Nhằm giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài tập Toán, mời các bạn cùng tham khảo Chuyên đề Căn bậc hai - căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 =|A| dưới đây. Hy vọng đề cương sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ kiểm tra sắp tới.
CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số không âm a số x cho x = a • Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu − a • Số có bậc hai số 0, ta viết =0 a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học • Với số dương a, số • Với hai số khơng âm a, b, ta có a < b ⇔ a < b II Căn thức bậc hai A thức bậc hai A • Với A biểu thức đại số, ta gọi • A xác định (hay có nghĩa) A ≥ .A ≥ A A= A = A < −A B BÀI MINH HỌA I BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) −3x b) − 2x c) −3x + d) 3x + e) 9x − f ) 6x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: x x x a) b) c) + x−2 + x−2 + x−2 x−2 x+2 x −4 −2 d) e) f) − 2x 2x + x +1 Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) x + b) 4x + d) − x + 2x − c) 9x − 6x + e) − x + f ) −2x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) − x b) x − 16 c) x − d) x − 2x − e) x ( x + ) f ) x − 5x + Lời giải Bài 1: a)x ≤ d)x ≥ Bài 2: −1 b)x ≤ e)x ≥ f )x ≥ c)x ≤ TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) x + x−2 x−2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện biểu thức x − ≠ x ≠ Vậy điều kiện biểu thức x > x b) + x−2 x+2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x≥2 Điều kiện biểu thức x + ≠ x ≠ −2 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x c) + x−2 x −4 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện x ≠ ± x − ≠ Vậy điều kiện biểu thức x > A dạng với A > − 2x B ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < − 2x Vậy điều kiện biểu thức x < d) A Dạng với A > B 2x + ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ 2x + > ⇔ x > − 2x + 3 Vậy điều kiện biểu thức x > − e) −2 A dạng với A < x +1 B −2 ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ x + < ⇔ x < −1 x +1 Vậy điều kiện biểu thức x < −1 Bài a) Vì x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈ b) Vì 4x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈ f) c) 9x − 6x += ( 3x − 1) Vì ( 3x − 1) ≥ 0∀x ∈ 2 Vậy hàm số xác định với x d) − x + 2x − = − ( x − 2x + 1) = − ( x − 1) Hàm số xác định ⇔ − ( x − 1) ≥ ⇔ x − 1= ⇔ x = Vậy hàm số xác định x = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com e) − x +5 Điều kiện − x + ≥ ⇔ x + =0 ⇔ x =−5 f) −2x − Điều kiện −2x − =− ( 2x + 1) < 0∀x Vậy không tồn giá trị x để hàm số có nghĩa Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) Điều kiện biểu thức − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy điều kiện biểu thức −2 ≤ x ≤ b) Điều kiện biểu thức x − 16 ≥ ⇔ x ≥ 16 ⇔ x ≥ x ≤ −4 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ −4 c) Điều kiện biểu thức x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ x ≤ − Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ − x + ≥ x ≥ −1 ⇔ ⇔ x≥3 x − ≥ x ≥ d) x − 2x − ≥ ⇔ ( x + 1)( x − 3) ≥ ⇔ x + ≤ x ≤ −1 ⇔ ⇔ x ≤ −1 x ≤ x − ≤ Vậy biểu thức xác định x ≥ x ≤ −1 e) Điều kiện biểu thức x ( x + ) ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ −2 x ≥ f) Điều kiện biểu thức x − 5x + ≥ ⇔ ( x − )( x − 3) ≥ ⇔ x ≤ x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ x ≥ Dạng Tính giá trị biểu thức Trong tốn tính giá trị biểu thức toán rút gọn thường xuất dạng biểu thức “ẩn” đẳng thức Để tính tốn giải nhanh tốn, em cần biến đổi, sử dụng thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá việc nhận dạng xử lý toán, em tham khảo sơ đồ bên Sử dụng đẳng thức toán chứa Chú ý: x = ( x) Các đẳng thức đáng nhớ (a + b) =a + 2ab + b ( x) x ≥ 0; x x = Ví dụ minh họa 1.6 + = + + = ( 5) + +1= 3.x + x += ( x) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com +2 ( + +1 = 2 ) ( +1 ( ) + +1= x += ( x + 1) + = 2 ) +1 = +1 (a − b) =a − 2ab + b 1.6 − = − + = ( 5) − +1 = ( ) − 10 = − + =5 x + − x − 5= ( = a − b = ( a − b )( a + b ) x2 − ( −1 = x +1 22 − 4−a = 2− a ) ( )( ) x +1 = x +1 x = a + 3a b + 3ab + b3 = ( =a − 3a b + 3ab − b3 ( ( −2 ) b) ( a) += a 1− a ( ) (1 − a )(1 + c) e) (3 − 2 ) + (3 + 2 ) ( − ) + (1 − ) ( − 2) + ( + 2) 2 ( ( 1− a ( ) x x + 1 = x − x +1 ) x x x +1 = x − x +1 ) x ( )+ a ) 3 + + 3 + 1= ( +1 = ) ( −1 = 3 +1 − 10 = ) 3 − + 3 − 1= ) x − = x x − 3x + x − c) ( 3−2 ) (2 d) f) (5 − ) − (5 + ) (3 + ) − (1 − ) ( + 1) − ( − 5) Bài Thực phép tính sau: TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 2 2 −3 ) )( −1 ) x +1 x − x +1 x − x +1 x + = x x + 3x + x + d) x +1 10 + = b) 2 a +a Bài Thực phép tính sau: a) 2+ a 2− a Bài Thực phép tính sau: ( −0,125) ( =5 − 2 1− 1− a a += a 1− a x + x = x − x +1 a) − 0,8 x −1 ( a ) = ( − a )( + a )= 2− a ( 2) 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) (a − b) − + x2 − − + ≥ x −1 =1 + a + a + a = + a 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) (a + b) ) −1 x2 − − x2 − + + − x − + 4= +4 ( x) x −1 = x +1 ) 2 ( ) a) + − − b) − 10 − + 10 c) − + + d) 24 + + − e) 17 − 12 + + f ) − + 22 − 12 Bài Thực phép tính sau: a) c) ( 3− ) 8−4 4+ b) − − 1+ 5+ − − 29 − 12 d) 13 + 30 + + Lời giải Bài 1: a) Biến đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) =( −2 ) =−8 =8 Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: ( 3−2 ) = − = − 3−2 = 2 − = − 2 − 2 =− Vậy biểu thức có giá trị − 2 Bài 2: a) Biến đổi biểu thức: (3 − 2 ) + (3 + 2 ) − (5 + ) = 3− 2 + 3+ 2 = 3− 2 +3+ 2 = (vì − 2 > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: b) Biến đổi biểu thức (5 − ) ( ) ( ) =5 − − + =5 − − + =−4 (vì − > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: −4 c) Biến đổi biểu thức (2 − 3) + (1 − ) − (1 − ) = − + 1− = − + −1 = (Vì − > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: d) Biến đổi biểu thức (3 + ) 2 = + − 1− = + − ( ) −1 = (vì + > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: e) Biến đổi biểu thức ( 5− ) + ( 5+ − > 0; + > TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) = 5− + 5+ = 5− 2+ 5+ =2 Vậy biểu thức có giá trị là: ( f) Biến đổi biểu thức (Vì ) ( 2 +1 − ) 2 −5 = +1 − ( − 5= ) +1− − = 2 − + > 0; − < ) Vậy biểu thức có giá trị 2 − Bài 3: a) + − 5−2 Ta có: + = + + = ( 5+ − 5−2 = Nên = 2 ( ) + ; − = − + = 3+ ) ( − 3− ) = ( 3− 3+ − 3− = ( ) ) ( 3+ − 3− ) + > 0; − > Vậy biểu thức có giá trị 2 b) − 10 − + 10 Ta có: − 10 = − + = ( ) − ;7 + 10 = + + = ( 5+ ) Nên ( − 10 − + 10 = − ) − ( 5+ ) ( − > 0; + > Vậy biểu thức có giá trị −2 c) Biến đổi biểu thức 4−2 + 3+ = ( ) Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức ( 24 + + − 5= ) = ( + +1 + = ( +1 + ) ( −1 + 5−2 ( )= +1 ) + + − 5= − 5.2 + 22 ) = +1 + − 2 = +2+ −= Vậy biểu thức có giá trị e) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( =5 − − + =5 − − − + + 1= ( − + + 1= ) + +1 + − + ) −2 5+ = 17 − 12 + + − 12 + + + + = ( ) + (2 ) ( 2 + 1) =32 − 2.3.2 + 2 ( =3− 2 ) + + 2.2 + 12 = − 2 + 2 +1 = − 2 + 2 +1 = Vậy biểu thức có giá trị f) Biến đổi biểu thức − + 22 − 12 − + + 18 − 12 + = (3 ) (3 − 2) = 22 − 2.2 + + ( = 2− ) 2 − 2.3 2.2 + 22 + =2 − + − = 2− +3 −2 = 2 Vậy biểu thức có giá trị 2 Bài a) Biến đổi biểu thức ( 3− ) 5+ ( ) ( + 2) = ( − 2) + = ( − )( + ) = ( ) − ( ) = − =1 − ( − 1) b) Ta có: = = 3− = 2 −1 4+2 = 1+ ( −1 ) +1 = 1+ ( ( ) −1 ) +1 2 4−2 4+2 Suy − = − − −1 1+ ( ) ( Vậy biểu thức có giá trị −4 c) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( ) ( ) + =4 − − + = −4 − − 29 − 12 = − − 20 − 12 + = = − 9− +3 = = 5− ( ( ) ) −1 = (2 − 9− +3 ) − 6−2 ) 5− ( ) = 13 + 30 + 2 + − 1= 1= Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức 13 + 30 + + = 13 + 30 + (2 +1 ( = 13 + 30 + 2 = 13 + 30 = 13 + 30 ( ) +1 = ( ) +1 ) 43 + 30 ( = 25 + 2.5.3 + 18 = + ) =5 + Vậy biểu thức có giá trị + Dạng Rút gọn biểu thức Bài Rút gọn biểu thức sau: a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) x − 2x + x − 4x + d) x − + ( x < 2) ( x > 1) x −1 x−2 Bài Rút gọn biểu thức sau: c) a) − 4a + 4a − 2a b)x − 2y − x − 4xy + 4y c)x + x − 8x + 16 d)2x − − e) x − 4x + x2 − f) ( x − 4) x − 10x + 25 x −5 + x−4 x − 8x + 16 Bài Cho biểu thức A= x + x − − x − x − a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x ≥ Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện xy + yz + xz = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 Lời giải Bài TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com + z2 