HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI - BẬC BA

HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI - BẬC BA I Căn Bậc hai A có nghĩa A  Điều kiện để thức có nghĩa: So sánh bâc hai: Với a ≥ b ≥ ta có: a>b a b Phép khai phương:  A Khi A  A2  A    A Khi A  * * AB  A B ( với A  B  ) A  B * A B ( với A  B > ) Các công thức biến đổi thức: a Đưa biểu thức , vào dấu căn: A2 B  A B * ( B  0) * A B  A2 B ( với A  B  ) A B   A B ( với A < B  ) b Khử mẫu, Trục thức mẫu: A  B * * A B  AB ( với AB  B  ) B A B ( với B > ) B C * AB  C * A B C ( A  B) ( Với A  A  B2 ) A B  C( A  B ) ( với A  0, B  A  B ) A B II Căn Bậc ba * A3  A * So sánh: a > b  a3  b3 III Bài tập áp dụng Bài 1: Thực phép tính: a) 50  b) 68 17 96 6 Giải BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I a) 50  b) 68 68  50.8   400   20   18 17 17 96 96 3 6   16.3       48  7 3 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: a) 12  27  48 b)  Giải a) 12  27  48  4.3  9.3  16.3   3    b)      (  1)     Bài 3: Tìm x biết: a) x   b) ( x  1)2  Giải a) x    x   b) ( x  1)   x    x  92  x 1    x   2 x  1 x     x  2   x  1  x  11 Vậy x = 11 Vậy x = x = -1 Bài 4: Tìm x biết: a) 4x   9x   25x  25   10 ( x  1) b) 2x  10 8x  18x  20  10 ( x  0) Giải a) x   x   25 x  25   10 ( x  1) b) x  10 x  18 x  20  10 ( x  0)  4( x  1)  9( x  1)  25( x  1)  10   x  10 4.2 x  9.2 x  10  20  x   x   x   12  x  10.2 x  9.3 x  30  6 x   12  x  20 x  27 x  30  x 1   3 x  30  x 1   x  10  x  (TM )  x  100 Vậy x =  x  50 (TM ) IV Bài tập tự luyện Bài 1.1: Thực phép tính: 12 360 2,5 c) 81 27 BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY a) 90 6, b) Vậy x = 50 52 24 11 6 e) 11 13 TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG d) 18  HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Bài 1.2: Rút gọn biểu thức sau: a) x  x  81x ( x ≥ 0) b) (  18  ): c)  d) (  20  45 ): e) (  28  ) + 14 Bài 1.3: Tìm x biết: a) x   b) ( x  2)2  Bài 1.4: Tìm x biết: a) 4x   9x 18  25x  50   20 ( x  1) b) 9x  18  4x   10 ( x  2) c) 3x  12x  27 x  12 ( x  0) CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC I KIẾN THỨC BỔ TRỢ Hằng đẳng thức đáng nhớ: a) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A+B)(A-B) ( Biểu thức liên hợp) Ví dụ: * x2 – = (x+1)(x-1) * a – = ( a  1)( a 1) * q – = ( q  2)( q  2) b) Bình phương tổng, hiệu: (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 Ví dụ: * (a – 1)2 = a2 – 2a + * ( x – 1)2 = x – x + * y + y + = ( y + 1)2 * m - m + = ( m - 2)2 Đặt nhân tử chung: Ví dụ: * x - x = x ( x - 1) * a +2 a = a ( a + 2) Nhân đa thức với đa thức: Ví dụ: * a ( a - 2) = a - a * ( x +2)( x - 1) = x - x +2 x -2 = x + x - BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Quy trình rút gọn: - Bước 1: Phân tích tử mẫu có (hằng đẳng thức đặt nhân tử chung) - Bước 2: Tìm ĐKXĐ (nếu toán chưa cho) - Bước 3: Rút gọn trực tiếp (nếu tử mẫu có nhân tử chung) - Bước 4: Quy đồng rút gọn (nếu không rút gọn trực tiếp được) - Bước 5: Kết luận II Bài tập áp dụng Bài 1: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức P x 1 x 1  x x x x b) Tính giá trị x cho P = Giải Lưu ý phân tích mẫu: x  x  x ( x  1) x  x  x ( x 1) a) ĐKXĐ  x   x   x 0  x    x 1  Ta có: P x 1 x 1   x x x x  x 1 x 1  x ( x  1) x ( x  1) 1   x x x b) Ta có P Vậy x = 16 3 16   3 x 4 x   x (TM ) x Bài 2: Cho biểu thức Q = a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm a cho Q  3 a 1   a 1 a 1 a 1 c) Tính giá trị Q a =  2 Giải a) ĐKXĐ a  Ta có: a    a   a   BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I 3 a 1   a 1 a 1 a 1 Q  2( a  1) 3( a  1) a 1   ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1)  a 2 a 3 a 1   ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1) ( a  