Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý) �0dx = C kdx = kx +C ��� � xn+1 �x dx = n + +C dx = ln x +C � x (ax + b)n+1 �(ax + b) dx = a n + +C ��� n n 1 x ��� �(ax + b) ��� �sin(ax + b)dx = - ��� �cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) +C ��� �sin (ax + b) = - ��� �cos (ax + b) = a tan(ax + b) +C dx = - cot x +C dx �e dx = e x �a dx = x dx �cos x dx = tan x +C x dx = 1 � +C a ax + b cos(ax + b) + C a �cosxdx = sin x +C � sin ��� 1 dx = - + C � x x sin xdx = - cosx +C � �ax + b dx = a ln ax + b +C cot(ax + b) + C a dx = eax+b + C a ��� aax+b ax+b a d x = +C a lna ��� � +C �e ax+b ax +C lna � ( ax + b ) ♦ Nhận xét Khi thay x bằng lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Một số nguyên tắc tính PP g Tích đa thức lũy thừa ��� � khai triễn PP g Tích hàm mũ ��� � khai triển theo công thức mũ 1 1 sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a 2 2 g Bậc chẵn sin và cosin � Hạ bậc: PP g Chứa tích thức x ��� � chuyển lũy thừa Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng K A F '( x) f ( x), x �K C F '( x) f ( x), x �K B f '( x) F ( x), x �K D f '( x ) F ( x ), x �K x dx (Mã 101 - 2020 Lần 1) � Câu Trang 1 x C B A 2x C Câu 3 C x C (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số A 4x C B 3x C x dx (Mã 103 - 2020 Lần 1) � D 3x C f x x3 C x C x C D C x C D 5x C C x C D 6x C C 5x C D 20x C x C C D 30x C 4 Câu x C A B 4x C (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx � A 5x C x C B Câu Câu 5x dx (Mã 101- 2020 Lần 2) � x C A B x C (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx � A 6x C B x C Câu 6 Câu x dx (Mã 103 - 2020 Lần 2) � B 6x C A 3x C C x C D x C x dx (Mã 104 - 2020 Lần 2) � Câu x C B A 4x C Câu 10 C 12x C (Mã 103 2018) Nguyên hàm hàm số x x C A B x x C f x x4 x2 C x x C f x 2x Câu 11 (Mã 104 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số 2 A x C B 2x C C x x C Câu 12 (Mã 102 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số A x C B x x C Câu 13 A sin x x C Câu 14 Trang f x 2x C 2x C B sin x x C (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm hàm số D x x C D x x C D x x C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số D x C f x cos x x C sin x x C f x 2sin x D sin x C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2sin xdx 2cos x C � 2sin xdx sin x C C � 2sin xdx 2cos x C � 2sin xdx sin 2x C D � A B Câu 15 Câu 16 Câu 17 (Mã 101 2018) Nguyên hàm hàm số x x C 2 A B 3x C f x x3 x C x x C D x x C f x 2x (Mã 103 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số 2 2 A x 3x C B x 3x C C x C D 2x C f x x (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x dx x 1 x C f x dx x 1 x C � � 3 A B f x dx � C f x dx � D x C x C x2 Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm hàm số x3 x3 f x d x C f x d x C � � x x A B f x x2 C Câu 19 f x dx � x3 C x D (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm hàm số dx ln x C � A x dx Câu 21 Câu 22 5x dx � ln x C B x dx (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x cos3x sin3x C A cos3xdx 3sin 3x C � cos3xdx � B C cos3xdx sin 3x C � cos3xdx � D (Mã 104 2018) Nguyên hàm hàm số x x C A B 3x x C f x x3 x A e C B e x C x sin3x C C x x C (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số x Câu 23 f x x3 C x � 5ln x C D x � ln x C C x Câu 20 f x dx � C f x ex x ex D x x C x C x e x C D x (Mã 101 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) x Trang A x C Câu 24 B x x C (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm hàm số A x dx � 7x C ln 7 x 1 dx C � x 1 C x Câu 25 Câu 31 Câu 32 16 C B Trang ln C x 7 32 f x x4 x x x C C D x x C D x x C C 6x C 16 C 7 15 dx 16 x 7 C C 16 ? x 7 D 32 16 C 3x (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm hàm số f (x) e hàm số sau đây? 3x x e C e C x 3x A 3e C B C D 3e C x sin x dx (THPT Cẩm Giàng 2019) Tính � x2 cos x C B C x2 cos x C x cos x C D x 1 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số y e x 1 x e C e C x 1 x 1 A 2e C B e C C D f x 2x (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số 1 ln x C ln x C lg x 3 C ln x C A B C ln D y x 3x (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số x 3x x3 C , C �� 3x C , C �� x A ln x B x 3x ln x C , C �� C ln Câu 33 x C x3 xC B x2 sin x C A Câu 30 x x x (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm � Câu 29 dx D � f x 7x D 2x C (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) x x 7 A Câu 28 x 1 B x x C A x C Câu 27 dx � x B (Mã 102 2018) Nguyên hàm hàm số A x C Câu 26 C x x C x x 3x ln x C , C �� D ln (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A - 3cos3x + C Câu 34 Câu 35 sin x dx cos x C � f x x4 f x dx x � x3 Cx f x 12 x x hàm số f x f x 12 x x C f x x4 x x e 1 x dx C � e 1 B e D e x dx � e x 1 C x 1 dx ln 2.2 � x C dx � x B x C C x dx � 2x 2x x C d x � x 1 C ln D (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số A �f x dx 3x cos x C 3x 3x f x 3x sin x �f x dx cos x C B �f x dx cos x C C Câu 43 C x (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm hàm số y A Câu 42 x (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? x Câu 41 x2 C D dx ln x C � C x Câu 40 B cos xdx sin x C � A Câu 39 e dx e � x D (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu C Câu 38 D cos3 x + C (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức sau sai? 1 ln x dx C dx tan x C � � x A B cos x A Câu 37 B 3cos3x + C - f x x sin x (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm hàm số 3 A x cos x C B x cos x C C x cos x C D x cos x C C Câu 36 cos3x + C C f x dx cos x C D � (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) x s inx x2 x2 cos x+C cos x+C 2 A x cos x+C B x cos x+C C D (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) cos x là: A cos x C B cos x C C sin x C D sin x C f x x4 x2 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ nguyên hàm hàm số x x C 3 A x x C B x x C C D x x C (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x ex x Trang A e x C x Câu 44 Câu 45 B e x C x x3 3x C x D f x (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Hàm số Câu 51 f x 3x2 x nguyên hàm hàm số B f x x3 