BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.. Câu 1.[r]
(1)ⓣⓗⓑⓣⓝ
Khái niệm nguyên hàm tính chất 1 Khái niệm nguyên hàm
— h h f x( ) h K H F x( ) g i nguyên hàm h f x( ) K F x( ) f x( ), x K
— N F x( ) g h f x( ) K h h nguyên hàm h f x( )
trên K
( ) ( ) ,
f x dx F x C const C
2 Tính chất N f x( ), ( )g x h i ụ K k ta ln có:
( ) ( )
f x dx f x C kf x dx( ) k f x dx( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
ảng nguyên hàm c m t hàm thƣ ng g p v i C h ng t y
1
1 x
x dx C
1
1 ( )
( )
1 n
n ax b
ax b dx C
a n
dx lnx C x
1
ln
dx ax b C
ax b a
12 dx C
x
x
1 1
(ax b) dx a ax b C
sinx dx cosx C
sin(ax b dx) cos(ax b) C a
cosx dx sinx C
cos(ax b dx) sin(ax b) C a
12 cot
sin x dx x C
1
cot( )
sin (ax b)dx a ax b C
12 tan
cos x dx x C
1
tan( )
cos (ax b)dx a ax b C
e dxx ex C ax b ax b
e dx e C
a
ln x
x a
a dx C
a 2
1 ln
dx x a
C
a x a
x a
♦ Nhận xét Khi thay x g (ax b) h g h h h
a
(2)M t ƣu
1. ầ ắ vữ g g g h
2. Ng h h h g hi h h g h h g g h hữ g h h h hầ
3. M g h h h i h hữ g h g h v g g h
Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM ẰNG ẢNG NGUN HÀM
ⓣⓗⓑⓣⓝ
BÀI TẬP VẬN DỤNG
a) ( )
2 a
f a a ĐS:
2
( )
4 a
F a a C
………
b) f b( ) 2b3 5b ĐS:
4
5
( )
2
b b
F b b C
1 T h h ặ ũ h i iể
2 T h h ũ h i iể he ô g ũ
3 ă h ể v ũ
4 T h g gi ậ i v i h i iể he ô g h h h ổ g
5. Bậc chẵn c a sin cosin Hạ bậc
Phƣơng Pháp
Tìm nguyên hàm c a hàm s gi ử i iệ h
P ươ p áp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất
nguyên hàm
(3)………
c) f c( ) 6c5 12c3 c2 ĐS:
3
( )
3 c
F x c c c C
………
d) f x( ) (x2 ) (x x 1) ĐS:
4 2 3
( )
4
x x x
F x C
………
e) f x( ) (3 x) ĐS:
4
(3 )
( )
4 x
F x C
………
f) ( ) 12
3
f x x
x ĐS:
3
1
( )
3
x x
F x C
x
………
g) f x( ) 10 2x ĐS:
2
10
( )
2 ln10 x
F x C
………
h) f x( ) x3 4x
x ĐS:
4
( ) 3.ln
4 x
F x x x C
………
i)
4
2 ( ) t f t
t ĐS:
3
2
( )
3
F t t C
t
………
j) f x( ) x 21
x ĐS:
1
( ) ln
F x x C
x
………
k) ( ) sin2 x
f x ĐS: F x( ) x sinx C
………
l) f x( ) cos 2x ĐS: ( ) 1sin
2
F x x x C
………
m) f x( ) tan 2x ĐS: F x( ) tanx x C ………
n) ( ) 2 2
sin cos f x
x x ĐS: F x( ) 2cot2x C
(4)o) f x( ) sin cos2 x x ĐS: ( ) 1cos cos
F x x x C
………
p) f x( ) e ex.( x 1) ĐS: ( )
2
x x
F x e e C
………
q) ( ) 2
cos x
x e
f x e
x ĐS: ( ) tan
x
F x e x C
………
r) I ( x 3x dx) ĐS:
2
3
I x C
………
s)
3
1
I x dx
x ĐS:
3
2
3
3
I x x C
………
t) 33 55
2
I dx
x x x ĐS:
3
9 25
( )
2
F x x x x C
………
u) I sin2x dx ĐS: I 2x sin2x C ………
v) cos
2 x
I dx ĐS: sin
2
x x
I C
………
w) I (3 cosx )x dx ĐS:
1
3
3 sin
ln x
I x C
………
x) I (tanx cot ) x dx2 ĐS: I tanx cotx 9x C ………
y) I 3u u.( 4) .du ĐS: 3 33
7
I u u C
(5)a) F x( ) 5x3 4x2 7x 120và f x( ) 15x2 8x
b) F x( ) ln(x x2 3)và
2
1
( )
3 f x
x
c) F x( ) (4x 5) ex f x( ) (4x 1) ex
d) F x( ) tan4x 3x f x( ) tan5x tan3x
e)
2
4 ( ) ln
3 x F x
x
2
2
( )
( 4) ( 3)
x f x
x x
f)
2
2
( ) ln
2
x x
F x
x x
2
2 2( 1)
( )
1 x f x
x
Chứng minh m t nguyên hàm c a hàm s g ờng h p sau:
P ươ p áp: Để một nguyên hàm hàm số ta cần chứng minh:
(6)a) f x( ) x3 4x 5, (1)F ĐS:
4
2
( )
4
x
F x x x
b) f x( ) cos , ( )x F ĐS: F x( ) 3x 5sinx
c)
2
3
( ) x , ( )
f x F e
x ĐS:
2
5
( ) ln
2
x e
F x x
d)
2 1 3
( ) , (1) x
f x F
x ĐS:
2
( ) ln
x
F x x
e) f x( ) x x , (1)F
x ĐS:
5
2 22
( )
5
F x x x
f) I sin cos ,x x dx i
3
F ĐS: ( ) 1cos 1cos
6 12
F x x x
Tìm nguyên hàm c a hàm s thỏ ã i u kiệ h g ờng h p sau:
P ươ p áp: Tìm nguyên hàm hàm số tức tính
Rồi sau để tìm số
(7)g)
4
2
3
,
x x
I dx
x i F(1) ĐS:
3
( )
F x x x
x
h)
3
2
3
, ( 1)
x x x
I dx
x i F(0) ĐS:
2 8
( )
2
x
F x x
x
i) sin2 ,
2 x
I dx i
2
F ĐS: ( ) sin
2 2
x x
F x
j) I x x dx,
x i
7 (1)
2
F ĐS:
3 13
( )
3
x
F x x
k)
2
2 cos , cos
x
I dx
x i F ĐS: F x( ) 2x tanx
a)
3
2
( ) (3 2)
( ) 10
F x mx m x x
f x x x ĐS: m
T i u kiện c a tham s m a, b, c ể m t nguyên hàm c a hàm s
P ươ p áp: Để một nguyên hàm hàm số Từ
đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm
(8)
b)
2
2
( ) ln
2 ( )
3
F x x mx
x f x
x x
ĐS: m
c)
2
( ) ( )
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
f x x e ĐS: a 0, b 1, c
d)
2
2
( ) ( )
( ) (2 7) x
x
F x ax bx c e
f x x x e ĐS: a 1, b 3, c
e)
2
( ) ( )
( ) ( 2) x
x
F x ax bx c e
f x x x e ĐS: a 1, b 1, c
f) ( ) ( 1)sin 2sin 3sin
( ) cos
b c
F x a x x x
f x x ĐS:
0
a b c
(9)g)
2
( ) ( )
20 30 ( )
2
F x ax bx c x
x x
f x
x
ĐS: a 4, b 2, c
h) ( ) 32 , ( 3)
( ) ( )
f x x x x
F x ax bx c x ĐS:
2 12
; ;
5 5
a b c
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1. Ng h h f x x3 3x h g h ? A
4
3
x x
F x x C B
4
3
x
F x x x C
C
4
2
x x
F x x C D F x 3x2 3x C
Câu 2. H F x 5x3 4x2 7x 120 C h g h h ?
A f x 15x2 8x B f x 5x2 4x
C
2
5
4
x x x
f x D f x 5x2 4x
Câu 3. H g h h y x2 3x
x A
3
2
3
ln
x
F x x x C B
3
2
3
ln
x
F x x x C
C
3
2
3
ln
x
F x x x C D F x 2x 12 C
x
Câu 4. T g h h f x x x
A
3
2
3
2
x
F x x x C B
3
2
2
2 3
x
F x x x C
C F x 2x C D
3
2
2
2 3
x
(10)Câu 5. Nguyên hàm F x h 2 32
5 f x
x x x h ?
