị hàm số y = x Bài Vẽ đồ thị hàm số y = − x y = − x2 Bài Vẽ đồ thị hàm số Bài Vẽ đồ thị hàm số y= x y = − x2 Bài Vẽ đồ thị hàm số Bài Vẽ đồ thị hàm số y= x Bài Vẽ đồ thị hàm số y = 2x Bài Vẽ đồ thị hàm số y = −2x y = − x2 Bài Vẽ đồ thị hàm số CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài 10 Vẽ đồ thị hàm số y = 3x TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM Tìm toạ độ giao điểm ( P) ( d) trường hợp sau: P : y = x , ( d) : y = 5x − 1) ( ) P : y = x , ( d) : y = 5x − 2) ( ) P : y = 3x , ( d) : y = 2x + 3) ( ) ( P) : y = 5x , ( d) : y = 8x − 4) P : y = −3x , ( d) : y = −2x − 5) ( ) 6) ( P) : y = − 13x , ( d) : y = x − 7) ( P ) : y = −x 2 P :y = x 8) ( ) ( d) : y = 7x − 12 , ( P ) : y = −x 9) ( d) : y = 4x + , ( d) : y = 8x +15 , 10) ( P) : y = 4x , ( d) : y = −4x − 11) ( P) : y = 4x , ( d) : y = −9x − P : y = 2x 12) ( ) , ( d) : y = −7x − 13) ( P) : y = 3x , ( d) : y = 8x − 14) ( P ) : y = −x 2 P :y = x 15) ( ) , ( d) : y = −9x + 20 ( d) : y = 10x − 21 , ( P ) : y = −x , ( d) : y = −6x + P : y = −x 17) ( ) , ( d) : y = x − 2 16) 18) ( P) : y = x 19) ( P) : y = 13x ( d) : y = 6x + , , ( d) : y = 9x + CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P) : y = 7x 20) P : y = −6x 21) ( ) ( P) : y = x 22) 23) 24) 25) 26) 27) ( d) : y = −3x + , , , ( d) : y = 4x + (P): y = 9x2 , ( d) : y = 13x + (P) : y = x2 , ( d) : y = 12x − 35 (P): y = x2 , ( d) : y = 14 x + (P): y = 5x2 , ( d) : y = x + 21 (P): y = −x2 , ( d) : y = 13x − x2 (P): y = , 28) 29) 30) 31) ( d) : y = −x − (P): y = −x2 , (P): y = −2x2 , (P): y = −x2 , ( d) : y = 14 x + ( d) : y = 16 x + ( d) : y = 13x + ( d) : y = 14 x + VẼ ĐỒ THỊ + TÌM TOẠ ĐỘ GIAO ĐIỂM P : y = −x Bài 1: Cho Parabol ( ) d : y = 2x − đường thẳng ( ) a) Vẽ Parabol đường thẳng mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm P :y = x Bài 2: Cho Parabol ( ) ( P) ( d) đường thẳng Tìm tọa độ giao điểm ( P) Tìm tọa độ giao điểm ( P) ( d) ( d) phép tính ( d) : y = 2x + phép tính P d : y = 2x + Bài 3: Cho hàm số y = 3x có đồ thị ( ) đường thẳng ( ) phép tính CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P) : y = Bài 4: Cho Parabol a) Vẽ ( P) ( d) − x2 đường thẳng ( d) : y = −x − mặt phẳng tọa độ ( P) ( d) P có đồ thị ( ) b) Tìm tọa độ giao điểm Bài 5: Cho hàm số y = 2x a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm ( P) ( d) phép tính có phương trình y = 5x − phép tính ( P ) : y = x đường thẳng ( d) : y = x + P d a) Vẽ ( ) ( ) mặt phẳng tọa độ P d b) Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) phép tính Bài 6: Cho Parabol Bài 7: Cho hàm số a) Vẽ y= ( P) ,( d) x2 có đồ thị ( P ) đường thẳng ( d) : y = − x + hệ trục tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm Bài 8: Cho hàm số a,)Vẽ y= ( P) ,( d) ( P) a) Vẽ đồ thị ( d) phép tính x2 −x d : y = +3 ( ) có đồ thị ( P ) đường thẳng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm Bài 9: Cho hàm số y= ( P) ( d) phép tính x có đồ thị ( P ) ( P) b) Tìm tọa độ giao điểm y= ( P) ( d) : y = −21x + phép tính x Bài 10: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng Bài 11: Trên hệ trục tọa độ Oxy a) vẽ đồ thị hàm số y = 2x đồ thị hàm số y = 3− x b) Tìm tọa độ giao điểm hai hàm số phép tính y = x− phép tính CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P ) : y = x đường thẳng ( d) : y = −x + P d a) Vẽ ( ) ( ) mặt phẳng tọa độ P d b) Bằng phép tính Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) P :y = x d : y = 2x + Bài 13: Cho Parabol ( ) đường thẳng ( ) P d a) Vẽ ( ) ( ) mặt phẳng tọa độ P d b) Tìm tọa độ giao điểm có ( ) ( ) phép tính P : y = −8x d : y = −2x − Bài 14: Trên mặt phẳng Oxy, Cho Parabol ( ) đường thẳng ( ) T −2; −2) d a) Điểm ( có thuộc đường thẳng ( ) không? d P b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( ) ( ) P : y = 2x d : y = 3x + Bài 15: Cho Parabol ( ) đường thẳng ( ) P a) Vẽ đồ thị ( ) hệ tọa độ Oxy P d b) Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) phép tính P : y = −2x d :y = x− Bài 16: Cho Parabol ( ) đường thẳng ( ) d P a) Vẽ ( ) ( ) hệ trục tọa độ Oxy d P b) Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) phép toán Bài 12: Cho Parabol 2 2 x2 ( P) : y = ( d) : y = −21 x + Bài 17 Cho a) Vẽ ( P) ( d) hệ trục tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm ( P) ( d) x2 P đường thẳng ( D) : y = 3x − Bài 18 a) Vẽ đồ thị ( ) : P D b) Tìm tọa độ giao điểm ( ) đường thẳng ( ) phép tính y= Bài 19 Cho ( P) : y = a) Vẽ ( P) x2 −1 d) : y = x + ( ( d) hệ trục tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm ( P) 10 ( d) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ∆ = ( m + 1) − .m = m2 + ≥ > Có Do phương trình ( P ) : y = 12 x 2) Vì ( 1) có nghiệm phân biệt, hay nói cách khác, Parabol đường thẳng ( d ) : y = ( m + 1) x − m cắt điểm phân biệt d P x1 x x x ; hoành độ giao điểm ( ) ( ) nên ; nghiệm   x1 + x = ( m + 1)  1) x x = 2m ( phương trình , theo Vi-ét ta có  x1 Khi x1 Lại có + + x2 x2 = = x1 + x ⇔ ⇔ ( m + 1) + m m Hay ta có   x1 >  x1 + x = ( m + 1) > ⇒ ⇒m>0   x x = 2m > x >   nên  Lúc với m > ta có x1 x = x1 + x + x1 x x1 x = = 5 2 ( m + 1) + m m = ⇔ ( m + 1) + m = 5m  m = − 2 ( vônghiệ m) ⇔  m = 2+2 ⇔ m−4 m −4 =0  ( ⇔ m = 2+2 ) = 12 + Vậy m = 12 + giá trị càn tìm Bài 19 Cho parabol ( P) : y= ( d) x d đường thẳng ( ) : y = (m + 1)x − m ( m tham số ) ( P) hai điểm phân biệt với m d P x1 + x = x x b) Gọi ; hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để a) Chứng minh ln cắt Lời giải Phương trình hồnh độ giáo điểm 32 ( d) x = ( m + 1) x − m P ( ) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ⇔ x − ( m + 1) x + m = * ( ) 2 ∆ = ( − m − 1) − .m = m + 2m + − 2m = m + > với giá trị m Ta có Suy phương trình Vậy ( d) b) Gọi ln cắt ( *) ( P) ln có hai nghiệm phân biệt hai điểm phân biệt với m d P x1 x ; hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để x1 + x = S = x1 + x = 2m +  P = x1 x = 2m Theo hệ thức Vi – et ta có  x1 + x =  S ≥ 2m + ≥  x1 ≥ ⇔ ⇔ ⇔m≥0  x2 ≥ P≥0 2m ≥     (Điều kiện: ) ⇔ ( x1 + x ) =2⇔ x +x +2 x x =2 2 ⇔ S + P = ⇔ 2m + + 2m =  m =0 ⇔  m = − ⇔ m = ⇔ 2m + 2m = Vậy m = giá trị cần tìm P : y = x2 d : y = 2x + 4m − 8m + m Bài 