nguyên hàm từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý)  �0dx = C kdx = kx +C ��� � xn+1 �x dx = n + +C  dx = ln x +C �  x (ax + b)n+1 �(ax + b) dx = a n + +C ��� n n 1 x ��� �(ax + b) ��� �sin(ax + b)dx = - ��� �cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) +C ��� �sin (ax + b) = - ��� �cos (ax + b) = a tan(ax + b) +C dx = - cot x +C dx  �e dx = e  x �a dx = x dx �cos x dx = tan x +C  x dx = 1 � +C a ax + b cos(ax + b) + C a �cosxdx = sin x +C �  sin ��� 1 dx = - + C � x  x sin xdx = - cosx +C  �  �ax + b dx = a ln ax + b +C cot(ax + b) + C a dx = eax+b + C a ��� aax+b ax+b a d x = +C a lna ��� � +C �e ax+b ax +C lna � ( ax + b ) ♦ Nhận xét Khi thay x bằng lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Một số nguyên tắc tính PP g Tích đa thức lũy thừa ��� � khai triễn PP g Tích hàm mũ ��� � khai triển theo công thức mũ 1 1 sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a 2 2 g Bậc chẵn sin và cosin � Hạ bậc: PP g Chứa tích thức x ��� � chuyển lũy thừa Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng K A F '( x)   f ( x), x �K C F '( x)  f ( x), x �K B f '( x)  F ( x), x �K D f '( x )   F ( x ), x �K x dx (Mã 101 - 2020 Lần 1) � Câu Trang 1 x C B A 2x  C Câu 3 C x  C (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số A 4x  C B 3x  C x dx (Mã 103 - 2020 Lần 1) � D 3x  C f  x   x3 C x  C x C D C x  C D 5x  C C x  C D 6x  C C 5x  C D 20x  C x C C D 30x  C 4 Câu x C A B 4x  C (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx � A 5x  C x C B Câu Câu 5x dx (Mã 101- 2020 Lần 2) � x C A B x  C (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx � A 6x  C B x  C Câu 6 Câu x dx (Mã 103 - 2020 Lần 2) � B 6x  C A 3x  C C x C D x  C x dx (Mã 104 - 2020 Lần 2) � Câu x C B A 4x  C Câu 10 C 12x  C (Mã 103 2018) Nguyên hàm hàm số x  x C A B x  x  C f  x   x4  x2 C x  x  C f x  2x  Câu 11 (Mã 104 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số   2 A x  C B 2x  C C x  x  C Câu 12 (Mã 102 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số A x  C B x  x  C Câu 13 A sin x  x  C Câu 14 Trang f  x  2x  C 2x  C B  sin x  x  C (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm hàm số D x  x  C D x  x  C D x  x  C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số D x  C f  x   cos x  x C sin x  x  C f  x  2sin x D  sin x  C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2sin xdx  2cos x  C � 2sin xdx  sin x  C C � 2sin xdx  2cos x  C � 2sin xdx  sin 2x  C D � A B Câu 15 Câu 16 Câu 17 (Mã 101 2018) Nguyên hàm hàm số x  x C 2 A B 3x   C f  x   x3  x C x  x  C D x  x  C f  x  2x  (Mã 103 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số 2 2 A x  3x  C B x  3x  C C x  C D 2x  C f  x   x  (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x  dx   x  1 x   C f  x  dx   x  1 x   C � � 3 A B f  x  dx   � C f  x  dx  � D x   C x   C x2 Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm hàm số x3 x3 f x d x    C f x d x   C     � � x x A B f  x   x2  C Câu 19 f  x  dx  � x3  C x D (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm hàm số dx  ln x   C � A x  dx Câu 21 Câu 22 5x  dx �  ln x   C B x  dx (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x  cos3x sin3x C A cos3xdx  3sin 3x  C � cos3xdx  � B C cos3xdx  sin 3x  C � cos3xdx   � D (Mã 104 2018) Nguyên hàm hàm số x  x C A B 3x  x  C f  x   x3  x A e   C B e  x  C x sin3x C C x  x  C (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số x Câu 23 f  x  x3  C x �  5ln x   C D x  �   ln x   C C x  Câu 20 f  x  dx  � C f  x   ex  x ex  D x  x  C x C x e  x C D x  (Mã 101 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x)  x  Trang A x  C Câu 24 B x  x  C (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm hàm số A x dx  � 7x C ln 7 x 1 dx  C � x 1 C x Câu 25 Câu 31 Câu 32  16 C B  Trang ln  C x 7 32 f  x   x4  x x  x C C D x  x  C  D x  x  C C 6x  C  16 C 7  15 dx 16 x  7  C  C 16 ? x 7 D 32   16 C 3x (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm hàm số f (x)  e hàm số sau đây? 3x x e C e C x 3x A 3e  C B C D 3e  C  x  sin x  dx (THPT Cẩm Giàng 2019) Tính � x2  cos x  C B C x2  cos x C x cos x  C D x 1 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số y  e x 1 x e C e C x 1 x 1 A 2e  C B e  C C D f  x  2x  (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số 1 ln x   C ln x   C lg  x  3  C ln x   C A B C ln D y  x  3x  (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số x 3x x3    C , C ��  3x   C , C �� x A ln x B x 3x   ln x  C , C �� C ln Câu 33 x C x3  xC B x2  sin x  C A Câu 30 x x x (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm �  Câu 29 dx  D � f  x  7x D 2x  C (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x  x 7 A Câu 28 x 1 B x  x  C A x  C Câu 27 dx  � x B (Mã 102 2018) Nguyên hàm hàm số A x   C Câu 26 C x  x  C x x 3x   ln x  C , C �� D ln (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A - 3cos3x + C Câu 34 Câu 35 sin x dx   cos x  C � f  x   x4  f  x  dx  x � x3  Cx f  x   12 x  x hàm số f  x f  x   12 x  x  C f  x   x4  x x e 1 x dx  C � e 1 B e D e x dx  � e x 1 C x 1 dx  ln 2.2 � x C dx  � x B x C C x dx  � 2x 2x x C d x  � x 1  C ln D (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số A �f  x  dx  3x  cos x  C 3x 3x f  x   3x  sin x �f  x  dx   cos x  C B �f  x  dx   cos x  C C Câu 43 C x (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm hàm số y  A Câu 42 x (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? x Câu 41  x2  C D dx  ln x  C � C x Câu 40 B cos xdx  sin x  C � A Câu 39 e dx  e � x D (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu C Câu 38 D cos3 x + C (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức sau sai? 1 ln x dx   C dx  tan x  C � � x A B cos x A Câu 37 B 3cos3x + C - f  x   x  sin x (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm hàm số 3 A x  cos x  C B x  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C C Câu 36 cos3x + C C f  x  dx   cos x  C D � (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x  s inx x2 x2  cos x+C  cos x+C 2 A x  cos x+C B x  cos x+C C D (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  cos x là: A cos x  C B  cos x  C C  sin x  C D sin x  C f x  x4  x2 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ nguyên hàm hàm số   x  x C 3 A x  x  C B x  x  C C D x  x  C (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   ex  x Trang A e  x  C x Câu 44 Câu 45 B e  x  C x x3 3x    C x D f  x  (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Hàm số Câu 51 f  x   3x2 x nguyên hàm hàm số B f  x   x3 C f  x   x2 D (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số A f  x  dx  x  C � C f  x  dx  � x f  x   2x x f  x  dx  C � ln B ln  C f  x  x D f  x  dx  � x 1 C x 1 (THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm hàm số f  x  x4  x2 x3 f  x  dx    C � x B x f  x  dx    C � x D x (Sở Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số y  e ? y x x x A B y  e C y  e D y  ln x (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính e �2, 718 Trang F  x   �; � ? x3 f  x  dx    C � x A x f  x  dx    C � x C Câu 50  sin x x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm hàm số   cos x  C ln x  cos x  C ln x  cos x  C A ln x  cos x  C B x C D A Câu 49 x x3 3x   ln x  C B x 3x   ln x  C sau Câu 48 y  x  3x  (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm hàm số C Câu 47 x D e   C (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  cos x  x 1 sin x  x  C  sin x  x  C 2 2 A B sin x  x  C C D  sin x  x  C x 3x   ln x  C A Câu 46 x e  x2  C C x  F ( x)  � e2 dx , e số TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 A Câu 52 F ( x)  2 e x C B F ( x)  e C C F ( x)  e x  C D F ( x )  2ex  C (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Tìm ngun hàm hàm số 1  x f  x  � 1� �; � � � 2� ln x   C A Câu 53 ln   x   C B (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số x Câu 55 Câu 56 f  x   2x  x D x B  x  C ln x   C x x  C A ln 2 Câu 54  ln x   C C x2  C D  x2  C C ln x f  x    sin x (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số A  cos x  C B  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C x  x  x  2019 f (x )  (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm hàm số x2 x  x  C A 12 x2 x  x   2019 x  C B x2 x  x   2019 x  C C 12 x2 x  x   2019 x  C D (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  3x  khoảng � 1� ��; � � �là: ln(3x  1)  C A Câu 57 B ln(1  x)  C D ln(3 x  1)  C (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? dx  � x A x ln  C cos xdx  sin x  C � C Câu 58 ln(1  x )  C C B e x dx  � � dx  ln x   C  x �1 D x  (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số đúng? A f ( x )dx  � f ( x)dx  � C x3  C 2x 2x  C x e2 x C B f ( x)  f ( x)dx  � x4  x Khẳng định sau x3  C x f ( x) dx  x � D 3  C x Trang Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số A C Câu 60 �f  x  dx  x  x  xC f  x  dx  x  � f  x  2x  x  B x  xC D f  x  dx � f  x  dx  x 2  x  xC ln 2 f  x  dx  x 2  x  xC x 1 � � (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số 3x 2 f x d x   cos x  C �  f  x  dx  x  cos x  C A � B 3x �f  x  dx   cos x  C C Câu 61 Tìm (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số sau: f  x   3x  sin x f  x  dx   cos x  C D � F  x   ex nguyên hàm hàm số hàm số 2 x A f ( x)  xe Câu 62 x B f ( x )  x e  x B 3  C 3 x C D ln x C ln  C (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x3  x x x  C A Câu 64 2x C f ( x)  e x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số f ( x)  3 x  C A ln Câu 63 ex f ( x)  2x D B x  x  C x4 x3  C D C x  x  C (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm 2019 hàm số y  x ? x 2020 1 A 2020 Câu 65 x 2020 B 2020 x 2020 1 D 2020 2018 C y  2019 x y  x  3x  (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số x 3x x 3x   ln x  C , C �R   ln x  C , C �R A ln B ln x3  3x   C , C �R x C x x 3x    C , C �R D ln x � 2018e  x � f  x   ex � 2017  � x5 � � Câu 66 (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số 2018 2018 x x f x d x  2017 e   C f x d x  2017 e  C     � � x x4 A B f  x  dx  2017e � C Trang x  504,5 C x4 f  x  dx  2017e � D x  504,5 C x4 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 � e x � y  ex � 2 � � cos x �là Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm hàm số 1 2e x  C 2e x  C x x cos x cos x A 2e  tan x  C B 2e  tan x  C C D Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên A C F  x  F  x  F  x x4 11  6x3  x  6x  C hàm số B F  x   x  x  11x  x  C D F  x   x  x  11x  x  C x 11  x3  x  x  C f  x  Câu 69 f  x    x  1  x    x  3 ? x  là: (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm hàm số 1 ln  x    C ln x   C ln x   C ln x   C A B C ln D NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý)   �0dx = C n �x dx = kdx = kx +C ��� � xn+1 +C n +1 ��� 1 � dx = ln x +C  x �  x dx = - +C x  �sin xdx = -  �cosxdx = sin x +C �  sin x �e dx = e x   x �a dx = x +C ax +C lna ��� ��� �(ax + b) ��� �sin(ax + b)dx = - ��� �cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) +C ��� �sin (ax + b) = - ��� �cos (ax + b) = a tan(ax + b) +C dx = - 1 � +C a ax + b cos(ax + b) + C a dx dx dx = tan x + C � cos x  (ax + b)n+1 +C a n +1 �ax + b dx = a ln ax + b +C cosx +C dx = - cot x +C n �(ax + b) dx = cot(ax + b) + C a dx = eax+b + C a ��� aax+b ax+b a d x = +C a lna ��� � �e ax+b � ♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Trang Một số nguyên tắc tính PP g Tích đa thức lũy thừa ��� � khai triễn PP g Tích hàm mũ ��� � khai triển theo công thức mũ 1 1 sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a 2 2 g Bậc chẵn sin và cosin � Hạ bậc: PP g Chứa tích thức x ��� � chuyển lũy thừa Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng K A F '( x)   f ( x), x �K C F '( x)  f ( x), x �K B f '( x)  F ( x), x �K D f '( x)   F ( x), x �K Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K F '( x)  f ( x), x �K x dx (Mã 101 - 2020 Lần 1) � Câu x C B A 2x  C Chọn Câu 3 C x  C Lời giải D 3x  C B (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số A 4x  C B 3x  C f  x   x3 C x  C Lời giải x C D Chọn D x4 x dx   C � Ta có x dx (Mã 103 - 2020 Lần 1) � Câu x C A B 4x  C C x  C D 5x  C Lời giải Chọn A x dx  x  C � (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx � A 5x  C x C B Câu Trang 10 C x  C Lời giải D 6x  C Mà f  0  Khi Câu 24 ex f  x  x 1 � C  Vậy f  2  e2 y  f  x �\  0;  1 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số liên tục thỏa mãn điều f  2 ln x x  1 f �  x   f  x   x  x Giá trị f    a  b ln , với a, b �� Tính kiện    a  b2 25 A B C Lời giải 13 D x x � f x  f x      x 1 x x  1 f �  x  1  x   f  x   x2  x � x  Từ giả thiết, ta có  � x �x � � � f  x  � �x  � x  , với x ��\  0;  1 x x x f  x   � dx f  x   x  ln x   C x  hay x  Suy x  x f  x   x  ln x   Mặt khác, ta có nên C  1 Do x  3 3 f     ln f     ln a b � 2 Với x  Suy a  b2  Vậy f  1  2 ln Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x liên tục, nhận giá trị dương  0; � f  f  x  f �  x  3x  , với x  Mệnh đề sau đúng? thỏa mãn   ,  f  5   f  5   f  5   f  5  A B C D Lời giải f�  x  � f �  x  dx  � dx � � f  x  f � x  3x  f  x f  x  x  x  Ta có d  f  x  �� � dx � ln f  x   x   C � f  x  e3 f  x 3x  4 �C C f  e �3, 794 f  1    1 Suy Mà nên e Câu 26 f�  x    x  3 f  x  Trang 102 f  x  �0 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  0   x 1  C thỏa mãn điều kiện c Biết tổng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a a * f  1  f    f  3   f  2017   f  2018   a � � , b � �  b phân số tối giản b với  Mệnh đề sau đúng? a a  1 1 A b B b C a  b  1010 D b  a  3029 Lời giải Ta có f�  x    x  3 f  x � f�  x  2x  f  x f�  