C f x x2 D (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số A f x dx x C � C f x dx � x f x 2x x f x dx C � ln B ln C f x x D f x dx � x 1 C x 1 (THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm hàm số f x x4 x2 x3 f x dx C � x B x f x dx C � x D x (Sở Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số y e ? y x x x A B y e C y e D y ln x (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính e �2, 718 Trang F x �; � ? x3 f x dx C � x A x f x dx C � x C Câu 50 sin x x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm hàm số cos x C ln x cos x C ln x cos x C A ln x cos x C B x C D A Câu 49 x x3 3x ln x C B x 3x ln x C sau Câu 48 y x 3x (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm hàm số C Câu 47 x D e C (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ nguyên hàm hàm số y cos x x 1 sin x x C sin x x C 2 2 A B sin x x C C D sin x x C x 3x ln x C A Câu 46 x e x2 C C x F ( x) � e2 dx , e số TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 A Câu 52 F ( x) 2 e x C B F ( x) e C C F ( x) e x C D F ( x ) 2ex C (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Tìm ngun hàm hàm số 1 x f x � 1� �; � � � 2� ln x C A Câu 53 ln x C B (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số x Câu 55 Câu 56 f x 2x x D x B x C ln x C x x C A ln 2 Câu 54 ln x C C x2 C D x2 C C ln x f x sin x (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số A cos x C B cos x C C x cos x C D x cos x C x x x 2019 f (x ) (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm hàm số x2 x x C A 12 x2 x x 2019 x C B x2 x x 2019 x C C 12 x2 x x 2019 x C D (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x) 3x khoảng � 1� ��; � � �là: ln(3x 1) C A Câu 57 B ln(1 x) C D ln(3 x 1) C (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? dx � x A x ln C cos xdx sin x C � C Câu 58 ln(1 x ) C C B e x dx � � dx ln x C x �1 D x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số đúng? A f ( x )dx � f ( x)dx � C x3 C 2x 2x C x e2 x C B f ( x) f ( x)dx � x4 x Khẳng định sau x3 C x f ( x) dx x � D 3 C x Trang Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số A C Câu 60 �f x dx x x xC f x dx x � f x 2x x B x xC D f x dx � f x dx x 2 x xC ln 2 f x dx x 2 x xC x 1 � � (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số 3x 2 f x d x cos x C � f x dx x cos x C A � B 3x �f x dx cos x C C Câu 61 Tìm (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số sau: f x 3x sin x f x dx cos x C D � F x ex nguyên hàm hàm số hàm số 2 x A f ( x) xe Câu 62 x B f ( x ) x e x B 3 C 3 x C D ln x C ln C (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số f x x3 x x x C A Câu 64 2x C f ( x) e x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số f ( x) 3 x C A ln Câu 63 ex f ( x) 2x D B x x C x4 x3 C D C x x C (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm 2019 hàm số y x ? x 2020 1 A 2020 Câu 65 x 2020 B 2020 x 2020 1 D 2020 2018 C y 2019 x y x 3x (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số x 3x x 3x ln x C , C �R ln x C , C �R A ln B ln x3 3x C , C �R x C x x 3x C , C �R D ln x � 2018e x � f x ex � 2017 � x5 � � Câu 66 (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số 2018 2018 x x f x d x 2017 e C f x d x 2017 e C � � x x4 A B f x dx 2017e � C Trang x 504,5 C x4 f x dx 2017e � D x 504,5 C x4 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 � e x � y ex � 2 � � cos x �là Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm hàm số 1 2e x C 2e x C x x cos x cos x A 2e tan x C B 2e tan x C C D Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên A C F x F x F x x4 11 6x3 x 6x C hàm số B F x x x 11x x C D F x x x 11x x C x 11 x3 x x C f x Câu 69 f x x 1 x x 3 ? x là: (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm hàm số 1 ln x C ln x C ln x C ln x C A B C ln D NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý) �0dx = C n �x dx = kdx = kx +C ��� � xn+1 +C n +1 ��� 1 � dx = ln x +C x � x dx = - +C x �sin xdx = - �cosxdx = sin x +C � sin x �e dx = e x x �a dx = x +C ax +C lna ��� ��� �(ax + b) ��� �sin(ax + b)dx = - ��� �cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) +C ��� �sin (ax + b) = - ��� �cos (ax + b) = a tan(ax + b) +C dx = - 1 � +C a ax + b cos(ax + b) + C a dx dx dx = tan x + C � cos x (ax + b)n+1 +C a n +1 �ax + b dx = a ln ax + b +C cosx +C dx = - cot x +C n �(ax + b) dx = cot(ax + b) + C a dx = eax+b + C a ��� aax+b ax+b a d x = +C a lna ��� � �e ax+b � ♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Trang Một số nguyên tắc tính PP g Tích đa thức lũy thừa ��� � khai triễn PP g Tích hàm mũ ��� � khai triển theo công thức mũ 1 1 sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a 2 2 g Bậc chẵn sin và cosin � Hạ bậc: PP g Chứa tích thức x ��� � chuyển lũy thừa Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) khoảng K A F '( x) f ( x), x �K C F '( x) f ( x), x �K B f '( x) F ( x), x �K D f '( x) F ( x), x �K Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K F '( x) f ( x), x �K x dx (Mã 101 - 2020 Lần 1) � Câu x C B A 2x C Chọn Câu 3 C x C Lời giải D 3x C B (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số A 4x C B 3x C f x x3 C x C Lời giải x C D Chọn D x4 x dx C � Ta có x dx (Mã 103 - 2020 Lần 1) � Câu x C A B 4x C C x C D 5x C Lời giải Chọn A x dx x C � (Mã 104 - 2020 Lần 1) x dx � A 5x C x C B Câu Trang 10 C x C Lời giải D 6x C Mà f 0 Khi Câu 24 ex f x x 1 � C Vậy f 2 e2 y f x �\ 0; 1 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số liên tục thỏa mãn điều f 2 ln x x 1 f � x f x x x Giá trị f a b ln , với a, b �� Tính kiện a b2 25 A B C Lời giải 13 D x x � f x f x x 1 x x 1 f � x 1 x f x x2 x � x Từ giả thiết, ta có � x �x � � � f x � �x � x , với x ��\ 0; 1 x x x f x � dx f x x ln x C x hay x Suy x x f x x ln x Mặt khác, ta có nên C 1 Do x 3 3 f ln f ln a b � 2 Với x Suy a b2 Vậy f 1 2 ln Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương 0; � f f x f � x 3x , với x Mệnh đề sau đúng? thỏa mãn , f 5 f 5 f 5 f 5 A B C D Lời giải f� x � f � x dx � dx � � f x f � x 3x f x f x x x Ta có d f x �� � dx � ln f x x C � f x e3 f x 3x 4 �C C f e �3, 794 