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ( ) ( ) ( d P tham số thực) Tìm giá trị m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) thoả mãn điều kiện y1 + y = 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) 2 x = 2x + 4m − 8m + ⇔ x − 2x − 4m + 8m − = ( *) ( P) ( d) cắt hai điểm phân biệt phương trình ( *) có nghiệm phân biệt ∆′ = ( −1) − ( −4m + 8m − 3) = 4m − 8m + = ( 2m − ) > Ta có A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) giao điểm * hai nghiệm phương trình ( ) ( d) ( P) 2 nên y1 = x1 ; y = x với x1 , x  x1 + x =  *) :  x1x = −4m + 8m − ( Áp dụng định lý Vi – et 33 với m ≠ CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI y1 + y = 10 ⇔ x12 + x 2 = 10 ⇔ ( x1 + x ) − 2x1x = 10 Theo đề ta có:  m = ( nhaän ) ⇔ 8m − 16m = ⇔  ⇔ ( −2 ) − ( −4m + 8m − 3) = 10  m = ( nhaän ) Vậy m = , m = giá trị càn tìm P Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( ) có phương trình thẳng ( d) ( d) y= x đường có phương trình y = −mx + − m (với m tham số) Chứng minh đường thẳng cắt parabol ( P) hai điểm phân biệt Gọi x1 , x hoành độ hai điểm 2 A, B Tìm m để x1 + x = 2x1x + 20 Lời giải x = − mx + − m d P Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) ⇔ x + 2mx + 2m − = ∆ = ( −m ) − ( 2m − ) = m − 2m + = ( m − 1) + > 0, ∀m Ta có Suy đường thẳng ( d) cắt parabol ( P) hai điểm phân biệt  x1 + x = −2m  x x = 2m − Ta có hệ thức Vi-ét  2 2 Yêu cầu x1 + x = 2x1x + 20 ⇔ x1 + x + 2x1x = 4x1x + 20 ⇔ ( x1 + x ) = 4x1x + 20 ⇔ ( −2m ) = ( 2m − ) + 20 2 ⇔ 4m − 8m + = ⇔ ( m − 1) = ⇔ m − = ⇔ m = ( Thỏa mãn) Vậy m = giá trị càn tìm Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y = 2mx − m + parabol (P) : y = x a)Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b)Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x 1 −2 + = +1 x x x x 2 thỏa mãn Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm x − 2mx + m − ( 1) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt với ∀m 34 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI a = ≠  ' ' ∆ = b ( ) − ac > ∀m  Ta có :  ∆ ' = m − ( m − 1) = m − m + = > 0, ∀m Xét Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) Ta có x1x ≠ ⇒ m − ≠ ⇒ m ≠ ±1 Hai nghiệm phương trình : x1 = m − 1; x = m + Biến đổi biểu thức ( 2) ta có : 1 −2 x + x −2 + x1x + = +1 ⇒ = ⇒ x1 + x = −2 + x1x x x x1x x 1x x 1x Thay x1 = m − 1; x = m + vào biểu thức x1 + x = −2 + x1x ta có : m -1 + m + = -2 + ( m -1) ( m + 1) ⇒ m -1- = 2m ⇔ m − 2m − = ⇔ ( m − ) ( m + 1) = m = m − = ⇔ ⇔ m + =  m = −1( L ) Kết Luận : Với m = thỏa mãn yêu cầu toán Bài 23 Cho parabol ( P) : y = x d : y = −x + m x đường thẳng ( ) ( ẩn, m tham số) d P Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân A x ;y ,B x ;y biệt ( 1 ) ( 2 ) thỏa mãn x1x + y1y = Lời giải x = − x + m ⇔ x + 2x − 2m = Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): (2) PT (2) có ∆′ = + 2m Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt hay ∆′ = + 2m > ⇔ m > − (*) Với ĐK (*) , gọi x1 ; x hai nghiệm PT (2)  x + x = −2  x x = −2m Áp dụng định lí Viets, ta có :  (3) Với x = x1 ⇒ y1 = − x1 + m Với x = x ⇒ y = − x + m Xét biểu thức : x1x + y1y = ⇔ x1x + ( −x1 + m ) ( −x + m ) = ⇔ x1x + x1x − m ( x1 + x ) + m = ⇔ 2x1x − m ( x1 + x ) + m = 35 (4) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Thay (3) vào (4), ta :  m = + (t / m (*)) ( −2m ) − m ( −2 ) + m = ⇔ m − 2m − = ⇔   m = − (Loại) Vậy, với m = + yêu cầu toán thỏa mãn 2 Bài 24 Cho parabol (P) y = x đường thẳng y = 2(m − 1)x + m + 2m (m tham số, m ∈ ¡ ).Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt A, B Gọi x1 , x 2 hồnh độ hai điểm A, B; tìm m cho x1 + x + 6x1x = 2020 Lời giải Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x = 2(m − 1)x + m + 2m (1) ⇔ x − 2(m − 1)x − (m + 2m) = ∆ ' = (m − 1) + m + 2m = 2m + > với m Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1 + x = ( m − 1) (2)  x x = − (m + 2m)  Khi theo hệ thức Vi-ét  2 Theo ra, ta có: x1 + x + 6x1x = 2020 ⇔ ( x1 + x ) − 2x1x + 6x1x = 2020 ⇔ ( x1 + x ) + 4x1x = 2020(3) Thay (2) vào (3) ta có: [ 2(m − 1)] − 4(m + 2m) = 2020 ⇔ 4m − 4m + − 4m − 8m = 2020 ⇔ 12m = −2016 ⇔ m = −168 Vậy m = − 168 giá trị càn tìm Bài 25 Cho Parabol ( P) : y = x y = ( m − 1) x + m + m đường thẳng (d): a) Chứng minh parabol (P) cắt đường thẳng d tịa hai điểm phân biệt A B 2 b) Gọi x1; x hoàng độ hai điểm A, B Tìm m cho x1 + x + 6x1x > 2019 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x = ( m − 1) x + m + m 2 ⇔ x − ( m − 1) x − m − m = ( 1) 2 36 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI   ∆ = − ( m − 1)  −  − m − m ÷   Ta có ∆ = m − 2m + + m + 2m ∆ = 2m + > với m Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biết với m Nên P cắt d hai điểm phân biệt A B  x1 + x = ( m − 1)  x x = −m − 2m Theo vi-ét ta có:  2 Theo đề ta có: x1 + x + 6x1x > 2019 ⇔ ( x1 + x ) + 4x1x − 2019 > ⇔  ( m − 1)  + ( − m − 2m ) − 2019 > ⇔ 4m − 8m + − 4m − 8m − 2019 > ⇔ −16m − 2015 > ⇔ −16m > 2015 ⇔m< 2015 16 d : y = 2x − m + Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) parabol ( P ) : y = x Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn x1 − 2x + x1x = 16 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x = 2x − m + ⇔ x − 2x + m − = ∆ ' = ( −1) − ( m − 3) = − m + Ta có: d P Đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ −m + > ⇔ m <  x1 + x =  x = − x1 ⇔  x x = m −  x1.x = m − Theo hệ thức Vi-et, ta có:  2 Thay x = − x1 vào biểu thức: x1 − 2x + x1x = 16 ta có: x12 − ( − x1 ) + x1 ( − x1 ) = 16 ⇔ x12 − + 4x1 − x12 = 16 ⇔ 4x1 = 20 ⇔ x1 = ⇒ x = −3 Thay vào biểu thức: x1.x = m − ta được: m − = −15 ⇔ m = −12 (tm) Vậy: m = −12 giá trị càn tìm 37 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI y= −x 2 đường P Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( ) có phương trình d : y = x + m thẳng ( ) ( P ) biết điểm M có tung độ −8 a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol b) Tìm với m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt A, B A ( x1 ; y1 ) , B ( x ; y ) cho ( x1 + y1 ) ( x + y ) = 33 Lời giải a) Với y = −8 ⇒ −x = −8 ⇔ x = 16 ⇔ x = ±4 Vậy tìm hai điểm M ( ±4; −8) P d b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) là: −x =x+m ⇔ x + 2x + 2m = ∆′ = − 2m d P Để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt ⇔ ∆′ = − 2m > ⇔ m <  x + x = −2  x x = 2m Theo định lý Viet ta có   y1 = x1 + m  y = x2 + m Lại có  33 ( x1 + y1 ) ( x + y2 ) = Từ 33 33 ⇔ ( x1 + x1 + m ) ( x + x + m ) = ⇔ ( 2x1 + m ) ( 2x + m ) = 4 33 33 ⇔ 4x1x + 2m ( x1 + x ) + m = ⇔ 8m − 4m + m = 4  m = ( L)  ⇔ 33  m = −11 ( TM ) ⇔ m + 4m − =0  m= −11 Vậy 38 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài 28 Cho Parabol độ Oxy ( P) : y = x2 đường thẳng ( d ) : y = 2x − 2m + mặt phẳng tọa ( P) ( d) m= −1 ( P) ( d) m= −1 a) Xác định tọa độ giao điểm parabol đường thẳng P d b) Tìm giá trị m để Parabol ( ) cắt đường thẳng ( ) hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) B ( x ; y ) y + y = ( x1 + x ) ; cho Lời giải a) Xác định tọa độ giao điểm parabol Xét phương trình hồnh độ giao điểm Parabol x = 2x − 2m + ⇔ x − 2x + 2m − = Với m= đường thẳng ( P) đường thẳng ( d) : ( 1) −1 ta có pt: x − 2x − =  x = −1  y = ⇔ ⇒ x = y = Vậy ( P) đường thẳng ( d ) cắt hai điểm ( −1; 1) ( 3; ) m= −1 b) Xét ( ) Ta có: ∆ ' = + − 2m = − 2m ( P) Để Parabol cắt đường thẳng hai nghiệm phân biệt m< Với B ( x ; y2 ) ( d) ( d) hai điểm phân biệt phương trình (1) có ⇔ ∆ ' > ⇔ − 2m > ⇔ m < 3 , Parabol ( P ) cắt đường thẳng ( d ) hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) ; P với x1 x hoành độ giao điểm Parabol ( ) đường thẳng 2 P Thay x1 , x vào ( ) ta có: y1 = x1 , y = x  x1 + x =  x x = 2m − Áp dụng định lý Vi – ét:  Theo đề bài: y1 + y = ( x1 + x ) ⇔ x12 + x 2 = ( x1 + x ) 39 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ⇔ ( x1 + x ) − 2x1x − ( x1 + x ) = ⇔ − ( 2m − ) − = ⇔ m = (TM) P d A x ;y Vậy m = Parabol ( ) cắt đường thẳng ( ) hai điểm phân biệt ( 1 ) ; B ( x ; y2 ) y + y = ( x1 + x ) cho d :y = ( 2m + 1) x − 2m Bài 29 Cho Parabol (P): y = x đường thẳng ( ) (m tham số) m = a) Khi , xác định tọa độ giao điểm (d) (P) A x ;y , B x ;y b) Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt ( 1 ) ( 2 ) cho 2 biểu thức T = x1 + x − x1 x đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Khi m = Xác định tọa độ giao điểm (d) (P) d :y = 3x − Khi m = 1, ta có ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:  x = ⇒ y1 = x = 3x − ⇔ x − 3x + = ⇔   x1 = ⇒ y1 = ( 1;1) , ( 2;4 ) Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) là: b) Tìm m để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) 2 biểu thức T = x1 + x − x1 x đạt giá trị nhỏ Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = ( 2m + 1) x − 2m ⇔ x − ( 2m + 1) x + 2m = ∆ = ( 2m + 1) − 8m = 4m − 4m + = ( 2m − 1) Ta có: * Để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) ∆ > ⇔ 2m − ≠ ⇔ m ≠ * Theo định lý Viet ta có: S = x1 + x = 2m +  P = x1x = 2m T = x12 + x 22 − x1 x = S2 − 3P = ( 2m + 1) − 6m = 4m − 2m + 2 1 3  = 4 m − ÷ + ≥ 4 4  Min T = ⇔ m = 4 (nhận) Ta thấy 40 thì: cho CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy với m= (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) biểu thức T = x + x − x1 x đạt giá trị nhỏ d :2x − y − a = Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) 2 ( P ) :y = ax (với a > tham số) d P a) Tìm a để ( ) cắt ( ) điểm phân biệt A B Chứng minh A Parabol B nằm bên phải trục tung x ,x b) Gọi A B hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= + xA + xB xAxB Lời giải a) Tìm a để ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt A B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung Ta có đường thẳng ( d ) : y = 2x − a Parabol ( P ) :y = ax Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: ax = 2x − a ⇔ ax − 2x + a = Ta có: ∆′ = − a * Để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x A ; yA ) , B ( x B; y B ) thì: ∆′ > ⇔ − a > ⇔ < a <  S = x A + x B = > a  P = x A x B = a > ⇒ xA , xB > * Theo định lý Vi-et ta có: ⇒ A B nằm bên phải trục tung b) Gọi x A , x B hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= + xA + xB xAxB 4P + S T= + = = x + x x x SP A B A B Ta có: 2 a = 4a + = 2a + ≥ 2 2a a 4a + Giá trị nhỏ T 2 2a = ⇔a= a (vì < a < ) d :y = mx + m − P : y = −x Bài 31 Cho parabol ( ) đường thẳng ( ) a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt 41 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI b) Xác định vị trí m để (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt cho tổng y A + y B có giá trị lớn ( Với y A , y B theo thứ tự tung độ hai điểm A B) Lời giải a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: − x = mx + m − ⇔ x + mx + m − = ∆ = m − ( m − ) = m − 4m + = ( m − ) + > ∀m ∈ ¡ Ta có: Phương trình hồnh độ ln có hai nghiệm phân biệt, (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt 2 P b) Vì hai điểm A, B thuộc ( ) nên y A = − x A ; y B = − x B Theo định lý Vi-et: S = x A + x B = − m  P = x A x B = m − Ta có: y A + y B = − ( x A2 + x B2 ) = −S2 + 2P = −m + ( m − ) = − m + 2m − = − ( m − 1) − ≤ −3 Khi Max ( y A + y B ) = −3 ⇔ m = Vậy với m = y A + y B đạt giá trị lớn −3 P) : y = x2 ( Bài 32 Cho parabol đường thẳng ( d ) :y = 2mx − 2m + Xác định tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) a) Khi A x ;y , B x ;y d P b) Gọi ( 1 ) ( 2 ) giao điểm ( ) ( ) Tìm giá trị m để y1 + y < m= Lời giải a) Khi m= Xác định tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) m= , ta có ( d ) :y = x + Khi Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:  x1 = −1 ⇒ y1 = x2 = x + ⇔ x2 − x − = ⇔   x1 = ⇒ y1 = Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) là: 42 ( −1;1) , ( 2;4 ) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A x ;y , B x ;y d P b) Gọi ( 1 ) ( 2 ) giao điểm ( ) ( ) Tìm giá trị m để y1 + y < Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − = (1) Ta có: ∆′ = m − ( 2m − 3) = m − 2m + = ( m − 1) + > ∀m ∈ ¡ ⇒ ( 1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Do (d) (P) cắt hai điểm phân biệt với m * Vì (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x ; y ) nên y1 = x ; y = x 2 * Theo định lý Viet ta có: S = x1 + x = 2m  P = x1x = 2m − 2 * Để y1 + y < ⇔ x1 + x < ⇔ S − 2P − < ⇔ ( 2m ) − ( 2m − 3) − < ⇔ 4m − 4m − < ⇔ ( 2m − 1) < ⇔ 2m − < ⇔ −2 < 2m − < −1 ⇔ −1 < 2m < ⇔