1)( a  1)  a   a   a 1 ( a  1)( a  1)  a 2 ( a  1)( a  1)  2( a  1)  ( a  1)( a  1) a 1 c) Thay a =  2   2   (  1) vào Q: b) Ta có Q  2  a 1 Q 62 a 2 2  a 1 (  1)  2 1 1   2   2 a    2 a    a 2  a  (TM )  1 x 1  Bài 3: Cho biểu thức A =   : x 1  x  x   x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x cho A nhận giá trị nguyên Giải a) ĐKXĐ  x   x   x 0  x   x    Ta có:  x 1  1  x  x 1     A  : x   x  x   x ( x  1) x  1 x 1  x x   ( x  1) x    x ( x  1)  x 1  x ( x  1) BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY  1 x ( x  1) x ( x  1) x 1  x 1 x TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I b) Ta có x 1 x 1    1 x x x x Biểu thức A nhận giá trị nguyên x ước nguyên 1, tức là: A  x 1  x  (loại)   x  1 (loại) Vậy x không tồn III Bài tập tự luyện  Bài 2.1: Cho biểu thức: N =   a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị a để N = -2015 a a a a  a 1 a 1 Bài 2.2: Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A  a  a  a  a     a   a    b) Tính giá trị biểu thức A a = x Bài 2.3: Cho biểu thức E = x 1 a) Rút gọn biểu thức E  x x 1  3 x x 1 b) Tìm x để E = -1 1 c   c 2 c 2 c4 Bài 2.4: Cho biểu thức P  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm c để P =  x   1     :   x 1   x 1 x 1   x x Bài 2.5: Cho biểu thức A =  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh A - > với x thỏa mãn ĐKXĐ Bài 2.6: Cho biểu thức: M = a) Rút gọn M Bài 2.7: Cho biểu thức: x  x 1 x  x b) Tìm x cho x > 1/9 M nhận giá trị nguyên  1   1   1   a 1   a   a 1 Q = a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị nguyên a để Q nhận giá trị nguyên - BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT I HÀM SỐ BẬC NHẤT: y = ax + b (a ≠ 0) Tính chất: Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < Đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) : đường thẳng a) Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a  0) Bước Cho x = y = b => A(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = -b/a => B(-b/a; 0) thuộc trục hồnh Ox Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm A B ta đồ thị hàm số y = ax + b b) Chú ý: Nếu b = đồ thị hàm số y = ax + b trở thành đường thẳng y = ax (đi qua gốc tọa độ) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a  0) (d’): y = a’x + b’ (a’  0) Khi đó: a  a ' b  b '  Hai đường song song khi:   Hai đường cắt khi: a  a ' a  a ' b  b '  Hai đường trùng khi:   Hai đường vng góc khi: a.a’ = -1 Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a  0) a) Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Nếu a > góc góc nhọn - Nếu a < góc góc tù b) Hệ số góc đường thẳng y = ax + b chớnh hệ số a II – MỘT SỐ GỢI Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TẬP Đi qua điểm: cho x y => Thay x y vào hàm số Cho hệ số góc: cho hệ số a Cho tung độ gốc: cho hệ số b Vị trí tương đối:  Song song: a = a’ b ≠ b’  Cắt nhau: a ≠ a’  Trùng nhau: a = a’ b = b’ Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ: cho x , cịn y = Cắt trục tung điểm có tung độ: cho y , x = Đường thẳng (d) cắt (d’) điểm có hồnh độ (là cho x): BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I  Thay x vào (d’) để tìm y  Thay x y vừa tìm vào (d) để tìm giá trị tham số Đường thẳng (d) cắt (d’) điểm có tung độ (là cho y):  Thay y vào (d’) để tìm x  Thay x y vừa tìm vào (d) để tìm giá trị tham số Lập phương trình đường thẳng y = ax + b biết qua hai điểm A(x ; y1) A(x2 ; y2) : Thay toạ độ điểm A vào hàm số ta có pt(1): ax1 + b = y1  Thay toạ độ điểm B vào hàm số ta có pt(2): ax2 + b = y2   Giải hệ phương trình để tìm a b III – BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm giá trị tham số để hàm số sau đồng biến? Nghịch