a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) ( x − 3) = x +3+ = x +3+ x −3 (vì x ≤ nên x − = − ( x − 3) ) = x + − ( x − 3) = b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) ( x + 2) = + x2 = x + + x x ≥ −2 nên x + = x + x ≤ nên x = − x = x+2−x = c) x − 2x + ( x > 1) x −1 ( x − 1) x −1 x −1 = = = x −1 x −1 x −1 Vì x > nên x − = x − = x − 4x + d) x − + = x−2 + x−2 x < nên x − = − ( x − 2) Biểu thức =x − + Bài ( x − 2) x−2 x−2 − ( x − 2) =− ( x − ) + =− x + − =− x + x−2 x−2 a) Biến đổi biểu thức − 4a + 4a − 2a = (1 − 2a ) − 2a =1 − 2a − 2a Với a ≤ − 2a ≥ nên − 2a =− 2a ta có: − 4a + 4a − 2a =1 − 2a − 2a =− 2a − 2a =− 4a Với a ≥ 1 − 2a − 2a = 2a − − 2a = −1 − 2a ≤ nên − 2a = 2a − ta có: − 4a + 4a − 2a = b) Biến đổi biểu thức x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − ( x − 2y ) =x − 2y − x − 2y Với x − 2y ≤ x − 2y = − ( x − 2y ) ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y + ( x − 2y ) =2x − 4y Với x − 2y ≥ x − 2y =x − 2y ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y − ( x − 2y ) =0 c) x + x − 8x + 16 = x + (x − 4) = x + x − với x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x − ( x − ) = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Với x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ x − = x − ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x + ( x − ) = 2x − ( x − 5) x −5 x − 10x + 25 d) 2x − − = 2x − − = 2x − − x −5 x −5 x −5 Với x − ≤ ⇔ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − + = 2x x −5 x −5 x −5 Với x − ≥ ⇔ x ≥ x − = ( x − ) ta có: 2x − − 2x − − x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − − = 2x − x −5 x −5 x −5 Bài Biểu thức A= x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 a) Biểu thức xác định x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −1 x ≥ b) Tính A với x ≥ x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 A= = = = (x − 1) + x − + − ( x2 −1 +1 − ) ( − 1) − x − + ) x2 −1 +1 + (x x2 −1 −1 x2 −1 −1 Với x ≥ x ≥ ⇔ x − ≥ ⇒ x − ≥ ⇔ x − − ≥ Vậy A = x2 −1 +1 + x − − 1= x − + + x − −= x2 −1 Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 + z2 Ta có: + y = ( xy + yz + xz ) + y = xy + y + yz + zx = y ( x + y ) + z ( y + x ) = ( x + y )( y + z ) Tương tự + z = ( y + z )( z + x ) + x = ( z + x )( x + y ) Suy *x (1 + y )(1 + z ) = x ( x + y )( y + z )( x + z )( y + z ) = ( x + y )( x + z ) x ( y + z) *y (1 + z )(1 + x ) = y ( z + x )( y + z )( x + z )( x + y ) = ( x + y )( y + z ) y ( x + z) 1+ x 2 2 1+ y (1 + x )(1 + y ) = z ( x + y )( x + z )( x + y )( y + z ) = z x + y ( ) 1+ z ( x + z )( y + z ) *z 2 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com = x ( y + z) = y ( x + z) = z ( x + y) Dạng 5: Giải phương trình Bài 1: Giải phương trình a x2 = b x = 10 c x − 19 = d 49 x = −14 b − 4x + x2 = d 9x2 + 6x + = x −1 Bài 2: Giải phương trình a ( x + 2) c x2 − x + =3 + x = e x + x + = Bài 3: Giải phương trình: 1) x2 + = 4) x2 − x − = 7) 25 x − 30 x + = x + 10) 12) ( x − 1) f x − x + = x−2 + x2 + 4x + 2) x − 20 x + 25 = 3) x − + x − =2 5) x2 − = 6) x − + =x 8) x+3+ 2− x = 9) x2 − x + x2 + x − = 11) 3− x 25 x − 50 − x − + x − + + x + x − =2 32 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x − 18 x − +1 = 16 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai Bài 1: Tính a 64 25 c ( −2 ) ( 2,5) b −36 d − 169 Lời giải a c 64 = 25 ( −2 ) ( 2,5) b = 2,5 −36 d − = 169 13 = Bài 2: Tính a 196 25 − 81 c (5 + ) ( b 10 − ) − 10 ( ) d 81: + 169 225 − 8−2 Lời giải a 196 25 − 81 = 13.5 − 5.9 c =5 + − 10 − ) − 10 10 − − 10 = = 65 − 45 = 20 (5 + ) ( b 10 − − 10 = −3 = ( (81: + 13) 15 = (1 − ) ) d 81: + 169 225 − 8−2 = 30.15 = 450 = + − 1− = + +1− =6 Bài Thực phép tính sau: a 5+ − 5− b 49 − 12 + 49 + 12 c 31 − 12 − 31 + 12 d 21 + 12 + 21 − 12 Lời giải 33 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a 5+ − 5−2 = ( = 3+ − 3− 3+ ) ( − b 3− ) (3 3−2 ) − (3 5−2 ) + (3 5+2 ) = 5−2 + 5+2 = 31 − 12 − 31 + 12 = (3 = = 3+ 2− 3+ = 2 c 49 − 12 + 49 + 12 3+2 d ) (2 = = −4 21 + 12 + 21 − 12 3 +3 ) + (2 −3 ) = Bài 4:Tính 1) − 18 + 32 − 50 2) 24 − 54 + − 150 4) 10 28 + 175 − 343 − 448 3) 28 + 63 − 175 + 112 5) 13 − 6) − − 7) 15 − 6 + 33 − 12 Lời giải 1) − 18 + 32 − 50 = − 12 + − = −6 2) 24 − 54 + − 150 = −6 +3 −5 = −4 3) 28 + 63 − 175 + 112 = + − 15 + = − 4) 10 28 + 175 − 343 − 448 = 20 + 10 − 21 − 12 = −3 5) − = − 2.2 + = 6) 7−4 −2= ( 3−2 ) (3 − ) + (3 − ) 2 = 2− =2− − = − − =2 − − =− 7) 15 − 6 + 33 − 12 = = (2 − 3) − 2.3 + + − 2.3.2 + 24 = 3− + −3 = Bài 5:Tính: ( 1) − 5+ ) 10 − 15 − 12 3) 5) )( 2) 4) 16 −3 −6 27 75 15 − 5 − − −1 5−4 − 12 + 27 − 18 − 48 30 + 162 Lời giải ( 1) − )( ) ( 5+ = ) −( 7) 2 34 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 13 = 20 − = 16 42 22 = −3 −6 −3 −6 27 75 3 2) 12 23 3 = 8 − − = − − 3 5 15 = 2.4 3) 10 − 15 = − 12 4) 15 − 5 − − = −1 5−4 ( 5−4 = 5−4 5.2 − 5.3 = 4.2 − 4.3 ( ( 2− ) − 5−2 −2 = ( 3−2 5 = = 5.3 − 5 − − = −1 5−4 ( ) − 5−2 −1 −1 = 5−4 5− 5−2 5−4 10 − 5 − 10 − − + − + − = = = 5−4 5−4 5−4 5−4 5−4 − 12 + 27 − = 18 − 48 30 + 162 5) ) 3) 2− ) − ( ( ( −2 = +3 +3 ) )− 2) 3−2 3−2 −3 == − 6 Bài 6:Tính: ( + 4) 19 − 3) ( + ) ( + + 1) 17 − 32 + 17 + 32 2) )( − 1+ ) 5) + 17 − + 4) ( 5−2 + ) + + 18 − 6) + + 48 − 10 + 7) Lời giải 1) ( 3+4 = ( 3+4 ) 19 − = ( ) (4 − 3) = ( 3+4 ) 16 − 2.4 + = )( ( 3+4 ( ) ) 17 − 32 + 17 + 32 = 17 − 3.4 + 17 + 3.4 = 17 − 2.6 + 17 + 2.6 = ( − 2.3.2 + 2 ) + + 2.3.2 + 2 (3 − 2 ) + (3 + 2 ) = − 2 + + 2 = 3) ( + ) ( + + )( − + ) = ( + ) ( = ( + ) ( − ) = 25 − 16.2 = −7 ( ) 13 + 4 − = 16 − = 2) = ) 42 − 2.4 + 2 35 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ( − 1+ )) 4) = ( 