x � � dx  �  x  3 dx �   x  3x  C f  x f  x f  0   � C  2 Vì 1 f  x      x  1  x   x  x  Vậy f  1  f    f  3   f  2017   f  2018   Do Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 27 1 1009   2020 2020 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  1   A  Tính ff 1  3240 6481 f  x �0 , f�  x  3x4  x2  f  x x2     f  80  6480 B 6481  C Lời giải 6480 6481 3240 D 6481 f�  x  3x4  x2  3x4  x2  f� f  x  x  x2 � f  x x2 f�  x x4  x2  d x  �f  x � x2 dx � d f  x  �f  x d f  x  �f  x x4  x2  � dx x � 1 f  x  C � � 1 3 � 3x   � dx  x  x  C � x  x x � � f  x x � � x 1� 1 � x  � f  x  � � 2 �C0 x  x  = �x  x  x  x  � Do �1 � �1 � �1 � 1� 1 � f  1  �  � f    �  � f  3  �  � f  80   �  �3 �; �7 �; 2� 13 �;.; �6481 6321 � � f  1   ff 1  Câu 28 1 3240      f 80      2 6481 = 6481 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn  0; 2 � �f  x  �  x  �  x � � f  x  f � �f � �  Biết f    , f    e Khi f  1 thỏa mãn � 2 Trang 103 B e A e D e C e Lời giải � f  x f �  x  �  x � �f � � � �  x  �  x � �f  x  � � f  x  f � �f � � � 2 � �f  x  � � Theo đề bài, ta có 1 �f �  x  �� � f �  x   x  C � ln f x  x  C.x  D ��   � f  x �f  x  � � C2 � �f    x2 � 2 x � � D  f  e f x  e � f  e       � Mà � Suy : y  f  x Câu 29 Cho hàm số Tính A f  1 liên tục � thỏa mãn f�  x   x f  x   e  x f 0 , x ��   f  1  e B f  1   e f  1  C Lời giải e2 D f  1  e Chọn D Ta có  x  x   x.e x f  x   � e x f  x  f�  x   x f  x   e  x � e f � e � Suy 2  �  xC � f  x  dx  � dx � e x f  x   x  C � f  x   x e f  0�C 0 Vì   x f  x   x2 f  1  e e Vậy Do x2 y  f  x Câu 30 Cho hàm số A f  2  313 15 thỏa mãn B f ' x  f  x   x4  x2 f  2  332 15 Biết f  2  C Lời giải f  0  324 15 Tính f  2 323 f  2  15 D Chọn B f  x  x5 x f '  x  f  x  dx  �  x  x  dx  C �    C Ta có � f  0  nên suy C  �32 � f    �   � 332 �5 � 15 Vậy Do Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  0  Trang 104 f  x Tất nguyên hàm f  x e 2x thỏa mãn f  x  f �  x   e x , x �� A C  x  2 e  x  1 e e C x x  x  2 e x C B  x  1 e D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2x e C C x x Lời giải Chọn D   f  x  f �  x   e x � f  x  e x  f �  x  e x  � f  x  e x � � f  x  e x  x  C � 2x x f  0   Do f  x  e   x   e Vậy: Vì nên C � f  x e � 2x dx  � e xd  x     x   e x  � e x dx   x   e x dx  �  x  2 d  ex    x  2 ex  �   x   e x  e x  C   x  1 e x  C y  f  x Câu 32 Cho hàm số có đạo hàm  0;  � f Giá trị biểu thức   là: 25 25 A B thỏa mãn xf �  x   f  x   x x � 0;  � , f  1  17 C Lời giải 17 D Chọn C xf �  x   f  x   x  1 0;  �  1 �  : f�  x  �f  x     2x Xét phương trình g  x  x , ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  Đặt 1 g  x  dx  � dx  ln x  C  ln x  C � G  x   ln x 2x Ta có Ta chọn x �f � x  �f  x   x  G x    x , ta được: x Nhân vế   cho e �  x f  x   �  3 x Lấy tích phân vế �  Vậy Câu 33 x f  x  f  4    3 từ đến 4, ta được:  14 1� 14 � 17 �2 �  � x3 � � f    f  1  � f    �  1� �3 �3 � � (vì f  1  ) 17 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x x6 �  x � �f � � 27 � �f  x   1� �  0, x �� điều kiện A 1  � � x f  x  dx  �xdx B C có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f  1  Giá trị f  2 D 7 Lời giải Chọn D Trang 105 x �  x � �f � � 27 � �f  x   1� � � Ta có � � � 1 �  �� x � f  x  1 x � f  x  1 � � f�  x 3  f  x   1 � � � 1 � �dx  �2 dx    C � x x �3 f  x   � � Do � Suy f  1  � C  f  x  1 x Có Do f    7 Khi 3   C x f  x 1  f � x   f  x Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số thỏa mãn: f  0  f �    Giá trị f  1 A B C 10 Lời giải Chọn B �  f  x f �  x   15 x  12 x , x �� D � f� x   f  x f � x   15 x  12 x     x �� Theo giả thiết, : � � f�  x f �  x  f  x f �  x   15x  12 x � ��  x � �f  x  f � � 15 x  12 x � f  x f �  x  �  15x4  12 x  dx  3x5  x2  C  1  1 , ta được: f   f �  0  C � C  Thay x  vào Khi đó,  1 f  x f �  x   3x  x  trở thành: 1 1 � �1 � �� f  x f � f x  � x  x3  x �  x  dx  �    3x  x  1 dx � � � � � �0 �2 �0 0 � � f  1  f   �  � f  1   � f  1  � � 2 Vậy Câu 35 Cho f  1  hàm số y  f  x  xf � x   f  x   ln x  x đây? � 25 � 12; � � � � A Trang 106 có  f  x đạo , hàm liên x � 1;  � ; biết � 27 � 13; � � � � B tục f  1;  �  e   3e Giá trị �23 � � ;12 � � C �2 Lời giải f  2 thỏa mãn thuộc khoảng � 29 � 14; � � � � D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C  xf � x   f  x   ln x  x  1;  � : khoảng  ln x x2 � � �f  x    1 � x ln x f  x     ln x  f  x   x � f  x   x ln x ln x    ln x g  x  x ln x Ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  Đặt Xét phương trình  ln x g  x  dx  � � x ln x Ta có  f  x   1  ln x �1 � dx  � d  ln x   � d  ln x  �  2� ln x �ln x � �ln x �  ln  ln x   ln x  C  ln � � C �x � �ln x � G  x   ln � � �x � Ta chọn  2 Nhân vế cho e G x   ln x ln x  ln x �f � �f  x    x  2 x , ta được: x x3 � ln x �ln x � � � �f  x  � � �f  x   x  C  3 x �x � Theo giả thiết, ln  e f 3 e f  e   3e nên thay x   e  3 Từ đây, ta tìm Câu 36 e C � C  f  x  3 e e vào  3 , ta được: � 3e  e  �23 � x3 23 f   �� ;12 � � f  2  �2 � ln x ln Vậy (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số 3f �  x  e f  x   x 1 f  x có đạo hàm R thỏa mãn 2x  0 f  x x f  x  dx � f  0   x �� với Biết , tính tích phân 15 45 B C D Lời giải 11 A Chọn C 3f �  x  e f  x   x2 1  2x 0 2 f  x  x  e f  x  x.e x 1 � f  x f � Ta có 2 f3 x �� f  x f � x.e x 1dx � � e   d  f  x   � e x 1d  x  1 � e f  x   e x2 1  C  x  e f  x  dx  � Mặt khác, f Do e  x f  0  nên C  3 2  e x 1 � f  x   x  � f  x   x  x f  x  dx  � x � Vậy 0 x  dx  �x 45  d  x  1  � x  1 x  �   �0 8� Trang 107 Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x f  x f �  x   2x f  x   Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x f  0  đoạn liên tục không âm � thỏa mãn  1;3 Biết giá trị biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b  c ,  a , b , c �� Tính a  b  c B a  b  c  A a  b  c  C a  b  c  Lời giải D a  b  c  Chọn A f  x f �  x  2x f  x  1 � Ta có: � f  x    x2  C Mà f  0  � C  � � f  x   x4  2x2 Ta có: f�  x  f  x f �  x f  x f �  x  dx  xdx  2x � � � f  x 1 f  x 1 (do x3  x x4  x2 f  x    x  � f  x    x  1   x  x 2 f  x  �0, x �� )  0, x � 1;3 � max f  x   f  3  11; f  x   f  1   1;3  1;3 Ta có: P  M  m  11  � a  6; b  1; c  � a  b  c  Câu 38 Cho hàm số y  f  x liên tục �\  1;0 thỏa mãn f  1  ln  , x  x  1 f �  x    x   f  x   x  x  1 , x ��\  1;0 Biết f    a  b ln , với a, b hai số hữu tỉ Tính T  a  b 21 T T 16 A B C T  Lời giải Chọn D x  x  1 f �  x    x   f  x   x  x  1 , x ��\  1;0 Ta có: x2 x2  2x x2 � f� f  x   x  x  x ��\  1; 0  x  1  x  1 , � x2 �x � �� f  x  � �x  � x  , x ��\  1;0 x2 x2 � � dx  f  x   C �x ��\  1;0 x 1 x 1 , � x � �� dx  f  x   C� �x   � x ��\  1;0 x 1 � x 1 � , 2 x x � �  x  ln x   C �  f  x   C� x 1 Trang 108 D T  16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 x x  x  ln x   C  f  x  x ��\  1;0 x 1 , f  1  ln  f  1  1  ln  2C � C  Ta