chuyen de can bac hai va can bac ba diep tuan

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA §BÀI CĂN BẬC HAI A TĨM TẮT LÝ THUYẾT I Căn bậc hai số học Định nghĩa: Với số dương a , số a gọi bậc hai số học a Tính chất: Tính chất Số gọi bậc hai số học Tính chất Với a  , ta có: x  ax  x  a Nhận xét Đây gọi phương pháp bình phương hai vế Ví dụ Giải phương trình: x  12 Lời giải ĐKXĐ: x  Ta có : 3x  12  x   3x  36  x  12 ( thỏa mãn điều kiện) Ví dụ Tính tổng giá trị x thỏa mãn đẳng thức Lời giải Ta có : x  25  13 x  25  13  x  25  169  x  169  25  x  144  x  12 Vậy tổng giá trị x thỏa mãn đẳng thức cho  12   12  Tính chất Với a  : x2  a  x   a Ví dụ Giải phương trình sau: a) x  80 a) x  80 b) x  0, 75 Lời giải b) x  0, 75 Ta có x  80  x  16 Ta có x  0, 75  x  0, 25 Do x   16  4 Do x   0, 25  0,5 Tính chất Với x  a  x  a Ví dụ Tìm số x khơng âm, biết a) x  10 b) x  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM a) Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học x  10 Với x  ta có : x  10  x  20  5x  400  x  80 Vậy  x  80 b) 3x  Với x  ta có : x   x  36  x  12 Vậy  x  12 II Căn bậc hai Định nghĩa: Căn bậc hai số không âm a số x cho x  a Tính chất: Số dương a có hai bậc hai hai số đối số dương kí hiệu hiệu  a Ví dụ Tìm bậc hai số học tìm bậc hai của:  2 b)     5 a) 121 a số âm kí Lời giải a) Ta có 121  11 11  11  121 Do số 121 có hai bậc hai 11 11 2  2 2  2 b) Ta có            5  5 5  5 2 2  2 Do số    có hai bậc hai  5  5 III So sánh bậc hai số học Với a  0; b  Ta có ab a  b Ví dụ Khơng dung máy tính bảng số , so sánh Lời giải Cách 1: Ta có  64 Vì 64  65 nên  65 Cách 2: Vì 82  64; Nên 82  65   65 65  Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân  2  65 , suy  65 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học Cách giải dựa vào tính chất: Nếu a  0, b  a  b a  b Như vậy, để so sánh hai số dương ta so sánh bình phương chúng Ví dụ Khơng dung máy tính bảng số , so sánh 15  10 Lời giải Ta có 15  16  15  16  15   16     10   Vậy 15   10 Ví dụ Với a  số lớn hai số  a Lời giải Ta có 1  2 nên a  2a (vì a  ) 2a ?  a  2 a Do B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA DẠNG TÌM CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA MỘT SỐ Phương pháp Căn bậc hai số học số dương a a ( giá trị dương bậc hai) Với a  , ta có:  Nếu x  a x  x  a  Nếu x  x  a x  a ⋆⋆Nhận xét Nếu a  bậc hai a  a ; bậc hai số học a a Nếu a  bậc hai a bậc hai số học a Nếu a  a khơng có bậc hai khơng có bậc hai hai số học Bài tập minh họa Bài tập Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng: 64;81;100;196 Lời giải Ta có:  64 nên bậc hai số học 64 Từ suy bậc hai 64 8 Tương tự bậc hai 64;81;100;196 : 8;9;10;14 Bài tập Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần nghiệm phương trình sau (làm trịn đến chữ số thập phân thứ ba): a) x  4,5 b) x  c) x  7,5 d) x  9,12 Lời giải a) Nghiệm phương trình x  a ( với a  ) bậc hai a Phương trình x  4,5 có hai nghiệm x1  4,5 x2   4,5 Dùng máy tính ta tìm x1  2,121 x2  2,121 b) x  có hai nghiệm x    2, 236 c) x  7,5 có hai nghiệm x   7,5  2,739 d) x  9,12 có hai nghiệm x   9,12  3,020 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học Bài tập rèn luyện Bài Tìm bậc hai số học số sau a) 12 ; b) 121 ; c) ; d) 0, 09 f) ; g) 64 ; h) 81 ; n) e) ; 16 40 81 m) 0, 04 Lời giải a) 12 có bậc hai số học là: 12 b) 121 có bậc hai số học là: 121 4 có bậc hai số học là: 9 40 11 e) có bậc hai số học là: 81 g) 64 có bậc hai số học là: k) có bậc hai số học là: 16 c) d) 0, 09 có bậc hai số học là: 0,3 f) có bậc hai số học h) 81 khơng có bậc hai số học m) 0, 04 có bậc hai số học là: 0, 02 DẠNG TÌM SỐ CÓ CĂN BẬC HAI SỐ HỌC LÀ MỘT SỐ CHO TRƯỚC Phương pháp Với số thực a  cho trước ta có a số có bậc hai số học a Bài tập minh họa Bài tập Mỗi số sau bậc hai số học số nào? a) 12; b) 0,36; c) ; f)  ; l) ; g) ; r) 0,12 0, h) 0,12 ; 0,3 d) 0, ; n) 0, 49; e) 13; m) 1 ; Lời giải a) Số có bậc hai số học 12 144 b) Vì 0,36  nên khơng tồn số có bậc hai số học 0,36; c) Tương tự, số có bậc hai số học 2 7 0, 0, 04 3 e) Số có bậc hai số học 13 169 f) Vì   nên khơng tồn d) Số có bậc hai số học 10 0,12 0,144 h) Số có bậc hai số học 0,3 g) Số có bậc hai số học n) Vì 0, 49  nên khơng tồn số có bậc hai số học 0, 49 m) Khơng tồn số có bậc hai số học Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân 1 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM l) Số có bậc hai số học 10 0,12 0,12 r) Số có bậc hai số học 0, Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học DẠNG SO SÁNH HAI SỐ Phương pháp Áp dụng: Với a  0, b  ta có: a  b  a  b Bài tập minh họa Bài tập So sánh: a) b) 63 Lời giải a) Ta có     Vậy  c) 79 b) Ta có  64 64  63  64  63 Vậy  63 c) Ta có  81 81  79  81  79 Vậy  79 Bài tập Khơng dùng máy tính bảng số, so sánh: 1 a) 26  63 ; b) 2 Lời giải 1  a) 26   63 b) 2 Bài tập So sánh số sau a) 17  b) 15  c )  0,2 Lời giải a) 17  Ta có    16  Mà 16  17 (Do16  17) nª n  17  b) Tương tự câu b,    16  Vỡ 16 15 (vì 16 15) nên > 15  c) Ta có   -  mµ  0,2 nªn 1-  0,2 Bài tập So sánh số sau a)  15 d) 30 5 35 g) 17  15 b) 26 15 e) 30  45 17 c)  11 5 f) 15  24 101  Lời giải a) Ta có:   9; 15  16    15    b) Ta có: 26  25   26  3.5  26  15 c) Ta có :  3; 11  25   11   d) Ta có : 35  36   35  36  30  5 35  30 e) Ta có : 30  45 30  49 30  2.7     16  17 4 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học f) Ta có 15  24  16  25    9; 101   100   10    101   15  24 Vậy 101   15  24 17  15 17  16  17  15  g) Ta có       2, 25  6   17  15  Bài tập So sánh số sau a)  10  2  17  15  Vậy b)  c)     2 e)  2 d) 8  15  f) 7 12 Lời giải Đưa so sánh A2 B a) Xét Vì b) Xét  2  24  25   52   2  32    10     80; Vì  80   48  c) Xét  10     10     24;  52 74 7    2  10   25    12   48     6  2   48;      12   48   2 32   2       3     d) Xét    15  15    2  22  105;82  22  441  82  15     15   8  e) Xét  2   17  12  17  288 22  17  169  Vì 17  288  17  169   2   22   2  7  49   49 f) Ta có  ;     48  12  108   2 49 49 7   7  Vì         48 108    12  3 12 Bài tập So sánh số sau a) 30  29 29  28 b) 27   48 c) 21  14  d) 17  21  Lời giải a) Ta có 30  29 30  29  1; 29  28 29  28        1   30  29  29  28 30  29 29  28 b) 27    3   48   3  30  29  29  28  Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học      27    48 Mà c) Ta có  21   14     21  21     14  2  14  Vì 23  17  23  42  17  42   2  3  2  23  42  14  42   17  42 21    14    21   14  21   14  Vậy d) Ta có  17    23  102;  Vì 23  102  23  42   21  17      23  42 21    17   21  Vậy 17   21  Nhận xét: Khi so sánh a  b c  d mà  a  b   c  d  2 2 ta so sánh bình phương hai số, từ suy kết Bài tập 10 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 23;2 7;5 6; 8 2;  127 Lời giải Ta có 8     128   127  Ta so sánh số dương 23; 7;5 sau: 23  232  529;  22.7  28;5  52.6  150 Do 28  150  529  28  15  529    23 Vậy  128   127    23 29  28 28  27 Lời giải Bài tập 11 So sánh hai số sau Xét Vì  29  28  29  28  29  28   29  28   29  28  28  27  28  27  28  27   28  27   28  27 27  29  28  27  29  28  1  28  27 29  28  28  27  29  28 Vậy 28  27  29  28 Nhận xét: Để so sánh hai số dạng a  b  b  d ta làm sau:  b d   Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân    b  d ( a, b, c, d số dương) mà a  b  a  b; b  d bd Sau từ việc so sánh hai số b d a b a  b a  b b  d ta só sánh hai số a  b Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học Bài tập 12 So sánh a)    2 b) x  13  15; y  11  17 c) x  23  21; y  19  17 d) x  12  5; y  20  Lời giải 2 2 2 2  2 2 2  a) b) Ta có: (13  15  11  17); x, y   x  28  13.15; Khi   x2  y  x  y  y  28  11.17 c) Ta có: (23  21  19  17); x Vì 23  21 2  ;y 23  21 23  21 19  17 23  21  19  17  x  y Chú ý: a, b   a  b   a b   a b  a b a b a b d) Ta có 12.5  20.3;  x  17  60 ;  x  y  x, y    x  y   y  23  60 Bài tập 13 So sánh: 1 1     a) 10 100 b)     Lời giải a) b) 1 1     10 100 1 1     Đặt a  100 1 1      a  100  10 Ta có 100 100     Ta có  3 4  43   4 4   43          DẠNG TÌM x THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp Áp dụng: x a  a  0  x  a2 Với a, b  : a  b  a  b Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học Bài tập minh họa Bài tập 14 Tìm số x khơng âm, biết: a) x  15; b) x  14; c) x  2; d) x  Lời giải a) Ta có x  15  x  152  x  225 Vậy x  225 b) Ta có x  14  x   x  49  x  49 Vậy x  49 c) Ta có x   x  Kết hợp điều kiện  x  d) Ta có x   x  16   x  16   x  Vậy  x  Bài tập 15 Tìm x khơng âm biết : a) x  d) 2x  3 b) x c) x  2 e) 2x 1   f) x  x  13  Lời giải a) Ta có x   x   25 b) Ta có x   x  ( 2)2  c) Ta có x  2  khơngx d) Ta có 2x  e) Ta có 2x 1    x   f) Ta có x  x  13   x  2 13 3 x  3 Bài tập 16 Tìm giá trị x biết : a) x  16  2x 1 20 d)  g) x  x  20  l) x  x  13  b) x  13 e) c) x   x   3( x  0) f) 3 m) n) x  x2   2x 1   Lời giải 4 a) Ta có x  16 x   x     x   3 2  13  13 b) Ta có x  13  x     x     2 c) Vì x   x    x  x    x   62  x  e) Ta có x   3( x  0)  x   x  16 f) Ta có x    x    x   x  1 g) Ta có  x  1 x  x  20   x  x  20  16  x  x      x  4 h) x  35 d) Ta có 13 Lớp Tốn Thầy-Diệp Tn m) x  l) x  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Bài tập 17 Tìm giá trị x , biết: a) x  d) x   Chương I-Bài Căn Bậc Hai Số Học b) 3x  5 e) x  c) 2 x   f) x  Lời giải 1 1  2x    2x    x  9 18 1 b) Điều kiện: 3x    x  a) Ta có 2x  1 49 (TMĐK)   3x   25  x   2 c) Điều kiện: x  Ta có x    2 x   49  x  24 (TMĐK) d) Điều kiện: x  13 Ta có x    x    x  13 Kết hợp điều kiện ta  x  Ta có 3x  e) Ta có x  3 x   0 x  f) Ta có x   x  81  x  81  x  27 Bài tập 18 Đố Tính cạnh hình vng, biết diện tích diện tích hình chữ nhật có chiều rộng 3,5 m chiều dài 14 m Lời giải Diện tích hình chữ nhật 3,5.14  49(m ) Gọi cạnh hình vuông x  x   Ta có: x  49  x  Vậy cạnh hình vng 7m 10 Lớp Tốn Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai x 1 Bài tập 21 (Dạng 1) Cho biểu thức: A  x 2 x  x 2 25 x 4 x  a) Rút gọn A x  x  ; b) Tìm x để A  Lời giải a) Với x  x  , ta có: A       x   x 1  x  2  x 2 x  x 2 x 1 x 2 x 2  x 2 x  x   2x  x   x  x 2  x 2 b) Khi A  ta  x x 2   x  x 2 25 x 4 x 25 x      x 2  x 2 3x  x x 2 23 x 2   x 2   x    x 2 x 2   x 2  x  x 2  x   x   x  16 (tm x  0, x  4) Vậy x  16 Bài tập 22 (Dạng 1) Cho biểu thức: B    a b với a  b   1  : 2 2 a b  a  b  a  a  b2 a a) Rút gọn B ; a  ; b c) Tìm điều kiện a, b để B  b) Tính B Lời giải a) Với điều kiện: a  b  , ta có: B     a  1  2 a b  a  b2  b : 2  a  a b a  b2  a a  b2 a a a  b2 a a  b2    a 3 b) Ta có:   a  b thay vào ta B  b 2 c) Khi B  ta có: a b 1 ab a b ab  a  a  b2 b a  b2  a b ab bb  bb   b a b ab b   5 5 b 1 a  b  a  b  a  b  a  b  b  b  2b   b  Vậy với a  b  B  Bài tập 23 Rút gọn P  x x   tính giá trị biểu thức P với x  0,36 x 3 3 x x 9 Lời giải x 3 với điều kiện x  ; x  x 3 Khi x  0,36 ta có P   Rút gọn ta P  74 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai DẠNG RÚT GỌN RỒI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Phương pháp Bước tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bước rút gọn biểu thức ta biểu thức Q ① Nếu Q biểu thức có dạng bậc hai, tức Q  ax  bx  c, a  ta đưa dạng  b c b b2 b2 c   bình phương thiếu: Q  ax  bx  c  a  x  x    a  x  2.x     a a 2a 4a 4a a   2  b   b  4ac   b   b  4ac    a  x       a  x      2a   4a   2a   4a    b       a  x      đó: 2a   4a   ⋆ Nếu a  ax  bx  c   b  dấu xảy x   Suy GTNN 4a 2a 4a ⋆ Nếu a  ax  bx  c   b  dấu xảy x   Suy GTLN 4a 2a 4a ② Nếu Q biểu thức có dạng phân thức f  x f  x  0 k k2 Bài tập minh họa Bài tập 24 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A  2m  m2  Lời giải km  2m  2k  m2  Khi để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ tử số biếu thức f  m   km2  2m  2k  phải biểu diễn dạng bình phương Xét A  k  2  k 1 hay  m    k 1  2k    2k  k     k    2  m  1  0, m  A  1, m 2m  2m   m  1   Khi A   2 m 2 m 2 m 2 Dấu xảy m  2 2m  1  2m  1  m   m       0, m  A   , m Và A   2 2 m 2 2  m  2  m  2 Dấu xảy m  2 m  2 Bài tập 25 Tìm giá trị lớn biểu thức A  x  x 1 Lời giải Điều kiện xác định x  Để A đạt giá trị lớn x  x  đạt giá trị nhỏ Vậy max A  m  , A   75 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai 1 1  Có x  x   x    x      x    4 2  2 1 1 3   Lại có  x    0, x    x     , x  2 2 4   1 Dấu "="xảy  x   x  Khi Min x  x    x  4 4 Vậy Max A   x     x 1  Bài tập 26 Cho biểu thức A    : x   ( x  1)  x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn biểu thức P  A  x Lời giải  x 1  a) A   với x  0, x   : x   ( x  1)  x x  1  x 1    : x   ( x  1)  x ( x  1) b) P  A  x  1 x ( x  1) ( x  1)    x ( x  1) x 1 x ( x  1) x 1 x x 1    x  1   x  với x  0, x  x  x  Với x  0, x  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:  x  2 x 9 x  x        x   6     x     5  P  5  x   x  1  x  x  (thỏa mãn) Vậy max P  5  x  Dấu "="xảy  9 x  x x  6 x Bài tập 27 Cho biểu thức A   với x  0; x     x  x    x   a) Rút gọn A b).Tìm giá trị nhỏ A Lời giải  x x  6 x a) A   với x  0; x     x  x    x    x (2  x )  x (2  x ) 6 x  (2  x )(2  x ) (2  x )(2  x )  x x2 x x 6 x x 6 x x 6    (2  x )(2  x ) (2  x )(2  x ) (2  x )(2  x ) (2  x )(2  x )   ( x  2) 3  (2  x )(2  x )  x b) Có x   x   x    76 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân 3   x 2 3 3  x 2 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Dấu "=" xảy  x  Vậy A  Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai 3  x0  x 2 x   1  x   Bài tập 28 Cho biểu thức: C     x 1 x  x 1 a) Rút gọn C x  0, x  1; b) Tìm x để C dương; c) Tìm giá trị lớn C Lời giải a) ĐK: x  0, x  , ta có:   x 2 x   1  x   C      x  x     x 1  x  x   x  x  1  x    2 x 1 x 1     x 1  x   x  1   x 2     x  2 x  1 x  1 x 1  2 x  x 1  x 1  1  x   x   1  x 2    2 x 1  x   x 1  x    x  1 x 1  x     x    x 1 b) Ta có: C       x   x   c) Với x  0, x  , ta có C  x  x  x  x   x  x  1 1 1      x  x       x    4 2   2 1 1 1   Vì   x    với x  nên   x     với x  2 2 4   Do đó: C  với x  1 1 GTLN C  x    x   x  2 4 1 Vậy GTLN C  x  4   x 4  Bài tập 29 Cho biểu thức P =   :     x    x 1 x 1   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P Lời giải a) Điều kiện: x  ; x  Khi ta có P  ( x  1)  2.( x  1)  ( x  4) : ( x  1)( x  1) x 1 x 2 x 1  ( x  1)( x  1) x  1   x  x 1  b) Ta có P  Do max P  đạt 77 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân x 1 x 0 x0 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai  x 3 x  14  x  Bài tập 30 Cho biểu thức Q =      x 3 x  x    a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị nhỏ Q Lời giải a) Điều kiện: x  ; x  Khi ta có: Q   ( x  3)  x  3)  14 x  ( x  3)( x  3) x  x   x  x   14 x  ( x  3)( x  3) x  32 x  x  16  x 3 ( x  3)( x  3) x  16 x   25 25  x 3 b) Ta có Q  = x 3 x 3 x 3  25 25  (bất đẳng thức cô si)   ( x  3) x 3 x 3  10   25 Dấu “ = “ xảy x   x 3  x 3  ( x  3)2  25  x    ( x  3)2  25  x    x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy minQ = x  Bài tập rèn luyện  x x 6  x x  36 x Bài Cho biểu thức P = P    :   x  36 x  x  2( x  3)( x  x  3)   a) Rút gọn P b) Với giá trị x P có giá trị lớn ? Giá trị lớn bao nhiêu? Lời giải a) Rút gọn ta với điều kiện x  0; x  9; x  36 x2 x 3 6   ( ( x  1)2  ) b) P  ( x  1)  2 Suy max P = đạt x  Bài Cho biểu thức P = x  3 x  15 x  11   x 3 x  x  x  3) a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) P  78 x 2 ( x  0; x  1) x 3 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai 17 x  15  17 17 17 ( √𝑥 ≥ )  5  5  P  5 3 x 3 x 3 2 P   ( dấu xảy x  ) Vậy =  , đạt x  3 b) P  DẠNG RÚT GỌN RỒI TÌM GIÁ TRỊ CỦA x NGUYÊN ĐỂ BIỂU THỨC NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp Bước tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bước Ta xét hai trường hợp sau: f ( x) ① Loại Biểu thức Q có dạng f ( x) g ( x) đa thức g ( x)  g ( x) Khi đó: k ⋆ Bước 1: Tách dạng Q  m( x)  m  x  biểu thức nguyên x g ( x) nguyên k có giá trị số nguyên ⋆ Bước 2: Để Q nhận giá trị nguyên k nguyên hay k : g ( x) nghĩa g ( x) thuộc tập g ( x) ước k ⋆ Bước 3: Lập bảng để tính giá trị x ⋆ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ giá trị khơng phù hợp, sau kết luận tốn Bài tập minh họa Bài tập 31 Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên x2 x a) b) c) x 1 x 1 x 1 Lời giải có điều kiện x  x 1 Để nhận giá trị nguyên : ( x  1)  x  1U (2)  {1; 2} x 1 Ta có bảng: x 1 2 1 x 1 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) Vậy với x {1;0; 2;3} biểu thức nhận giá trị nguyên x 1 x2 b) có điều kiện x  x 1 x  x 11 x 1 1 Ta có:     1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 Để nhận giá trị nguyên 1: ( x  1)  x  1U (1)  {1} x 1 Ta có bảng: x 1 1 x (thỏa mãn) (thỏa mãn) x2 Vậy với x {0; 2} biểu thức nhận giá trị nguyên x 1 x c) có điều kiện x  x 1 a) 79 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân (thỏa mãn) Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai x 3( x  1)  3( x  1) 3 Ta có     3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Để nhận giá trị nguyên 3: ( x  1)  x  1U (3)  {1; 3} x 1 Ta có bảng: 3 1 4 (loại) 2 (loại) (thỏa mãn) (thỏa mãn) x 1 x x (thỏa mãn) x nhận giá trị nguyên x 1 ② Loại Đây dạng nâng cao dạng tập tìm gá trị nguyên x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên ta chưa xác định giá trị biến x có nguyên hay không để biến k đổi biểu thức A dạng A  m( x)  g ( x) Bởi vậy, để làm dạng tập này, thực bước sau: ⋆ Bước 1: Áp dụng điều kiện với bất đẳng thức được, chứng minh m  A  M m, M số nguyên ⋆ Bước 2: Trong khoảng từ m đến M , tìm giá trị nguyên ⋆ Bước 3: Với giá trị nguyên ấy, tìm giá trị biến x ⋆ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ giá trị không phù hợp kết luận Nhận xét: Trong dạng ta hay sử dụng bất đẳng thức Cô-Si: cho a  0, b  Vậy với x {0; 4} biểu thức a  b  ab Dấu ''  '' xảy khi a  b Bài tập minh họa Bài tập 32 Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên x x a) b) x3 x  x 1 Lời giải a) x có điều kiện x  x3 2 x  x  0x  Có x    Suy ta có x3  x    Lại có x  x3 x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x  có  x x  (1) 2  x  2 x x 2 x (2) x x  0 mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên x3 x3 Giải phương trình tính x  Vậy với x  biểu thức nhận giá trị nguyên x b) có điều kiện x  x  x 1 Từ (1) (2) ta có:  80 Lớp Tốn Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Bậc Hai 2 x  Có x    x  (1) x  x    x Lại có  x  x 1 x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x  có 1 x 2 x  1   x x x 1 x  (2) x x 0  mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên x3 x  x 1 Giải phương trình x  Vậy với x  biểu thức nhận giá trị nguyên Từ (1) va (2) ta có   x 1   Bài tập 33 Cho biểu thức P =  x      x   x  x  x    a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Lời giải a) P  81 x 2 ( x  0); x Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân b) x  1;4 Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM §BÀI Bài Căn Bậc Ba CĂN BẬC ba A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Căn bậc ba số a số x cho x3  a Mỗi số a có bậc ba ⋆ Nhận xét : Căn bậc ba số dương số dương ; Căn bậc ba số âm số âm ; Căn bậc ba số số ; Ví dụ Hãy tìm : a) 216 a) b) 729 Lời giải 216  63  b) Ví dụ Hãy tìm : a) 343 c) 729  93  343  73  7 b) 1000  103  10 c) 1728  123  12 Ví dụ Hãy tìm : a) 27 b)  331 c) 331  113  11 b) 1000 Lời giải a) c) 1728 125 512 c) 0,064 Lời giải 2  3   27 3 a) b)  c) 0,064  125  3 27.12   324   343     512  0,   0, Tính chất  a 3  a; So sánh: a  b  a  b Phép khai phương a 3a  b 3b a3  a Phép khai phương ab  a b ; (b  0) Ví dụ So sánh a) 345 b) 3 Lời giải a) 345 Ta có  343  345 ; b) 3 82 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Căn Bậc Ba Ta có  23.6  48 3  33.2  54 48  54 nên  3  54 Ví dụ So sánh a) 18 12 b) 130  3 12  Lời giải a) Ta có 23 18 = 3 16 2    18  3 3 33 81 3 12 =   12   16 16 4 1 Vì  nên 18 > 12 16 b) Ta có 130  > 125     ; 3 12  = 3 27.12   324   343     ; Vậy 130  > 3 12  Ví dụ Cho a  , hỏi số lớn hai số 2a Lời giải Ta có  nên 2a  3a ( a  ) Do 2a > a) Ta có b) Ta có b) a) 54  16  128 Lời giải  27  64    3   4   5 3 54  16  128 = 33.2  (2)3  43.2  3    Ví dụ Tính a) 16 13.5  120 : 15 ; 3a 3a Ví dụ Rút gọn biểu thức a)  27  64 ; 3 b) (  1)(   1) Lời giải 16 13.5  120 : 15 = 16.13.5  120 :15 3 3 = 3 216  6–24 6–24 b) (  1)(   1) =     1  1  Nhận xét: Để tính tích sử dụng đẳng thức : (a  b)  a  ab  b   a  b3 Ta có (  1)(   1)  ( 2)3  13    Ví dụ Tính a) (  1)3  3 5(  1) ; 83 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân b) (  3)3  2(  1) Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Căn Bậc Ba Lời giải a) Ta có (  1)  5(  1) =  25  3   3 25  3  3 3 b) Ta có (  3)3  2(  1)   3 32  3 16    =  63  63   63  63  Ví dụ 10 Tính A  2  2 Lời giải Ta có A  ( A3   52   52   )3    33  52         52       A3   A  A3  A –   ( A  1)( A2  A  4)   A   ( A2  A   ) Vậy A  Ví dụ 11 Rút gọn biểu thức a) x3   3x( x  1) ; x 1 b) x2  x  Lời giải a) Ta có x   3x( x  1) = 3 x 1 b) ( x  1)  x  ( x  1)( x  x  1) = x  x 1 x  x 1 B PHÂN DẠNG VÀ VI DỤ MINH HỌA 3 3  x  DẠNG THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Phương pháp Áp dụng   a  a; a  a Bài tập minh họa Bài tập (Bài 67, tr 36 SGK) Hãy tìm 512; 729; 0,064; 0, 216; 0,008 Lời giải Ta có: 512   729  93  9 0, 064  (0, 4)3  0, 0, 216  (0, 6)3  0, 0, 008  (0, 2)3  0, 3 Bài tập (Bài 68, tr 36 SGK) Tính: a) 3 27  8  125; b) 135  54 Lời giải a) 3 b) 84 27  8  125  33  23  53     135 135  54   54.4  27  216    3 5 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài tập Thực phép tính a) A    9363 3 3 Bài Căn Bậc Ba  b) B     Lời giải            3     3 1 a) Ta có: A  3 3 3 3  33     3 33  3 b) Áp dụng đẳng thức  a  b   a  b3  3ab(a  b) Ta có: B3     2 2  2      33    2  2     3   B   3  B   3B  B  3B    B   3B    ( B  1)( B  B  4)    1 15   15  B 1  B  B   B  B     B     0   4  2   Vậy B      Bài tập rèn luyện Bài Thực phép tính a)  18  3 b) 1  c)   16   2  e)  9363        1  2 ;  1 1 1 d)   3  3  : 2  3   3 Lời giải a) b) 3  18  3   (18)   27  3 2   13  2     1    1   1  3     1    1    1   1 3 3 1 1  1  c)   16         2  2  1 1 1  3  d)   3  3  :    3   :    3  :   3 2  2  2 e)  93634    3  Bài Thực phép tính a)    1   1 3 32  3   2    3    33  3 3  32  64  125  216  1 b) 12  16    3       Lời giải a) 64  125  216  4    3 b) Ta có 85  3   1   1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM    1 1     Bài Căn Bậc Ba   1   1 16    16   16    1   1  3 16  1   1  3 3  1  1 c) Ta có 12  16    3         1 1  12     3   12   3   120  36  84 2 2     Bài Cho x 2 Ta có x 2 3 4 Do đó: xy 3 16 Tương tự y 2 x3y 2 16 Lời giải Tính xy3 3 xy y 2 4 12 4 x2 xy y x y 4 23 x 2 16 12 Lời giải 3 x3 y 3 Bài Trục mẫu số biểu diễn Ta có: 3 y 3 3 33 3 3 DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp biến đổi hai vế đẳng thức biểu thức Bài tập minh họa Bài tập Chứng minh nếu: ax3  by  cz 1    x y z ax  by  cz  a  b  c Lời giải t t t Ta đặt ax3  by  cz  t suy a  , b  , c  x y z Ta có: ax  by  cz  Ta lại có: a3b3c Từ (1) (2) ta có: 86 3 t t t x  3y  3z  x3 y z 1 1 t t t    t     t x y z x y z t t t t t t 1 1 3       t    t x3 y3 z3 x y z x y z (1) (2) ax  by  cz  a  b  c (ĐPCM) Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Căn Bậc Ba Bài tập Chứng minh đẳng thức: x  y  z  3 xyz  x3 y3z     x3 y   Từ suy bất đẳng thức Cô-si cho số không âm x, y , z : y3z   3 3 3 3 3 3 3 Lời giải 3  x3 y 3 3 3 3 3 3 y3z  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  z  x   x yz  xyz   xy  x  y   z  xyz   x  y  z    x  y  z  x  y  z   xy  x    x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx       x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   x  y    y  z    z  x     VT   x  y   z  3 xyz  3  VP Vậy ta có đẳng thức     x3 y3z   Suy với số không âm x, y , z : x  y  z  3 xyz  x3 y     y3z      z  x    2 x3 y3 z  x3 y  y3 z  z3 x 0   x yz Do x  y  z  3 xyz   xyz Dấu “  ” xảy x  y  z x  y  z  3 xyz  DẠNG SO SÁNH HAI SỐ Phương pháp Đưa thừa số vào bậc ba so sánh hai số căn: A B  A3 B A B  A  B Bài tập minh họa Bài tập So sánh a) 215 b) Lời giải a) Ta có  216  215 Vậy  215 3 b)  43   320 ;  53   500 Vì 320  500 nên  Bài tập So Sánh: a) 3 b) 33 3 133 23 ; Lời giải a) Ta có: 3 3 24 23 Do 3 23 b) Ta có: 33   11  3 1331  3 133 Do 33  3 133 87 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi AMSTERDAM Bài Căn Bậc Ba DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Áp dụng: A  B  A  B3 Bài tập minh họa Bài tập Giải phương trình a) x   a) 2x 1   2x 1   x  b)  x  2 Lời giải c) x2 2 x b)  x  2   x  8  x  Vậy phương trình có nghiệm x  Vậy phương trình có nghiệm x  x  x   c) x    x  x   x   x   ( x  2)     x  ( x  2)   x   Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  2; x  3 Bài tập Giải phương trình: a) x3  x  x  ; b)  x  x  Lời giải a) x  9x  x  3  x  3  x3  x   x  3  x  x  27 x  27  x3  x  3  27 x  27   x  1 b)  x  x    x  x   x    x  5 x    x  5 x      x    x    1      x     x  4    x     x   1  x  6   88 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ... có bậc hai hai số học Bài tập minh họa Bài tập Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng: 64;81;100;196 Lời giải Ta có:  64 nên bậc hai số học 64 Từ suy bậc hai 64 8 Tương tự bậc hai 64;81;100;196... bậc hai số học là: 121 4 có bậc hai số học là: 9 40 11 e) có bậc hai số học là: 81 g) 64 có bậc hai số học là: k) có bậc hai số học là: 16 c) d) 0, 09 có bậc hai số học là: 0,3 f) có bậc hai. .. có hai bậc hai hai số đối số dương kí hiệu hiệu  a Ví dụ Tìm bậc hai số học tìm bậc hai của:  2 b)     5 a) 121 a số âm kí Lời giải a) Ta có 121  11 11  11  121 Do số 121 có hai