A F x ln 2x lnx C
x B
3 ln 2 ln
F x x x C
x
C F x ln 2x lnx C
x D
3 ln 2 ln
F x x x C
x
Câu 6. M g h h f x( ) x3 3x2 A 3x2 6x B 3x2 6x C C
4
3 5
4 x
x x C D x4 x3 5x C
Câu 7. M g h h f x( ) x
A
4
3 x
B 4 x 3 C
5
3 x
D
3
3 x
Câu 8. M g h h f x( ) x3 3x2 A 3x2 6x B 3x2 6x C C
4
3 5
4 x
x x C D x4 x3 5x C
Câu 9. M g h h g x( ) 5x4 4x2 là:
A
3
x x x CB 20x3 8x C C. 20x3 8x D
3
x x C
Câu 10. Tính 3x2 2dx
x A
3
ln
x
x x C B x3 12 2x C
x
C x3 lnx C D x3 lnx 2x C
Câu 11. Cho f x( ) x3 3x2 2x M g h F x( ) f x( ) hỏ F là: A
4
3
4
x
x x B
4
3
4
x
x x
C
3
1
x
x x D
4
3
1
x
x x
Câu 12. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) 3x2 2x F x( )là: A F x( ) 3x3 2x2 x C B F x( ) x3 x2 C
C F x( ) x x( x 1) C D ( )
3
F x x x x C
Câu 13. K x x2 12dx g
A
3 1
( )
3 x
F x C B
3 1
( )
6 x
(11)C
2
( )
2
x x
F x x C D
2 3
2
( )
6 x
F x x C
Câu 14. M g h F x h f x( ) x là: A F x( ) 12
x B
1 ( ) F x
x C F x( ) lnx D
1 ( ) F x
x Câu 15. T h g h F x h f x( ) sinx
x A F x( ) cosx lnx C B F x( ) cosx lnx C C F x( ) cosx lnx C D F x( ) cosx lnx C
Câu 16. T h g h F x h – 3x
f x x
A ( ) 3
ln x
F x x C B ( ) 3
ln x
F x x C
C
3 3
( )
3 ln x x
F x C D
3 3
( )
3 ln x x
F x C
Câu 17. Tính x dx9
A ( ) 1 10 10
F x x C B ( ) 1 10
10
F x x C
C ( ) 1 10 10
F x x C D ( ) 1 10
10
F x x C
Câu 18. Tìm nguyên hàm F x h f x x x 2
A
4
3
4
( )
4 x
F x x x C B
4
( )
4 x
F x x C
C
3
( )
3 x
F x x C D K t qu khác
Câu 19. H g h f x( ) x2 2x là: A ( )
3
F x x x C B F x( ) 2x C
C ( ) 3
F x x x x C D ( ) 2
3
F x x x x C
Câu 20. Ng h h f x( ) (2x 1)3 là: A 1(2 1)4
2 x C B
4
(2x 1) C C 2(2x 1)4 C D K t qu khác
Câu 21. Ng h h f x( ) (1 )x là: A (1 )6
12 x C B
6
(12)Câu 22. Ng h h f = 2x 32
x : A x2 C
x B
2
3
x C
x C
2 3 ln
x x C D K t qu khác
Câu 23. T h f x i g f x’ 2x f
A x2 x B x2 x C x2 x D K t qu khác
Câu 24. T h y f x( ) i f x( ) (x2 x x)( 1) f(0) A
4
( )
4
x x
y f x B
4
( )
4
x x
y f x
C
4
( )
4
x x
y f x D y f x( ) 3x2
Câu 25. Cho f x( ) 3x2 2x ó g h iệ i hi x Ng h ó ?
A F x( ) x3 x2 3x B F x( ) x3 x2 3x C F x( ) x3 x2 3x D F x( ) x3 x2 3x
Câu 26. T h f x i g f x'( ) ax b2, '(1)f 0, (1)f 4, ( 1)f
x A
2 1 5
2
x
x B
2 1 5
2
x
x C
2 1 5
2
x
x D K t qu khác
Câu 27. M g h h f x x2 x
x
A
3
3
4 ln
3
x
F x x x C
3
3
3 3ln
3
x
F x x x
B
3
3
3
3
x
F x x
x D
3
3
4 ln
3
x
F x x x
Câu 28. Nguyên hàm F x f x x3 3x2 2x hỏ ã F là: A
4
3
4
x
F x x x B
4
3
4
x
F x x x
C
4
3 1
4 x
F x x x D
4
3 1
4 x
F x x x
NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN
Câu 29. Ng h h ( )
2x
f x
A f x dx 2x C B f x dx 2x C
C x 2x
2
(13)Câu 30. T g h h ( )
3 f x
x
A f x dx x C B f x dx x C
C f x dx x C D f x dx 3 x C
Câu 31. T g h h f x( ) 2x
A x 2x 2x
3
f x d C B x 2x 2x
3
f x d C
C x 2x
3
f x d C D x 2x
2
f x d C
Câu 32. T g h h f x( ) 3x
A x 3x 3x
9
f x d C B x 3x 3x
3
f x d
C x 3x 3x
9
f x d D x 3x
3
f x d C
Câu 33. T g h h f x( ) 3x
A x 3
4
f x d x x C B x 3
4
f x d x x C
C x 2
3
f x d x x D
2
1
x
3
f x d x C
Câu 34. T g h h f x( ) 31 3x
A x 1 3x 31 3x
4
f x d C B x 3x 31 3x
4
f x d C
C x 1 3x 31 3x
4
f x d C D
2
x 3x
f x d C
Câu 35. H F x x 12 x 2016 g h h ?
A 1
2
f x x x B 1
2
f x x x C
C 1
5
f x x x D f x x x C
Câu 36. Bi g h h 1
1 f x
x h F x hỏ ã
1
F Khi ó F x h ?
A 3x
3
F x x B 3x
3
F x x
C 3x
3
F x x D 3x
(14)Câu 37. Bi F x( ) x g h h ( )
1 a f x
x Khi ó gi a g
A B 3 C 6 D 1
6
Câu 38. Tính 1
2dx x
A
2
x x
C B 2
2 x
x C C 1
2
2 x x C D
2 x
C x
Câu 39. h h f x 1
x Khi ó
A f x dx 12 C
x B f x dx x lnx C
C f x dx x 12 C
x D
2
1
1 f x dx
x Câu 40. G i F x( ) ậ h g h h ( )
1 f x
x F x( )là: A ( ) 1ln
2
F x x C B ( ) 1ln
2
F x x C
C F x( ) ln 2x C D F x( ) x 2 C
x x
Câu 41. T g h F h f x( ) 3x i F(0) K
A ( )
9
F x x B ( )
9
F x x
C ( ) 10
3
F x x D ( ) 10
3
F x x
Câu 42. Tìm nguyên hàm 3x2 4dx
x A 5 ln
3 x x C B
3
3
4 ln
5 x x C
C 33 ln
5 x x C D
3
3
4 ln
5 x x C
Câu 43. H g h h f x( ) x2 k với k 0?
A ( ) ln
2
x k
f x x k x x k B ( ) ln
2
x
f x x k x x k
C ( ) ln
2 k
f x x x k D
2
1 ( )
f x
(15)Câu 44. T g h
(I)f x( ) x2 (II) f x( ) x2
(III)
2
1 ( )
1 f x
x (IV)
1
( ) -
1 f x
x
Hàm s có m t nguyên hàm hàm s F x( ) lnx x2
A Chỉ (I) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (III) (IV)
Câu 45. M g h h
2
3
( )
f x x
x h A ( ) 3 12 ln
5
F x x x x x B
3
1
( )
F x x
x C
2
( )
F x x x x D ( ) 3 ln 12
5
F x x x x x
Câu 46. Nguyên hàm x x e2017x dx = A
2017
5
2 2017 x e
x x C B
2017
2
5 2017 x e
x x C
C
2017
3
5 2017 x e
x x C D
2017
2
5 2017 x e
x x C
NHÓM 3: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Câu 47. T g h h ( ) cos
6
f x x
A ( ) 1sin
3
f x dx x C B ( ) sin
6
f x dx x C
C ( ) 1sin
3
f x dx x C D ( ) 1sin
6
f x dx x C
Câu 48. T g h h ) a
2
( t n
f x x
A ( ) tan x
f x dx C B ( ) tan
2 x
f x dx C
C ( ) 1tan
2
x
f x dx C D ( ) tan
2 x
f x dx C
Câu 49. T g h h
2
1 ( )
sin
3 f x
x
A ( ) cot
3
f x dx x C B ( ) 1cot
3
(16)C ( ) cot
3
f x dx x C D ( ) 1cot
3
f x dx x C
Câu 50. Tính sinx cosx dx
A cosx sinx C B cosx sinx C
C cosx sinx C D cosx sinx C
Câu 51. M g h h ( ) 22
cos f x
x là:
A 2 tanx C B 2 cotx C C 2 sinx C D 2 cosx C
Câu 52. M g h h ( ) 12
sin f x
x là:
A 3x tanx C B 3x tanx C C 3x cotx C D 3x cotx C
Câu 53. Cho f x( ) sinx cosx M g h F x( ) f x( ) hỏ
4
F là:
A cosx sinx B cos sin
2
x x
C cosx sinx D cos sin
2
x x
Câu 54. h h f x( ) 2x sinx cosx M g h F x( ) f x( ) hỏ F(0) là:
A x2 cosx sinx B x2 cosx sinx C 2 cosx 2sinx D x2 cosx sinx
Câu 55. M g h h f x( ) tan2x là: A
3
tan
x
B
2
tan cos
x
x C tanx x D
2 sin cos
x x Câu 56. M g h h f x( ) cos4x sin4x là:
A cos2x B 1sin
2 x C 2 sin2x D
2
cos x Câu 57. H ới g h h f x( ) sin4x cos4x?
A 1sin 4
x x B 1 sin
4x x C
3
sin
4x 16 x D
3
cos
4x x
Câu 58. M g h h f x sin 2x 3x2 là:
A F x cos2x 6x B 1cos
2
F x x x
C 1cos
2
F x x x D 1cos
2
(17)Câu 59. H g h h f x sin 2x? A F x sin2x B F x cos2x
C 1cos
2
F x x D F x cos2x
Câu 60. H f x( ) sinx ó g h
A F x( ) cosx C B F x( ) sinx C
C F x( ) cosx D F x( ) sinx C
Câu 61. Bi F x( ) tan2x dx hi ó F x( ) là: A ( ) 12
cos
F x C
x B F x( ) tanx C
C F x( ) tanx C D F x( ) cotx C
Câu 62. G i F x( ) ậ h g h h f x( ) sin2x F x( )là: A ( ) 1cos
2
F x x C B F x( ) sin2x C C ( ) 1cos
2
F x x C D F x( ) sin2x C
Câu 63. G i F x1( ) g h f x1( ) sin2x hỏ ã F1(0) F x2( )là nguyên h f x2( ) cos2x hỏ ã F2(0) Khi ó h g h F x1( ) F x2( ) có ghiệ
A ,
2
x k k Z B ,
2
x k k Z C x k k, Z D x k2 ,k Z
Câu 64. Ng h h y cos sin2x x là: A 1cos3
3 x C B
3
cos x C C 1sin3
3 x C D Đ h
Câu 65. M g h h y cos cosx x là:
A F x cos 6x B F x sin 6x C 1 1sin 1sin
2 x x D
1 sin sin
2
x x
Câu 66. M g h h y sin cos 3x x là: A cos cos
2
x x
B cos cos
2
x x
C cos 8x cos2x D Đ h
Câu 67. T h g h F x h f x cosx
(18)C F x cosx C D F x cosx C
Câu 68. K g h h f x cosx i g h iệ i hi
2
x ?
A F x sin x B F x sin x
C F x sinx D F x sinx
Câu 69. Tính 2
cos 3x dx
A F x tan – 1x C B F x cot – 1x C C 1tan –
3
F x x C D 1cot –
3
F x x C
Câu 70. T g h F h f x tan2x i
4
F K
A ( ) tan
4
F x x x B ( ) tan
4
F x x x
C ( ) tan
4
F x x x D ( ) tan
4
F x x x
Câu 71. Tính sin(3x 1)dx A 1cos(3 1)
3 x C B
1
cos(3 1)
3 x C C cos(3x 1) C D K t qu khác
Câu 72. Tìm (cos 6x cos )x dx là: A 1sin 1sin
6 x x C B 6sin 6x 5sin 4x C
C 1sin 1sin
6 x x C D 6sin 6x sin 4x C
Câu 73. T g h
(I) f x( ) tan2x (II) ( ) 22
cos f x
x (III)
2
( ) tan
f x x
Hàm s có m t nguyên hàm hàm s g(x) = tanx
A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)
Câu 74. Ng h h f x sin cos2x x A 1cos cos
5 x x C B
1
cos cos
5 x x C
(19)Câu 75. L h h g ú g
A cotxdx ln sinx C B sinxdx cosx C C 12dx C
x
x D cosxdx sinx C
Câu 76. Tìm nguyên hàm (1 sin )x dx2 A 2 cos 1sin
3x x x C B
2
2 cos sin
3x x x C
C 2 cos 1sin
3x x x C D
3
2 cos sin
2x x x C
Câu 77. Trong ệ h ệ h i ?
2
2
1
( ) sin sin (sin - sin )
4
1
( ) tan tan
3
1
( ) ln( 3)
2
2
I x xdx x x C
II xdx x C
x
III dx x x C
x x
A Chỉ (I) (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) (III) D Chỉ (II)
Câu 78. Tìm (sinx 1) cos3 xdx là: A
4
(cos 1) x
C B
4
sin
x
C C
4
(sin 1) x
C D 4(sinx 1)3 C
Câu 79. Xé ệ h
(I)F x( ) x cosx m t nguyên hàm c a
2
( ) sin - cos
2
x x
f x
(II)
4
( )
4 x
F x x m t nguyên hàm c a f x( ) x3
x
(III) F x( ) tanx m t nguyên hàm c a f x( ) - ln cosx
Mệ h sai ?
A (I) (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (I) (III)
Câu 80. Tìm sin3
2 x
dx A ( ) 2cos3
3
x
F x C B ( ) 2cos3
3
x
F x C
C ( ) 3cos3
2
x
F x C D ( ) 3cos3
2
x
F x C
Câu 81. Ng h h y sin cos3x x là:
A ( ) 1sin4
F x x C B ( ) 1sin4
4
(20)C ( ) 1cos4
F x x C D ( ) 1cos4
4
F x x C
Câu 82. Nguyên hàmF x h f x tan2x hỏ ã F là:
A f x tanx x B f x tanx x
C f x tanx x D f x tanx x
Câu 83. N cos2
4
f x x 13
4
f thì:
A 1cos
2
f x x x B. 1cos
2
f x x x
C sin
2
f x x D 1cos
2
f x x
Câu 84. Ng h h y f x sinx cosx là:
A. F x sinx cosx C B F x sinx cosx x C
C. F x cosx sinx x C D. F x sinx cosx x C
Câu 85. K i g ?
A. sin cosx xdx cos sinx x C B. sin cos 1cos 2
x xdx x C
C.
3
2 cos
cos sin
3 x
x xdx C D.
3
2 sin
sin cos
3 x
x xdx C
Câu 86. K i g ? A. cos cos 1sin 1sin
2
x xdx x x C
B. sin cos 1cos 1cos
2
x xdx x x C
C. sin cos 1cos sin
x xdx x x C
D. sin cos cos
4 x
x xdx C
Câu 87. Ng h h y = 2cos 2
sin cos x
dx
x x là:
A F x cos – sinx x C B F x cosx sinx C C F x cot – tanx x C D F x cot – tanx x C
Câu 88. Tìm nguyên hàm sin cos2 x x dx ?
A 1cos cos
5 x x
F x C B 1cos 1cos
3
(21)C 1cos 1cos
2 x C
F x x D 1cos cos
5 x x C
F x Câu 89. Tìm nguyên hàm: sin 2xdx2
A 1 1sin
2x x C B
3
1 sin
3 x C C
1
sin
2x x C D
1
sin
2x x C
Câu 90. Tìm nguyên hàm 2 2
sin cosx xdx =
A 2 tan2x C B 2cot2x C C 4cot2x C D 2cot2x C
Câu 91. K i g ?
A. cos 22 1sin
2
x
xdx x C B sin 22 1sin
2
x
xdx x C
C. cos 1sin 4
xdx x C D sin 22 xdx cos 22 x C
Câu 92. K i g ?
A. cot2xdx cotx x C B. tan2xdx tanx x C
C
3
2 tan
tan
3 x
xdx C D. sin2 sin
2
x
xdx x C
Câu 93. T h f x i f x' sinx cosx
4
f
A f x cosx sinx 2 ` B f x cosx sinx
C cos sin
2
f x x x D cos sin
2
f x x x
NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Câu 94. T g h h f x( ) ex e x
A f x dx ex e x C B f x dx ex e x C
C f x dx ex e x C D f x dx ex e x C
Câu 95. T g h h f x( ) 3x 2x
A x
9 ln ln x
f x d C B x
2 ln ln x
f x d C
C x
3 ln ln x
f x d C D x
9 ln ln x
f x d C
Câu 96. H g h h f x( ) ex(3 e x)
(22)C F x( ) 3ex 1x C
e D ( )
x
F x e x C
Câu 97. H x tan
F x e x g h h ?
A 2
cos x
x e
f x e
x B
1
cos x
f x e
x
C f x 7ex tan2x D 12
cos x
f x e
x Câu 98. T g h h f x( ) e4x
A x 2x
2
f x d e C B f x dx e2x C
C x 4x
2
f x d e C D x 2x
2
f x d e C
Câu 99. Tính e x 4dx
A e x 4x C B 1x 4x C
e C
x
e C D e x 4x C
Câu 100.Tính e3x 12 dx
x A 1 1
3 x
e C
x B
3 1
3 x
e C
x C
3 1
3 x
e C
x D
3
1
3 x
e C
x Câu 101.M g h h f x 9x 3x2
A F x 9x x3 B F x ln 9x x3
C
9 x
F x x D
ln x
F x x
Câu 102.M g h F x h 2
x
x e
f x e
x hỏ F e
A x 1
F x e
x B
1 x
F x e
x
C F x ex 1
x D
1 x
F x e
x Câu 103.H f x( ) e1 x ó g h
A F x( ) e1 x C B F x( ) e1 x
C ( )
2
x
F x e C
x D
1
( ) x
F x e C
(23)C F x( ) ln 3.3x C D
1
3 ( )
ln x
F x C
Câu 105.G i F x( ) ậ h g h h f x( ) ex F x( )là:
A F x( ) ex C B F x( ) ex 2x C
C F x( ) ex 2x C D ( ) 1
1 x
F x e x C
x Câu 106.Ng h h f x( ) e2x exlà:
A 1 2
x x
e e C B 2e2x ex C C e ex( x x) C D K t qu khác
Câu 107.Ng h h ( ) 12
cos x
f x e
x là: A 2ex tanx C B 2
cos x
x e
x
e x C ex tanx C D K t qu khác
Câu 108.Tính (3 cos )x
x dx A 3 sin
ln x
x C B sin ln
x
x C C sin
ln x
x C
D sin ln
x
x C
Câu 109.H x tan
F x e x C g h h f x( )nào?
A ( ) 12
sin x
f x e
x B
1 ( )
sin x
f x e
x C
1 ( )
cos x
f x e
x D K t qu khác Câu 110.N f x dx( ) ex sin 2x C f x( ) g
A ex cos2x B ex cos2x C ex cos2x D 1cos 2 x
e x
Câu 111.T g h h f x 2x 4x
A
2
2
( )
ln ln x x
F x C B ( ) 2
ln x
x
F x C
C ( )
ln ln
x x
F x C D ( ) 2
2 ln x
x
F x C
Câu 112.Tìm e3x 12 dx
x
A ( ) 1
x
F x e C
x B
3 1
( ) x
F x e C
x C F x( ) 3e3x 1 C
x D
3
1
( )
x
F x e C
(24)Câu 113.Tìm x 52 x e
x e
A ( ) 14 x
F x e C
x B
1 ( )
2 x
F x e C
x C ( ) 14
2 x
F x e C
x D
1 ( )
2 x
F x e C
x
Câu 114.Ng h h y f x e2x 2x
là:
A F x e2x x2 x C B
2
2 x e
F x x C
C
2
2 x e
F x x x C D F x 2e2x x2 x C
Câu 115.Ng h h 23x 42x
y f x
A
3
2
2.ln 4.ln16
x x
F x C B.
3
2 ln ln
x x
F x C
C
3
2
ln ln16
x x
F x C D.
3
3.2 2.4 ln ln
x x
F x C
Câu 116.K i g ?
A ex 2x dx ex 2x C B 2
ln x
x x x
e dx e C
C
3
2
1
3 x
x x e
e e dx C D 1x xdx x1 C
e e
Câu 117.Tìm nguyên hàm e3x 2dx A
3
4
3
x x
e e
x C B
3
4
3
x x
e e
x C
C
3
4
4
3
x x
e e
x C D
3
4
3
x x
e e
(25)Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
ⓣⓗⓑⓣⓝ
BÀI TẬP VẬN DỤNG BT T h g h
a)
1 x
I dx
x ĐS: I 2x lnx C
b)
2 x
I dx
x ĐS: I 3x ln x C
ài tốn tởng qt T h g h với v hô g ă
Phƣơng phápgiải:
— N ậ ử ậ ẫ hi
— N ậ ử ậ ẫ Xe é ẫ v hi ó
+ N ẫ h h h h h ẽ ử ụ g g h ể v g ổ g h
M g h g h h g gặ
với
+ N ẫ hô g h h h h h i ổi v v g g gi
(26)c) 13 ( 1)
x
I dx
x ĐS:
3
1 ( 1)
I C
x x
d)
2 x
I dx
x ĐS:
1
ln
2
x
I x C
e)
4
2
3
x x x
I dx
x ĐS:
3 1
3 ln
3 x
I x x C
x
f)
2 1
2
x x
I dx
x ĐS:
2
3 ln
x
I x x C
g)
2
4
2
x x
I dx
x ĐS:
2 2 1ln 2 1 .
2
I x x x C
h)
3
4
2
x x
I dx
x ĐS:
3
2
ln 2
x x x
I x C
i)
( 1) dx I
x x ĐS: ln
x
I C
x
j) 2
4 dx I
x ĐS:
1
ln
4
x
I C
x
k) 2
6 dx I
x x ĐS:
1
I C
x
(27)l) 2
6 dx I
x x ĐS:
1
ln
4
x
I C
x
m) 2
2
dx I
x x ĐS:
1
ln
5 x
I C
x
n) 2
2
dx I
x x ĐS:
1
ln
3
x
I C
x
o) 24
2 x
I dx
x x ĐS: I lnx lnx C
p) 24 11
5 x
I dx
x x ĐS: I lnx ln x C
q) 2
6 x
I dx
x x ĐS:
1
ln ln
5
I x x C
r) 25
3 x
I dx
x x ĐS: I lnx ln x C
s) 22
2 x
I dx
x x ĐS:
1
ln ln
2
I x x C
t)
2 7 12
x dx I
x x ĐS: I x 16 ln x lnx C
(28)
u)
2
1 x
I dx
x ĐS:
1
ln
1 x
I x C
x
v)
2
2 x
I dx
x ĐS:
2
1
2 ln
2
I x x x C
w) 23
4
x
I dx
x x ĐS:
3
ln
4 4(2 1)
I x C
x
x)
2
3
x x
I dx
x ĐS:
3 2 2
ln
3 2
x x
I x C
x
y)
2
( 2)
x x
I dx
x ĐS:
2
3 ln
2
I x x C
x
z)
2 2
(1 )
x dx I
x ĐS:
1 1
ln
4 1
x
I C
x x x
BT T h g h
a)
2
2
2
x x
I dx
x x x ĐS:
3
ln ln ln
2
I x x x C
(29)b)
2
2 10 4
x x
I dx
x x x ĐS:
1 20 17
ln ln ln
6
I x x x C
c)
3
1 x
I dx
x x x ĐS:
1 28
ln ln ln
6
I x x x x C
d)
2
3 3
3
x x
I dx
x x ĐS:
3
2 ln ln
1
I x x C
x
e) 3
( 1) dx I
x x ĐS:
3
1
ln ln
3
I x x C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.M g ên hà hà
2 x y
x là:
A F x( ) 3x ln x C B F x( ) 3x lnx C C F x( ) 3x ln x C D F x( ) 3x ln x C
Câu 2.M g h h ( )
1 x f x
x là:
(30)Câu 3. h h 2 ( ) x x f x
x x M g h F x( ) f x( ) hỏ F(1) là:
A 2
1 x x B 2 x x C
2 ln
x x D 2
1 x
x
Câu 4.H hô g g h h 2
1 x x f x x ? A 1 x x x B 1 x x x C x x D 1 x x x
Câu 5. h h
2 x f x
x M g h F x f x hỏ F : A
2
2
2 ln x x x B 2
2 ln
2 x x x C 2 2 ln x x x D
F x x x C
Câu 6.Ng h h
3 1
1 x f x
x là:
A
3
2 ln
x x
F x x x C B
3
2 ln
x x
F x x x C
C
3
ln
x x
F x x x C D
3
2 ln
x x
F x x x C
Câu 7.G i h F x( ) g h
3
2
3
( )
2
x x x
f x
x x i
1 (1)
3
F Vậ
( ) F x là:
A
2
2 13 ( )
2
x
F x x
x B
2
2 13 ( )
2
x
F x x
x C ( ) x
F x x C
x D 2 ( ) x
F x x
x
Câu 8.T g h F h
2
2 ( ) x x f x
x i
1 (1)
2
F K
A
2
( ) ln 2
x
F x x x B
2
( ) ln 2
x
F x x x
C
2
1 ( ) ln
2
x
F x x x D
2
1 ( ) ln
2
x
F x x x
Câu 9.Ta có:
2
3
3
3 3
( )
1
3 1
1 A
x x A B C
f x B
x x
x x x
C
(31)
A ( ) 2
1 1
F x C
x x x
B ( ) ln ln
1
F x x x C
x
C ( ) ln ln
1
F x x x C
x
D ( ) ln ln
1
F x x x C
x
Câu 10. Ng h h f x( ) 12
x x :
A lnx lnx2 C B lnx C
x C
1
lnx C
x D K t qu khác
Câu 11. Tính nguyên hàm
2x 1dx A 1ln
2 x C B ln 2x C C
1
ln
2 x C D ln 2x C
Câu 12. Ng h h f x =
2
2x x : A
3
2
3 x
C
x B
3
2
3 x
C
x C
3
2
2
3 ln
x
x C D K t qu khác
Câu 13. K 2
1 x
dx
x là:
A x2 C B
2
1
1 x C C
1
1 x C D
2
1 x C
Câu 14. M g h h
1 x f x
x là:
A F x( ) lnx B F x( ) x lnx
C F x( ) x lnx D F x( ) lnx
Câu 15. H ới g h h f x sin4x cos4x ? A ( ) 1sin
4
F x x x B ( ) sin
4
F x x x
C ( ) sin
4 16
F x x x D ( ) 1cos
4
F x x x
Câu 16. M g h F(x h
2 f x
x A ( ) 1ln 2016
2
(32)C ( ) 2 F x
x D
1 ( )
2 F x
x
Câu 17. Ng h h 2
1
y f x
x là:
A 1
2
F x C
x B
2
ln
F x x C
C 1
2
F x C
x D
1
F x C
x
Câu 18. Ng h h sin
4
y f x x
x là:
A 1.cos 1.ln
2
F x x x C B 1.cos 1.ln
2
F x x x C
C cos 1.ln
4
F x x x C D 1.cos ln
2
F x x x C
Câu 19. K i g ?
A 4 ln
2x 1dx x C B
2
2 ln
x
dx x x C
x
C ln
2x 1dx x C D
2
2 ln 1
x
dx x x C
x
Câu 20. K i g ?
A 5ln
3
x x
dx x C
x B
1
2 ln 1
x
dx x x C
x
C 2 ln
1dx x C
x D
6
3 ln 2x 3dx x C
Câu 21. Ng h h
3
1 x
y dx
x là:
A 1 ln
3x 2x x x C B
3
1
ln
3x 2x x x C
C 1 ln
6x 2x x x C D
3
1
ln
3x 4x x x C
Câu 22. Ng h h 22 3
2 1
I x dx
x x là:
A F(x) = 2ln 5ln
3 x x C B F(x) =
2
ln ln
5 x x C
C F(x) = 2ln 5ln
3 x x C D F(x) =
2
ln ln
(33)Dạng toán TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI IẾN SỐ
ⓣⓗⓑⓣⓝ
A – PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đ nh : Cho f u du( ) F u( ) C v u u x( ) h ó h i ụ h
( ) ( ) ( )
f u x u x dx F u x C
1 Đổi i n ạng 1 ặ t ( ).x
1
2
( )
1 ( 1) ,
1
( )
PP n
m n
PP n n
n
PP n
I f ax b xdx t ax b dt a dx
x
I dx t x dt n x dx
ax
I f ax b xdx t ax b dt ax dx
với m n,
I n f x( ) f x dx( ) PP
Đặ t n f x( ), g h ổi i
g
1 (ln )
1
( ln )
I f x dx
x
I f a b x dx
x
PP
Đặ ln
ln
t x
t a b x
I f e( )x e dxx PP Đặ t ex
I f(cos ) sinx xdx PP
Đặ t cosx dt sinxdx
I f(sin ) cosx xdx PP
Đặ t sinx dt cosxdx
2
1 (tan )
cos
I f x dx
x
PP
Đặ tan 12 (1 tan )
cos
t x dt dx x dx
x
2
1 (cot )
sin
I f x dx
x
PP
Đặ cot 12 (1 cot )
sin
t x dt dx x dx
x
I f(sin ;cos ) sin 22x 2x xdx PP Đặ
2
sin sin cos sin
t x dt xdx
t x dt xdx
I f(sinx cos ) (sinx x cos )x dx PP Đặ t sinx cos x
2 Đổi i n ạng 2 ặ x ( ).t
I f a( x2) x dx2n PP Đặ x a.sint dx a.cos t dt
I f( x2 a2) x dx2n PP Đặ .tan 2
cos adt
x a t dx
t
I f( x2 a2) x dx2n PP Đặ sin2
cos cos
a a t
x dx dt
(34)
2
( ) n dx I
x a ax bx c
PP
Đặ x a dx dt2
t t
1 , , k
n n
I R ax b ax b dx PP
Đặ tn ax b với
1
; ; ; k
n BC N N n n n
( )( )
dx I
x a x b
PP
Đặ
0
0
0
x a
t x a x b
x b
x a
t x a x b
x b
B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT T h g h
a) I x (1 x)2015 dx ĐS:
2016 2017
(1 ) (1 )
2016 2017
x x
I C
b) I x x( 1)3dx ĐS:
4
( 1)
x
I C
c) I x2 (x 1)9 dx ĐS:
12 11 10
( 1) 2( 1) ( 1)
12 11 10
x x x
I C
d) I x3 (2 )x2 dx ĐS:
2 10
(2 ) (2 )
180 81
x x
I C
(35)e) 2 xdx I
x ĐS:
2
1
ln
2
I x C
f) 2
( 1) x
I dx
x ĐS:
2
2 ln
1
I x C
x
g) 5
( 1) x
I dx
x ĐS:
1 1
4
( 1)
I C
x x
h)
3
1 x
I dx
x ĐS: 2
1
2(1 ) 4(1 )
I C
x x
i)
3
1 1
I dx
x x ĐS:
1
4
I C
x
x x x
j) 2
( 1) xdx I
x ĐS:
1
ln
1
I x C
x
(36)
k) 3
(2 1) xdx I
x ĐS:
1 1
2 4(2 1) 2(2 1)
I C
x x
l)
5 1
x
I dx
x ĐS:
4
2
1
ln( 1) 2
x x
I x C
m)
4 10 4
x
I dx
x ĐS:
5
1
ln
20
x
I C
x
n)
3
1 x dx I
x ĐS:
3
ln
x x
I x x C
BT T h g h
a)
2
( 1)
x dx
I
x x ĐS:
2 2 4 .
I x x C
b) I x x dx2 ĐS:
2
(2 )
x
(37)
c)
2
2 xdx I
x ĐS:
2
3
( 4)
2
I x C
d)
2
1 x dx I
x ĐS:
2
2(3 8)
15
x x x
I C
e) I 1x x dx2 ĐS:
4
15
(1 )
I x C
f) I x5 (1 ) 3 x2 2dx ĐS:
4 2
3(20 3) (1 )
320
x x x
I C
g)
2
x
I dx
x ĐS: I 2x 2x ln 2x C
(38)h)
3
2
4 x
I dx
x ĐS:
2
2
(4 )
4
3 x
I x C
i)
2 4
dx I
x x ĐS:
2
1
ln
4 4 2
x
I C
x
j)
3
2
2
x x x
I dx
x x ĐS:
2
2
2 ( 1)
2
3
x x
I x x C
k) I sin cos 3x x dx ĐS: (3 cos3 cos ) cos
21
I x x x C
l)
1 x
dx I
e ĐS:
1
ln
1
x
x e
I C
e
m)
2
ln ln dx I
x x x ĐS:
2
1 ln
ln
2 1 3 ln 1 x
I C
x
(39)
n)
2 1
xdx I
x x ĐS:
2 3 ( 1)
3
x x
I C
BT T h g h
a) I ln2x 1dx
x ĐS:
3
ln
x
I C
b) ln
ln x
I dx
x x ĐS: I lnx ln lnx C
c) I (1 ln )x 1dx
x ĐS:
2
(1 ln )
x
I C
d) ln
1 ln x
I dx
x
x ĐS:
3
2 (1 ln )
2 ln
3 x
I x C
(40)e)
2
ln 2x ln xdx I
x ĐS:
2
3
(2 ln )
8
I x C
f)
3
2
log ln
x
I dx
x x ĐS:
2
2
(1 ln )
1 ln
3 ln
x
I x C
BT T h g h
a)
1 x
dx I
e ĐS:
1
ln
x
x e
I C
e
b)
2 x
dx I
e ĐS:
1
ln
2
x
x e
I C
e
c)
2
x x
dx I
e e ĐS:
2
ln
1 x x e
I C
e
d)
x
x x
e
I dx
e e ĐS:
2
1
ln
2 x
(41)
e)
4
x x
dx I
e e ĐS:
1
ln
4
x x e
I C
e
f)
3
(1 x) x
e
I dx
e ĐS:
2
(1 )
2(1 )
2 x
x
x e
I e x C
e
g)
2
3
x x
x x
e e
I dx
e e ĐS:
2
1
ln( 2) ln
2 2
x
x x
x e
I e e C
e
h)
2
1 x
x e
I dx
e ĐS:
3
2 ( 1)
2
3 x
x e
I e C
i)
x x
dx I
e e ĐS:
1
2 ln
x
x x
e
I C
e e
(42)j)
1 x dx I
e ĐS: ln
x
x e
I C
e
BT T h g h
a) cos
1 sin xdx I
x ĐS: I ln sinx C
b) (2 sin 3)cos sin
x x
I dx
x ĐS:
1
(2 sin 1) ln sin
I x x C
c) cos 2
(1 sin ) xdx I
x ĐS:
3
sin
I C
x
d) cos sin
xdx I
x ĐS:
3
ln sin
2
I x C
e) I sin cos 2x 3x dx ĐS:
3
sin sin
3
x x
I C
(43)
f)
2
1 sin sin
x
I dx
x ĐS:
1
ln sin2
2
I x C
g)
3
cos sin
x
I dx
x ĐS:
1
sin
sin
I x C
x
h) sin 2
(2 sin ) x
I dx
x ĐS:
4
2 ln(2 sin ) sin
I x C
x
i) I esinx.cos x dx ĐS: I esinx C
j) I (cos3x 1).cos 2x dx ĐS:
5
sin sin sin
sin
5
x x x x
I x C
k) cos 2
6 sin sin xdx I
x x ĐS:
3 sin
ln
2 sin x
I C
x
(44)
l) cos 2
11 sin cos xdx I
x x ĐS:
1 sin
ln
3 sin x
I C
x
BT T h g h
a) sin
1 cos xdx I
x ĐS: I ln cosx C
b)
3
4 sin cos
x
I dx
x ĐS:
2
4 cos cos2
I x x C
c) I cos2xsin3xdx ĐS:
5
cos cos
5
x x
I C
d) sin cos cos
x x
I dx
x ĐS:
2
2 cos cos ln cos
I x x x C
e) sin 42 cos
x
I dx
x ĐS:
3 cos2
6 ln( ) cos2
2 x
(45)
f) sin sin
cos
x x
I dx
x ĐS:
2 cos
ln cos
2 2 cos 1 x
I x C
x
g) 3
tan sin (1 sin )
4
cos x
x x
I dx
x ĐS:
1
cos
I C
x
h)
3
sin cos
x
I dx
x ĐS:
1
cos
3 cos
I C
x x
BT T h g h
a) tan2
cos x
I dx
x ĐS:
2
tan
x
I C
b)
4
sin cos
x
I dx
x ĐS:
5
tan
x
I C
(46)
c)
4
tan cos
x
I dx
x ĐS:
3
tan tan
tan ln
3 tan
x x
I x C
x
d) 2 2
5 cos sin cos sin dx
I
x x x x ĐS:
1 tan
ln
2 tan x
I C
x
e) (1 sin )3 4 sin cos cos
x dx I
x x x ĐS:
2
tan tan
ln tan
4
x x
I x C
f) 4 2
cos sin dx I
x x ĐS:
3
tan
2 tan
3 tan
x
I x C
x
g)
cos cos
4 dx I
x x
ĐS: I ln tanx C
h)
tan
4 cos
x
I dx
x ĐS:
1
tan
I C
(47)BT 10 T h g h
a)
2
cos sin
x
I dx
x ĐS:
3
1
cot
3
I x C
b)
2
cos sin
x
I dx
x ĐS:
7
15 cot 42 cot 35 cot
105
x x x
I C
c)
4
sin cot
dx I
x x ĐS:
4
4
cot
3
I x C
d) 3
cos sin dx I
x x ĐS:
2
1
ln cot cot
2
I x x C
e)
sin sin
6 dx I
x x
ĐS: I ln cotx C
(48)
f) sin 3
(sin cos ) x dx I
x x ĐS:
1
2(1 cot )
I C
x
BT 11 T h g h
a) sin cos
sin cos
x x
I dx
x x ĐS: I ln sinx cosx C
b) cos
sin cos xdx I
x x ĐS: I sinx cosx 2 ln sinx cosx
c) cos 3
(sin cos 2) x dx I
x x ĐS:
1
sin cos (sin cos 2)
I C
x x
x x
d) I sin (1x sin ) 2x dx3 ĐS:
2
(1 sin )
x
I C
BT 12 T h g h
a)
2
1 dx I
(49)
b)
2
9 dx I
x x ĐS:
2
9
x
I C
x
c)
2
( 1)
dx I
x ĐS: 1
x
I C
x
d)
2
25 dx I
x x ĐS:
2
25
25
x
I C
x
e)
3
1 x
I dx
x ĐS:
2
1
( 2)
3
I x x C
f)
2
1 x
I dx
x ĐS:
3 2
(1 )
x
I C
x
(50)g)
2 4
dx I
x ĐS:
2
ln
I x x C
C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 118.Tính
1 x
dx
x x
A
2 2 x
C
x x B
2
2 x 2x C
C
2 2 5
2
x x
C D x2 2x C
Câu 119.H g h h
2
1 x f x
x
A F x ln x2 C B F x x2 C
C F x x2 C D 22
3
F x C
x Câu 120.M g h h f x cos x esinx
A F x esinx B F x ecosx C F x e sinx D F x sin x esinx
Câu 121. h h f x x x2 12016 Khi ó
A
2017
1 4034 x
f x dx C B
2016
1 4032 x f x dx
C
2016
1 2016 x
f x dx D
2017
1 2017 x f x dx Câu 122.H F x ex2 g h h
A f x 2xex2 B f x e2x C
2
2 x e f x
x D
2
2 x 1
f x x e
Câu 123.H g h h f x( ) tanx là: A ( ) 12
cos
F x C
x B
1 ( )
sin
F x C
x
(51)Câu 124.K cosx s inx 1dx g A
3
2
( ) s in
F x x C B
3
2
( ) s in
F x x C
C ( ) s in
F x x C D ( ) s in 13
3
F x x C
Câu 125.K
3 x
x e
dx
e g
A F x( ) ex C B F x( ) ex C
C F x( ) ex C D ( )
3 x
x e
F x C
e x
Câu 126.H f x( ) lnx
x có nguyên hàm là:
A F x( ) ln2x C B ( ) 1ln
2
F x x C
C ( ) 1ln2
F x x C D ( ) 12
F x C
x x
Câu 127.H ( ) ln (1 )
ln x
f x x
x x có nguyên hàm là:
A F x( ) ln2x x2 C B
2
ln ( )
2
x x
F x C
C
2
2
ln ( )
2 x
F x x C D
2
( ) ln (ln ) ln
x
F x x x C
x Câu 128.G i h F x( ) g h ( )
s in f x
x i F Vậ F x( ) là:
A ( ) 1ln cos
2 cos
x F x
x B
1 cos
( ) ln
2 cos
x F x
x C ( ) ln cos
1 cos x F x
x D
1 cos
( ) ln
2 cos
x F x
x Câu 129.G i F x( ) g h
2
( )
x f x
x hỏ ã F(2) Khi ó h g
trình F x( ) x ó ghiệ
A x B x C x D x
Câu 130.Ng h h y = sin2x.cos3x là:
A 1sin3 1sin5
3 x x C B
3
1
sin sin
3 x x C
(52)Câu 131.M g h h
3
2 x y
x là:
A F x( ) x x2 B 2
3 x x
C 2
3x x D
2
1
4
3 x x
Câu 132.H ới g h h
2
1 y
x
A F x( ) ln x x2 B F x( ) ln x x2
C F x( ) x2 D F x( ) x x2
Câu 133.M g h h f x( ) xsin x2 là: A F x( ) x2 cos x2 sin x2
B F x( ) x2 cos x2 sin x2 C F x( ) x2 cos x2 sin x2 D F x( ) x2 cos x2 sin x2
Câu 134.M g h h f x( ) x x2 là: A
2
1
( )
2
F x x B
3
1
( )
3
F x x
C
2
2
( )
2 x
F x x D
2
1
( )
3
F x x
Câu 135.T g h F h f x x x 2015
A ( ) 1 2017 1 2016
2017 2016
F x x x C
B ( ) 1 2017 1 2016
2017 2016
F x x x C
C ( ) 1 2017 1 2016
2017 2016
F x x x C
D ( ) 1 2017 1 2016
2017 2016
F x x x C
Câu 136.Tìm nguyên hàm F x i
2
2 ( )
1 x f x
x x K
A ( ) 2
3
F x x x x B ( ) 2
3
F x x x x
C ( ) 2
3
F x x x x D ( ) 2
3
(53)Câu 137.Tính:
2 1
x
P dx
x
A P x x2 x C B P x2 ln x x2 C
C
2 1 ln x
P x C
x D Đ án khác
Câu 138.Tìm nguyên hàm F x i ( ) sin
sin cos x f x
x x K A ( ) ln sin cos
2
F x x x x C B ( ) ln sin cos
2
F x x x x C
C ( ) ln sin cos
F x x x x C D ( ) ln sin cos
2
F x x x x C
Câu 139.Tìm nguyên hàm F x i f x cos cos2 sin 4x x x K A ( ) cos cos cos 1cos
28 20 12
F x x x x x C
B ( ) cos cos cos 1cos
28 20 12
F x x x x x C
C ( ) cos cos cos 1cos
28 20 12
F x x x x x C
D ( ) cos cos cos 1cos
28 20 12
F x x x x x C
Câu 140.Tìm nguyên hàm F x i f x( ) xsin x K A F x( ) cosx x xsin x cos x C B F x( ) cosx x xsin x cos x C C F x( ) cosx x x sin x cos x C D F x( ) cosx x xsin x cos x C
Câu 141.Tính nguyên hàm xex2 1dx A ( )
2 x
F x e C B ( )
2 x
F x e C
C ( ) 2
x
F x e C D ( )
2 x
F x e C
Câu 142.Tính x ln 2dx
x K i
A F x( ) 2 x C B F x( ) 2 x C
(54)Câu 143.H ới g h
2
1 ( )
1 f x
x ?
A
2
( )
1 x F x
x B
2
( ) ln
F x x
C F x( ) ln x x2 D F x( ) ln x x2
Câu 144.Ng h h ( ) 2
1 x f x
x
A ( ) 1ln 2
F x x C B F x( ) ln x2 C
C F x( ) 2x C D ( ) 1ln
2
x
F x C
x Câu 145.Tìm cos20
sin x
dx
x
A ( ) 119
19 sin
F x C
x B 19
1 ( )
19 sin
F x C
x
C ( ) 119
19 cos
F x C
x D 19
1 ( )
19 cos
F x C
x
Câu 146.H F x( ) ln sinx cosx g h h ? A ( ) cos sin
sin cos
x x
f x
x x B
cosx sin ( )
sin cos x f x
x x
C f x( ) cosx sinx D ( ) sin cos cos sin
x x
f x
x x
Câu 147.Tìm
1
2
x
dx
x x
A
2 2 x
C
x x B
2
2 x 2x C
C
2 2 5
2
x x
C D x2 2x C
Câu 148.Nguyên hàm F x h f x( ) sin cos 22 x x hỏ
2
F
A 1sin 23 sin 25
6 10
F x x x B 1sin 23 sin 25
6 10
F x x x
C 1sin 23 sin 25
6 10 15
F x x x D 1sin 23 sin 25
6 10 15
F x x x
Câu 149.M g h F x( ) h ( )
2 x
x e f x
(55)A ( ) ln x ln
F x e B ( ) ln x ln
F x e
C F x( ) ln ex 2 ln D F x( ) ln ex 2 ln
Câu 150.Ng h h
2 1
x
y f x
x
A
3 1
3
x x
F x C B
3 1
3 x
F x C
C
3
2
3 x
F x C D
3
2
3 x
F x C
Câu 151.0034: K i g ? A
2
2 1
1
3
x x
x x dx C B
4 2 x
x x dx C
C
4
2
2
4 x
x x dx x C D
2 ln x x dx C x Câu 152.K i g ?
A lnxdx ln2x C x B ln ln x x dx C x C
3 ln ln
ln ln
10 x x x x dx C x D ln ln x x xdx C x
Câu 153.Ng h h y f x e2x 23x x A
2 23
2 ln 2
x x
e x
F x C B
2 23
2 ln
x x
e x
F x C
C
3
2
ln x
x x
F x e C D
2
2 ln
x x
e
F x C
Câu 154.H F x ln sinx cosx g h h g h
A cos sin
sin cos
x x
f x
x x B f x cosx sinx
C cos sin
sin cos
x x
f x
x x D
sin cos cos sin
x x
f x
x x
Câu 155.Tính x ln 2dx
(56)A 2 x C B 2 x C C 21 x C D 2 x C
Câu 156.K i g
A ln ln ln
ln ln ln dx
x C
x x x B
2
2
1 1
ln
1 1
dx x
C
x x x
C 1tan
1 cos 2
dx x
C
x D
2
1
ln
3 xdx
x C
x Câu 157.T g h h f x( ) e3 cosx.sinx
A ( ) cos cos
x
f x dx e x C B f x dx( ) 3e3 cosx C
C ( ) cos
x
f x dx e C D f x dx( ) 3e3 cosx.cosx C
Câu 158.T g h h ( ) ln
2 x f x
x A
2
ln ( )
4 x
f x dx C B
2
ln ( )
2 x
f x dx C
C
2
ln ( )
4 x
f x dx C
x D
1 ( )
2
f x dx C
x Câu 159.Ng h h I x3 x dx là:
A F(x) = 14 13 12 1
9 x x x x x C
B F(x) = 6 2 1
9 x x x x x C
C F(x) = 14 13 12 1
9 x x x x x C
D F(x) = 6 12 1
9 x x x x x C
Câu 160.Ng h h x
2x
d
I là:
A F(x) = 2x ln 2x C B F(x) = 2x ln 2x C
C F(x) = 2x ln 2x C D F(x) = 2x 7ln 2x
2 C
Câu 161.Ng h h
5
cos sin
x
y dx
x là:
A
3
sin cos cos
3
x x
x C B
3
sin cos sin
3
x x
(57)C
3
sin cos sin
3
x x
x C D
3
sin cos sin
9
x x
x C
Câu 162.Ng h h
2
( ) x x
x x e
y dx
x e là:
A F(x) = xex ln xex C B F(x) = ex lnxex C
C F(x) = xex ln xe x C D F(x) = xex lnxex C
Câu 163.Ng h h y 2dx 2
x a là:
A ln
x a
a x a +C B
1 ln
x a
a x a +C C
1
ln x a
a x a +C D
1
ln x a
a x a +C
Câu 164.Ng h h y 2dx 2
a x là:
A ln
a x
a a x +C B
1 ln
a x
a a x +C C
1
ln x a
a x a +C D
1
ln x a
a x a +C
Câu 165.Ng h h y x 4x dxlà:
A
5
2
1 2
4 7
20 x x C B
5
2
1 2
4 7
18 x x C
C
5
2
1 2
4 7
14 x x C D
5
2
1 2
4 7
(58)Dạng tốn TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
ⓣⓗⓑⓣⓝ
BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 13 T h g h
a) I x sinx dx ĐS: I sinx cosx C
b) I (1 )x e dxx ĐS: I (3 )x ex C
c) I ex cosx dx ĐS: (sin cos )
2 x e
I x x C
Đ nh N h i h v ó h v i ụ h hay
Vận ụng giải toán:
— Nhận ạng T h h h ại h h hẳ g hạ ũ h g gi
— Đ t: Suy ra:
— Thứ tự ƣu tiên ch n u: l – – lượ – ũ v p ầ ò lạ Nghĩ u có
ln hay ch n hay cịn lại N u khơng
có ch n hức cịn lại N hơ g ó g h g gi …
— Lƣu g ậ v ậ g ứ g với ầ g h Dạng mũ nhân ƣợng giác g g h g hầ hồi
(59)
d) I (2x 1) lnx dx ĐS:
2
( )ln
2 x
I x x x x C
e) I x e3x dx ĐS:
3
3
x x
xe e
I C
f) I x2 ln 2x dx ĐS:
3ln 2
3
x x x
I C
g) I lnx dx ĐS: I xlnx x C
h) I (x 1) sin 2x dx ĐS: 1cos 1sin
2
x
I x x C
i) I x e x dx ĐS: I (1 x e) x C
(60)
j) I ex sinx dx ĐS: (sin cos )
2 x
e x x
I C
k) I x cosx dx ĐS: I xsinx cosx C
l) sin
2 x
I x dx ĐS: cos sin
2
x x
I x C
m) I x e dxx ĐS: I xex ex C
n) I x ln(1 x dx) ĐS:
2
ln(1 ) (1 )
ln(1 )
2
x x x
I x C
o) I x sin2x dx ĐS:
2 sin 2 cos2
4
x x x x
I C
(61)
p) I ln(x x2) dx ĐS: I xln(x x2) x2 C
q) ln1
1 x
I x dx
x ĐS:
2 1 1
ln
2
x x
I x C
x
r) I ln3x dx
x ĐS: 2
ln
2
x
I C
x x
s) I x sinx cosx dx ĐS: cos 1sin
4
I x x x C
t) I e 2x cos 3x dx
ĐS: (3 sin cos )
13 x
I e x x C
u)
1 cos x dx I
x ĐS:
1
tan ln cos
2
I x x x C
(62)
v) I x (2 cos2x 1) dx ĐS: sin 1cos2
2
x
I x x C
w) I x3 lnx dx ĐS:
4ln
16
x x x
I C
x) 2
sin x
I dx
x ĐS: I xcotx ln sinx C
y) I (x 2) e2x dx ĐS: 1( 2) 2
2
x x
I x e e C
z) I x ln(x2 1) dx ĐS: I (x2 1)ln(x2 1) x2 C
BT 14 T h g h
a)
2
1 ln x
I x dx
x ĐS:
1
ln
I x x x C
x x
(63)
b) I cos x dx ĐS: I xsin x 2cos x C
c) I sin x dx ĐS: I xcos x 2sin x C
d) I (8x3 )x ex2 dx ĐS: I (4x2 1) ex2 4ex2 C
e) I x e3 x2 dx ĐS: 2
2
x x
I x e e C
f) I x e5 x3 dx ĐS: 3
3
x x
I x e e C
(64)
h) I x e x dx ĐS: I 2xe x xe x 4e x C
i) I x ln(x2 1) dx ĐS: 1( 1)ln( 1)
2
I x x x C
j) I ln(2x 1) dx
x ĐS:
1
ln ln
1 x
I x C
x x x
k) I ex ln(ex 1) dx ĐS: I (ex 1)ln(ex 1) ex C
l)
2
ln(4 3)
( 1)
x x
I dx
x ĐS:
2
2
4
ln ln
2( 1)
x x
x x x C
x
m) 1 ln( 1)
2
I x x dx
x ĐS: I (x x 1)lnx x x x C
(65)BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 166.M g h h f x( ) xex là:
A ex C B e xx C C e xx C D
2
2 x x
e C
Câu 167.M g h h f x( ) (x2 ).x ex là:
A (2x 2).ex B x e2 x C (x2 x e) x D (x2 ).x ex
Câu 168. h h f x( ) x e x M g h F x( ) f x( ) hỏ F(0) là:
A (x 1)e x B (x 1)e x C (x 1)e x D (x 1)e x
Câu 169.Cho f x( ) xsinx Ng h f x( ) là:
A xcosx C B xsinx cosx C
C sinx xcosx C D xcosx sinx C
Câu 170.Ng h h f x( ) xex2 h
A F x( ) 2ex2 B ( ) 2
x
F x e C F x( ) 2x e2 x2 D F x( ) ex2 xex2
Câu 171.Cho
1
( ) ln
x
f x tdt Đạ h f x'( ) h ới ? A 1
x B lnx C
2
ln x D 1ln2
2 x
Câu 172.M g h f x( ) x e3 x là:
A (x3 3x2 6x 6)ex B (x3 6x 6)ex C (x3 3x2 6)ex D 3x e2 x
Câu 173.M g h h f x x e x2 : A F x 2ex2
B F x 2x e2 x2
C
2 x
F x e D F x xex2 ex2
Câu 174.H f x( ) (x 1)sinx có nguyên hàm là:
A F x( ) (x 1)cosx s inx C B F x( ) (x 1)cosx s inx C C F x( ) (x 1)cosx s inx C D F x( ) (x 1)cosx s inx C
Câu 175.H f x( ) lnx có nguyên hàm là:
A F x( ) x(lnx 1) C B F x( ) C
x C
2
ln ( )
2 x
F x C D F x( ) x(lnx 1) C
Câu 176.H ( ) cos
cos
f x x x
(66)A ( ) sin sin
x
F x x x C
x B F x( ) x(1 sin ) cosx x C C F x( ) x(1 sin )x cosx C D F x( ) x(1 sin )x cosx C
Câu 177.G i h F x( ) g h f x( ) xcos 3x i F(0) Vậ F x( ) là: A ( ) sin 1cos
3
F x x x x C B ( ) sin 1cos
3
F x x x x
C ( ) 2sin
F x x x D ( ) sin 1cos
3 9
F x x x x
Câu 178.Tính xe dxx
A F x ex –xex C B F x ex xex C
C F x ex –xex C D F x ex xex C
Câu 179.Tính xcosxdx
A F x xsinx cosx C B F x xsinx cosx C
C F x xsinx cosx C D F x xsinx cosx C
Câu 180.Tìm xcos 2xdx là: A 1 sin 1cos
2x x x C B
1
sin cos
2x x x C
C
2sin 2
4
x x
C D sin2x C
Câu 181.M g h h f x( ) x2 2x ex
A F x( ) (2x 2).ex B F x( ) x e2 x
C F x( ) (x2 x e) x D F x( ) (x2 ).x ex
Câu 182.M g h f x( ) x e2 x
A F x( ) (x2 2x 2)ex B
3
( )
x x
F x e
C F x( ) (x2 2x 2)ex D F x( ) 2xex
Câu 183.Nguyên hàm F x f x( ) xe x hỏ F
A F x( ) x e x B F x x e x
C F x( ) x e x D F x( ) x e x
Câu 184.K i g ? A
2
.cos sin
2
x x
(67)C xcosxdx xsinx cosx C D sin cos 1sin
2
x x
x xdx x C
Câu 185.K i g ? A
3
3
3 x
x xe x
xe dx e C B xe dxx xex ex C
C
2
x x x
xe dx e C D xxdx xx 1x C
e e e
Câu 186.K i g ?
A lnxdx xlnx x C B lnxdx C
x C
2
ln ln
2
x x
x xdx x C D
3
2ln .ln
3
x x
x xdx x C
Câu 187.K i g ?
A ln2xdx xln2x xlnx x C B
3
2 ln
ln
3 x
xdx C
C ln2xdx lnx C
x x
x D 2
ln ln
2
x x
dx C
x x x
Câu 188.K i g ?
A 2 2 12
2
x x x
x x
dx C
e e e B
x x x
xe dx xe e C
C
3
3
3 x
x xe x
xe dx e C D
2
2 .
2
x x x
xe dx e C
Câu 189.K i g ? A
3
2
ln
3 x
x xdx C
x B
3
2ln .ln
3
x x
x xdx x C
C ln x x dx2 xln x x2 x2 C
D sin sin cos
2 x
x e x x
e xdx C
Câu 190.T g h h f x( ) x.sin 2x
A ( ) cos 1.sin
2
x
f x dx x x C
B
2
( ) cos
x
f x dx x C
C ( ) cos 1.sin
2
x
(68)D ( ) cos 1.sin
2
x
f x dx x x C
Câu 191.T g h h f x( ) x.ln x A
2
( )
2( 1) x
f x dx C
x B
2
3
1
( ) ln ln(1 )
2
x
f x dx x x x C
C ( ) ln 1
2
x
f x dx x x x C
D
2
2
1
( ) ln ln( 1)
2 2
x x
f x dx x x x C
Câu 192.Ng h h I cos ln(sinx x cos )x dx là:
A F(x) = 1 sin ln sin 1sin
2 x x x C
B F(x) = 1 sin ln sin 1sin
4 x x x C
C F(x) = 1 sin ln sin 1sin
4 x x x C
D F(x) = 1 sin ln sin 1sin
4 x x x C
Câu 193.Ng h h I x sin 3xdx là:
A F(x) = cos 1sin
3
x x
x C B F(x) = cos 1sin
3
x x
x C
C F(x) = cos 1sin
3
x x
x C D F(x) = cos 1sin
3
x x
x C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ĐỌC THÊM )
Câu 194.T g ệ h ệ h i? A Hàm s
2
6 ( )
2
x x
F x
x
2
10 ( )
2 x G x
x nguyên hàm c a m t hàm
s
B Hàm s F x( ) sin2x G x( ) cos2x nguyên hàm c a m t hàm s
C Hàm s F x( ) x2 2x nguyên hàm c a hàm s
2
1 ( )
2 x
f x
x x
D Hàm s F x( ) sin x nguyên hàm c a hàm s f x( ) cos x
(69)A kf x dx k f x dx k R
B f x g x dx f x dx g x dx
C f x g x dx f x dx g x dx
D
1
1 m
m f x
f x f x dx C
m
Câu 196.Để F x asinx bcosx ex g h f x cos x ex h gi a,
b :
A a 1,b B a 0,b C a b D
2
a b
Câu 197. h h f x h K H F x g i g h h
f x K
A F x’ f x , x K B F x’ f x , x K
C f x F x , x K D f x F x , x K
Câu 198. h h g h h h sai?
A f x dx'( ) f x( ) C B Kf x dx( ) K f x dx K( )
C f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) D F x dx( ) f x( ) C
Câu 199.T g ệ h ệ h i A
3
2 ( )
'( ) ( )
3 f x
f x f x dx C B f x g x dx( ) ( ) f x dx( ) g x dx( )
C f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) D kf x dx k( ) f x dx( ) (k h ng s )
Câu 200.N f x( ) (ax2 bx c) 2x g h h
2
10 ( )
2
x x
g x
x
h g 1;
2 a b c ó gi
A 3 B 0 C 4 D 2
Câu 201.X h a, b, c cho g x( ) (ax2 bx c) 2x g h h
20 30
( )
2
x x
f x
x g h g
3 ;
A a 4, b 2, c B a 1, b 2, c
C a 2, b 1, c D a 4, b 2, c
Câu 202.Tìm nguyên hàm F x( ) ex 2( tana 2x btanx c) g h
2
( ) x tan
f x e x h ;
(70)A ( ) 1tan2 tan
2 2
x
F x e x x B ( ) 1tan2 tan
2 2
x
F x e x x
C ( ) 1tan2 tan
2 2
x
F x e x x D ( ) 1tan2 2tan
2 2
x
F x e x x
Câu 203.N ( ) x
F x ax bx c e g h h
2
2 x
f x x x e a b c; ; g hi ?
A 2; 3;1 B 1;3;2 C 1; 1;1 D 2;7;
Câu 204.Cho f x dx F x C Khi ó với a 0, ta có f ax b dx g
A
2aF ax b C B
1
F ax b C
a
C F ax b C D a F ax b C
Câu 205.Cho
sin
cos ;
;
1 x
x e x
f x
x x
Nhậ é ú g ?
A
sin ; 0
2 1; x
e x
F x
x x m t nguyên hàm c a f x
B
cos ; 0
2 1; x
e x
F x
x x m t nguyên hàm c a f x
C
1 cos ; 0
2 ; x
e x
F x
x x m t nguyên hàm c a f x
D
cos ; 0
2 ; x
e x
F x
x x m t nguyên hàm c a f x
Câu 206.K M g h x sin 3xdx x a cos 3x sin 3x 2017
b c h ổ g
S a b c g
A S 15 B S 14 C S D S 10
Câu 207. h h
2
2
20 30
;
2
x x
f x F x ax bx c x
x với
3
x Để
h F x g h f x h gi a b c, ,
A a 4;b 2;c B a 4;b 2;c