f 1 1 Suy Mà nên e Câu 26 f� x x 3 f x Trang 102 f x �0 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f 0 x 1 C thỏa mãn điều kiện c Biết tổng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a a * f 1 f f 3 f 2017 f 2018 a � � , b � � b phân số tối giản b với Mệnh đề sau đúng? a a 1 1 A b B b C a b 1010 D b a 3029 Lời giải Ta có f� x x 3 f x � f� x 2x f x f� x � � dx � x 3 dx � x 3x C f x f x f 0 � C 2 Vì 1 f x x 1 x x x Vậy f 1 f f 3 f 2017 f 2018 Do Vậy a 1009 ; b 2020 Do b a 3029 Câu 27 1 1009 2020 2020 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f 1 A Tính ff 1 3240 6481 f x �0 , f� x 3x4 x2 f x x2 f 80 6480 B 6481 C Lời giải 6480 6481 3240 D 6481 f� x 3x4 x2 3x4 x2 f� f x x x2 � f x x2 f� x x4 x2 d x �f x � x2 dx � d f x �f x d f x �f x x4 x2 � dx x � 1 f x C � � 1 3 � 3x � dx x x C � x x x � � f x x � � x 1� 1 � x � f x � � 2 �C0 x x = �x x x x � Do �1 � �1 � �1 � 1� 1 � f 1 � � f � � f 3 � � f 80 � �3 �; �7 �; 2� 13 �;.; �6481 6321 � � f 1 ff 1 Câu 28 1 3240 f 80 2 6481 = 6481 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn 0; 2 � �f x � x � x � � f x f � �f � � Biết f , f e Khi f 1 thỏa mãn � 2 Trang 103 B e A e D e C e Lời giải � f x f � x � x � �f � � � � x � x � �f x � � f x f � �f � � � 2 � �f x � � Theo đề bài, ta có 1 �f � x �� � f � x x C � ln f x x C.x D �� � f x �f x � � C2 � �f x2 � 2 x � � D f e f x e � f e � Mà � Suy : y f x Câu 29 Cho hàm số Tính A f 1 liên tục � thỏa mãn f� x x f x e x f 0 , x �� f 1 e B f 1 e f 1 C Lời giải e2 D f 1 e Chọn D Ta có x x x.e x f x � e x f x f� x x f x e x � e f � e � Suy 2 � xC � f x dx � dx � e x f x x C � f x x e f 0�C 0 Vì x f x x2 f 1 e e Vậy Do x2 y f x Câu 30 Cho hàm số A f 2 313 15 thỏa mãn B f ' x f x x4 x2 f 2 332 15 Biết f 2 C Lời giải f 0 324 15 Tính f 2 323 f 2 15 D Chọn B f x x5 x f ' x f x dx � x x dx C � C Ta có � f 0 nên suy C �32 � f � � 332 �5 � 15 Vậy Do Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f 0 Trang 104 f x Tất nguyên hàm f x e 2x thỏa mãn f x f � x e x , x �� A C x 2 e x 1 e e C x x x 2 e x C B x 1 e D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2x e C C x x Lời giải Chọn D f x f � x e x � f x e x f � x e x � f x e x � � f x e x x C � 2x x f 0 Do f x e x e Vậy: Vì nên C � f x e � 2x dx � e xd x x e x � e x dx x e x dx � x 2 d ex x 2 ex � x e x e x C x 1 e x C y f x Câu 32 Cho hàm số có đạo hàm 0; � f Giá trị biểu thức là: 25 25 A B thỏa mãn xf � x f x x x � 0; � , f 1 17 C Lời giải 17 D Chọn C xf � x f x x 1 0; � 1 � : f� x �f x 2x Xét phương trình g x x , ta tìm nguyên hàm G x g x Đặt 1 g x dx � dx ln x C ln x C � G x ln x 2x Ta có Ta chọn x �f � x �f x x G x x , ta được: x Nhân vế cho e � x f x � 3 x Lấy tích phân vế � Vậy Câu 33 x f x f 4 3 từ đến 4, ta được: 14 1� 14 � 17 �2 � � x3 � � f f 1 � f � 1� �3 �3 � � (vì f 1 ) 17 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x x6 � x � �f � � 27 � �f x 1� � 0, x �� điều kiện A 1 � � x f x dx �xdx B C có đạo hàm liên tục � thỏa mãn f 1 Giá trị f 2 D 7 Lời giải Chọn D Trang 105 x � x � �f � � 27 � �f x 1� � � Ta