có: � x2 x2  x  ln x    f  x x 1 3 3 3 � f     ln f    a  b ln � a  , b  � T  a  b    4 4 16 16 � Câu 39 Cho hàm số y  f  x f  x  �0, x � 0;  � y  f  x hàm số A 10 liên tục f  1  đoạn  0;  � thỏa mãn 3x f  x   x f �  x  f  x , với Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  1; 2 Tính M  m 21 B 10 C Lời giải D Chọn C Ta có: x f  x   x f �  x   f  x  � 3x f  x   x f �  x   x f  x  x f  x   x3 f �  x  2x � f  x � x3 �� �f  x  � f  x  �0, x � 0;  � � � x3  x � � xdx  x  C � � f  x � x3 f  1  � C  � f  x   x 2 Mà f  x  Ta có: x3 x4  x2 � � f x   0, x � 0;  �   2 x2   x  2 x3 f  x  x  đồng biến khoảng  0;  � Vậy, hàm số x3  1; 2 � 0;  � nên hàm số f  x   x  đồng biến đoạn  1; 2 Mà M  f    ; m  f  1  � M  m  3 Suy ra, Trang 109 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu F  x (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho Hàm số A Ta có F  x2  x  nguyên hàm hàm số có điểm cực trị? B C Lời giải F�  x  f  x      2x  1 x  x  1 e    �  x  x 2 x   x  x2  x    2x  1 x  x  1  x    x  1  x  x   e  F �x  x  Câu  có nghiệm đơn nên   x  x 2   x  x   4 2  1 �  x  x   � x �� 2; 1; ;0;1� � � F x2  x (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho 2  có điểm cực trị   cos x   sin x  cot x  dx F  x  � sin x S tổng � � F  x  F � � �2 �trên khoảng  0; 4  Tổng S thuộc khoảng tất nghiệm phương trình  6 ;9   2 ; 4   4 ;6   0; 2  A B C D Lời giải Chọn   cos2 x   sin x  cot x  dx    cos x  sin x dx    cos x  cot x dx F  x  � � sin x � sin x sin x Ta có:   cos x  cot x dx   cos x  sin x dx A� Gọi Ta có: sin x B� sin x   cos x  cot x dx    cot x  cot x dx   cot x  cot x d cot x A�     � sin x � sin x 2 �cot x cot x �  �  � C1 � �   cos x  sin x dx    cos x  sin x dx B� �  cos x sin x   2 2 Đặt t  cos x , suy dt   sin x.dx Khi đó: 1 t2 1 t2 � 1 � �1 � B  � dt   dt    � �dt  �  � C2 2 2 � � 2 t  t  � � t  t  t  t          � � t    � � 1� 1 �  �  � C2 �cos x  cos x  � Do đó: Trang 110 D � F �x  x  f x  x x  x   2x  1 x  x e  f  x   e x  x  4x  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1� 1 � �cot x cot x � F  x  A  B  �   � C � � �cos x  cos x  � � 2 � Suy ra: 4 � � � � �cot x cot x � F  x   F � �� �    � C  C �� � �2 � �cos x  cos x  � � � 1   cot x  cot x  cos x  cos x  2cos x cos x cos x   0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x �0 , cos x  � cos x  � � �  * � � � cos x   cos x   cos x   cos x   cos x   cos x  0 � � sin x � cos x  � cos x  � � �� �  17 �  cos x  cos x   cos x  � �  3  3 x  ;x  ; x   2 ; x   2 x � 0; 4  2 2 Theo giả thiết nên ; x   ; x    2 ; x   ; x    2 Khi tổng nghiệm lớn 9 Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số f  x  F  x nguyên hàm hàm số cos x  sin x khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  khoảng  0;   Chọn mệnh đề mệnh đề sau � � F � � 3  A �6 � �2 � F � � B �3 � � � F � �  C �3 � Lời giải �5 � F � �  D �6 � Ta có: cos x  cos x dx  � d x  � dx x sin x sin x f  x  dx  � � sin d  sin x   2�  � dx    cot x  C sin x sin x sin x Do F  x F  x nguyên hàm hàm số F  x   f  x  cos x  sin x khoảng  0;   nên hàm số  cot x  C x � 0;   sin x với có cơng thức dạng F  x    cot x  C  0;   sin x Xét hàm số xác định liên tục cos x  F ' x  f  x  sin x Trang 111 Xét F ' x  � cos x  1   � cos x  � x  �  k 2  k �� sin x  0;   , phương trình Trên khoảng F ' x  có nghiệm x  Bảng biến thiên: � � max F  x   F � �   C  0;  �3 � Theo đề ta có,   C  � C  F  x    cot x  