Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quan sơn tiếp cận và sử dụng công thức tính nguyên hàm thông qua công thức vi phân và nguyên hàm của hàm hợp

MỤC LỤC Nội dung 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Điểm sáng kiến kinh nghiệm 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp thực để giải vấn đề 2.4 Hiệu đề tài 3: KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 5 11 12 12 12 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Quan Sơn, với kết thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018 đến 2019-2020, tơi nhận thấy điểm trung bình mơn Tốn em lớp 12 thấp với nhiều lý khách quan chủ quan Trường THPT Quan Sơn trường miền núi cao, thuộc vùng đặc biệt khó khăn tỉnh Thanh Hóa, chất lượng đầu vào lớp 10 học sinh thấp đặc biệt mơn Tốn, học sinh khơng nhớ kiến thức, thiếu kỹ tính tốn từ lớp Học sinh làm trắc nghiệm đơi cịn có tư tưởng khoanh bừa, dựa vào yếu tố may mắn để lấy điểm, nên phổ điểm tầm khoảng đến cao Riêng với phần Nguyên hàm, phần mà học sinh trường THPT Quan Sơn khó để lấy điểm đề thi, nên nhiều em không làm, khoanh bừa làm sai, có câu thuộc phần nhận biết, thông hiểu Vậy giữ nguyên cách dạy thực phương pháp có sách giáo khoa học sinh trường THPT Quan Sơn tiếp tục khoanh bừa đáp án gặp câu tính Nguyên hàm Vậy nên giáo viên dạy Toán trường THPT Quan Sơn, bên cạnh việc thay đổi phương pháp dạy, cách truyền đạt đến học sinh, cách kiểm tra đánh giá, biên soạn đề cương ôn tập cách chi tiết, dạy học sinh sử dụng máy tính bỏ túi q trình ôn thi tốt nghiệp, việc nghiên cứu cơng thức để học sinh áp dụng tìm đáp án, hay rút gọn bước tính tốn mục tiêu mà giáo viên dạy Tốn trường THPT Quan Sơn ln đặt thực Khi học sinh cảm thấy đỡ áp lực, giúp em hào hứng tiết học Điểm số em cải thiện cao làm thi trắc nghiệm Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu học tập cho học sinh ưu điểm trực tiếp giảng dạy, mạnh đưa đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận sử dụng cơng thức tính Ngun hàm thơng qua cơng thức Vi phân Nguyên hàm hàm hợp” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhận thấy điểm yếu học sinh từ thực tiễn giảng dạy trường THPT Quan Sơn mục tiêu giúp học sinh trường THPT Quan Sơn cải thiện điểm thi mơn Tốn kì thi Tốt nghiệpTHPT 2021, đề tài viết với mục đích: - Cung cấp tài liệu ơn tập cho học sinh THPT Quan Sơn với nội dung cách tiếp cận phù hợp với trình độ nhận thức em, để từ em học tập, nghiên cứu, luyện giải tập tìm đáp án đề thi thử áp dụng vào kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2021 - Giúp học sinh có thêm số cơng thức thực làm toán liên quan đến Nguyên hàm, tăng cường tính xác làm bài, tìm nhanh đáp án nhanh ứng dụng vào làm tốn Tích phân - Giúp giáo viên mơn Tốn trường THPT Quan Sơn có thêm tài liệu dạy nghiên cứu để đưa phương pháp làm toán Nguyên hàm nhanh 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu phần Vi phân, sử dụng công thức vi phân để thiết lập số cơng thức tính Nguyên hàm Giúp học sinh trường THPT Quan Sơn sử dụng cơng thức vào giải nhanh tốn trắc nghiệm liên quan đến phần Nguyên hàm 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp mà sử dụng để nghiên cứu đề tài: - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế lực học sinh THPT Quan Sơn từ phân loại cơng thức để có phương pháp ôn luyện phù hợp - Phương pháp thu thập liệu, tổng hợp phân tích, hệ thống hóa kiến thức để đưa kết vận dụng q trình ơn luyện cho học sinh 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các công thức thiết lập hoàn toàn sử dụng cơng thức vào tính tốn Ngun hàm thay cho phương pháp đổi biến số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 2.1.1 Vi phân - Với hàm số y = f ( x) ta có: dy = df ( x ) = f '( x )dx Ví dụ: Tìm vi phân hàm số sau: a) y = x − 3x + b) y = cos(2 x − 1) Giải: a) y = x − 3x + 2, y ' = x − Vậy dy = d ( x − 3x + 2) = y 'dx = (3 x − 3)dx b) y = cos(2 x − 1), y' = − 2sin(2 x − 1) Vậy dy = d cos(2 x − 1) = y'dx = − 2sin(2 x − 1) dx - Từ công thức df ( x) = f '( x)dx ta thực tốn ngược lại với cơng thức f '( x)dx = df ( x) Ví dụ: a) xdx = d ( x + C ) b) sin xdx = − d (cosx + C ) c) dx = d (ln x + C ) x d) sin(−5 x + 3) dx = d cos(−5 x + 3) 1 d cos(− x + 3) = cos ' (− x + 3) dx = − (− x + 3) ' sin(− x + 3) dx = sin( − x + 3) dx 5 2.1.2 Nguyên hàm hàm hợp ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ; - Ta có: ∫ f (u)du = F (u ) + C Ví dụ: Một số công thức hàm hợp thiết lập từ công thức hàm sơ cấp tương ứng − ∫ cosxdx = sin x + C; − ∫ x dx = − ∫ x dx = ln x + C; − ∫x x4 + C; 1 ∫ cos(3x − 5)d (3x − 5) = sin(3x − 5) + C dx = − + C ; x ∫ (− x + 3) d (− x + 3) = (− x + 3) +C ∫ −5x + d (−5 x + 4) = ln −5x + + C ∫ (2 x + 3) d (2 x + 3) = − +C (2 x + 3) - Với u = ax + b (a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.2.1 Thực trạng học sinh - Học sinh trường THPT Quan Sơn chủ yếu theo học môn Xã hội, khối không 10 học sinh theo học khối Tự nhiên, nên việc học làm tập Toán học sinh vấn đề nan giải Phần Lượng giác, Ngun hàm, Hình khơng gian phần mà học sinh không nắm công thức, phương pháp học sinh thường bỏ qua phần gặp thi - Hình thức thi trắc nghiệm khách quan sử dụng kì thi TN – ĐHCĐ địi hỏi khơng em học sinh phải nắm vững kiến thức, công thức, chất mà cần đến nhạy bén, lựa chọn phương pháp thích hợp, dễ học, dễ làm nhanh cho đáp án - Phương pháp sử dụng cơng thức tính Ngun hàm thiết lập thơng qua công thức Vi phân Nguyên hàm hàm hợp giúp học sinh thực toán nhanh có ln đáp số, khơng phải sử dụng phương pháp đổi biến số, giúp học sinh hứng thú học tập làm trắc nghiệm 2.2.2 Thực trạng giáo viên - Tháng 10/2020 trường THPT Quan Sơn Sở GD&ĐT Thanh Hóa tuyển biên chế viên chức dạy học nhà trường 19 thầy, cô; có giáo viên dạy tốn Do cịn trẻ, chưa có kinh nghiệm giảng dạy học sinh vùng núi cao, phương pháp kiến thức truyền đạt nặng so với nhận thức lực học sinh - Các cô chưa linh hoạt việc sử dụng lựa chọn phương pháp, lựa chọn tập phù hợp với lực học sinh 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Cách tiếp cận thiết lập công thức Ngun hàm Ví dụ 1: Tìm ngun hàm hàm số sau: a) b) ∫ e dx ∫ (−3x − 2) x− 2021 dx Giải: Công thức ∫ f (u )du = F (u) + C ; df ( x) = f '( x )dx a) Áp dụng công thức Vi phân d (4 x − 6) = (4 x − 6) ' dx = 4dx ⇒ e x −6 dx = x −6 e d (4 x − 6) 4 x −6 e d (4 x − 6) = e x −6 + C ∫ 4 d ( − x − 2) = ( − x − 2) ' dx = − dx b) Áp dụng công thức Vi phân Vậy theo công thức hàm hợp ta được: ∫ e4 x −6 dx = Tương tự ta có: ∫ (−3x − 2) 2021 dx = − (−3 x − 2) 2021 d (−3 x − 2) 3∫ (−3x − 2) 2022 =− +C 2022 *) Từ hai ví dụ ta thiết lập hai cơng thức tổng quát sau: ax + b e +C a ( ax + b)α +1 α ∫ (ax + b) dx = +C α +1 a ∫e ax + b dx = Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: a ) ∫ sin( ax + b)dx b) ∫ ax + b dx Giải: Áp dụng công thức Vi phân d (a x + b) = (a x + b) ' dx = adx 1 sin( ax + b)d (ax + b) = − cos(ax + b) + C ∫ a a 1 1 dx = ∫ d (ax + b) = ln(ax + b) + C b) ∫ ax + b a ax + b a a) ∫ sin(ax + b)dx = *) Từ hai ví dụ ta thiết lập thêm hai công thức tổng quát sau: ∫ sin(ax + b) dx = − cos (ax + b) + C a 1 ∫ dx = ln(ax + b) + C ax + b a 2.3.2 Công thức Nguyên hàm Từ công thức thiết lập phần 2.3.1 sáng kiến kinh nghiệm thông qua cách thiết lập tương tự dựa vào công thức Vi phân công thức Nguyên hàm hàm hợp trình giảng dạy thực tế lớp 12 trường THPT Quan Sơn Tơi thiết lập cơng thức tính Ngun hàm sau: ax +b e +C a Ví dụ: ∫ e−3 x + dx = − e−3 x + + C (ax + b)α +1 ∫ (ax + b)α dx = +C α +1 a (5 x − 2021) 2021 2020 (5 x − 2021) dx = +C Ví dụ: ∫ 2021 ∫ sin( ax + b)dx = − cos (ax + b) + C a ∫e ax + b dx = Ví dụ: ∫ sin( x + 3) dx = − cos( x + 3) + C ∫ cos(ax + b)dx = sin( ax + b) + C a Ví dụ: ∫ cos (−4 x − 4)dx = − sin(−4 x − 4) + C 1 ∫ dx = ln ax + b + C ax + b a 1 dx = ln x − + C Ví dụ: ∫ 3x − 1 ∫ dx = − +C (ax + b) a (ax + b) 1 Ví dụ: ∫ (−5 x + 5) dx = 5(−5 x + 5) + C m (ax + b)α +1 +C α +1 2a (4 x + 3)7 +C Ví dụ: ∫ 3x(4 x + 3)6 dx = sinα +1 (ax + b) α ∫ sin (ax + b).cos (ax + b)dx = +C α +1 a sin (2 x + 1) +C Ví dụ: ∫ sin (2 x + 1).cos(2 x + 1) dx = cosα +1 (ax + b) ∫ cosα (ax + b).sin(ax + b)dx = − +C α +1 a cos11 (−3 x − 5) 10 +C Ví dụ: ∫ cos (−3x − 5).sin(−3x − 5)dx = 11 ∫ mx(ax + b)α dx = Đây cơng thức bản, làm, cịn nhiều ta linh hoạt sử dụng cơng thức Vi phân Nguyên hàm hàm hợp để giải nhanh tốn Ngun hàm, thay sử dụng phương pháp đổi biến số 2.3.3 Áp dụng công thức Nguyên hàm vào giải tốn Ngun hàm Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau (Bài tập 3a,b,c trang 101 sgk Giải tích 12 - bản): a) ∫ (1 − x) dx b) ∫ x(1 + x ) dx c) ∫ Cos x sin xdx *) Giải theo phương pháp đổi biến số a) ∫ (1 − x) dx Đặt − x = u ta có d (1 − x) = du ⇔ −dx = du ⇔ dx = −du Vậy ∫ (1 − x)9 dx = − ∫ u du = − b) u10 (1 − x)10 +C = − +C 10 10 ∫ x(1 + x ) dx Đặt + x = u ⇒ d (1 + x ) = du ⇔ xdx = du ⇔ xdx = du 32 u2 (1 + x ) x(1 + x ) dx = u du = + C = +C Vậy ∫ 2∫ 5 2 c) ∫ Cos x sin xdx Đặt Cosx = u ⇒ dCosx = du ⇔ − sinxdx = du ⇔ sinxdx = − du u4 cos x +C Vậy ∫ Cos x sin xdx = − ∫ u du = − + C = − 4 3 * Giải theo phương pháp sử dụng công thức Nguyên hàm a) ∫ (1 − x) dx (ax + b)α +1 +C Áp dụng công thức ∫ (ax + b) dx = α +1 a (1 − x)10 +C Ta có ∫ (1 − x)9 dx = − 10 α b) ∫ x(1 + x ) dx m (ax + b)α +1 +C Áp dụng công thức ∫ mx(ax + b) dx = α +1 2a α 5 (1 + x ) (1 + x ) x(1 + x ) dx = + C = +C Ta có ∫ 5 2 c) ∫ Cos x sin xdx cosα +1 (ax + b) +C Áp dụng công thức ∫ cos (ax + b).sin(ax + b)dx = − α +1 a cos x +C Ta có ∫ Cos x sin xdx = − α Ví dụ 2: Sử dụng công thưc Nguyên hàm giải nhanh trắc nghiệm Nguyên hàm Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = cos3x (Câu 2, mã đề 101 kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017) 2 dx ∫ 3x − (câu 19, mã đề 103, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018) x +1 ∫ e dx (câu 23, mã đề 124, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018) 3x − Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x − 2)2 khoảng (2; +∞) (câu 32, mã đề 112, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019) Giải: a Áp dụng công thức ∫ cos (ax + b)dx = sin(ax + b) + C Ta ∫ cos3xdx = sin 3x + C Áp dụng công thức Ta ∫ ax + b dx = a ln(ax + b) + C dx ∫1 3x − = ln 3x − 2 1 = ln a Áp dụng công thức ∫ eax +b dx = e ax+b + C 1 x +1 x +1 Ta ∫ e dx = e 3x − 1 = (e − e ) 3( x − 2) + 4 ∫ ( x − 2)2 dx = ∫ ( x − 2) dx = ∫ [ x − + ( x − 2) ]dx 1 ∫ ax + b dx = a ln(ax + b) + C 4 Ta ∫ [ x − + ( x − 2) ]dx = 3ln x − − x − + C Áp dụng công thức ∫ (ax + b) dx = − +C a (ax + b) 2.3.4 Áp dụng công thức Nguyên hàm vào giải toán trắc nghiệm Nguyên hàm ∫ e −3 x + dx A e −3 x + + C B − e −3 x + + C C − e −3 x + + C D e −3 x + + C ∫ (4 x + 6)10 dx (4 x + 6)11 (4 x + 6)11 +C B +C 11 11 ∫ sin( −3 x)dx A A Cos3x + C ∫ A B Cos(−3 x) + C C − C (4 x + 6)11 +C 11 Cos (−3x) + C D − (4 x + 6)11 +C 11 D − Cos( −3 x) + C 3dx 2x − ln x − + C B − ln x − + C C − ln x − + C D ln x − + C ∫ A dx (−2 x + 1) +C −2 x + 1 +C 2(−2 x + 1) B C −1 +C −2 x + D − +C 2( −2 x + 1) ∫ x 3x + 2dx (3 x + 2)3 + C C − (3 x + 2)3 + C B − A D (3 x + 2)3 + C (3 x + 2)3 + C Hướng dẫn giải Áp dụng công thức Áp dụng công thức Áp dụng công thức Áp dụng công thức Áp dụng công thức Áp dụng công thức ax +b e +C a (ax + b)α +1 α ( ax + b ) dx = +C α +1 ∫ a ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C m m ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C 1 ∫ (ax + b)2 dx = − a(ax + b) + C ∫e ax + b dx = α ∫ mx(ax + b) dx = m ( ax + b)α +1 +C α +1 2a ĐA B ĐA B ĐA C ĐA D ĐA B ĐA A 2.3.5 Bài tập Tìm nguyên hàm hàm số sau: f ( x ) = 5e x dx f ( x) = −3(4 − x)8 f ( x ) = tan x f ( x) = cos(−12 x + 5) dx f ( x ) = x−5 dx f ( x ) = (−4 x − 1) f ( x) = −3 x(4 x − 1) ln x x f ( x ) = cos (− x + 2).sin(− x + 2) sin x 10 f ( x) = cos 2021 x f ( x ) = 2.4 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 10 Sau học sinh tiếp cận, thiết lập sử dụng công thức Nguyên hàm vào làm tập vận dụng linh hoạt, em hiểu, ghi nhớ tiến tới vận dụng cách thục Kết việc sử dụng công thức Nguyên hàm thu kết sau: *) Về số lượng học sinh thực làm lớp Tôi giảng dạy: Lớp Sĩ số 12A1 12A5 12A6 30 38 36 Học sinh hiểu thực toán Sử dụng phương pháp Sử dụng công thức đổi biến số thiết lập 18 29 14 33 12 32 Ghi *) Về số điểm học sinh đạt làm thi trắc nghiệm theo hai phương pháp lớp Tôi giảng dạy (Số câu hỏi 10, thang điểm 10): Lớp Sĩ số 12A1 30 12A5 38 12A6 36 Điểm 8-10 6- bé 5- bé Bé 8-10 6- bé 5- bé Bé 8-10 6- bé 5- bé Bé Học sinh đạt số điểm Sử dụng phương pháp Sử dụng công thức đổi biến số thiết lập 20 12 6 0 12 15 18 12 8 15 11 11 12 Ghi - Học sinh làm tập làm nhanh trắc nghiệm, công thức giúp học sinh sử dụng phương pháp đổi biến số - Tạo hứng thú học tập cho em học sinh trường THPT Quan Sơn Các em tích cực với buổi làm đề trắc nghiệm với câu ngun hàm có đề thi thức đề minh họa kì thi tốt nghiệp THPT đề thi thử trường - Tạo hiệu ứng học tập học sinh, em làm câu có đề thi mà cịn làm nhanh, làm khích lệ tạo niềm tin em trước kì thi - Sáng kiến giúp thầy, dạy tốn trường THPT Quan Sơn có thêm tài liệu tham khảo, vận dụng linh hoạt dạy nguyên hàm tích phân KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN 11 Qua thời gian dài giảng dạy trường THPT Quan Sơn, với kinh nghiệm hiểu biết lực, nhận thức học sinh, Tôi không ngừng nghiên cứu, học hỏi để có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, giúp em hứng thú thích học mơn tốn Với đổi từ Bộ GD&ĐT với đặc thù chất lượng học sinh trường THPT Quan Sơn Mỗi giáo viên giảng dạy phải không ngừng học tập, tự bồi dưỡng, lựa chọn phương pháp dạy học, tập phù hợp giảng dạy Đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận sử dụng cơng thức tính Ngun hàm thơng qua cơng thức Vi phân Nguyên hàm hàm hợp” Tôi giúp học sinh tự thiết lập tiếp cận với cơng thức tính Ngun hàm mới, giúp thời gian giải nhanh hơn, sử dụng phương pháp đổi biến số, công thức dễ học, dễ hiểu dễ thực Qua tiết dạy, ôn thi tốt nghiệp THPT hướng dẫn học sinh cách chi tiết, hình thành cho em kỹ làm trắc nghiệm tốn, giải tốn nhanh, xác Chính mà chất lượng học sinh nâng lên, điểm thi cải thiện Ngồi dạng tốn, ví dụ làm tơi u cầu học sinh làm tập tương tự Qua sáng kiến mong muốn cung cấp cho em tài liệu, phương pháp học hữu ích đáp ứng nhu cầu học tập em Rất mong góp ý thầy cô giáo! Xin chân thành cảm ơn! 3.2 KIẾN NGHỊ Sở giáo dục nên tiếp tục trì thi viết sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Quan Sơn, ngày 10 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Đào Văn Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO 12 - SGK Giải tích 12 – NXB GD - SGK Giải tích 11 – NXB GD - Đề thi thức năm học, đề thi minh họa Bộ GD, trường - Một số sách phần Vi phân, Nguyên hàm hàm số 13 ... dạy học, tập phù hợp giảng dạy Đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận sử dụng công thức tính Ngun hàm thơng qua cơng thức Vi phân Nguyên hàm hàm hợp? ?? Tôi giúp học sinh. .. liệu học tập cho học sinh ưu điểm trực tiếp giảng dạy, mạnh đưa đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận sử dụng cơng thức tính Ngun hàm thông qua công. .. phân, sử dụng công thức vi phân để thiết lập số cơng thức tính Ngun hàm Giúp học sinh trường THPT Quan Sơn sử dụng công thức vào giải nhanh toán trắc nghiệm liên quan đến phần Nguyên hàm 1.4 PHƯƠNG