có � � � 1 � �� x � f x 1 x � f x 1 � � f� x 3 f x 1 � � � 1 � �dx �2 dx C � x x �3 f x � � Do � Suy f 1 � C f x 1 x Có Do f 7 Khi 3 C x f x 1 f � x f x Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số thỏa mãn: f 0 f � Giá trị f 1 A B C 10 Lời giải Chọn B � f x f � x 15 x 12 x , x �� D � f� x f x f � x 15 x 12 x x �� Theo giả thiết, : � � f� x f � x f x f � x 15x 12 x � �� x � �f x f � � 15 x 12 x � f x f � x � 15x4 12 x dx 3x5 x2 C 1 1 , ta được: f f � 0 C � C Thay x vào Khi đó, 1 f x f � x 3x x trở thành: 1 1 � �1 � �� f x f � f x � x x3 x � x dx � 3x x 1 dx � � � � � �0 �2 �0 0 � � f 1 f � � f 1 � f 1 � � 2 Vậy Câu 35 Cho f 1 hàm số y f x xf � x f x ln x x đây? � 25 � 12; � � � � A Trang 106 có f x đạo , hàm liên x � 1; � ; biết � 27 � 13; � � � � B tục f 1; � e 3e Giá trị �23 � � ;12 � � C �2 Lời giải f 2 thỏa mãn thuộc khoảng � 29 � 14; � � � � D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C xf � x f x ln x x 1; � : khoảng ln x x2 � � �f x 1 � x ln x f x ln x f x x � f x x ln x ln x ln x g x x ln x Ta tìm nguyên hàm G x g x Đặt Xét phương trình ln x g x dx � � x ln x Ta có f x 1 ln x �1 � dx � d ln x � d ln x � 2� ln x �ln x � �ln x � ln ln x ln x C ln � � C �x � �ln x � G x ln � � �x � Ta chọn 2 Nhân vế cho e G x ln x ln x ln x �f � �f x x 2 x , ta được: x x3 � ln x �ln x � � � �f x � � �f x x C 3 x �x � Theo giả thiết, ln e f 3 e f e 3e nên thay x e 3 Từ đây, ta tìm Câu 36 e C � C f x 3 e e vào 3 , ta được: � 3e e �23 � x3 23 f �� ;12 � � f 2 �2 � ln x ln Vậy (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số 3f � x e f x x 1 f x có đạo hàm R thỏa mãn 2x 0 f x x f x dx � f 0 x �� với Biết , tính tích phân 15 45 B C D Lời giải 11 A Chọn C 3f � x e f x x2 1 2x 0 2 f x x e f x x.e x 1 � f x f � Ta có 2 f3 x �� f x f � x.e x 1dx � � e d f x � e x 1d x 1 � e f x e x2 1 C x e f x dx � Mặt khác, f Do e x f 0 nên C 3 2 e x 1 � f x x � f x x x f x dx � x � Vậy 0 x dx �x 45 d x 1 � x 1 x � �0 8� Trang 107 Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x f x f � x 2x f x Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x f 0 đoạn liên tục không âm � thỏa mãn 1;3 Biết giá trị biểu thức P 2M m có dạng a 11 b c , a , b , c �� Tính a b c B a b c A a b c C a b c Lời giải D a b c Chọn A f x f � x 2x f x 1 � Ta có: � f x x2 C Mà f 0 � C � � f x x4 2x2 Ta có: f� x f x f � x f x f � x dx xdx 2x � � � f x 1 f x 1 (do x3 x x4 x2 f x x � f x x 1 x x 2 f x �0, x �� ) 0, x � 1;3 � max f x f 3 11; f x f 1 1;3 1;3 Ta có: P M m 11 � a 6; b 1; c � a b c Câu 38 Cho hàm số y f x liên tục �\ 1;0 thỏa mãn f 1 ln , x x 1 f � x x f x x x 1 , x ��\ 1;0 Biết f a b ln , với a, b hai số hữu tỉ Tính T a b 21 T T 16 A B C T Lời giải Chọn D x x 1 f � x x f x x x 1 , x ��\ 1;0 Ta có: x2 x2 2x x2 � f� f x x x x ��\ 1; 0 x 1 x 1 , � x2 �x � �� f x � �x � x , x ��\ 1;0 x2 x2 � � dx f x C �x ��\ 1;0 x 1 x 1 , � x � �� dx f x C� �x � x ��\ 1;0 x 1 � x 1 � , 2 x x � � x ln x C � f x C� x 1 Trang 108 D T 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 x x x ln x C f x x ��\ 1;0 x 1 , f 