biến? y = (m – 1)x + Giải Hàm số đồng biến khi: a >  m – >  m > Hàm số nghịch biến khi: a <  m – <  m < Bài 2: Tìm giá trị tham số để ba đường thẳng sau đồng quy (cắt điểm): (d1) y = x (d2) y = -2x+3 (d3) y = (n-1)x + n + Giải Gọi A giao điểm (d1) (d2) Giải pt hoành độ giao điểm: x = -2x +  x + 2x =  3x =  x = Khi y = x = Suy điểm A(1;1) Ba đường thẳng đồng quy (d3) qua A Thay x = 1, y = vào (d3) ta (d3) (n-1)x + n + = y  (n-1).1 + n + =  n-1 + n + =  2n =  n = Vậy n = Bài 3: Cho hàm số bậc nhất: y = (m – 1)x + m + a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Giải ĐK: a ≠  m – ≠  m ≠ a) Thay x = 1, y = -4 vào hàm số ta được: (m – 1)x + m + = y  (m – 1).1 + m + = -4  m – + m + = -4  m + m = -4 + –  2m = -6  m = -3 (TM) BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Vậy m = -3 b) Hai đường thẳng song song với khi: a  a '  m   2 m  1 (TM)    b  b ' m   m  2 Vậy m = -1 c) Gọi A(x0 ; y0) điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua Ta có: y0 = (m – 1)x0 + m +  y0 = mx0 – x0 + m +  y0 + x0 – = mx0 + m  y0 + x0 – = m(x0 + 1)  x0    y0  x0     x0  1  y0   Vậy A(-1;4) IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 3.1: Tìm giá trị tham số để hàm số sau đồng biến? Nghịch biến? a) y = (k – 3)x + b) y = (1 – n)x – c) y = (m + 1)x +2m - Bài 3.2: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x + b) y = -x + c) y = 2x + Bài 3.3: Tìm giá trị tham số để ba đường thẳng sau đồng quy a)(d1) y = -x b)(d1) y = 2x - (d2) y = -3x-2 (d2) y = (k+2)x + k - (d3) y = (2m-1)x + m (d3) y = -x + Bài 3.4: Cho hàm số: y = (n + 4)x - n + (d) a) Tìm giá trị n, biết đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) b) Xác định n để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c) Xác định n để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có tung độ Bài 3.5: Cho hàm số bậc nhất: y = (m - 1)x + a) Tìm giá trị m để nghịch biến R b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường phân giác góc phần tư thứ (I) c) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm C(2 ; 5) Bài 3.6: Cho đường thẳng (d): y = nx + n - với n khác a) Tìm n để (d) qua điểm A(1 ; 3) b) Tìm n để (d) song song với đường thẳng y = 3x + c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) qua với n Bài 3.7: Xác định hàm số y = ax + b (d), biết rằng: a) (d) qua M(1 ; 2) song song với đường thẳng () : y =-x - b) (d) song song với đường thẳng y =2x - cắt đường thẳng y = x + điểm có hồnh độ -2 Bài 3.8: Xác định hàm số y = ax + b (d), biết rằng: a) (d) qua hai điểm A(1 ; 2) B(2 ; 3) b) Có tung độ gốc song song với đường thẳng y = - x + BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƢƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PT I HỆ PHƢƠNG TRÌNH ax  by  c a ' x  b ' y  c ' Khái niệm: Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng  Cách giải: Phương pháp cộng (Có đối cộng, Có trừ, Bài tập áp dụng Khơng có đối - phải nhân thêm)  x  y  (1) 3 x  y  (2) Bài 1: Giải hệ phương trình:  Giải Cộng vế hai phương trình ta được: 5x = 15  x = Thay x = vào phương trình (1) ta được: 2.3 + y =  y = Vậy hệ pt có nghiệm (3; 1)  x  y  1 (1)  x  y  (2) Bài 2: Giải hệ phương trình:  Giải Trừ vế hai phương trình ta được: 4y = -4  y = -1 Thay y = -1 vào phương trình (1) ta được: 2x + 3.(-1) = -1  x = Vậy hệ pt có nghiệm (1; -1) 2 x  y  (1) 5 x  y  (2) Bài 3: Giải hệ phương trình:  Giải 2 x  y  (1)  5 x  y  (2) 4 x  y  10  5 x  y  Cộng vế hai phương trình ta được: 9x = 18  x = Thay x = vào phương trình (1) ta được: 2.2 + y =  y = Vậy hệ pt có nghiệm (2; 1) BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 10 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Bài tập tự luyện Bài 4.1: Giải hệ phương trình: 2x  y  4x  y  5 b)  x  3y  3x  3y  b)  a)  Bài 4.2: Giải hệ phương trình: a)  Bài 4.3: Giải hệ phương trình:   x  2y  2x  2y  5 3 x  y  2 x  y  x  y  x  y  a)  2x  3y  2x  y  b)  Bài 4.4: Giải hệ phương trình: 2x  3y  5  3x  4y  a)  x  4y  4x  3y  b)  Bài 4.5: Giải hệ phương trình: 2x  4y  6 4x  2y  a)   x  5y  b)  3x  2y  Bài 4.6: Giải hệ phương trình: 6x  3y  7x  5y  17 a)  x  4y  3x  3y  b)  Bài 4.7: Giải hệ phương trình: 1 x  y  a)  3    x y 2 x  x  y  b)     1,  x x  y    x  y x  y  c)    3  x  y x  y BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 11 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH Cách giải Bước : Lập hệ phương trình 1) Chọn hai ẩn tìm điều kiện thích hợp ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết 3) Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ lượng Bước : Giải hệ phương trình Bước : Kết luận tốn Bài tập tự luyện Bài 4.8 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết ba lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho giảm 18 đơn vị Bài 4.9 Tìm giá trứng gà trứng vịt biết giá trứng gà trứng vịt 10 000 đồng Giá trứng gà trứng vịt 9600 đồng Bài 4.10 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20 m Tính kích thước mảnh vườn? Bài 4.11 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 1008, lấy số chia số thương 2, dư 123 Bài 4.12 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết lần chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục Nếu đổi chỗ chữ số cho số nhỏ số cũ 27 Bài 4.13 Một ô tô dự định từ A đến B lúc 12 trưa Nếu xe với vận tốc 35km/h đến B chậm 2h so với dự định Nếu xe với vận tốc 50km/h đến B sớm 1h so với dự định Tính quãng đường AB thời điểm xe xuất phát từ A Bài 4.14 Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng, biết tăng cạnh lên 3cm diện tích tam giác tăng thêm 36cm2 Nếu cạnh giảm 2cm, cạnh giảm 4cm diện tích tam giác giảm 26cm2 Bài 4.15 Bác Toàn xe đạp từ thị xã làng, cô Ba xe đạp từ làng lên thị xã Họ gặp bác Toàn 1h rưỡi, cô Ba 2h Nếu hai người từ hai địa điểm khởi hành sau 1h 15 phút họ cách 10.5km Tính vận tốc người biết làng cách thị xã 38km Bài 4.16 Hai người làm xong công việc 16 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25% cơng việc Hỏi làm người làm xong công việc bao lâu? BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 12 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I – LÝ THUYẾT: Định lý Py ta go: ABC vuông A  AB2  AC2  BC2 Hệ thức lượng tam giác vuông - Bình phương cạnh góc vng = hình chiếu x cạnh huyền: b2 = ab' c2 = ac' A - Bình phương đường cao = tích hai hình chiếu: h2 = b'c' b c h - Tích hai cạnh góc vuông = cạnh huyền x đường cao: ah = bc c’ B 1 - 2 2 h b c b’ C H a A Tỉ số lượng giác góc nhọn AB AC sin   ; cos  BC BC B AB tan  ; AC   C AC cot   AB A Hệ thức cạnh góc tam giác vng - Cạnh góc vng = cạnh huyền nhân sin đối b = a.sinB c b - Cạnh góc vng = cạnh góc vng nhân tan đối b = c.tanB a B - Cạnh huyền = cạnh góc vng chia sin đối a = b : sinB II – BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, biết AB = 3cm, AC = 4cm Hãy tính BC, AH, BH Giải C A B H C Tam giác ABC Vng A có AB = 3, AC = 4.Theo định lí Pitago , tính BC = 5cm Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC ta có: AB2 = BH.BC suy ra: AB 32   1,8 ; BH = BC CH = BC – BH = – 1,8 = 3,2 BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 13 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Ta có: AH.BC = AB.AC suy ra: AH  AB AC 3.4   2,4 BC Bài Tính độ dài x hình vẽ a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: x2 = 4.9 = 36 Vậy x = b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 122 = 16.x  x = 122 : 16 = Khi y2 = 9.25 = 225 Vậy y = 15 c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: 22 = x.x => x = Khi y2 = 2.4 = Vậy y = 2 Bài Giải tam giác MNP vuông M trường hợp sau: a) MN = 4cm, MP = 5cm b) NP = 7cm, N  540 c) MP = 8cm, P  300 Giải a) Áp dụng định lý Pytago ta có: NP2 = MN2 + MP2 = 16 + 25 = 41 => NP  6,403 cm Theo tỷ số lượng giác ta có: BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 14 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I MP   1, 25 tan N = MN => N  Vậy P  900  N  b) Ta có: P  900  N  900  540  360 Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: MP  NP.sin N  7.Sin540  5, 663 cm MN  NP.SinP  7.Sin360  4,114 cm c) Ta có: N  900  P  900  300  600 Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vuông : MN  MP.tan P  8.tan 300  4, 619 cm Khi đó: NP  MP   9, 238 cm sin N 60 III – BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5.1: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, biết AB = 6cm, AC = 8cm Hãy tính BC, AH, BH Bài 5.2: Cho tam giác MNP vng M có đường cao MH, biết NH = 3,6cm, NP = 10cm Hãy tính MN, MH, MP Bài 5.3: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH, biết BC = 13cm, AC = 12cm Hãy tính, AH, BH Bài 5.4: Giải tam giác PQR có: a) QPR  900 , PQ = QR = 12 b) QPR  900 , PQ = PR = Bài 5.5: Giải tam giác DEF có: a) EDF  1v , EF = 15 DEF  400 b) EDF  1v , EF = 20 DFE  420 Bài 5.6: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) AC = ABC  350 b) AB = ACB  650 BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 15 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ 6: ĐƢỜNG TRÒN I – LÝ THUYẾT: Quan hệ đƣờng kính dây cung: + Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng trịn: Hệ thức liên hệ Vị trí tương đối Số điểm chung d R - Đường thẳng đường tròn cắt dR - Đường thẳng đường tròn tiếp xúc - Đường thẳng đường trịn khơng giao Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng đƣờng trịn: Số điểm Vị trí tương đối chung - Hai đường trịn cắt - Hai đường tròn tiếp xúc + Tiếp xúc Hệ thức liên hệ d R R - r < OO' < R + r OO' = R + r + Tiếp xúc BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY OO' = R - r TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 16 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I - Hai đường trịn khơng giao + (O) (O') OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng tâm OO' < R - r OO' = Tiếp tuyến đƣờng trịn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng đường trịn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính + Đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm A - Tính chất tiếp tuyến cắt MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: O M + MA = MB + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB - Tiếp tuyến chung hai đường tròn: đường thẳng tiếp Bxúc với hai đường trịn đó: Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung d d d' O O' O O' d' II – BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài Cho (O; 5cm) có dây AB = 8cm a) Tính khoảng cách từ O đến AB b) Trên AB lấy I cho AI = 1cm, qua I kẻ dây CD vng góc với AB Chứng minh CD = AB a) Kẻ OH  AB ( H  AB) => HA = HB = AB/2 = cm Áp dụng định lý Py ta go cho tam giác vng OHB, ta có: OH2 = OB2 – HB2 = 25 – 16 = => OH = cm Vậy khoảng cách từ O đến AB 3cm BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 17 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I b) Kẻ OK  CD ( K  CD) Tứ giác OHIK hình chữ nhật có 3góc vng => OK = IH Mà ta có AI = 1cm nên IH = cm => OK = IH = 3cm Do OK = OH = 3cm Vậy CD = AB (cách tâm nhau) Bài Cho nửa đtr (O ; R), đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa mp bờ AB chứa nửa đtr Trên Ax, By lấy theo thứ tự M N cho góc MON 900 Gọi I trung điểm MN CMR : a) AB tiếp tuyến đtr (I ; IO) b) MO tia phân giác góc AMN c) MN tt đtr đường kính AB Hƣớng dẫn a) CMR : AB tt (I ; IO) x y - ta có: AM // BN (cùng vng góc với AB) => tứ N giác ABNM hình thang - xét hình thang ABNM, ta có: AO  BO    IO MI  NI  đường trung bình hình thang ABNM => IO // AM // BN - mặt khác: AM  AB  IO  AB  O  AB tt đtr (I; IO) b) CMR : MO tia phân giác góc AMN - AM // IO =>  AMO =  MOI (so le trong) H I M A O B (1) - tam giác MON có  O = 900, OI trung tuyến OI  IM  IN  MN => tam giác IMO cân I =>  IMO =  IOM (2) - từ (1) (2) =>  MOI =  AMO =  IMO => MO phân giác  AMN c) CMR: MN tt đtr đkính AB - kẻ OH vng góc với MN (3) - xét tam giác MAO tam giác MHO, ta có: A  H  900   MN : chung   MAO  MHO  CH  GN  AMO  HMO  => OA = OH = R (cạnh tương ứng) => OH bán kính đtr tâm O đkính AB (4) Từ (3) (4) => MN tt đtr đkính AB Bài Cho nửa đtr (O ; R), đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa mp bờ AB chứa nửa đtr Trên nửa đường tròn lấy M, tiếp tuyến M cắt Ax C cắt By D CMR: a) COD = 900 b) CD = AC + BD c) AC BD không đổi BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 18 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I Giải x C y M D A O B a) Chøng minh gãc COD = 900 Do OC vµ OD lµ tia phân giác hai góc kề bù AOM BOM nên OC OD Vậy COD = 900 b) Theo tÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t ta cã: CM = AC; DM = DB Do ®ã CD = CM + DM = AC + BD c) Ta có : AC BD = CM MD Xét COD vuông O OM  CD nên ta có : OM2 = MC MD suy MC MD = R2 ( R bán kính đường trịn tâm O) Vậy AC BD = R2 ( không đổi) III – BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6.1: Cho tam giác MNP vuông M, đường cao MK (K  NP) Trên đoạn MP lấy điểm H ( H không trùng với M P ), vẽ tia Px vuông gúc với đường thẳng NH D, tia Px cắt đường thẳng MN C a Biết MN = 6cm, MP = 8cm Tính NP, MK, NK b Chứng minh CD.CP = CM.CN c Chứng minh bốn điểm M, N, P, D cựng thuộc đường tròn tâm O, đường kính NP d Gọi I trung điểm ME Chứng minh IM tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 6.2: Cho đường trịn (O) đường kính AB, E điểm (O) Gọi M,N trung điểm dây AE dây BE Tiếp tuyến đtròn B cắt ON kéo dài D Chứng minh rằng: a) OD vng góc với BE b) Tam giác BDE cân c) DE tiếp tuyến đường tròn tâm O E d) Tứ giác MONE hình chữ nhật Bài 6.3: Cho đtrịn (O;R), bán kính OA = R = 5cm Trên đoạn OA lấy điểm H cho HA = 2cm, vẽ dây cung CD vng góc với OA H a) Tính độ dài CD b) Gọi I điểm thuộc dây CD cho ID = 1cm, vẽ dây PQ qua I vng góc với CD Chứng minh PQ = CD Bài 6.4: Cho nửa đtrịn (O), bán kính R = 2cm, đường kính CD Từ C vẽ tiếp tuyến Cx nửa đtròn Trên tia Cx đặt đoạn thẳng CM = 3cm Gọi A giao điểm DM với (O), P trung điểm CM a) Tính DM, sinD, tanD, DA b) Chứng minh OP vng góc với CA BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 19 HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I c) Chứng minh PA tiếp tuyến nửa đtròn (O) Bài 6.5: Cho nửa đtrịn (O) đường kính CD Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến xy Kẻ CB vuông gúc với xy B, DA vuông góc với xy A Chứng minh: a) MA = MB b) CM tia phân giác góc BCD c) CD tiếp tuyến đtrịn đường kính AB Bài 6.6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bờn ngồi đường trịn, kẻ tiếp tuyến AM, AN ( M, N tiếp điểm) a) Chứng minh OA vuông góc MN b) Vẽ đường kính NOC; Chứng minh CM song song AO c) Tính cạnh ∆AMN biết OM = cm; ) OA = cm Bài 6.7: Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường trịn E , cắt BC D Chứng minh : a)Tam giác ABD cân b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH  AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi BIÊN SOẠN: NGUYỄN QUỐC HUY TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 20