sin x Do đó, Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số điểm cực trị khoảng A B f ( x) = x cos x - sin x y = F ( x) x2 Hỏi đồ thị hàm số có ( 0; 4 ) ? C Lời giải Chọn C Ta có F '( x ) = f ( x ) = F '( x) = f ( x ) = Đặt x cos x - sin x ( 0; 4 ) x2 x cos x - sin x = � x cos x - sin x = ( 0; 4 ) x2 g ( x) = x cos x - sin x ( 0; 4 ) � x = � g '( x ) =- x.sin x = � � x = 2 � � x = 3 ( 0; 4 ) � Ta có Từ có bảng biến thiên Trang 112 g ( x) : D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì g ( x) cho liên tục đồng biến g ( x1 ) = Tương tự ta có g ( x2 ) = g ( x3 ) = x �( 2 ;3 ) x3 �( 3 ; 4 ) , với , Từ bảng biến thiên x �( x1 ; x2 ) g ( x) x �( x3 ; 4 ) ta thấy Dấu Do ta có bảng biến thiên Vậy hàm số Câu [ ; 2 ] g (  ) g ( 2 ) < nên tồn x1 �(  ; 2 ) y = F ( x) F ( x) f ( x) x �( 0; x1 ) dấu g ( x) x �( x2 ; x3 ) g ( x) > ; ( 0; 4 ) : có ba cực trị (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết thị hàm số A g ( x) < y  F  x F  x nguyên hàm hàm số f  x  x  cos x x2 Hỏi đồ có điểm cực trị? B C vơ số điểm Lời giải D Chọn A Vì  F  x   � f  x  nên ta xét đổi dấu hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số cho g x  x  cos x g �x   sin x �0 x Ta xét hàm số   , ta có   g x Vì   hàm số đồng biến toàn trục số � � �  �g �2 �  �� � � �  �  � �g �  �    �� ; � � � g x  � 2 � Hơn ta có � � � ,   có nghiệm Ta có bảng xét dấu Trang 113 Kết luận hàm số cho có cực trị Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số Biết  5;3 y  f  x Đồ thị hàm số hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol f  0  , giá trị f  5   f   y  ax  bx  c ) 109 B A 33 y  f ' x 35 C D 11 Lời giải Chon C y  ax  bx  c qua điểm  2;3 ,  1;  ,  0;3 ,  1;0  ,  3;0  nên xác định *)Parabol y   x  x  3, x �1 suy f    � C1  0, f  x    Có f  1   *)Đồ thị f ' x  Mà Trang 114 f ' x f  x   x3  x  3x  C1 Mà x3  x  3x 22 f  2  3; (1) đoạn  4; 1 qua điểm  4;2  ,  1;0  nên � 2 2 �x  x  1 � f  x   �  x � C2 3 �2 � f  1   � 5 2� 1� 2 �x 14 � C2    �  � 2 � f  x   2 �  x� f  4   3 3� 2� �2 � , hay *) Đồ thị f ' x đoạn  5; 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 qua điểm  4;  ,  5; 1 nên 3x f '  x   3x  14 � f  x    14 x  C3  4  14 14 82 f  4   �  14  4   C3  C3  3 suy Mà Ta có f  x  3x 82 31  14 x  � f  5   (2) Từ (1) (2) ta Câu Cho hàm số f  5   f     y  f  x 31 35  22  3 có đạo hàm liên tục  0; � thỏa mãn f�  x  f  x x  x  3x f  1  y  f  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  A y  16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y  16 x  20 Lời giải Chọn B f�  x  f  x  x  3x � xf �  x   f  x   x3  3x x xf  x   �  x  x  dx  x  x  C Lấy nguyên hàm hai vế ta được: f  1   C Với x  ta có: f  1  �  C  � C  Theo 3 xf  x   x  x � f  x   x  x Vậy f�  x   3x  x ; f �    16 ; f    12 Ta có: y  f  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  là: y  16  x    12 � y  16 x  20 Trang 115 Trang 116 ... 200 A Câu 10 F  x F  x nguyên hàm hàm số C D nguyên hàm hàm số e e  50 C B 2e  100 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số 2x F  0  201 � Giá trị e  100 D f  x có đạo hàm liên tục... nguyên hàm hàm số 1 ln  x    C ln x   C ln x   C ln x   C A B C ln D NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm. ..  x  1  nguyên hàm hàm số B ln f  x  D F  x f  x  , x2 ln  2  nguyên hàm hàm f  x  Câu (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số thỏa mãn A F ( 1) = ln3 + 2 D nguyên hàm hàm số y