1 ln f 1 1 ln 2C � C Ta có: � x2 x2 x ln x f x x 1 3 3 3 � f ln f a b ln � a , b � T a b 4 4 16 16 � Câu 39 Cho hàm số y f x f x �0, x � 0; � y f x hàm số A 10 liên tục f 1 đoạn 0; � thỏa mãn 3x f x x f � x f x , với Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1; 2 Tính M m 21 B 10 C Lời giải D Chọn C Ta có: x f x x f � x f x � 3x f x x f � x x f x x f x x3 f � x 2x � f x � x3 �� �f x � f x �0, x � 0; � � � x3 x � � xdx x C � � f x � x3 f 1 � C � f x x 2 Mà f x Ta có: x3 x4 x2 � � f x 0, x � 0; � 2 x2 x 2 x3 f x x đồng biến khoảng 0; � Vậy, hàm số x3 1; 2 � 0; � nên hàm số f x x đồng biến đoạn 1; 2 Mà M f ; m f 1 � M m 3 Suy ra, Trang 109 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu F x (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho Hàm số A Ta có F x2 x nguyên hàm hàm số có điểm cực trị? B C Lời giải F� x f x 2x 1 x x 1 e � x x 2 x x x2 x 2x 1 x x 1 x x 1 x x e F �x x Câu có nghiệm đơn nên x x 2 x x 4 2 1 � x x � x �� 2; 1; ;0;1� � � F x2 x (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho 2 có điểm cực trị cos x sin x cot x dx F x � sin x S tổng � � F x F � � �2 �trên khoảng 0; 4 Tổng S thuộc khoảng tất nghiệm phương trình 6 ;9 2 ; 4 4 ;6 0; 2 A B C D Lời giải Chọn cos2 x sin x cot x dx cos x sin x dx cos x cot x dx F x � � sin x � sin x sin x Ta có: cos x cot x dx cos x sin x dx A� Gọi Ta có: sin x B� sin x cos x cot x dx cot x cot x dx cot x cot x d cot x A� � sin x � sin x 2 �cot x cot x � � � C1 � � cos x sin x dx cos x sin x dx B� � cos x sin x 2 2 Đặt t cos x , suy dt sin x.dx Khi đó: 1 t2 1 t2 � 1 � �1 � B � dt dt � �dt � � C2 2 2 � � 2 t t � � t t t t � � t � � 1� 1 � � � C2 �cos x cos x � Do đó: Trang 110 D � F �x x f x x x x 2x 1 x x e f x e x x 4x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1� 1 � �cot x cot x � F x A B � � C � � �cos x cos x � � 2 � Suy ra: 4 � � � � �cot x cot x � F x F � �� � � C C �� � �2 � �cos x cos x � � � 1 cot x cot x cos x cos x 2cos x cos x cos x 0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x �0 , cos x � cos x � � � * � � � cos x cos x cos x cos x cos x cos x 0 � � sin x � cos x � cos x � � �� � 17 � cos x cos x cos x � � 3 3 x ;x ; x 2 ; x 2 x � 0; 4 2 2 Theo giả thiết nên ; x ; x 2 ; x ; x 2 Khi tổng nghiệm lớn 9 Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số f x F x nguyên hàm hàm số cos x sin x khoảng 0; Biết giá trị lớn F x khoảng 0; Chọn mệnh đề mệnh đề sau � � F � � 3 A �6 � �2 � F � � B �3 � � � F � � C �3 � Lời giải �5 � F � � D �6 � Ta có: cos x cos x dx � d x � dx x sin x sin x f x dx � � sin d sin x 2� � dx cot x C sin x sin x sin x Do F x F x nguyên hàm hàm số F x f x cos x sin x khoảng 0; nên hàm số cot x C x � 0; sin x với có cơng thức dạng F x cot x C 0; sin x Xét hàm số xác định liên tục cos x F ' x f x sin x Trang 111 Xét F ' x � cos x 1 � cos x � x � k 2 k �� sin x 0; , phương trình Trên khoảng F ' x có nghiệm x Bảng biến thiên: � � max F x F � � C 0; �3 � Theo đề ta có, C � C F x cot x sin x Do đó, Câu Biết F ( x) nguyên hàm hàm số điểm cực trị khoảng A B f ( x) = x