5−2 + (3 − ) ) = 15 − 2.3 + = − 2.3 + + + = 3− + = 5) + 17 − + = + 17 − + + = + 17 − = + 17 − ( ) +2 = 2+ 9−4 = 2+ 5−4 +4= 2+ ( 5+2 ( 5−2 ) ) 2 = + − =5 6) + + 18 − = = +2 3+4− = 7) 3+4= (2 + 3) = + + 28 − 10 = = 4+ +5 5− = ( ) ( + +1 = ) +1 = ( + + 48 − 10 + = + + 25 − 10 + 4+5 = + + 25 − = Bài 7:Tính: 1) 3) 3− 2 17 − 12 − + 48 − 3+ 2 17 + 12 2 (5 + )( 49 − 20 ) 5) 2) 4) 5−2 − 11 6) −4 + 175 − 8+ 3− 2 2 + 3+ 1+ 1+ 1+ + + 2 − 3− 1− 1− 1− 1 + + + 1+ 2+ 24 + 25 Lời giải 7) ( − 1) − ( + 1) 1) (3 − 2 ) (3 + 2 ) −1 + ( − 1)( + 2 ) − ( + 1)( − 2 ) = − = 3− 2 3+ 2 (3 − 2 )(3 + 2 ) 3− 2 3+ 2 −= 17 − 12 17 + 12 +1 + + 48 − 10 + + + + 48 − 10 + = = + + 48 − 10 2+2 3+ + + 16 − 2.4 + = 2 36 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) (4 − ) = + 4−3− 2 −3 + 4−3+ 2 =2 1 −4 + 175 − 8+ 3− 2) ( 8− 8− )( 8+ ) +5 − ( 2.3 − 2 3− ) 2 3− 8− +5 − = − +5 −2 8−7 3− = = 2 +4 −2 = 3) = 2+ − = = + 48 − 4) = ( + 1) − (= 6+ 2− = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ ) ( 2+ 3+2 + 6+ 8+2 2+ 3+ − 2 )= ( ( ) +1 − 2 ) + + + ( 2+ 3+2 2+ 3+ )= 1+ 2+ 2+ 2+ − + 2 ( 4+2 2+ = (2 + 3) 2 5) = 2 2+ − 2 + − = = 2 = 7+4 − )−2 +1 = 2.2 2 + + 2+ − +1 +1 = 3 + 3 + − 4.3 + 2+ − + 3 ( ) 37 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ( 4+2 + 3 ) +1 +1 +1 = 3 +3 −3 3+ − 3 3 4+2 4−2 2= + + 6) 3 2+ 4+2 2− 4−2 1+ 1+ 1− 1− 2 1+ ( = +1 ( +1 4+2 = ) ( ( 1− ) +1 ) + ) +1 + ( ) −1 4−2 ( ) ( ( ( ) ( + 1) + ( = ) ) −1 −1 ( 2 ) −1 = 6+2 3 −1 ) 6−2 3 +1 −1 + =1 3 1 + + + 1+ 2+ 24 + 25 7) 1− ( )( 1+ 1− + ) ( 2− )( 2+ 1− 2− 24 − 25 + + + −1 −1 −1 = = − ( 2− ) + + ) ( ( 24 − 25 )( 24 + 25 24 − 25 ) ) − − 25 = − + − + + 24 − 25 = Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức chứa bậc hai có nghĩa Bài 1: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a 15 x−2 c 72x −13 3x Lời giải e 15 có nghĩa ⇔ x − ≥ x−2 ⇔ x≥2 b −17 12 − x d 24 + 10x f 27 − 6x −17 có nghĩa ⇔ 12 − x ≤ 12 − x ⇔ x ≥ 12 a b c 72x có nghĩa ⇔ 72 x ≥ ⇔ x≥0 d 24 + 10x có nghĩa ⇔ 24 + 10 x ≥ −12 ⇔ x≥ 38 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com −13 −13 có nghĩa ⇔ ≥0 3x 3x ⇔ x 15 − ⇔ < 17 + ⇔ > 15 − Bài Tìm giá trị x biết a − x + ≥ Lời giải a Điều kiện − x + ≥ ⇔ x ≤ Ta có − x + ≥ 36 ⇔ x ≤ −35 (thỏa mãn điều kiện) b x ≤ x Lời giải b Điều kiện x ≥ Ta có x ≥ 2x ≤ x2 ⇔ x ( x − 2) ≥ ⇔ x ≤ Kết hợp điều kiện ta có x = x ≥ Bài 3:So sánh A B : 2013 + 2015 ; B = 2014 a) A = 12 + 12 + 12 + + + + ;= B b) A = 12 + 11 1 4028 + + + ; B= 2015 1.2014 2.2013 2014.1 = c) A Lời giải a) A = 2013 + 2015 ; B = 2014 Ta có: 2013 < 2015 ⇒ < 2013 + 2014 < 2015 + 2014 1 > ⇒ 2013 + 2014 2015 + 2014 ⇒ ( 2014 − 2013 2014 + 2013 )( 2014 − 2013 > ) ( 2015 − 2014 2015 + 2014 40 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com )( 2015 − 2014 ) ⇒ 2014 − 2013 > 2015 − 2014 ⇒ 2014 > 2015 + 2013 ⇒ B > A Cách khác : 2013 + 2015 > ⇔ A= 4028 + 2013.2015 = 2.2014 + 20142 − Ta có = A A2 < 2.2014 + 2.2014 = 4.2014 = B 2014 > ⇔ = B 4.2014 Suy A2 < B ⇔ A < B (do A, B > ) b) So sánh A = 12 + 12 + 12 + + + + ;= B Ta có: A = 12 + 12 + 12 + + + + 12 + 11 2 A2 =12 + 12 + 12 + + + + + 12 + 12 + 12 + + + A2 =18 + 12 + 12 + + + + 12 + 12 + 12 + + + ( B =12 + 11 ) =+ 23 132 Dễ thấy 12 + 12 > + + > ⇒ 18 + 12 + 12 + + + > 23 ⇒ Để so sánh A2 B ta cần so sánh 12 + 12 + 12 + + + 132 ( ) Ta có: 12 + 12 + 12 + + + = 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + Mà 6+ 6+ > = 12 + 12 > = nên 12 + + > 12.3 = 36 12 + 12 > 6.3 = 18 12 + 12 + + > 3.3 = ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 72 + 36 + 18 + ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 135 ⇒ 72 + 12 + + + 12 + 12 + 12 + 12 + + > 132 ⇒ 12 + 12 + 12 + + + > 132 ⇒ A2 > B ⇒ A > B (Do A > B > ) Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử 41 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a x − d x + x + c x + x + Lời giải a x − = ( x + )( x − ) 7x + = ( x + ) c x + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a x − c x + 2 x + Lời giải a x − = b x − b x − 3= d x + x + 2= ( 3x + ) d x + x + b x − 5= (x + 2) d x + (3x + )( 3x − ) x + 3= ( x + ) Dạng 5: Giải phương trinh Bài 1: Giải phương trình a x2 = b x = 10 c x − 19 = d 49 x = −14 b x = 10 ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = −3 ( 3x ) ⇔ 3x = 10 Lời giải a x2 = Vậy S = {−3;3} = 10 3 x = 10 ⇔ 3 x = −10 10 x = ⇔ x = −10 10 −10 Vậy S = ; 3 c b x − ( x + )( x − ) c x + 2 x + = ( x + )( x − ) x − 19 = d 49 x = −14 ⇔ 2x = 19 ⇔ 7x = 14 x = 19 ⇔ x = −19 7 x = 14 ⇔ 7 x = −14 x = ⇔ x = −2 42 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 19 x = ⇔ x = −19 Vậy = S {2; −2} 19 −19 Vậy S = ; 2 Bài 2: Giải phương trình a ( x + 2) c x2 − x + =3 + x = e x + x + = b − 4x + x2 = d 9x2 + 6x + = x −1 f x − x + = Lời giải a ( x + 2) = 2 x + = ⇔ x + =−2 x = ⇔ x = −4 Vậy = S {0; −4} x2 − x + =3 + x c b − 4x + x2 = ⇔ (2 − x) = ⇔ 2− x = 3 2 − x = ⇔ − x =−3 x = −1 ⇔ x = Vậy = S {5; −1} d 9x2 + 6x + = x −1 3 + x ≥ ⇔ x − =3 + x x −1 ≥ ⇔ 3x + = x − x ≥ −3 ⇔ x − = + x x − =− ( + x ) x ≥ ⇔ 3 x + = x − 3 x + =− ( x − 1) 0 x = ⇔ x = −1 −1 ⇔ x = (nhận) −1 Vậy S = 2 x = −2 ⇔ 4 x = −1 ⇔x= −1 Vậy S = 2 e x + x + = f x − x + = ( ⇔ x+ ) = ⇔x= − 43 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ⇔ ( x + 2) = ⇔x= −2 Vậy S = {−2} {− } Vậy S = Bài 4: Giải phương trình: 1) x2 + = 4) x2 − x − = 7) 25 x − 30 x + = x + x−2 10) ( x − 1) 11) 25 x − 50 − 2) x − 20 x + 25 = 3) x − + x − =2 5) x2 − = 6) x − + =x 8) x+3+ 2− x = 9) x2 − x + x2 + x − = 3− x + x2 + 4x + x − +1 x − 18 = 16 12) x − + x − + + x + x − =2 Lời giải x2 + = 1) ( ĐK : x + ≥ với x ) 25 ⇔ x2 + = x + = x = −4 ⇔ 0⇔ ⇔ x − 16 = ⇔ ( x − 4) ( x + 4) = x − = x = Vậy nghiệm phương trình x = 4, x = −4 x − 20 x + 25 = 1⇔ 2) ( x − 5) = 1⇔ x= ⇔ 2x − = Vậy nghiệm phương trình x = 3) x − + x − =2 Đk: x ≥ x − + x − =2 ⇔ x − + x − +1 = ⇔ ( ) ⇔ x − +1 = x − +1 = ⇔ x − + =2 (vì với x ≥ x − ≥ nên ⇔ x−2 = ⇔ x−2= ⇔x= (thoả mãn điều kiện) 4) x − x − = x−2 ĐK: x ≥ ⇔ x2 − x − = x − ⇔ x2 − x − x − + = ⇔ x2 − x = ⇔ x ( x − 2) = x = ⇔ ⇔ x − = x = (KTM) x = (TM) S = {2} 44 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x − +1 ≥ > ) x ≤ −3 − ≥ x x ≤ −3 ⇔ x ≥ ⇔ 5) x − = − x Đk : x = 3 − x ≥ x ≤ 2 ⇔ x − = − x ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x + )( x − 3) = 0 ⇔ x ( x + 4) − 3( x + 4) = ⇔ x + x − x − 12 = x = −4 (TM ) x + = ⇔ ⇔ x − = x = (TM ) S= {−4;3} 6) x − + =x x ≥1 ⇔ x −1 = x −1 ⇔ x − = x − x + ⇔ x − 3x + = ⇔ x2 − x − 2x + = 0 x −1 = ⇔ 0⇔ ⇔ ( x − 1)( x − ) = x − = x = x = (TM) S = {1; 2} ĐK: x ≥ −7 7) 25 x − 30 x + = x + ⇔ 25 x − 30 x + = x + 14 x + 49 ⇔ 24 x − 44 x − 40 = 0 ⇔ x − x + 15 x − 10 = ⇔ ( x + )( x − ) = ⇔ x − 11x − 10 = x = x = −5 2 x + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x = 3 x − = x = −5 (TM) −5 S= ; 3 8) x + + − x = 5(*) x + = u Đặt v − x = ĐK: −3 ≤ x ≤ ( u, v ≥ ) u + v = v = − u v= − u (*) ⇔ 2 ⇔ ⇔ 2 − u) = u + ( = u + v u − 5u + 10 (1) (2) Xét (2) u − 5u + 10 = có ∆ = −15 < nên phương trình (2) vơ nghiệm Suy hệ phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình (*) vơ nghiệm 9) x − x + x + x − = ⇔ x x −1 + ⇔ x −1 ( ĐK: x ≥ ( x − 1)( x + ) =0 ) x + x+2 = 45 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x −1 = x = ⇔ ⇔ ⇔x= 1(TM) x + x + = x + x + > 0, ∀x S = {1} 10) ( x − 1) ⇔ ( x − 1) + x2 + x + = + ( x + 2) ( x − 1) Ta có : ( x + 2) 2 (*) = ≥ 0, ∀x ≥ 0, ∀x x = x − =0 ⇔ ( L) (*) ⇔ x = −2 x + = Vậy phương trình vơ nghiệm 11) x − +1 x − 18 = 16 25 x − 50 − x − +1 = x−2 ⇒ x − − x − +1 = x−2 12 x − + x − − 10 x − ⇔ = − 2 ⇔ x − − ⇔ x − =−1 (vô lý) Vậy phương trình vơ nghiệm 12) x − + x − + + x + x − =2 ⇔ ⇔ ( ( x−2 ) + x − +1 + ) x − +1 + ( ( x−2 +3 x−2 ) ) 2 +6 x−2 +9 = = −1 ( vô lý) −2 ⇔ x − = ⇔ x − +1+ x − + = ⇔ x−2 = Vậy phương trình vô nghiệm - TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - 46 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... Với số dương a , số a gọi bậc hai số học a Câu Đáp án B Căn bậc hai số học a 0, 36 0, 36 0, Câu Đáp án D - Với hai số a, b không âm ta a b a b nên C - Với hai số a, b khơng âm ta có... đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0 ,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) =( −2 ) =−8 =8 Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: (... Trong tốn tính giá trị biểu thức tốn rút gọn thường xuất dạng biểu thức “ẩn” đẳng thức Để tính tốn giải nhanh toán, em cần biến đổi, sử dụng thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá