CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI HỆ THỨC GIỮA KHÔNG ĐỐI XỨNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trường hợp 1 Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm nghiệm được + Nhẩm nghiệm của phương trình hoành độ được ra vở nháp + Đưa phương trình hoành độ về phương trình tích dạng + Tìm được hai nghiệm của phương trình hoành độ là + Khẳng định phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số + Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt (Nếu cần) + Xét 2 trường hợp và với yêu cầu của bài toán + Giải 2 trư.
CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI HỆ THỨC GIỮA X1 , X KHÔNG ĐỐI XỨNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Trường hợp Phương trình hồnh độ giao điểm nhẩm nghiệm + Nhẩm nghiệm phương trình hồnh độ x1 = m, x = n nháp + Đưa phương trình hồnh độ phương trình tích dạng a(x − m).(x − n) = + Tìm hai nghiệm phương trình hồnh độ x = m, x = n + Khẳng định phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số + Tìm điều kiện để phương trình hồnh độ có nghiệm phân biệt (Nếu cần) + Xét trường hợp x1 = m, x = n x1 = n, x = m với yêu cầu toán + Giải trường hợp để tìm giá trị tham số + Đối chiếu điều kiện, kết luận Trường hợp Phương trình hồnh độ giao điểm không nhẩm nghiệm 2 Bước Tính ∆ = b − 4ac ∆ ' = (b ') − ac Bước Tìm điều kiện để phương trình hồnh độ có nghiệm nghiệm phân biệt b c x1 + x = − x1 x = a a Bước Viết hệ thức Vi-et phương trình hồnh độ b x1 + x = − a b x1 + x = − a mx1 + nx = p ta có hệ phương trình: mx1 + nx = p Bước Kết hợp Bước Giải hệ phương trình tìm x1 , x theo tham số m c a , giải tiếp tìm giá trị tham số Bước Thay x1 , x vừa tìm vào Bước Đối chiếu với điều kiện ∆ ∆ ' chọn giá trị thỏa mãn kết luận II VÍ DỤ x1 x = Ví dụ Cho Parabol a) Chứng minh b) Tìm m để Cho phương trình ( P) : y = x2 đường thẳng ( d) ln có điểm chung với giá trị m ( d) cắt ( P) ( P) ( d ) : y = 2(m + 1)x − 4m , m tham số điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x1 + 3x = x − ( m + 1) x + 4m = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1 = −3x Lời giải P d Hoành độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x − ( m + 1) x + 4m = (1) Ta có: Phương trình (1) có nghiệm x = 2, x = 2m với m CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( d) ( P) ln có điểm chung với giá trị m P d Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) ( d ) cắt ( P ) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2m ≠ ⇔ m ≠ Trường hợp 1: Xét x1 = 2, x = 2m thay vào x1 = −3x ta được: (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x1 = 2m, x = thay vào x1 = −3x ta được: 2m = −3.2 ⇔ m = −3 (thỏa mãn) m = −3,m = − giá trị cần tìm Vậy = −3.2m ⇔ m = − P) : y = x2 ( Ví dụ Cho Parabol a) Chứng minh ( d) d ) : y = 2mx − m + ( đường thẳng , m tham số cắt ( P) với giá trị m + =1 d) P) ( ( x , x x x 2 b) Tìm m để cắt điểm có hồnh độ thoả mãn Lời giải 2 P d Hoành độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x − 2mx + m − = (1) 2 2 Có ∆ ' = (− m) − (m − 4) = m − m + = > ∀m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x = m ± d P ( ) cắt ( ) với giá trị m P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) Điều kiện: x1 ≠ 0, x = ⇔ m ± ≠ ⇔ m ≠ ±2 + =1 x1 = m + 2, x = m − x x Trường hợp 1: Xét thay vào ta m − + 3(m + 2) 4m + + =1⇔ =1⇔ =1 m+2 m−2 (m + 2)(m − 2) m −4 ⇔ 4m + = m − ⇔ m − 4m − = ⇔ m − 4m + − 12 = ⇔ (m − 2) = 12 ⇔ m − = ± 12 ⇔ m = ± (thỏa mãn) + =1 x = m − 2, x = m + x x 2 Trường hợp 2: Xét thay vào ta m + + 3(m − 2) 4m − + =1⇔ =1 ⇔ =1 m−2 m+2 m −4 ( m + 2) ( m − 2) ⇔ 4m − = m − ⇔ m − 4m = ⇔ m = 0, m = (thỏa mãn) m∈ ; ; ± Vậy giá trị cần tìm { } CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Ví dụ Cho Parabol a) Chứng minh b) Tìm m để ( P) : y = x2 ( d) ( d) đường thẳng cắt cắt ( P) ( P) ( d ) : y = 4x + m + , m tham số với giá trị m điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x = −5x1 Lời giải ( P) Hoành độ giao điểm ( d ) nghiệm phương trình: x = 4x + m + ⇔ x − 4x − m − = (1) ∆ = b − 4ac = (−4) − 4.1.(− m − 1) = 4m + 20 2 Vì 4m ≥ với m nên ∆ = 4m + 20 ≥ 20 > với m Phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m ( d) cắt ( P) với giá trị m P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = 4, x1x = = − m − a a x = −5x1 ⇒ −5x1 + x1 = ⇒ x1 = −1 ⇒ x = x1 + x = x = − 5x Mà Ta có hệ phương trình x1 x = Thay x1 = −1 , x = vào Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Ví dụ P) : y = x2 ( Cho Parabol Tìm m để ( d) cắt ( P) c a = −m − , ta m = ⇔ m = ±2 đường thẳng ( d ) : y = 2(k − 1)x + 4k , k tham số điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x1 − x2 = Lời giải P d x − ( k − 1) x − 4k = (1) Hoành độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: ∆′ = − ( k − 1) − ( −4k ) = ( k − 1) + 4k = ( k + 1) ( d) cắt 2 ( P ) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆′ > (k + 1) > ⇔ k + ≠ ⇔ k ≠ −1 P d Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) Theo định lý Viét, ta có Giải hệ x1 + x2 = − b c x1 x2 = = −4k a = 2k − , a 3x1 − x2 = k 3k − ⇒ x1 = 2k ⇒ x1 = ⇒ x2 = 2 x1 + x2 = 2k − k 3k − c k 3k − ⇒ x2 = x1 x2 = × = −4k ⇔ 3k + 12k = = − 4k 2 a Thay vào , ta 2 3k = k = ⇔ 3k (k + 4) = ⇔ ⇔ k + = k = −4 (thỏa mãn) x1 = CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy k = 0, k = −4 giá trị cần tìm III BÀI TẬP VẬN DỤNG d : y = 2mx − 2m + Bài Cho parabol (P) : y = x đường thẳng ( ) ( với m tham số) ( d ) ( P ) ln có điểm chung a) Chứng minh ( d ) cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ x1 , x thoả mãn x12 = x − b) Tìm m để Lời giải d P a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) : x = 2mx − 2m + ⇔ x − 2mx + 2m − = ( *) Δ' = ( −m ) − ( 2m − 1) = m − 2m + = ( m − 1) 2 Pt có m − 1) ≥ ( Vì với m nên ∆ ' ≥ với m , suy pt (*) ln có nghiệm với d P m , tức ( ) ( ) ln có điểm chung với m d P b) Theo phần a) ta có: ( ) ( ) ln có điểm chung với m ( d ) cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ x1 , x pt (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ( m − 1) > ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ Áp dụng định lý Vi-ét cho pt (*) ta có 2m = x1 + x ( 1) x1 + x = 2m x1 + x = 2m ⇒ ⇔ x1.x = 2m − x1.x = x1 + x − x1 + x − x1.x − = ( ) x = x − ⇒ x12 + = x ( 3) Theo đề thay vào pt (2) ta có: 2 x1 + x1 + − x1 ( x1 + ) − = ⇔ x13 − x12 + 3x1 − = ⇔ ( x1 − 1) ( x12 + 3) = ⇔ x1 = ( x1 + > với x1 ) Với x1 = thay vào (3) ta có x = thay vào (1) ta m = ( t/m) Vậy m = giá trị cần tìm x = ⇔ x = 2m − x − 2mx + 2m − = ( *) Cách 2: +Trường hợp 1: x1 = 1, x = 2m − Có x1 = x − ⇒ = 2m − ⇔ m = + Trường hợp 2: x1 = 2m − 1, x = ⇒ 2m − 1) = −3 Có x1 = x − ( (sai) Qua trường hợp có m = giá trị cần tìm CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2mx − m + , m tham số d P a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ( ) parabol ( ) m = Bài Cho Parabol d P : y = x2 b) Gọi x1 ; x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để hồnh độ giao điểm ( d) ( P) thỏa mãn x1 + 2x = Lời giải d d : y = 2x + a) Thay m = vào đường thẳng ( ) ta được: ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) ( d) : x = 2x + ⇔ x − 2x − = ⇔ x1 = −1 x = d : 2x + Thay x1 = −1 vào ( ) , ta có: y1 = −2 + = d : 2x + Thay x = vào ( ) , ta có: y1 = + = Vậy tọa độ giao điểm ( P) b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( d) ( P) là: ( −1;1) ; ( 3;9 ) ( d) : 2 x = 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m − = ( a = ; b = −2m ; c = m − ) = ( −2m ) − ( m − ) = 16 > Ta có: ∆ = b − 4ac 2 Suy phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m : x1 = 2m + 2m − = m + x2 = = m−2 2 ; x1 = m − ; x = m + Trường hợp 1: x1 = m − ; x = m + Khi thay vào phương trình x1 + 2x = ta được: m − + ( m + ) = ⇔ 3m = ⇔ m = Trường hợp 2: x1 = m + ; x = m − Khi thay vào phương trình x1 + 2x = ta được: m + + ( m − ) = ⇔ 3m = ⇔ m = Vậy m= m= giá trị cần tìm CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Bài Cho đường thẳng (d) : y = ( m − 3) x + m − I ( −1; ) đến đường thẳng (d) lớn P : y = x2 b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol ( ) hai a) Tìm m để khoảng cách từ điểm điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 = 4x Lời giải I −1; ) d a) Tìm m để khoảng cách từ điểm ( đến đường thẳng ( ) lớn (d) : y = ( m − ) x + m − d : m − 3) x − y + m − = hay ( ) ( I −1; ) d : y = ( m − 3) x + m − Gọi d khoảng cách từ ( đến đường thẳng ( ) hay ( m − 3) ( −1) + + m − d= = 2 m − 3) + m − 3) + ( ( Ta có 1 d= ≤ =1 2 m − +1 ( ) m − 3) + ≥ ( Do với m nên với m Dấu “ = ” xảy m − = ⇔ m = I −1; ) d Vậy m = khoảng cách từ điểm ( đến đường thẳng ( ) lớn d P : y = x2 b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng ( ) cắt Parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 = 4x d) P ) x = ( m − 3) x + m − ( ( Xét phương trình hồnh độ giao điểm : ⇔ x − ( m − 3) x − ( m − ) = 2 ∆ = ( m − 3) + 4.1 ( m − ) = m − 2m + = ( m − 1) ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt ∆ > ⇔ ( m − 1) > ⇔ m ≠ x1 + x = m − x x = −m + Theo định lí Vi-et ta có: x12 x = 4x ⇔ x = Mà x12 x1 + = m − x12 +4 x1 = ( m − 3) = 4m − 12 x x1 = − m + ⇔ x1 = ( − m ) = − 4m Nên x12 +4 x1 = 4m − 12 x12 +4 x1 = − x13 − 12 x13 + x12 + 4x1 + = ⇔ ⇔ ⇔ 3 4m = − x1 4m = − x1 4m = − x1 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x1 = −1 ( x12 + > 0, ∀x ) ( x1 + 1) ( x12 + ) = ⇔ ⇔ 3 4m = − ( −1) 4m = − x ⇒ 4m = ⇔ m = (nhận) m= giá trị cần tìm Vậy với P : d Bài Cho parabol ( ) y = x đường thẳng ( ) : y = mx + m + Tìm giá trị m để đường thẳng ( d) cắt Parabol ( P) hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn: 2x1 − 3x = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng x = mx + m + ⇔ x − mx − m − = ( d) cắt Parabol ( P ) là: ( 1) Có a = 1; b = − m;c = − m − ⇒ a − b + c = 1+ m − m −1 = ⇒ phương trình ( 1) có nghiệm x = −1 nghiệm cịn lại x = m + Để đường thẳng ( d) cắt Parabol ( P) hai điểm phân biệt nằm khác phía với trục tung −1 < < m + ⇔ m > −1 + Trường hợp x1 = −1 ; x = m + ta có: 2x1 − 3x = ⇔ ( −1) − ( m + 1) = ⇔ −2 − ( m + 1) = ⇔ ( m + 1) = −7 ⇔ m +1 = − 10 ⇔m=− 3 (không thỏa mãn) + Trường hợp x1 = m + ; x = −1 ta có: 2x1 − 3x = ⇔ ( m + 1) − ( −1) = ⇔ ( m + 1) + = ⇔ ( m + 1) = ⇔ m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy với m = giá trị cần tìm Bài Cho hàm số y = mx − 2m + có đồ thị đường thẳng d Tìm m để đường thẳng d y = x P) x x x = 8x2 ( cắt : hai điểm phân biệt có hồnh độ , cho CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( P) : x = mx − 2m+ 2 ⇔ x2 − 2mx + 4m− = (1) P Để d cắt ( ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = m2 − 4m+ > ⇔ (m− 2) > ⇔ m ≠ Áp dụng định lý Vi-ét điều kiện đầu ta có hệ phương trình sau 2m x2 = 16m 9x2 = 2m ⇔ x1 = x1 + x2 = 2m x1x2 = 4m− ⇔ 8x2 = 4m− x1x2 = 4m− x = 8x x = 8x 2 m = 9(tmdk) ⇔ 2m 16m m = (tmdk) = 4m− ⇔ 8m − 81m+ 81 = Ta có phương trình sau Vậy, 9 m∈ 9; giá trị cần tìm Bài Cho parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2x − m + , m tham số Tìm giá d P 2x − x2 = trị m để ( ) cắt ( ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) ( P) nghiệm phương trình: x2 = 2x − m+ ⇔ x2 − 2x + m− = (1) ( m tham số) ∆′ = ( −1) − ( m− 1) = − m ( d) cắt ( P) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ m < P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) x1 + x2 = x x = m− Theo hệ thức Vi - ét ta có: : CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x1 + x2 = x = ⇔ 2x − x2 = 2x − x2 = x2 = −1 Từ ta có x x = m− ⇔ 3.( −1) = m− ⇔ m = −2 ( tm) Thay vào Vậy với m = −2 giá trị cần tìm Bài Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = (2m + 1)x − m − với m tham số d P x = 2x2 Tìm giá trị m để ( ) cắt ( ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) ( P) nghiệm phương trình: x2 = ( 2m+ 1) x − m2 − ⇔ x2 − ( 2m+ 1) x + m2 + = (1) ( ) ∆ = b2 − 4ac = ( 2m+ 1) − m2 + = 4m2 + 4m+ − 4m2 − = 4m− ( d) cắt ( P) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 4m − > ⇔ m> P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) −b x1 + x2 = a = 2m+ (1) x x = c = m2 + (2) a Theo định lý Vi-ét: x1 = 2x2 ⇒ 3x2 = 2m+ ⇔ x2 = ( ) Ta có: vào ( 2m+ 1) ⇒ 2m+ vào (2) = m2 + ⇔ 8m2 + 8m+ = 9m2 + m = ⇔ m2 − 8m+ = ⇔ m = Bài Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = −5x − m với m tham số d P 9x + 2x2 = 18 Tìm m để ( ) cắt ( ) điểm có hoành độ x1 ; x thỏa mãn Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) ( P) nghiệm phương trình: x2 + 5x + m = (*) (m tham số) Ta có ∆ = 25 − 4m ( d) cắt ( P) điểm phương trình (*) có nghiệm phân biệt CHUN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ⇔ ∆ > ⇔ 25 − 4m > ⇔ m < 25 P d Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) x1 + x2 = −5 x x = m Theo hệ thức Viet, ta có : Ta có hệ phương trình: x1 + x2 = −5 x = ⇔ 9x1 + 2x2 = 18 x2 = −9 m = x1.x2 = 4(−9) = −36 Nên (thỏa điều kiện) Vậy m = −36 giá trị cần tìm Bài Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = −2x − m với m tham số d P x + 2x2 = Tìm m để ( ) cắt ( ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) ( P) nghiệm phương trình: x2 = −2x − m ⇔ x2 + 2x + m = (1) Ta có ∆′ = − 1.m = − m ( d) cắt ( P) điểm phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > (vì a = ≠ ) ⇔ − m > ⇔ m < P d Vì x1 , x hồnh độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) ( 1) ( 2) x1 + x2 = −2 x x = m Áp dụng định lý Vi-et ta có Theo ta có: x1 + 2x2 = ( 3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình x1 + x2 = −2 x2 = x2 = x2 = ⇔ ⇔ ⇔ x1 + 2x2 = x1 + 2x2 = x1 + 2.3 = x1 = −5 m = 3.( −5 ) = −15 x1 x2 ; vào ( ) ta được: (nhận) Vậy m = −15 giá trị cần tìm Thay Bài 10 Cho parabol ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = −5x − 3m + với m tham số d P x3 − x32 + 3x1x2 = 75 Tìm m để ( ) cắt ( ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn Lời giải 10 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( P) x2 − ( m+ 1) x + 4m = (*) Hoành độ giao điểm ( d) nghiệm phương trình: ∆ ' = [ −(m + 1) ] − 1.4m = m + 2m + − 4m = m − 2m + = (m − 1) ( d) cắt ( P) điểm phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ (m − 1) > ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) Theo hệ thức Vi-et ta có : 2x1 − x2 = −2 (1) x1 + x2 = 2m+ (2) x x = 4m (3) 2m x1 = 3x1 = 2m ⇔ x = 4m+ x = x + Từ phương trình (1) (2) ta có hệ phương trình: 2m 4m + = 4m Thay vào phương trình (3) ta có: m = ⇔ m = (thỏa mãn) ⇔ m2 − 3m = ⇔ m m− = Vậy với m = m = giá trị cần tìm ( Bài 18 Cho parabol ) ( P ) : y = x dường thảng ( d ) : y = 6x − m với m tham số d P Tìm m để ( ) cắt ( ) điểm có hồnh độ x1 ; x thỏa mãn: x1 − x = Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) cắt ( P) ( d) ( P) nghiệm phương trình: x − 6x + m = điểm phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = 9−m > ⇔ m < P d Vì x1 , x hoành độ giao điểm ( ) ( ) Nên x1 , x nghiệm phương trình ( ) Theo hệ thứcViét ta có x1 + x = x1 x = m (1) (2) 17 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Theo yêu cầu x1 − x = Từ (1) (3) ⇒ x1 = , thay vào (1) (3) ⇒ x2 = Suy m = x1.x = (thoả mãn) Vậy m = giá trị cần tìm d : y = 3mx + đường thẳng ( ) d P a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 , thỏa mãn điều Bài 19 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol ( P ) : y = x2 kiện: x1 = −4 x2 Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = 3mx + ⇔ x − 3mx − = ( 1) ( d ) ( P ) là: a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm Với m = −1 , pt ( ) trở thành: x + 3x − = ( d ) ( P ) ⇔ ( x + ) ( x − 1) = x + = x = −4 ⇔ ⇔ x −1 = x = ( P ) y = ( −4 ) = 16 x = −4 * Thay vào : P * Thay x = vào ( ) : y = = d P −4;16 ) ( 1;1) Vậy với m = , tọa độ giao điểm ( ) ( ) là: ( d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x2 ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ⇔ pt ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (Với a = ≠ ) Để ⇔ ∆ = b − 4ac > ⇔ ( −3m ) − 4.1( −4 ) > ⇔ 9m + 16 > (ln m ≥ ∀m ) x1 + x2 = 3m ( ) x x = −4 ( 3) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 = −4 x2 ( ) Lại có: −3m x2 = x1 + x2 = 3m ( ) −4 x2 + x2 = 3m ⇔ x = −4 −3m = 12m ⇔ x = − x 4 2( ) 5 x1 = −4 x2 Từ ( ) vào ( ) , ta có: 18 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI 12m −3m = −4 Thay vào ( ) ta có: ⇔ −36m = −100 100 25 ⇔ m2 = = 36 ⇔m=± m=± giá trị cần tìm Vậy d : y = ( m − 1) x − m + 2m + Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ( ) parabol ( P ) : y = x2 ( d ) cắt ( P ) với giá trị m d P hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để a) Chứng minh b) Gọi x1 ; x2 x1 + = x2 Lời giải ( d ) cắt ( P ) với giá trị m P d Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: a) Chứng minh x = ( m − 1) x − m + 2m + ⇔ x − ( m − 1) x + m − 2m − = ∆ ' = ( m − 1) − ( m − 2m − ) = > ∀m Ta có: ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt với m d P x +6 = hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để Vậy đường thẳng b) Gọi x1 ; x2 x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được: x1 + x2 = ( m − 1) x1 x2 = m − 2m − Theo ta có: Mà ( 1) ( 2) x1 + = x2 ⇔ x12 + 12 x1 + 36 = x2 x12 = ( m − 1) x1 − m + 2m + ⇒ ( m − 1) x1 − m + 2m + + 12 x1 + 36 = x2 ⇔ 2mx1 + 11x1 − ( x1 + x2 ) − m + m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 − ( m − 1) − m2 + 2m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 = m − 46 ⇔ x1 = −11 m ≠ ÷ m − 46 2m + 11 Thay vào ( 1) ta được: x2 = ( m − 1) − x1 = ( m − 1) − 19 m − 46 3m + 18m + 24 = 2m + 11 2m + 11 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Thay vào ( ) ta được: x1 x2 = m − 2m − ⇔ ( m − 46 ) ( 3m + 18m + 24 ) = ( 2m + 11) m = −2 ⇔ m = −1 ⇔ 2 (m m − 46 3m + 18m + 24 = m − 2m − 2m + 11 2m + 11 − 2m − ) ( t /m ) m = −2 d P Vậy với m = −1 đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có x + = x2 hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn Bài 21 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho a) Tìm m để đường thẳng điểm ( d) ( d) : y = ( − m) x + m −1 tiếp xúc với parabol parabol ( P) : y = x2 ( P ) , tìm tọa độ tiếp d P b) Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm Lời giải d P a) Tìm m để đường thẳng ( ) tiếp xúc với parabol ( ) , tìm tọa độ tiếp điểm d P Hoành độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m + = Để ( d) (1) P tiếp xúc ( ) phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ ( − m ) − ( −m + 1) = ⇔ − 4m + m + 4m − = ⇔ m2 = ⇔ m = d P Vậy m = ( ) tiếp xúc ( ) Khi phương trình (1) có nghiệm kép là: Hay x1 = x = x1 = x = Nên y1 = 2−m d P A 1;1 Do đó: m = thì ( ) tiếp xúc ( ) , tiếp điểm ( ) d P b) Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm d P Hoành độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m + = 20 (1) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI d P Để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương m > ∆ > m ≠ 2 − m > S > m < −m + > P > ⇔ ⇔ ⇔ m < ⇔ m < m ≠ d P Vậy m < m ≠ hì ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt − m − m − 2m x1 = = = 1− m 2 ; 2−m+m x2 = =1 Trường hợp 1: x1 = 2x hay − m = ⇔ m = −1 (thỏa mãn) − m ) = Trường hợp 2: x = 2x1 hay ( ⇔ 1− m = 1 m= (thỏa mãn) ⇔ m = ;m = −1 Vậy thỏa mãn đề P ) :y = x ( Bài 22 Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol đường thẳng ( d ) :y = 3mx + d P a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x = 3mx + ⇔ x − 3mx − = ( 1) ( d) ( P ) là: d P a) Với m = −1 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) Với m = −1 , pt ( ) trở thành: x + 3x − = x + = x = −4 ⇔ ⇔ ⇔ ( x + ) ( x − 1) = x −1 = x = P y = ( −4 ) = 16 * Thay x = −4 vào ( ) : P * Thay x = vào ( ) : y = = d P −4;16 ) ( 1;1) Vậy với m = , tọa độ giao điểm ( ) ( ) là: ( d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x 21 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x ⇔ pt ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x (Với a = ≠ ) Để ⇔ ∆ = b − 4ac > ⇔ ( −3m ) − 4.1( −4 ) > ⇔ 9m + 16 > (luôn m ≥ ∀m ) x1 + x = 3m ( ) x x = −4 ( 3) Theo hệ thức Vi-ét ta có: Lại có: x1 = −4 x ( ) x1 + x = 3m ( ) −4 x + x = 3m ⇔ x = −4 x ( ) x1 = −4 x Từ ( ) vào ( ) , ta có: −3m x = ⇔ x = −4 −3m = 12m 5 12m −3m = −4 3) ( Thay vào ta có: 100 25 ⇔ m2 = = ⇔m=± ⇔ −36m = −100 36 m=± giá trị cần tìm Vậy d : y = −mx + Bài 23 Trên mặt phẳng Oxy , cho parabol (P) : y = x đường thẳng ( ) d P a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện x1 = −2x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) ( d) là: x + mx − = d P a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) Với m = có: x + 3x − = Ta thấy: + − = nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x = −4 x1 = 1⇒ y1 = x = −4 ⇒ y = 16 Vậy tọa độ giao điểm ( d) 22 ( P) ( 1;1) , ( −4;16 ) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI d P b) Tìm m để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện x1 = −2x Xét x + mx − = d P ∆ = m − ( −4 ) = m + 16 > 0∀m Có: nên ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt với m Theo định lí Vi-et: x1 + x = − m ; x1x = −4 Mà x1 = −2x nên −2x + x = −m ⇒ x = m ⇒ x1 = −2m Thay vào x1x = −4 có: −2m.m = −4 ⇔ m = ⇔ m = ± Vậy m = ± P : y = x2 d : y = 2mx − m + m Bài 24 Trên mặt phẳng Oxy cho ( ) đường thẳng ( ) Tìm d P giá trị m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x thỏa mãn x1 = 3x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) ( d) nghiệm phương trình: x = 2mx − m + m ⇔ x − 2mx + m − m = ∆ = m2 − ( m2 − m ) = m Đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m > x1 + x = 2m ( 1) x x = m2 − m ( 2) Áp dụng hệ thức Vi-et ta được: Theo ta có: x1 = 3x ⇒ x1 = 3x ( 3) 3m x1 = x1 + x = 2m ⇔ x = m x = 3x 2 Từ ( ) ( ) ta có hệ phương trình: m = 3m m ⇔ = m − m ⇔ m − 4m = m = Thay vào ( ) ta được: 2 Kết hợp ĐK ta m = d P Vậy với m = đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn Bài 25 Cho Parabol x1 = 3x2 ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = x − m + (Với 23 m tham số ) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI d P a) Với m = −3 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + x2 = Lời giải d P a) Với m = −3 , tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d d : y = 5x + Với m = −3 đường thẳng ( ) có dạng: ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x2 = 5x + ⇔ x2 − 5x − = x = −1 ⇔ x = +) x = −1 ⇒ y = +) x = ⇒ y = 36 Vậy tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) là: A ( −1;1) ; B ( 6;36 ) d P b) Tìm m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + x2 = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình: x2 = 5x − m + ⇔ x2 − 5x + m − = Ta có: Để ∆ = 25 − ( m + 3) = 13 − 4m ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ ⇒ ∆ > ⇔ 13 − 4m > ⇔m< 13 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được: x1 + x2 = x1 x2 = m − ( 1) ( 2) Theo ta có: x1 − x1 x2 + 3x2 = Mà x1 = x1 − m + ⇒ x1 − m + − x1 x2 + 3x2 = ⇔ x1 − x1 x2 + ( x1 + x2 ) = m − ⇔ x1 − ( m − 3) + 15 = m − ⇔ x1 = 3m − 23 24 x1 x2 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Thay vào ( 1) ta được: x2 = − x1 = − 3m − 23 −3m + 33 = 2 x1 x2 = m − ⇔ 3m − 23 −3m + 33 = m−3 2 Thay vào ( ) ta được: ⇔ −9m + 168m − 759 = 4m − 12 −83 m= ⇔ m = − ⇔ 9m + 164m + 747 = Vậy với −83 m = m = −9 đường thẳng ( t /m ) ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x1 x2 + 3x2 = d ) : y = ( m − 1) x − m + 2m + ( Oxy Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol ( P ) : y = x2 ( d ) cắt ( P ) với giá trị m d P hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để a) Chứng minh b) Gọi x1 ; x2 x1 + = x2 Lời giải ( d ) cắt ( P ) với giá trị m P d Phương trình hồnh độ giao điểm ( ) ( ) nghiệm phương trình: a) Chứng minh x = ( m − 1) x − m + 2m + ⇔ x − ( m − 1) x + m − 2m − = ∆ ' = ( m − 1) − ( m − 2m − ) = > ∀m Ta có: ( d ) ln cắt ( P ) hai điểm phân biệt với m d P x +6 = hoành độ giao điểm ( ) ( ) Tìm m để Vậy đường thẳng b) Gọi x1 ; x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta được: x1 + x2 = ( m − 1) x1 x2 = m − 2m − Theo ta có: Mà ( 1) ( 2) x1 + = x2 ⇔ x12 + 12 x1 + 36 = x2 x12 = ( m − 1) x1 − m + 2m + ⇒ ( m − 1) x1 − m + 2m + + 12 x1 + 36 = x2 ⇔ 2mx1 + 11x1 − ( x1 + x2 ) − m + 2m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 − ( m − 1) − m + 2m + 44 = ⇔ ( 2m + 11) x1 = m − 46 −11 m ≠ ÷ 25 x2 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI m − 46 ⇔ x1 = 2m + 11 Thay vào ( 1) ta được: x2 = ( m − 1) − x1 = ( m − 1) − m − 46 3m + 18m + 24 = 2m + 11 2m + 11 m − 46 3m + 18m + 24 ⇔ = m − 2m − 2) ( x x = m − m − 2m + 11 2m + 11 Thay vào ta được: ⇔ ( m − 46 ) ( 3m + 18m + 24 ) = ( 2m + 11) m = −2 ⇔ m = −1 (m − 2m − ) ( t /m ) m = −2 d P Vậy với m = −1 đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có x + = x2 hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn Bài 27 Cho Parabol ( P ) :y = x đường thẳng ( d ) :y = mx + d P a) Với m = Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d P b) Tìm giá trị m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x cho x1 − 2x = Lời giải d P a) Với m = Tìm tọa độ giao điểm ( ) ( ) d :y = x + Với m = ( ) Phương trình hoành độ giao điểm ( P) ( d) 2 là: x = x + ⇔ x − x − = Có: a = 1, b = −1,c = −2 suy ra: a − b + c = + − = Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = −1; x = −c =2 a y = ⇒ A ( −1,1) Thay x1 = −1 vào y = x ta được: y = ⇒ B ( −2, ) Thay x = vào y = x ta được: d P A −1,1) B −2, ) Vậy với m = tọa độ giao điểm ( ) ( ) ( ( d P b) Tìm giá trị m để ( ) ( ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x cho x1 − 2x = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) x = mx + ⇔ x − mx − = (*) 26 ( d) là: CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Có: a = 1, b = −m,c = +) Thấy a = ≠ nên phương trình (*) phương trình bậc hai ẩn x 2 +) ∆ = b − 4ac = m + ≥ > ∀m Suy phương trình ( *) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x với ∀m −b x1 + x = =m a x x = c = −2 a Theo hệ thức Viet ta có: Lại có: x1 − 2x = ( 1) ( 2) (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình: 2m + x1 = ⇔ x + x = m x = m − x − 2x = x1 = Thay 2m + m−5 ; x2 = 3 vào x1.x = −2 ta được: 2m + m − × = −2 ⇔ 2m − 5m − = 3 Có: a = 2, b = −5,c = −7 Suy ra: a − b + c = + − = Vậy phương trình có hai nghiệm: m1 = −1 (thỏa mãn) m2 = Vậy −c = a (thỏa mãn) m1 = −1; m = Bài 28 Cho parabol ( P) : y = x2 đường thẳng a) Chứng minh đường thẳng giá trị m = ( d ) : y = 2mx − m + ( m tham số) ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt với m Tìm tọa độ giao điểm parabol ( P ) đường thẳng (d) b) Tìm m để đường thẳng thỏa mãn y1 − y > ( d) cắt parabol ( P) hai điểm Lời giải Xét phương trình hồnh độ ( P ) ( d ) , ta có: 27 A ( x1 ; y1 ) B ( x ; y2 ) CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI 2 x = 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m − = 0(*) a) Chứng minh đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) giá trị m Tìm tọa giao điểm parabol ( P) hai điểm phân biệt với đường thẳng (d) m = ∆ ' = ( −m ) − ( m − 1) = m − m + = > Ta có Suy phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Vậy đường thẳng m ( d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt với giá trị 2 +) Thay m = vào phương trình (*) ta có: x − 2.3x + − = ⇔ x − 6x + = ∆ ' = ( −3 ) − = > Có x1 = ⇒ y1 = 16 x = ⇒ y = Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: Vậy tọa giao điểm parabol N ( 2;4 ) b) Tìm m để đường thẳng thỏa mãn y1 − y > ( d) ( P) đường thẳng cắt parabol ( P) ( d) M 4;16 ) m = ( hai điểm A ( x1; y1 ) B ( x 2; y2 ) x = m + ⇒ x = m −1 phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Vì A ( x1; y1 ) Theo đề B ( x ; y2 ) thuộc ( P ) nên y1 = x12 ; y = x 2 y1 − y > ⇔ x12 − x 2 > ⇔ ( x1 + x ) ( x1 − x ) > 4(1) (1) ⇔ ( m + + m − 1) ( m + − m + 1) > TH1: Nếu x1 = m + 1; x = m − ⇔ 2m.2 > ⇔ m > (1) ⇔ ( m − + m + 1) ( m − − m − 1) > TH2: Nếu x1 = m − 1; x = m + ⇔ 2m ( −2 ) > ⇔ m < −1 Vậy với m < −1 m > thỏa mãn yêu cầu đề ( P) : y = − x ( d ) : y = x + m −1 P 2 đường thẳng Tìm m để ( ) Bài 29 Cho parabol ( d ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn điều kiện x12 = x + Lời giải Xét phương trình hồnh độ ( P ) ( d ) , ta có: 28 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI 1 − x2 = x + m −1 2 (1) ⇔ x + x + 2m − = ∆ = − 4.1 ( 2m − ) = − 8m ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ − 8m > ⇔ m < x1 + x = −1 x x = 2m − Khi đó, theo hệ thức Vi- ét, ta có: 2 Do x1 = x + ⇔ x = x1 − thay vào x1 + x = −1 ta x1 + x12 − = −1 ⇔ x12 + x1 − = ⇔ ( x1 − 1) ( x1 + ) = ( x − 1) = x =1 x = −2 ⇔ ⇔ ⇒ x1 = −2 x = ( x1 + ) = Kết hợp với x1 + x = −1 ta có mãn điều kiện Vậy m= m< x1.x = −1 ⇔ 2m − = −1 ⇔ 2m = ⇔ m = (thỏa ) giá trị cần tìm Bài 30 Cho parabol ( P ) : y = 2x đường thẳng d : y = 3x − m d P Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho x1 − 2x = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( d) ( P) là: 2x − 3x + m = (1) Ta có: ∆ = − 8m Để đường thẳng ( d) cắt parabol ∆ = − 8m > ⇒ m < ( P) x1 + x = x x = m 2 Theo Vi-et: 29 hai điểm phân biệt thì: CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Mà x1 − 2x = ⇒ x1 = 2x x1 = 2x x1 = ⇒ x = ; 3x = 2 m m = ( tm ) x x = Ta có: Vậy m = Bài 31 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( P) : y = x ( d) : y = ( − m) x + m −1 parabol a) Tìm m để đường thẳng điểm ( d) tiếp xúc với parabol ( P ) , tìm tọa độ tiếp d P b) Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm Lời giải d P a) Tìm m để đường thẳng ( ) tiếp xúc với parabol ( ) , tìm tọa độ tiếp điểm Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d) ( P) x2 = ( − m) x + m −1 ⇔ x2 − ( − m) x − m + = ta có: (1) ∆ = ( − m ) − ( −m + 1) = m − 4m + + 4m − = m 2 Để đường thẳng ( d) tiếp xúc với parabol ( P) ⇒ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇒ ∆ = ⇔ m = ⇔ m = 2 Thay m = vào (1) ta : x − 2x + = ⇔ x = ⇒ y = = d P 1;1 Vậy m = đường thẳng ( ) tiếp xúc với parabol ( ) điểm có tọa độ ( ) d P b) Tìm m để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm x = 1; x = − m ⇒ x = 1; x1 = − m Phương trình (1) có a + b + c = − + m − m + = d P Để đường thẳng ( ) cắt parabol ( ) điểm phân biệt nằm bên phải trục tung mà hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 ; x > hoành độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm 30 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI * x1 ≠ x ⇒ − m ≠ ⇔ m ≠ 1 − m > x1 ; x > ⇒ ⇔ m * * Hồnh độ điểm gấp đơi hồnh độ điểm (thỏa mãn) 1 m ∈ −1; thỏa mãn yêu cầu đề Vậy 31 m = −1 − m = ⇔ ⇒ m = 1 = ( − m ) ... 8x2 ( cắt : hai điểm phân biệt có hồnh độ , cho CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( P) : x = mx − 2m+ 2 ⇔ x2 − 2mx + 4m− = (1) P Để d cắt ( ) hai điểm phân... x2 − 10mx + 9m = ( m tham số) 11 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x x Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt , thỏa điều kiện x1 − 9x2 = Lời giải Hoành độ giao điểm ( d) (... để ( ) cắt ( ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x , thỏa mãn điều kiện: x1 = −4 x 21 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x ⇔ pt ( 1) có hai nghiệm phân