cos x - sin x y = F ( x) x2 Hỏi đồ thị hàm số có ( 0; 4 ) ? C Lời giải Chọn C Ta có F '( x ) = f ( x ) = F '( x) = f ( x ) = Đặt x cos x - sin x ( 0; 4 ) x2 x cos x - sin x = � x cos x - sin x = ( 0; 4 ) x2 g ( x) = x cos x - sin x ( 0; 4 ) � x = � g '( x ) =- x.sin x = � � x = 2 � � x = 3 ( 0; 4 ) � Ta có Từ có bảng biến thiên Trang 112 g ( x) : D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì g ( x) cho liên tục đồng biến g ( x1 ) = Tương tự ta có g ( x2 ) = g ( x3 ) = x �( 2 ;3 ) x3 �( 3 ; 4 ) , với , Từ bảng biến thiên x �( x1 ; x2 ) g ( x) x �( x3 ; 4 ) ta thấy Dấu Do ta có bảng biến thiên Vậy hàm số Câu [ ; 2 ] g ( ) g ( 2 ) < nên tồn x1 �( ; 2 ) y = F ( x) F ( x) f ( x) x �( 0; x1 ) dấu g ( x) x �( x2 ; x3 ) g ( x) > ; ( 0; 4 ) : có ba cực trị (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết thị hàm số A g ( x) < y F x F x nguyên hàm hàm số f x x cos x x2 Hỏi đồ có điểm cực trị? B C vơ số điểm Lời giải D Chọn A Vì F x � f x nên ta xét đổi dấu hàm số f x để tìm cực trị hàm số cho g x x cos x g �x sin x �0 x Ta xét hàm số , ta có g x Vì hàm số đồng biến toàn trục số � � � �g �2 � �� � � � � � �g � � �� ; � � � g x � 2 � Hơn ta có � � � , có nghiệm Ta có bảng xét dấu Trang 113 Kết luận hàm số cho có cực trị Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số Biết 5;3 y f x Đồ thị hàm số hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol f 0 , giá trị f 5 f y ax bx c ) 109 B A 33 y f ' x 35 C D 11 Lời giải Chon C y ax bx c qua điểm 2;3 , 1; , 0;3 , 1;0 , 3;0 nên xác định *)Parabol y x x 3, x �1 suy f � C1 0, f x Có f 1 *)Đồ thị f ' x Mà Trang 114 f ' x f x x3 x 3x C1 Mà x3 x 3x 22 f 2 3; (1) đoạn 4; 1 qua điểm 4;2 , 1;0 nên � 2 2 �x x 1 � f x � x � C2 3 �2 � f 1 � 5 2� 1� 2 �x 14 � C2 � � 2 � f x 2 � x� f 4 3 3� 2� �2 � , hay *) Đồ thị f ' x đoạn 5; 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 qua điểm 4; , 5; 1 nên 3x f ' x 3x 14 � f x 14 x C3 4 14 14 82 f 4 � 14 4 C3 C3 3 suy Mà Ta có f x 3x 82 31 14 x � f 5 (2) Từ (1) (2) ta Câu Cho hàm số f 5 f y f x 31 35 22 3 có đạo hàm liên tục 0; � thỏa mãn f� x f x x x 3x f 1 y f x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x A y 16 x 20 B y 16 x 20 C y 16 x 20 D y 16 x 20 Lời giải Chọn B f� x f x x 3x � xf � x f x x3 3x x xf x � x x dx x x C Lấy nguyên hàm hai vế ta được: f 1 C Với x ta có: f 1 � C � C Theo 3 xf x x x � f x x x Vậy f� x 3x x ; f � 16 ; f 12 Ta có: y f x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x là: y 16 x 12 � y 16 x 20 Trang 115 Trang 116 ... 200 A Câu 10 F x F x nguyên hàm hàm số C D nguyên hàm hàm số e e 50 C B 2e 100 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số 2x F 0 201 � Giá trị e 100 D f x có đạo hàm liên tục... nguyên hàm hàm số 1 ln x C ln x C ln x C ln x C A B C ln D NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm. .. x 1 nguyên hàm hàm số B ln f x D F x f x , x2 ln 2 nguyên hàm hàm f x Câu (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số thỏa mãn A F ( 1) = ln3 + 2 D nguyên hàm hàm số y
Ngày đăng: 30/06/2022, 23:02
Xem thêm:
